Ứng dụng Lý thuyết số - Mở đầu

Trần Hoàng Tuấn
Lý thuyết số và ứng dụng của nó
Xét ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b ,ký hiệu là: ƯCLN(a,b)
Ta biết rằng có thể biểu diễn chúng dưới dạng như sau:
. .s a t b+
Trong đó: s, t lần lượt là hai số nguyên
Như vậy , ta thấy rằng ƯCLN(a,b) có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính với
các hệ số nguyên của a và b.
VD: ƯCLN(35;295) = 5 và 5 = 17.35 – 2.295
1. Định lý 1: Nếu a và b là hai số nguyên dương, sẽ tồn tại các số nguyên s và t sao cho:
ƯCLN(a,b) = s.a + t.b
Chứng minh: vận dụng thuật toán Euclid, ta xét ví dụ trên như sau:
295 = 8.35 + 15 → 15 = 295 – 8.35
35 = 2.15 + 5 → 5 = 35 – 2.15
15 = 3.5
Do đó: 5 = 35 – 2.(295 – 8.35) = 17.35 – 2.295
→ ƯCLN(35;295) = 17.35 – 2.295
Các phương pháp khác có thể giải nhanh hơn nhưng ta dùng phương pháp này để phát triển
một số kết quả có ích.
Bây giờ ta vận dụng vào việc chứng minh rằng nếu một số nguyên dương có một dãy thừa số
nguyên tố, trong đó các số nguyên tố đực viết theo thứ tự không giảm dần, thì dãy phân tích
đó là duy nhất.
Trước hết, ta cần phát triển một số kết quả về tính chia hết.
a. Hệ quả 1: Nếu a,b và c là các số nguyên dương sao cho ƯCLN(a,b) = 1 và a|bc, thì a|c
CM: Vì ƯCLN(a,b) = 1 , nên theo Định lý 1 sẽ có các số nguyên s và t sao cho:
s.a + t.b = 1
→ s.a.c + t.b.c = c
( Vận dụng định lý về phép chia hết quý vị tự chứng minh )
b. Hệ quả 2: Nếu p là số nguyên tố và p|a
1
a

2
…a
n
, với a
i
là số nguyên, thì p|a
i

(đối với một i =
1,n
nào đó)
Bây giờ ta có thể chứng tỏ phân tích thừa số nguyên tố của một số nguyên là duy nhất.
Có nghĩa là ta phải chứng tỏ rằng mọi số nguyên đều có thể viết dưới dạng tích của các số
nguyên tố theo thứ tự không giảm dần, và chỉ một cách viết như thế. Đây là một phần trong
Định lý Cơ bản của số học. Ta chỉ chứng minh phần kia, phát biểu rằng mọi số nguyên đều có
một phân tích thừa số nguyên tố (xét trong lần trình bày sau).
Chứng minh (tính duy nhất của phân tích thừa số nguyên tố đối với ột số nguyên dương): giả
sử số nguyên dương có thể viết dưới dạng tích của các số nguyên tố theo hai cách khác nhau,
chẳng hạn n = p
1
p
2
...p
s
và n = q
1
q
2
…q
t

, với p
i
và q
j
là các số nguyên thỏa mãn điều kiện
p
1
≤p
2
≤…≤p
s
và q
1
≤q
2
≤…≤q
t
Khi loại bỏ tất cả các số nguyên tố chung, ta được hai dãy số lũy thừa:

1 2 1 2
. ... . ...
u v
i i i j j j
p p p q q q=
Trong đó không có số nguyên tố nào có mặt ở hai vế của đẳng thức, đồng thời u và v đều là các
số nguyên dương. Theo Hệ quả 2, có thể suy ra
1
i
p
chia hết cho

k
j
q
ứng với môt k nào đó. Vì không có số nguyên tố nào chia hết cho một số
nguyên tố khác nên điều này không thể xảy ra. Vậy chỉ tồn tại nhiều nhất là một phân tích thừa
số nguyên tố của n theo thứ tự không giảm dần.
2. Định lý 2: Cho m là một số nguyên dương và a,b,c là các số nguyên. Nếu a.c ≡ b.c (mod m)
và ƯCLN(c,m) = 1, thì a ≡ b (mod m)
Chứng minh:
Vì a.c ≡ b.c (mod m) nên m|ac – bc = c(a – b)
Từ hệ quả 1 ta có: ƯCLN(c,m) = 1 , nên suy ra m|a – b
Trong phần sau sẽ trình bày về Đồng dư Tuyến tính và Đồng dư Trung Hoa
Trần Hoàng Tuấn
→ a ≡ b (mod m)
Trong phần sau sẽ trình bày về Đồng dư Tuyến tính và Đồng dư Trung Hoa