CHUYÊN đề ôn THI vào lớp 10 CHUYÊN hàm số

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ
A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Các bài toán về hàm số được ra tương đối nhiều trong các kì thi chọn học
sinh giỏi và thi vào các lớp chuyên THPT. Trong chuyên đề này, ta quan tâm đến
các bài toán về hàm số, bao gồm các vấn đề chính sau đây:
1. Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
3. Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng.
4. Lập phương trình đường thẳng hay Parabol thỏa mãn điều kiện đã cho.
5. Tìm các điểm đặc biệt: Điểm đồ thì hàm số luôn đi qua, điểm đồ thị hàm số
không thể đi qua.
6. Biện luận sự tương giao của đồ thị.
7. Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình.
8. Tìm điều kiện của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp tư duy và kỹ năng làm toán được hướng dẫn qua các ví dụ sau:
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN QUA CÁC VÍ DỤ
DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số
b)y =

a)y = x − x + −x + 3x + 10
4

2

2

7− 2x
x − 7x + 10
2

Hướng dẫn giải
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi
 x = 0
 −2 ≤ x ≤ −1

x4 − x2 ≥ 0
x x − 1 ≥ 0
 x ≤ −1
⇔
⇔
⇔ x = 0
 2
−x + 3x + 10 ≥ 0 ( x + 2) ( 5− x) ≥ 0  x ≥ 1
1≤ x ≤ 5
−2 ≤ x ≤ 5 

2

(

2

)

Chú ý: Ở bài này, học sinh hay bỏ sót giá trị

(

)

x=0

vì đã biến đổi sai là:

x2 x2 − 1 ≥ 0 ⇔ x2 − 1≥ 0
1


7 − 2x
7 − 2x
≥ 0⇔
≥ 0⇔ x < 2
x − 7x + 10
( x − 2) ( x − 5)
2

b)

y=

Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm số:

hoặc

7
≤ x≤ 5
2

4x − 12
(1)

x − 6x + 10
2

Hướng dẫn giải
Hàm số được xác định với mọi giá trị của x, khi đó (1) tương đương với:
y.x2 − 2( 3y + 2) x + 10y + 12 = 0(2)

Phương trình (2) phải có nghiệm đối với x
Nếu
Nếu

y= 0
y≠ 0

thì
thì

x= 3
∆ ' = 4 − y2 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ y ≤ 2

Do đó tập giá trị của hàm số là:

−2 ≤ y ≤ 2

DẠNG 2. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ
y=

(

)

2x2 + 6 x2 + 1 ( x − 2) + 5
x2 + 3x − 4

Ví dụ 3: Cho hàm số:
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Chứng minh

y≤ 3

, chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?

( THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2003 – 2004)
Hướng dẫn giải

(

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi
3− y =

b) Ta có:

(

)

 x2 + 1 ( x − 2) ≥ 0
⇔ x≥ 2
 2

x
+
3x
−
4
≠
0


)

x2 + 1 − 6 x2 + 1. x − 2 + 9( x − 2)
x + 3x − 4
2

2

=

(

x2 + 1 − 3 x − 2
x + 3x − 4
2

)

2

⇒ y≤ 3

x2 + 1 = 3 x − 2 ⇔ x =

Dấu bằng xảy ra khi

9± 5
2

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = 3x + 12 − 3x2

Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định:
y2 =

(

−2 ≤ x ≤ 2

3. 3 + 1. 12 − 3x2

)

2

(

)

≤ 4 3x2 + 12 − 3x2 = 48

⇒ −4 3 ≤ y ≤ 4 3 ⇒ maxy = 4 3khix = 3

Mặt khác

y − 3x = 12 − 3x2 ≥ 0 ⇒ y ≥ 3x ≥ −6 ⇒ miny = −6,khix = −2
y=

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

3x8 + 12

(x

4

)

+2

2

Hướng dẫn giải:
12x4
y = 3− 8
≤ 3⇒ maxy = 3 khi x = 0
x + 4x4 + 4
y = 3−

Với

x≠ 0

ta có
x4 +

Mặt khác

12
4
x4 + 4 + 4
x

4
4
3
4
+ 4 ≥ 2 x4 4 + 4 = 8 ⇒ miny = khix4 = 4 ⇔ x = ± 4 2
4
x
x
2
x

DẠNG 3. CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN
TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƯỚC
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số:

y = x3 + x2 + x + m− 7

Hướng dẫn giải
3

luôn đồng biến


Với
Xét

x1,x2

bất kỳ mà

(

x1 < x2

) (

)

y2 − y1 = x32 − x13 + x22 − x12 + ( x2 − x1 )

(

)

= ( x2 − x1 ) x22 + x1x2 + x12 + x1 + x2 = 1 =

Do đó

y2 > y1

1
2
( x2 − x1 ) ( x2 + x1 + 1) + x22 + x12 + 1 > 0
2

Vậy hàm số đã cho ln đồng biến.

Ví dụ 7: Chứng minh rằng hàm số:

−2x2 + x + 3
y=
x−1

nghịch biến với x > 1

Hướng dẫn giải
y = −2x − 1+

2
x −1

với

x1,x2

bất kỳ thỏa mãn

1< x1 < x2

thì




2  
2 
1
y1 − y2 =  −2x1 − 1+
−
−
2x
−
1
+
=
2
x
−
x
1
+
(
)
>0
÷ 

÷
2
2
1 
x1 − 1 
x2 − 1
 ( x1 − 1) ( x2 − 1) 


Do đó

y1 > y2

Từ đó suy ra hàm số nghịch biến với

x>1

DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HOẶC PARABOL
Ví dụ 8: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm I (0; 1) và cắt parabol
y = x2

tại hai điểm phân biệt M và N sao cho

MN = 2 10

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia HN năm học 2000 – 2001)
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + 1
Xét phương trình

x2 =ax+1 ⇔ x2-ax-1=0

(1)

∆ = a2 + 4 > 0

Với mọi a, (1) ln có hai nghiệm phân biệt nên (d) ln cắt (P) tại
4


hai điểm phân

M ( x1;y1 ) ,N ( x2;y2 )

Theo định lý Vi – ét:

x1 + x2 = a,x1.x2 = −1

MN = 2 10 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( ax2 + 1− ax1 − 1) = 40
2

2

( )
( )
⇔ ( a + 1) ( a + 4) = 40 ⇒ a = 4 ⇔ a = ±2

2
2
⇔ a2 + 1 ( x2 − x1 ) = 40 ⇔ a2 + 1 ( x1 + x2 ) − 4x1x2  = 40



2

2

2

Ví dụ 9: Trong mặt phẳng tọa độ
với

m

là tham số khác 0 và điểm

a) Hãy vẽ Parabol

luôn cắt

( P)

cho parabol

−1 2
x
2

điểm

M ( m;0)

I ( 0;−2)

( P)

b) Viết phương trình đường thẳng

( d)

Oxy

( P) : y =

( d)

tại hai điểm phân biệt

đi qua hai điểm
A,B

M;I

với độ dài đoạn

. Chứng minh rằng
AB > 4

(THPT Chuyên ngoại ngữ - Đại học Quốc Gia Hà Nội, năm học 2001 - 2002)
Hướng dẫn giải
a) Học sinh tự vẽ hình.

(d) : y =

b) Phương trình đường thẳng

2
x − 2.
m

Dễ thấy (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt

 −x12   −x22 
A  x1;
÷,B x2;
÷.
2  
2 


1 
2
2
2
1
 1
AB2 = ( x2 − x1 ) +  x22 − x12 ÷ = ( x1+ = x2 ) − 4x1x2  1+ ( x1 + x2 )  .
 4
2  
2

x1 + x2 =

Theo định lí Vi-ét ta có:

−4
,x1x2 = −4.
m

5


Vậy

4 
 16

AB2 =  2 + 16÷ 1+ 2 ÷ > 16
m
 m 

Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ
Gọi (d) là đường thẳng đi qua

nên
Oxy

I(0;−2)

AB > 4

.

, cho parabol (P) có phương trình

và có hệ số góc

k

x2
y= .
2

.

a) Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt
b) Gọi

H,K

A,B

khi

k

thay đổi.

theo thứ tự là hình chiếu vng góc của trên trục hồnh. Chứng

minh rằng tam giác

IHK

I

vng tại .

(THPT Chun Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2006 – 2007)
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng

(d) : y = kx − 2

Xét phương trình
∆ ' = k2 + 4 > 0

x2
= kx − 2 ⇔ x2 + 2kx − 4 = 0
2
k

với mọi

, suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt.

Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Giả sử (1) có hai nghiệm phân biệt
⇒ A(x1;y1),B(x2;y2 )

thì

H(x1;0),K(x2;0)

Vậy tam giác

IKH

x1x2 = −4

vng tại

nên

A,B

x1,x2

IH2 = x12 + 4,IK 2 = x22 + 4,KH2 = ( x1 − x2 )

Theo Định lí Vi-ét thì

(1)

Khi đó
2

IH2 + IK 2 = x12 + x22 + 8 = KH 2

I

DẠNG 5. TÌM CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ
6


Ví dụ 11. Cho hàm số

y = mx2 + 2(m− 2)x − 3m+ 1

a) Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị
b) Tìm các điểm trong mặt phẳng

Oxy

m

.

mà đồ thị hàm số không thể đi qua.

Hướng dẫn giải
M(x0;y0)

a) Giả sử

là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua, khi đó:

y0 = mx02 + 2(m− 2)x0 − 3m+ 1

với mọi

m

x02 + 2x0 − 3 = 0
⇔ (x + 2x0 − 3)m+ 1− 4x0 − y0 = 0 ⇔ 
⇒ M(1;−3) / M(−3;13)
1− 4x0 − y0 = 0
2
0

b) Giả sử điểm có tọa độ

(x0;y0)

là điểm mà đồ thị hàm số khơng thể đi qua.

Khi đó phương trình (1) khơng có nghiệm đối với
Ví dụ 12. Cho các đường thẳng

(dm)

b) Tìm

để khoảng cách từ điểm

hoặc

x0 = −3

y0 ≠ 13

có phương trình:

a) Chứng minh rằng các đường thẳng
m

x = 1
m⇔  0
y0 ≠ −3

(dm)

luôn đi qua một điểm cố định.

A(−1;−2)

đến

(dm)

là lớn nhất.

Hướng dẫn giải
a) Giả sử các đường thẳng
Khi đó với mọi
Hay với mọi

(dm)

luôn đi qua

y0 = (2m− 1)x0 − 4m+ 3

(2x0 − 4)m+ 3− x0 − y0 = 0

M(x0;y0)

với mọi m,

với mọi m

2x − 4 = 0
x = 2
⇔ 0
⇔ 0
⇒ M(2;1)
3
−
x
−
y
=
0
y
=
1
0
0

 0

b) Hạ

AH

vng góc với

(dm) AH

,

là khoảng cách từ
7

A

đến

(dm) AH ≤ AM.

.

.


Vậy

AH

lớn nhất bằng

AM

khi

Phương trình đường thẳng là

AM

vng góc với

(dm)

.

y = x −1

, vng góc với khi và chỉ khi

1(2m− 1) = −1⇔ m = 0

DẠNG 6. BIỆN LUẬN SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Ví dụ 13. Trong mặt phẳng tọa độ
parabol
a) Tìm

Oxy

, cho đường thẳng

(d) :2x − y − a2 = 0

và

(P): y = ax2(a > 0)

a

để

( d)

cắt P tại hai điểm phân biệt

A,B

. Chứng minh rằng

A

và

B

nằm

bên phải trục tung.
b) Gọi
T=

xA ,xB

là hồnh độ của

A

và

B

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4
1
+
xA + xB xA .xB

(Vòng 1, THPT Chuyên – TP Hà Nội, năm học 2005 – 2006)
Hướng dẫn giải
a) Xét phương trình

( d)

cắt

( P)

ax2 = 2x − a2 ⇔ ax2 − 2x + a2 = 0

(1)

tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ a < 1.

Kết hợp với điều kiện
nằm bên phải trục

b)

Oy

0< a< 1

ta có . Khi đó (1) có hai nghiệm dương nên

.

2

1
xA + xB = > 0
⇒ T = 2a + ≥ 2 2.
a

a
xA .xB = a > 0
8

A,B

Vậy khi

minT = 2 2

1
.
2

a=

khi

Ví dụ 14. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba đường thẳng:
1
(d3) : y = −ax + a3 − a2 − .
(d2) : y = x − 1
3

;

Tìm a để

(d1)

cắt

(d2)

(d1): y = −x + 1

;

tại một điểm thuộc

(d3)

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2007 – 2008)
Hướng dẫn giải
Dễ thấy

(d1)

cắt

(d2 )

tại

M ∈ (d3) ⇔ −a + a3 − a2 −

Ví dụ 15. Cho parabol

M(1;0)

1
3
3
3
= 0 ⇔ 4a = (a + 1) ⇔ a 4 = a + 1⇔ a =
3

(P):y = x2

và đường thẳng

a) Chứng minh rằng đường thẳng

( d)

luôn cắt

3

1
.
4 −1

(d) : y = mx + 1

.

parabol ( P)

tại hai điểm phân biệt

với mọi giá trị .
b) Gọi

A(x1;y1)

của biểu thức:

và

B(x2;y2 )

là các giao điểm của

(d)

và

(P)

. Tìm giá trị lớn nhất

M = (y1 − 1)(y2 − 1)

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm, năm học 2009 – 2010)
Hướng dẫn giải
a) Xét phương trình
∆ = m2 + 4 > 0

x2 = mx + 1 ⇔ x2 − mx − 1= 0

(1)

với mọi nên(1) có hai nghiệm phân biệt , suy ra

tại hai điểm phân biệt

A(x1;y1)

và

B(x2;y2 )

9

( d)

luôn cắt

( P)


b) Theo định lí Vi-ét:

x1 + x2 = m,x1x2 = −1

M = (y1 − 1)(y2 − 1) = (x12 − 1)(x22 − 1) = x12x22 + 2x1x2 − (x1 + x2 )2 + 1 = −m2 ≤ 0

Vậy

maxM = 0

khi

m= 0

DẠNG 7. DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN
SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1Bài Tìm

m

đề phương trình sau có nghiệm:

2

2x
 2x 
 x2 + 1÷ − 4. x2 + 1 − 5+ m = 0



Hướng dẫn giải
t=

Đặt

2x
⇒ −1≤ t ≤ 1
x +1
2

, ta được:

2
2

t2 − 4t − 5+ m = 0 ⇔ t − 4t + 4 = 9− m ⇔ (t − 2) = 9 − m.

Đặt

k = t− 2

thì

−3 ≤ k ≤ −1⇒ 1≤ k2 ≤ 9

Do đó để phương trình có nghiệm thì

1≤ 9− m ≤ 9 ⇔ 0 ≤ m ≤ 8.

Ví dụ 17. Tìm m để đồ thị của hàm số
trục

Ox

,ta có:

k2 = 9− m

y = x3 − 2(m+ 1)x2 + (6 − m)x + 10m− 12

cắt

tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải

Ta có:

y = (x − 2)(x2 − 2mx − 5m+ 6)

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục

Ox

tại ba điểm phân biệt thì phương trình

10


x2 − 2mx − 5m+ 6 = 0

phải có hai nghiệm phân biệt khác 2

m > 1

 m < −6
⇔ 
10

m
≠

9

DẠNG 8. CÁC BÀI TỐN KHÁC
f(x) =

Ví dụ 18. Cho hàm số
f3(x) = ff[ 2(x)] ;...

. Tìm

1
1− x

. Xét dãy các hàm số

f1(x) = f(x) ff2 =

;

[ f1(x)]

;

f2020(x).

Hướng dẫn giải
Ta có:
1
;
1− x
1
x−1
 1 
f2(x) = ff[ 1(x)] = f 

=
=
;
÷
x
 1− x  1− 1
1− x
1
 x − 1
f3(x) = ff[ 2(x)] = f 
=
= x;
÷
 x  1− x − 1
x
f3(x) = ff[ 3(x)] = f1(x).
f1(x) = f(x) =

Ta có:

 1
1− x khi n = 3k + 1

fn(x) = x khi n = 3k
x −1

khi n = 3k + 2
 x

f2020(x) =

Vậy

1
.
1− x

BÀI TẬP
Bài 1

. Tìm giá trị của m để mọi x thuộc [-1;2] đều thuộc tập xác định của hàm
11


y=

số:

( m + 1) x − m(x + 3) + 1
2

Hướng dẫn giải
Đặt

f(x) = (m2 + 1)x − m(x + 3) + 1.

Khi đó

f(x) ≥ 0

với mọi

x ∈ [ −1;2]

thì:

2
f(−1) ≥ 0 m + 2m ≤ 0
⇔ 2
⇔ −2 ≤ m ≤ 0.

2m − 5m+ 3 ≥ 0
f(2) ≥ 0

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

x2
y= 2
x − 2x + 2002

(THPT Chuyên Ngoại ngữ - Đại học Quốc gia Hà Nội, năm học 2001 – 2002)
Hướng dẫn giải
- Nếu

x=0

thì

y = 0.

y=

- Nếu

y≠ 0

1
1−

thì

2 2002
+ 2
x
x

t=

. Đặt

1
x

thì:
2

2 2002
1  2001

1− + 2 = 2002t2 − 2t + 1= 2002 t −

÷ +
x
x
 2002  2002
y=

Từ đó suy ra max

2001
2002

t=

khi

1
⇔ x = 2002
2002

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)

y =|2x − 3| + |2x − 1| + |2x + 1| + |2x + 3|

y=
b)

x4 + 16
,x > 2
x(x − 2)(x + 2)

Hướng dẫn giải
y = 2x − 3 + 2x − 1 + 2x + 1 + 2x + 3

a)
12

.


≥ (3− 2x) + (1− 2x) + (2x + 1) + (2x + 3) = 8 = 8.

Min

y=8

khi

3− 2x,1− 2x, 2x + 1, 2x + 3

⇔

cùng dấu

−1
1
≤ x≤ .
2
2

 Chú ý: Đây là bài tốn đặc biệt, nếu khơng đặc biệt ta xét từng khoảng

để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

b) Ta có

(x2 − 4)2 + 8x2 x2 − 4
8x
y=
=
+ 2
≥ 4 2.
x(x − 2)(x + 2)
x
x −4

Vậy min

y= 4 2

khi

x = 8+ 48.

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a)

x2 + 8x + 7
y=

x2 + 1
y=

b)

32
2 + 2x − x2 + 7

Hướng dẫn giải
a)

(y − 1)x2 − 8x + y − 7 = 0 (1)

3
y = 1⇔ x = − .
4

Nếu

y≠1

thì

(1)

là phương trình bậc hai ẩn

x.

Phương trình có nghiệm khi

−1≤ y ≤ 9
∆ ' = 16 − (y − 1)(y − 7) ≥ 0 ≥ 
y ≠ 1

b) Hàm số được xác định khi
Do đó

−x2 + 2x + 7 ≥ 0

.

2 ≤ 2 + −(x − 1)2 + 8 ≤ 2 + 2 2.

Vậy max

y = 16

khi

x = 1± 2 2,

y=

min

16
1+ 2

13

khi

x = 1.


Bài 5. Cho hàm số

y = x2 + (2m− 1)x + 3m− 5

a) Với mỗi giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b) Khi m thay đổi, tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Hướng dẫn giải
2

a)

2m− 1 −4m2 + 16m− 21

y = x+
+
⇒
x ÷
4


y = −(m− 2)2 −

b) min

nhất bằng

−5
4

khi

5 −5
≤ .
4 4

min

21

y = −  m2 − 4m+ ÷.
4


Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn

m = 2.

Bài 6. Cho hàm số

y = f(x) = −x2 + 2(2m− 1)x − 2m2 + 8m+ 16

a) Với mỗi giá trị m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x)

theo m.

b) Khi m thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất trong các giá trị lớn nhất của

f(x)

.

Hướng dẫn giải
a)

f(x) = −  x2 − 2(2m− 1)x + (2m− 1)2  + (2m− 1)2 − 2m2 + 8m+ 16
= − [ x − (2m− 1)] + 2m2 + 4m+ 17 ≤ 2m2 + 4m+ 17.
2

Vậy với mỗi
b)

m,

2m2 + 4m+ 17.

giá trị lớn nhất của hàm số là

2m2 + 4m+ 17 = 2(m+ 1)2 + 15 ≥ 15.

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số
Bài 7. Cho hàm số
mãn

−1 ≤ x ≤ 2

f(x)

đạt giá trị nhỏ nhất là 15 khi m =

y = f(x) = (2m− 1)x + 5− m

. Tìm m để

.
Hướng dẫn giải
14

f(x) ≥ 0

−1.

với mọi x thỏa


Đồ thị của hàm số
Vậy

f(x) ≥ 0

y = f(x)

với mọi

là một đường thẳng.

x ∈ [ 1;2] .

f(−1) ≥ 0 6 − 3m ≥ 0
⇔
⇔
⇔ −1≤ m ≤ 2.
f(2) ≥ 0
3m+ 3 ≥ 0

Bài 8. Chứng minh rằng:
y = f(x) = 5x11 + x3 + x2 + 5x + 2m− 15

a) Hàm số
y=

b)

x2 − 2x + 2
x−1

luôn nghịch biến với

luôn đồng biến.

0< x < 1

Hướng dẫn giải

a)

y = f(x) = g(x) + h(x),

Với
và

g(x) = 5x11

là hàm số luôn đồng biến.

h(x) = x3 + x2 + 5x + 2m− 15.

Với

x1 ,x2

bất kì

x1 < x2

mà ta có:

h(x2 ) − h(x1) = x32 − x13 + x22 − x12 + 5x2 − 5x1 = (x2 − x1)(x22 + x1x2 + x12 + x2 + x1 + 5)
1
= (x2 − x1) (x2 + x1)2 + (x2 + 1)2 + (x1 + 1)2 + 8 > 0.
2

Do đó

h(x1) < h(x2 )

⇒ y = h(x)

nên

là hàm số đồng biến. Tổng của hai số đồng biến là hàm số đồng biến

y = f(x)

b) Với

với

x1 < x2

x1,x2

là hàm số đồng biến.
thỏa mãn

y2 − y1 = x2 − x1 +

0 < x1 < x2 < 1

ta có:

1
1
−

x2 − 1 x1 − 1
15




 (1− x2)(1− x1) − 1
1
= (x2 − x1) 1−
=
(x
−
x
)

<0
2
1 
 (x2 − 1)(x1 − 1) 
 (x2 − 1)(x1 − 1) 

Với

0 < x1 < x2 < 1.

(0;1).

Vậy hàm số nghịch biến trên

Bài 9. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:

y = x + 3− 4 x − 1 + x + 8− 6 x − 1

Hướng dẫn giải

y = ( x − 1 − 2)2 + ( x − 1 − 3)2 =

x −1− 2 +

x −1− 3

hay
với

1≤ x < 5

: Hàm số nghịch biến;

5 ≤ x ≤ 10
x ≥ 10

: Hàm số không đổi;

: Hàm số đồng biến.
ABC

Bài 10. Cho tam giác
BM,CN

tương ứng là

tam giác

−2 x − 1 + 5

y = 1

2 x − 1 − 5

ABC

có

A(3;1)

2x − y − 1= 0

và

. Phương trình các đường trung tuyến

x − 1= 0

. Lập phương trình các cạnh của

.
Hướng dẫn giải

Trọng tâm

G(1;1)

Đường thẳng

BE

Từ đó tìm được

E

. Lấy
qua

C(1;5)

Phương trình các cạnh

E

đối xứng với

A

song song với

qua

CG

G

là:

thì

E(−1;1).

x = −1,

do đó

B(−1;−3),

.
AB,AC,BC

tương ứng là:

y = x − 2;y = 7 − 2x;y = 4x + 1.

Bài 11. Cho đường thẳng

( d)

có phương trình:
16

1
y = x+ 2
3

. Lập phương trình


đường thẳng

( d’)

( d)

đối xứng với

qua đường thẳng y

=x

.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình:
⇒ A(3;3)

Lấy

1
x + 2 = x ⇒ x = 3⇒ y = 3
3

là giao điểm của đường thẳng

A(0;2) ∈ (d)

y = −x + 2

(d*)

. Đường thẳng

(d)

qua

và đường thẳng

B(0;2)

và vng góc với

H

của

(d*)

và

(∆)

là điểm đối xứng của

Phương trình đường thẳng
Bài 12. Cho parabol
M(−1;3)

AB

có dạng:

là nghiệm của phương trình:

−x + 2 = x ⇒ x = 1⇒ y = 1⇒ H(1;1)

B'

(∆)

.

Hoành độ giao điểm

Gọi

(∆) : y = x.

sao cho

( d)

B

(d')

H,

qua
qua

suy ra

A(3;3)

và

.

B'(0;2).
B'(2;0)

là

y = 3x − 6.

(P) : y = x2 − 1

. Lập phương trình đường thẳng

( P)

cắt

tại hai điểm phân biệt

A,B

và

M

( d)

đi qua

là trung điểm của

.
Hướng dẫn giải

Đường thẳng

(d)

đi qua

Xét phương trình

Để

M

cắt

(P)

khơng song song với

Oy

có dạng

x2 − 1 = kx + k + 3 ⇔ x2 − kx − k − 4 = 0

∆ = (k + 2)2 + 12 > 0
⇒ (d)

M,

nên phương trình

tại hai điểm phân biệt

là trung điểm của

AB

thì

(1)

y = k(x + 1) + 3.

(1).

có hai nghiệm phân biệt

A,B

với

xA ,xB

là nghiệm của

xA + xB = 2xM ⇔ k = 2.(−1) = −2.

17

(1).


Bài 13. Cho tam giác

AH,BK

ABC

, cạnh

AB

có phương trình

y=

tương ứng có phương trình

trình các cạnh

AC,BC

3
2
y = x+
5
5

3
1
−2
22
x+ y =
x−
4
4
7
7

,

, các đường cao

. Hãy lập phương

.
Hướng dẫn giải

Tọa độ điểm

Do
BC

BC ⊥ AH

đi qua

B

B

là nghiệm của hệ:

nên phương trình cạnh
−2 =

nên ta có

BC

của tam giác

có dạng

ABC

tương ứng là tọa độ trung điểm các cạnh

. Tìm tọa độ các điểm
Hướng dẫn giải

a) Hai đồ thị cắt nhau tại
I

Trung điểm của

AB

A(1;1) B(−2;4).

M

,

có tọa độ

b) Phương trình đường thẳng

Tọa độ điểm

−4
x + b.
3

7
5
AC : y = x − .
2
2

M(x1;y1),N(x2;y2),P(x3;y3)

Bài 14. Cho

y=

16
−22
+ b⇒ b =
.
3
3

Tương tự ta có phương trình cạnh

BC,AC,AB

3
2

y = 5x + 5
⇒ B(−4;−2).

−

2
22
y =
x−

7
7

 1 5
I  − ; ÷.
 2 2

IM

là nghiệm của hệ

là

y = x + 3.

y = x + 3

2
y = x
18

A,B,C

.

 1− 13 7− 13 
M1 
;
÷
÷
2
2


y = x2

Bài 15. Cho các hàm số:

a) Xác định tọa độ giao điểm
trung điểm

I

của đoạn thẳng

b) Tìm tọa độ điểm

M

và

y = −x + 2

A,B

AB

và

 1+ 13 7+ 13 
M 2 
;
÷
÷.
2
2



của đồ thị những hàm số đã cho và tọa độ

, biết điểm

A

có hoành độ dương.

thuộc đồ thị hàm số sao cho tam giác

AMB

cân tại

M

.

(Vòng 1, THPT Chuyên Đại học Sư Phạm, năm học 2007 – 2008)
Bài 16. Cho parabol
a) Chứng minh rằng
b) Tìm

m

(P): y = −x2

( d)

ln cắt

để độ dài đoạn

c) Chứng minh rằng

AOB

AB

và đường thẳng

( P)

(d) : y = (m− 2)x − 1

tại hai điểm phân biệt

A,B

.

là nhỏ nhất.

là tam giác vng.
Hướng dẫn giải

a) Phương trình
b)

x2 + (m− 2)x − 1= 0

ln có hai nghiệm phân biệt.

A(x1,(m− 2)x1 − 1);B(x2,(m− 2)x2 − 1).

AB2 = (x2 − x1)2 + (m− 2)2.(x2 − x1)2 = (m− 2)2 + 1 (x2 − x1)2
= (m− 2)2 + 1 (x1 + x2 )2 − 4x1x2  = (m− 2)2 + 1 (m− 2)2 + 4 ≥ 4

Suy ra min
c)

AB = 2

khi

m= 2

A(x1;−x12),B(x2;−x22 )
OB: y = −x2x

. Ta có:

.

nên phương tình đường thẳng

(−x1)(−x2 ) = x1x2 = −1

Bài 17. Cho hai đường thẳng:
với

m

nên

OA : y = −x1x

và

OA ⊥ OB.

(d1) : y = (2m2 + 1)x + 2m− 1 (d2 ) : y = m2x + m− 2

,

là tham số
19


a) Tìm tọa độ giao điểm
b) Khi

m

I

của

(d1),(d2 )

thay đổi, chứng minh điểm

I

m
theo .

ln thuộc một đường thẳng cố định.

(Vịng 1, THPT Chuyên Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn giải
I

a) Tọa độ giao điểm của

(d1), (d2)

là

 −m− 1 −3m2 + m− 2 
I 2
,
÷.
m2 + 1 
 m +1

b) Ta có:
y1 + x1 =

−3(m2 + 1)
= −3 ⇔ I
m2 + 1

Bài 18. Cho parabol

thuộc đường thẳng có phương trình

(P) : y = x2

và đường thẳng
m

tham số. Tìm tất cả các giá trị của
hoành độ

x1,x2

. Với giá trị nào của

m

giác vng có độ dài cạnh huyền bằng

để

( d)

cắt

y = −x − 3.

(d): y = mx − m3 + 3

( P)

, với

m

là

tại hai điểm phân biệt có

thì là độ dài các cạnh góc vng của tam
5

2

?

(Vịng 1, THPT Chun Đại học Sư phạm năm học 2011 – 2012)
Hướng dẫn giải
Xét phương trình:
(d)

cắt

P

x2 = mx − m2 + 3 ⇔ x2 − mx + m2 − 3 = 0 (1).

tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

(1)

có hai nghiệm phân biệt:

⇔ −2 < m < 2.

Theo định lí Vi-ét ta có

x1 + x2 = m,x1.x2 = m2 − 3.

Theo yêu cầu của đề bài ta phải có

x1,x2 > 0

20

và

5
x12 + x22 = .
2


Do đó
Bài 19. Cho điểm

A ( −2;4)


m > 0
 2
7
⇔ m=
.
m − 3
2

5
(x1 + x2 )2 − 2x1x2 =

2

. Tìm điểm

B

thuộc parabol sao cho tam giác

OAB

A

vuông tại .
Hướng dẫn giải
Phương trình cạnh

Phương trình cạnh

Tọa độ điểm

OA

AB

là

là

y = −2x.

1
y = x + 5.
2

 5 25
B ; ÷.
2 4 

Bài 20. a) Cho hàm số

y = x2 − 2x + m2 − 6m+ 13

. Tìm các điểm trên trục

Oy

mà

đồ thị hàm số không thể đi qua.
b) Chứng minh rằng đường thẳng
cắt parabol có phương trình
điểm

I

của đoạn thẳng

AB

( d)

có phương trình

y = x2 − x − 7

y = x + m2 + 2m+ 2

tại hai điểm phân biệt

A,B

luôn

và trung

thuộc một đường thẳng cố định.
Hướng dẫn giải

M(0;b)

thuộc

Oy

mà đồ thị hàm số có thể đi qua
⇔ b = m2 − 6m+ 13 = (m− 3)2 + 4 ≥ 4.

Vậy các điểm thuộc

Oy

có tung độ nhỏ hơn 4 thì đồ thị hàm số khơng thể đi

qua.
b) Phương trình hồnh độ giao điểm là

x2 − 2x − m2 − 2m− 9 = 0.
21


∆ ' = m2 + 2m+ 10 = (m+ 1)2 + 9 > 0

parapol
I

(P)

với mọi

AB

xA + xB
= 1.
2

x1 =

thì

x = 1.

I

Vậy điểm thuộc đường thẳng
Bài 21. Cho parabol

(P) : y = x2

a) Chứng minh rằng với mọi

do đó đường thẳng luôn cắt

A,B.

tại hai điểm phân biệt

là trung điểm của

m,

và đường thẳng

k

( d)

đi qua

( d)

thì đường thẳng

A ( 1;2)

ln cắt

có hệ số góc

( P)

k

tại hai điểm

phân biệt.
b) Với

k=2

, chứng minh rằng

( d)

cắt

( P)

tại hai điểm nhận A làm trung điểm.

(THPT Chuyên – tỉnh Hà Tây (cũ), năm học 2007 - 2008)
Hướng dẫn giải
a)

(d)

có phương trình

Phương trình

y = kx + 2 − k.

x2 − kx − 2 + k = 0

có

∆ = (k − 2)2 + 4 > 0

với mọi

k

nên ln có hai

nghiệm biệt.
b) Khi
(d)

cắt

k = 2, d: y = 2x.
(P)

tại hai điểm

O(0;0)

và

Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ
điểm của

BC

Oxy

. Phương trình cạnh

2x + 6y + 3 = 0

M(2;4)

A

là trung điểm của

cho tam giác

AB,AC

. Tìm tọa độ các điểm

nên

ABC

tương ứng là

A,B,C

. Gọi

OM.

M ( −1;1)

x+ y− 2= 0

là trung

và

.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy

 15 −7 
A  ; ÷.
4 4

Gọi

N

là trung điểm
22

AC

thì

MN

song song với

AB

phương


trình đường thẳng

MN

là:

 3 − 3
x + y = 0 ⇒ N  ; ÷.
4 4 

(P) : y =

Bài 23. Cho parabol
qua

M

có hệ số góc
k

a) Tìm
b) Tìm
điểm

( d)

để

k

để

A,B

và

( d)

−1 2
x
2

và điểm

M(0;2)

. Gọi

( d)

là đường thẳng đi

k

( P)

cắt

tiếp xúc nhau.

( P)

A,B

tại hai điểm

phân biệt thỏa mãn

AB = 12

và các

có hồnh độ là các số dương.

(THPT Chuyên Đại học Sư phạm TP Hồ Chí minh, năm học 2008 – 2009)
Hướng dẫn giải
a)

(d)

(d)

qua

M

và có hệ số góc k:

tiếp xúc với

(P)

y = kx + 2.

khi phương trình

x2 + 2kx + 4 = 0(1)

có nghiệm kép

⇔ ∆ ' = k2 − 4 = 0 ⇔ k = ±2.

b)

(d)

cắt

(P)

tại hai điểm

nghiệm dương phân biệt

A,B

phân biệt có hồnh độ dương

⇔ (1)

có hai

⇔ k < −2.

A(x1;kx1 + 2),B(x2;kx2 + 2)

với

x1 + x2 = −2k,x1x2 = 4.

AB2 = (x2 − x1)2 + k2(x2 − x1)2 = (k2 + 1)(x2 − x1)2

= (k2 + 1) (x2 + x1)2 − 4x1x2  = (k2 + 1)(4k2 − 16) = 144
⇒ k2 = −5

(loại) hoặc

k2 = 8 ⇒ k = ±2 2.

Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ
parabol

Oxy

Vậy

k = −2 2.

cho đường thẳng

(P) : y = (k − 1)x2,k > 1
23

(d) : y = 2x − k2 + 2k − 1

và


a) Tìm
A,B

k

( d)

để

( P)

cắt

nằm ở bên phải trục

b) Gọi

x1,x2

tại hai điểm phân biệt
Oy

A,B

. Chứng minh rằng khi đó

.

là hồnh độ các điểm

A,B

M=

. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4
1
+
.
x1 + x2 x1.x2

Hướng dẫn giải
a) Phương trình

(k − 1)x2 − 2x + (k − 1)2 = 0

∆ = −1− (k − 1)2 > 0 ⇔ k < 2.

A(x1;y1),B(x2;y2 )

Do

x1 > 0,x2 > 0

M=

b)

A,B

nên

2

>0
k −1

x1x2 = k − 1 > 0

và

ở bên phải trục

Oy.

4
1
1
+
= 2(k − 1) +
≥ 2 2.
x1 + x2 x1x2
k −1

Suy ra Min

M=2 2

k = 1+

khi

Bài 25. Cho hàm số
độ lần lượt là

−1

y = x2

1
2

b) Vẽ đồ thị
AMB

( P)

.

có đồ thị

( P)

và hai điểm

A,B

thuộc

AB

.

và tìm tọa độ điểm

M

thuộc cung

AB

của

có diện tích lớn nhất.

A(−1;1),B(2;4)

có hồnh

2

Hướng dẫn giải
a)

( P)

và .

a) Viết phương trình đường thẳng

giác

1< k < 2.

Kết hợp với điều kiện ta có

x1 + x2 =

thì

có hai nghiệm phân biệt khi

và phương trình đường thẳng
24

AB

là

y = x + 2.

( P)

sao cho tam


b) Gọi
(d)

(d) : y = x + m

tiếp xúc với

Khi đó

(P)

 1 1
M ; ÷
 2 4

là đường thẳng song song với
x = x+ m

AB.

2

khi phương trình

là tiếp điểm của

(d)

và

(P)

có nghiệm kép

thì tam giác

AMB

1
⇔ m= − .
4

có diện tích lớn

nhất.
Bài 26. Trong mặt phẳng tọa độ
a) Với giá trị nào của

k

b) Tìm

, cho đường thẳng

thì đường thẳng

Khi đó hãy tĩnh góc tạo bởi
k

Oxy

( d)

và tịa

( d)

Ox

( d) : 2kx + ( k − 1) y = 2

song song với đường thẳng

y = 3x

.

để khoảng cách từ gốc tọa độ đến

( d)

là lớn nhất.

(THPT Chuyên – TP. Hà Nội, năm học 2004-2005)
Hướng dẫn giải
a) Nếu

Nếu

k =1

k≠1

thì

(d)

y=

thì

trở thành

x=1

khơng song song với đường thẳng

−2k
2
x+
,
k −1
k −1
 −2k
 k − 1 = 3
⇒ k = 3 2− 3 .

2

≠0
 k − 1

(

(d)

song song với

Góc nhọn tạo bởi

y = 3x.

y = 3x
(d)

b) Khoảng cách từ

O

khi

với tia

đến

(

Ox

(d)

là

α

thì tan

lớn nhất là

)

5

α = 3 ⇔ α = 600.

khi

y = m2 − 3 3m+ 1 x

Bài 27. Cho hàm số

25

)

. Tìm

1
k= .
5

m

để đồ thị hàm số đi qua điểm