30 đề GK2 toán 10
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.07 MB, 45 trang )
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
®Ị sè 01
Thời gian: 90 phút
Câu 1. (3 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 4 x 21 0
b)
2 x 1 x2 4
x3
0
Câu 2. (2 điểm) Cho tam thức f ( x) x 2 6 x m2 8m
a) Tìm m để f ( x) 0 có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để bất phương trình f ( x) 0 vô nghiệm
Câu 3. (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB 3cm; AC 4cm; A 600
a) Tính BC
b) Hạ BH vng góc AC tại H. Tính BH
Câu 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 1;9 ; B 3;5 và đường thẳng (d) có
phương trình x 3 y 6 0 .
a) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB
b) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và vng góc với (d)
c) Gọi I là giao của và (d). Xác định tọa độ C sao cho I là trung điểm AC. Tìm tọa độ M trên
(d) sao cho MA MB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5. (1 điểm) Chứng minh rằng x
1
3
ta luôn có 2 x 2
3
2x 3
2
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
®Ị sè 02
Câu 1.
Giải các bất phương trình sau:
1. x 2 3x 5 0
2.
Câu 2.
Thời gian: 90 phút
x
2
1
2x 1 x 3
3.
2x 3 x 4
4.
2x 3 x 2x 6
Cho biểu thức f ( x) x 2 2(2m 1) x m2 3m 7 . Tìm m để
1. Phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12 x22 5
2. Bất phương trình f ( x) 0 có nghiệm với mọi x R
Câu 3.
1. Cho tam giác ABC có A 600 ; AB 5cm; AC 8cm .Tính BC và chiều cao AH và R; r
2. Chứng minh rằng: S
Câu 4.
a 2 sin B.sin C
2sin( B C )
x 1 2t
Trong mp tọa độ Oxy cho A 2; 4 và B(3; 1) và d :
y 2t
1. Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua 2 điểm A và B. Xác định hệ số góc của d1
2. Xác định khoảng cách từ A đến d và tính góc giữa d và d1
3. Viết phương trình đường thẳng 1 song song với d và cách A một khoảng bằng
Câu 5.
5
Cho 3 số dương x; y; z có tổng bằng 2019. Tìm GTNN của biểu thức
P
x3 y 3 z 3
yz xz xy
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
®Ị sè 03
Thời gian: 90 phút
Câu 1. (2 điểm) Cho bất phương trình mx2 5mx 4 0 (1)
a) Giải bất phương trình (1) với m 1
b) Tìm m để bất phương trình (1) đúng với x
Câu 2. (3 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau
a) x 2 2 x 8 x 2
b)
x 1 x 2 x2 3x 4
c)
x2 x 12 7 x
x 1 y 1 4
Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình sau:
x y 8
Câu 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M 2; 3 và hai đường thẳng
x 1 2t
d1 :
y 1 t
d2 : x y 1 0
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M và vng góc với d 2
b) Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ I đến d 2 bằng
1
2
3 3
; và đường thẳng
Câu 5. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M
2 2
(d ) : x 3. y 3 0 . Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc đường thẳng d sao cho MAB
vuông tại M và MAB 600 , biết hoành độ điểm A nhỏ hơn điểm B
Câu 6. (1 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn abc 1 .
Chứng minh:
1
1
1
1
3
3
3
3
3
1 a b 1 b c 1 c a3
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 04
Câu 1. (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
m 2 x2 2 m 3 x m 1 0
Câu 2. (1 điểm) Tìm m để f ( x) m 1 x2 2 m 1 x 3 m 2 0x
Câu 3. (3 điểm) Giải các bất phương trình sau
a)
x2 72x 4x 3
b) x 2 5 x 6 x 2 6 x 5
c) x 10 x2 x. 10 x2 7
Câu 4. (1 điểm) Chứng minh đẳng thức sau:
sin x
cos x
1 cot 2 x
sin x cos x sin x cos x 1 cot 2 x
Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC có AB 5; AC 8; A 600
a) Tính BC và số đo góc B
b) Lấy D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính BD và diện tích hình bình hành ABCD.
Câu 6. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : x 2 y 2 0 và điểm
A 1; 2 ; B 3; 4 .
a) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song
b) Tìm tọa độ B’ là điểm đối xứng của B qua
Câu 7. (1 điểm) Cho điểm A 1;0 , B 1; 2 , C 3; 4 . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC. Tìm tọa độ điểm N sao cho C, O, N thẳng hàng và AN 3 NO đạt giá trị nhỏ
nhất.
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 05
Câu 1. (3 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 x 2 4 3 0
b) x 2 3x x 3
5x2 4 x 3 2 x
c)
Câu 2. (1 điểm) Tìm m để phương trình sau đúng với mọi x thuộc
x2 2 m 1 x 9m 5 0
Câu 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC có A 4;5 ; B 1;1 và điểm I 0; 2 là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác.
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Tính cosin góc tạo bởi đường thẳng AB và AI
c) Tính khoảng cách từ điểm I đến AB và viết phương trình đường thẳng BC
Câu 4. (1,5 điểm) Một xí nghiệm sản xuất 2 loại sản phẩm I và II. Để sản xuất 1 sản phẩm loại I
cần 2kg nguyên liệu A và 1 kg nguyên liệu B. Để sản xuất 1 sản phẩm loại II cần 1 kg
nguyên liệu A và 2 kg nguyên liệu B. Lượng nguyên liệu dự trữ loại A và B hiện có lần lượt
30kg và 24kg. Biết lợi nhuận tọa ra 1 sản phẩm loại I là 8 triệu, 1 sản phẩm loại II là 6 triệu.
Tìm phương án sản xuất lợi nhuận cao nhất
Câu 5.
(1,5 điểm) Tìm min, max ( nếu có ) của hàm số:
y 2x 2 3 2x
; x 1;1,5
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 06
5x 7 3 x
3
Câu 1. Giải hệ bất phương trình:
1 5 x 3x 4
13
Câu 2. Giải các bất phương trình sau
1)
3)
x2 4 x 3
1 x
3 2x
x 5 3x 4 4 x 1
2) 21 23x x 2 x 4
4)
x2 9
x2
x2
5 x
x2
Câu 3. Tìm m để TXĐ của hàm số sau là
: f ( x) m 2 x 2 2 m 2 x 5m 10
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao
CH : x y 1 0 , phân giác trong BN : 2 x y 5 0 . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện
tích tam giác ABC.
Câu 5. Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn
1
1
1
1
3
1 a 1 b 1 c 1 d
Chứng minh 81abcd 1
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 07
Câu 1. (2,5 điểm) Cho bất phương trình: m 2 x2 2 m 2 x 2m 1 0 (1)
a) Giải bất phương trình với m 1
b) Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm là x
Câu 2. (2,5 điểm) Giải bất phương trình và hệ bất phương trình
a)
2 x2 7 x 7
1
x 2 3x 10
4x2 5x 5 0
b)
2
2
1 x 4 x 12 x 5 0
Câu 3. (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5, B 1200
a) Tính AC và độ dài trung tuyến AM
b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp của ABC
Câu 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : x 2 y 2 0 và hai điểm
A 1; 2 ; B 3; 4
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và vng góc
b) Tìm tọa độ B’ đối xứng với B qua
Câu 5. (1 điểm) Giải phương trình 2 x2 6 x 5 x 2 x 1 10 0
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
®Ị sè 08
Câu 1. (1 điểm) Tìm TXĐ của hàm số
Thời gian: 90 phút
a) y
1 x 1 x
4x
b) y x 2015
2016
8 2 x x2
Câu 2. (1 điểm)
Cho phương trình x2 2 m 1 x 2m 10 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn
x1 x2
16
x2 x1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 mà P x1 x2 x12 x22 đạt GTLN
Câu 3. (1 điểm) Giải các phương trình sau
a)
2x 3 x 3
b)
3
2 x 1
x 1
Câu 4. (1 điểm) Giải các bất phương trình sau
a)
x2 3x 10 2 x
b)
3
x 1
x3
x y xy 11
Câu 5. Giải hệ phương trình: 2
2
x y 3 x y 28
Câu 6. Giải hệ bất phương trình:
a)
x2 5x 6 x 1
x
x2 5x 6
b)
2
1
2x 1
2
x x 1 x 1 x 1
2
Câu 7. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ABC có đỉnh C 4; 4 và phương trình
đường thẳng AB : 3x 4 y 7 0
1) Tính độ dài đường cao CH của tam giác ABC
2) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC biết đường trung tuyến AM thuộc đường thẳng
có phương trình 8x y 7 0
Câu 8. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
a : 2x 3 y 7 0
b : x 5 y 23 0
1) Tính góc giữa hai đường thẳng a và b
2) Gọi C là giao điểm của a và b. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 1; 6 mà cắt a
taijA, cắt b tại B và đồng thời ABC cân tại A
Câu 9. (1 điểm) Cho ABC : AB 3cm; AC 2cm; A 300 . Tính độ dài BC và bán kính
đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Câu 10.
(1 điểm)
1) Giải phương trình:
x3
xx
1 1 1
2
2) Cho a, b, c 0 . Chứng minh a3 b3 c3 a b c
a b c
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 09
Câu 1. (2 điểm) Giải phương trình và hệ bất phương trình sau
a)
2x y 3 0
b)
x 3y 2 0
2x 3
x2
1
x
2
3
Câu 2. (3 điểm) Giải các bất phương trình sau
a) 2 x 1 5 x 3 2
2
b)
3
1
x2 4 x
c)
x 2 1 x3 1
0
x2 x 1
Câu 3. (1 điểm) Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vơ nghiệm
f ( x) m 1 x2 2 3 2m x m 1 0
Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các
đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4 x 3y – 4 0 ; x – y –1 0 . Phân giác trong
của góc A nằm trên đường thẳng x 2 y – 6 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Câu 5. (1 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh:
a b c ab bc ac
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 10
Câu 1. (4 điểm) Giải các bất phương trình sau
a) 5 2 x 7 x 2 3x 4 0
c) 2 x 1 4 x2 4 x 5
b)
4 12 x
0
x 3x 2
2
d) x 2 1 x 2 x
x2 2 x 3 0
Câu 2. (1 điểm) Giải hệ bất phương trình:
x2 4 x 3
1
x
2 x 3
Câu 3. (2 điểm)
a) Tìm m để phương trình x 2 4mx m 3 0 có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để f ( x) m2 1 x 2 m 1 x m m 2 0 với x
Câu 4. (1 điểm) Cho tam giác ABC có BC 7; AC 6; C 600 . Tính AB và diện tích tam giác
ABC
Câu 5. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có: A 2;3 ; B 1; 1 ; C 2;1
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh BC
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc (d’): 3x 2 y 1 0
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 11
Câu 1. (3 điểm) Giải bất phương trình sau:
b) 3x 1 x 2
a) 2 x2 7 x 4 0
c)
3x 8
1
5 x
Câu 2. (2 điểm) Cho f ( x) 4 x2 2 1 m x m2 3m 1
a) Tìm m để phương trình f ( x) 0 có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để hàm số y
f ( x) có tập xác định là
Câu 3. (2 điểm)
a) Giải bất phương trình
1 3x 2
x 2 5x 1
5x 1
1
1
b) Cho a, b 0 và a b 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 1 2
1 2
a
b
Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4)
a) Chứng minh: ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác ABC.
b) Tính cosin góc A của tam giác ABC
c) Tính chu vi tam giác ABC.
d) Tính diện tích tam giác ABC
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 12
Câu 1. (1 điểm) Xét dấu của biểu thức: f ( x) 3x 1 x 2 x 6
Câu 2. (3 điểm) Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình
3x 2 7 x 2 0
b) 3x 1 1 2 x
4 2 3
a) 4x 5 2
c)
2
1
x 4x 4 2x 3
2
Câu 3. (2 điểm) Cho phương trình 3x2 3 m 1 x 4m2 5m 6 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Câu 4. (3 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4)
a) Tìm toạ độ trực tâm H
b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác
Câu 5. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( nếu có) :
y 3x 2 1 x 4 ;x 0;1
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 13
Câu 1. (3 điểm) Giải phương trình và bất phương trình
a) x 2 2 x 3 x 2 2 x 3
b)
x2 x 12 7 x
c)
3x 1
3
x3
Câu 2. (2 điểm) Cho phương trình: x 2 6mx 2 2m 9m2 0 . Tìm m để phương trình có hai
nghiệm dương phân biệt
x 2 3x 4 0
Câu 3. (2 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm:
x 2m 1 0
Câu 4. (3 điểm) Cho 3 điểm A 4; 1 , B 0; 2 , C 3; 1
a) Viết pt các đường thẳng AB, BC, CA
b) Gọi M là trung điểm của BC. Viết pt tham số của đường thẳng AM
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và tâm đường tròn ngoại tiếp
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 14
Câu 1. (4 điểm) Giải các bất phương trình
4 x
0
x 8 x 12
a) 5 x x 2 3x 4 0
b)
c) 4 x 2 x 10 4 x 2 4 x 5
d) x 2 1 x 2 x 5
2
Câu 2. (3 điểm)
a) Tim m để phương trình mx 2 2mx m 1 0 có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để m2 1 x 1 m x m m2 0 vô nghiệm.
Câu 3. (2 điểm) Cho tam giác ABC có đỉnh A (2; 2)
a) Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có
phương trình:
9 x 3 y 4 0 và x y 2 0
b) Lập phương trình đường thẳng qua A và vng góc AC.
Câu 4. (1 điểm) Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a 2 b2 c 2 3 .
Chứng minh rằng
a 2b b 2 c c 2 a 3
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 15
A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng cho mỗi câu sau:
Câu 1.
Cho 2 đường thẳng và ' lần lượt có phương trình là x 2 y 1 0
và 3x y 6 0 . Góc giữa 2 đường thẳng và ' là:
A. 600
Câu 2.
B. 450
Tập xác định của hàm số y
A.
0 x 1
B.
x
1 x
0 x 1
C. 00
D. 1350
C. 0 x 1
D.
là
0 x 1
Tập nghiệm của bất phương trình
Câu 3.
3x 2 2 x 5
x 1
5
5
3
A. 1;1 1;
B. 1;
3
2
0 là
5
D. 1;
3
5
C. 1;1 1;
3
Giá trị của m để bất phương trình m 2 x2 2 x 2 0 luôn đúng với mọi
Câu 4.
5
A. ; 2
2
5
C. ;
2
B. 2;
xR
3
D. 1; 2;
2
B. PHẦN TỰ LUẬN: (8 điểm):
(4 điểm) Giải các bất phương trình sau:
Câu 5.
1) x2 2 x x 2 0
2)
2 x2 5x 3 x 1
(1 điểm)
Câu 6.
2
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x 4 x 3 m 0 với x 1
(2 điểm) Cho 2 điểm A 1;1 , B 3;7 và đường thẳng d có phương trình:
Câu 7.
x 2y 1 0
1) Xác đinh tọa độ điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông tại A.
2) Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABD bằng 50
(1điểm) Cho
Câu 8.
b
1
b và 1. Chứng minh rằng
2
a
2b3 1
3
4a b a
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 16
Bài 1. (3 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a)
3 x 2 x 0
x 1
b)
3x 2
1
x 1 x 2
c) x 2 2 x 3 x
Bài 2. (1 điểm) Tìm điều kiện của m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
m
2
m 1 x 5m m 2 2 x 3m 1
Bài 3. (3 điểm)
2 x 7 8 x 1
a) Tìm điều kiện của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
mx 5 2 x
là
2 x 1 m 0
b) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
mx 2m 1 0
mx 9 3 x m 2
c) Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình sau vơ nghiệm.
4 x 1 x 6
Bài 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) và hai đường thẳng
d1 : 3 x y 5 0, d2 : x y 4 0 .
a) Lập phương trình đường thẳng qua M và vng góc với d1
b) Lập phương trình đường thẳng qua M và cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho 2MA –3MB 0 .
Bài 5. (1 điểm) Cho a, b, c 1;3 và thoả mãn điều kiện a b c 6 .
Tìm giá trị lớn nhất của P a 2 b2 c 2
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 17
Bài 1. Lập bảng xét dấu của hàm số y
3 2x
. Từ đó giải bất phương trình
2 x 5x 7
2
3 2x
0
2 x 5x 7
2
x2 7 x 6 0
Bài 2. Giải hệ bất phương trình sau:
2x 1 3
Bài 3. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a)
x2
2
x 1
b)
x2 7 x 12 x 1
Bài 4. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau vơ nghiệm:
m 2 4m 5 x 2 2 m 1 x 2 0
Bài 5. Tìm m để bất phương trình
x 5;3
x 5 3 x x2 2 x m có nghiệm đúng với mọi
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
®Ị sè 01
Thời gian: 90 phút
Câu 1. (3 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a) x 2 4 x 21 0
b)
2 x 1 x2 4
x3
0
Hướng dẫn
a) Cách 1:
x2 4 x 21 0 x 7 x 3 0
Bảng xét dấu:
3
x
x7
x3
x 7 x 3
+
7
0
0
+
+
+
Dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình là: x 3;7
Cách 2: Dùng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai:
Ta có: ' 4 21 25 0 phương trình có hai nghiệm x1 7; x2 3
Trục xét dấu:
-
+
+
-3
7
x2 4 x 21 0 x 3;7
b)
2 x 1 x2 4
x3
0
Điều kiện: x 3
2 x 1 x2 4
x3
0
2 x 1 x 2 x 2
x3
0
Các em kẻ bảng xét dấu như câu a.
1
Suy ra nghiệm của bất phương trình là: x ; 3 2; 2;
2
Câu 2. (2 điểm) Cho tam thức f ( x) x 2 6 x m2 8m
a) Tìm m để f ( x) 0 có hai nghiệm trái dấu
b) Tìm m để bất phương trình f ( x) 0 vô nghiệm
+
Hướng dẫn
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi:
a.c 0 1. m2 8m 0 m m 8 0 m 8;0
b) Để f ( x) 0 vơ nghiệm thì f ( x) 0 x
Vì a 1 0 nên để f ( x) 0 x
thì :
' 0 9 m2 8m 0 1 m m 9 0 m ; 9 1;
Câu 3. (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB 3cm; AC 4cm; A 600
a) Tính BC
b) Hạ BH vng góc AC tại H. Tính BH
Hướng dẫn
A
600
H
3 cm
4 cm
C
B
a) Áp dụng định lí hàm số cos cho tam giác ABC ta có:
BC 2 AC 2 AB 2 2 AC. AB.cos A
BC 2 42 32 2.4.3.cos 600 13
BC 13 cm
b) Ta có:
sin A
BH
3 3
BH AB.sin A 3.sin 600
cm
AB
2
Câu 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 1;9 ; B 3;5 và đường thẳng (d) có
phương trình x 3 y 6 0 .
a) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB
b) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và vng góc với (d)
c) Gọi I là giao của và (d). Xác định tọa độ C sao cho I là trung điểm AC. Tìm tọa độ M trên
(d) sao cho MA MB có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn
A
B
d
I
M
M0
C
u AB 2; 4 2 1; 2
a) Đường thẳng AB có: AB
Qua A 1;9
x 1 t
Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
; t
y 9 2t
b)
Cách 1: Đường thẳng d có dạng: 3x y c 0
Vì A 1;9 3.1 9 c 0 c 12
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng : 3x y 12 0
Cách 2: Ta có: nd 1; 3 ud 3;1
Vì đường thẳng d n ud 3;1
Phương trình đường thẳng qua A 1;9 và có vtpt n 3;1 là:
3 x 1 1. y 9 0 3x y 12 0
c) Vì I d tọa độ điểm I x; y là nghiệm của hệ phương trình:
x 3y 6 0
x 3
I 3;3
3x y 12 0
y 3
Vì I là trung điểm của AC nên tọa độ điểm C là:
xc 2 xI xA 2.3 1 5
C 5; 3
yc 2 yI y A 2.3 9 3
Thay tọa độ điểm A 1;9 ; B 3;5 vào đường thẳng d: x 3 y 6 0 ta được:
PA 1 3.9 6 20
PA .PB 0 A, B nằm cùng phía với đường thẳng d.
PB 3 3.5 6 6
Suy ra MA MB MC MB BC
Dấu bằng xảy ra khi M M 0 BC d
Phương trình đường thẳng BC là:
x5 y3
4 x y 17 0
35 53
Tọa độ điểm M x; y là nghiệm của hệ phương trình:
x 45
45 41
4 x y 17 0
13
M ;
13 13
x 3y 6 0
y 41
13
Câu 5. (1 điểm) Chứng minh rằng x
1
3
ta luôn có 2 x 2
3
2x 3
2
Hướng dẫn
Biến đổi đưa về 2 x 3
1
2 rồi chứng minh bằng Cosi.
2x 3
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
®Ị sè 02
Câu 1.
Thời gian: 90 phút
Giải các bất phương trình sau:
1. x 2 3x 5 0
2.
x
2
1
2x 1 x 3
3.
2x 3 x 4
4.
2x 3 x 2x 6
Hướng dẫn
1. Các em có thể dùng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai hoặc đưa về dạng tích
3 29 3 29
;
Đáp số: x ;
2
2
2. Điều kiện: x 3; x
1
2
x
2
x
2
1
1 0
2x 1 x 3
2x 1 x 3
x x 3 2 2 x 1 2 x 1 x 3
x2 8x 5
0
0
2 x 1 x 3
2 x 1 x 3
x4
11 11 4 x
0
2 x 1 x 3
1
Kẻ bảng xét dấu , suy ra nghiệm của bất phương trình là: x 4 11; 3 4 11;
2
3. Điều kiện: x 4 0 x 4
Cách 1: Bình phương hai vế
2 x 3 2 x 4 2 2 x 3 2 x 4 2 0
2 x 3 x 4 2 x 3 x 4 0
7
x 1 3x 7 0 x ;1
3
7
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm bất phương trình x ;1
3
Cách 2: Dùng tính chất A B B A B
2x 3 x 4
2x 3 x 4
2x 3 x 4
x 7
7
3 x ;1
3
x 1
7
Kết hợp với điều kiện suy ra nghiệm bất phương trình x ;1
3
4. Điều kiện: x
3
2
2x 3 x
2 x 3 0
2x 3 x
1 2 2x 3 x
x 3 .
0 *
2x 3 x
2x 3 x 2x 6
x 3 0
3
TH1: x 2 ;3
2x 3 x 0
Nên * 1 2 2 x 3 x 0 1 2 x 2 2 x 3
Điều kiện: 1 2 x 0 x
1
3
x ( vì x )
4
2
TH2: x 3 thay vào (*) được 0 0 (thỏa mãn) x 3 là nghiệm bất phương trình
x 3 0
TH3: x 3
2x 3
x0
Nên * 1 2 2 x 3 x 0 1 2 x 2 2 x 3 (luôn đúng với mọi x 3 )
Vì vế trái âm, vế phải dương
Vậy nghiệm của bất phương trình là: x 3
Câu 2.
Cho biểu thức f ( x) x 2 2(2m 1) x m2 3m 7 . Tìm m để
1. Phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12 x22 5
2. Bất phương trình f ( x) 0 có nghiệm với mọi x R
Hướng dẫn
1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:
m 3
' 0 2m 1 m 3m 7 0 3m 7 m 6 0
2
m
3
2
2
2
x1 x2 2 2m 1
Áp dụng định lí Vi- Ét ta có:
2
x1.x2 m 3m 7
x12 x22 5 x1 x2 2 x1.x2 5 4 2m 1 2 m 2 3m 7 5
2
2
11 331 11 331
14m2 22m 15 0 m
;
14
14
2 11 331
Kết hợp điều kiện suy ra m ;
14
3
2. Để f ( x) 0 x
2
' 0 3m2 7m 6 0 m 3;
3
Câu 3.
1. Cho tam giác ABC có A 600 ; AB 5cm; AC 8cm .Tính BC và chiều cao AH và R; r
a 2 sin B.sin C
2. Chứng minh rằng: S
2sin( B C )
Hướng dẫn
1. Áp dụng định lí hàm số cos cho tam giác ABC:
BC 2 AB 2 AC 2 2 AB. AC.cos A 52 82 2.5.8.cos 600 49 BC 7cm
Ta có:
SABC
p
1
1
AB. AC.sin A .5.8.sin 600 10 3cm2
2
2
AB BC AC 5 7 8
10cm ( với p là nửa chu vi)
2
2
Mà SABC
abc
5.7.8
7 3
R
cm
4SABC 4.10 3
3
abc
p.r
4R
r SABC 10 3 3cm
p
10
2. Áp dụng định lí hàm số sin cho tam giác ABC ta có:
a
b
c
a
b
c
2 R suy ra sin A
; sin B
; sin C
sin A sin B sin C
2R
2R
2R
a 2 .b.c a 2 .b.c
b c
.
a sin B.sin C
2 R 2 R 4 R 2 4 R 2 abc S (điều phải chứng minh).
Mà
2sin( B C ) 2sin(1800 A) 2sin A 2a
4R
2R
2
a2 .
Câu 4.
x 1 2t
Trong mp tọa độ Oxy cho A 2; 4 và B(3; 1) và d :
y 2t
1. Viết phương trình đường thẳng d1 đi qua 2 điểm A và B. Xác định hệ số góc của d1
2. Xác định khoảng cách từ A đến d và tính góc giữa d và d1
3. Viết phương trình đường thẳng 1 song song với d và cách A một khoảng bằng
5
Hướng dẫn
1. Để viết phương trình đường thẳng AB, các em có thể trình bày theo các cách sau đây
Cách 1: Gọi đường thẳng đi qua 2 điểm A, B là y ax b d1
Thay tọa độ điểm A và B vào đường thẳng d1 ta được:
2a b 4
3a b 1
a 5
AB : y 5 x 14
b 14
Hệ số góc của đường thẳng d1 là a 5
Cách 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là:
x2 y4
x2 y4
y 5 x 14 .
3 2 1 4
1
5
Hệ số góc của đường thẳng d1 là a 5 .
x 1 2t
2. Đường thẳng d :
có vtcp u 2; 1 n 1; 2 , đi qua điểm M 1; 2
y 2t
Nên phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là:
1. x 1 2. y 2 0 x 2 y 5 0
Khoảng cách từ điểm A 2; 4 đến đường thẳng (d) là: h
2 2.4 5
5
12 22
Vecto pháp tuyến của d1 là n1 5;1 , của (d) là n 1; 2 nên góc tạo bởi d1 và (d) là:
cos
5.1 2.1
7
520
2
2
2
2
130
5 1 . 1 2
3. Đường thẳng 1 song song (d) nên 1 có dạng: x 2 y c 0 ; c 5
Vì khoảng cách từ A 2; 4 đến 1 là
5
2 2.4 c
10 c 5
12 22
5 nên ta có:
c 5( L)
c 15(tm)
Vậy phương trình đường thẳng 1 : x 2 y 15 0
Câu 5.
Cho 3 số dương x; y; z có tổng bằng 2019. Tìm GTNN của biểu thức
P
x3 y 3 z 3
yz xz xy
Hướng dẫn
Ta có:
x3
x3
y z 33
. y.z 3x
yz
yz
Tương tự rồi cộng theo vế suy ra P
x3 y 3 z 3
x y z 2019
yz xz xy
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 03
Câu 1. (2 điểm) Cho bất phương trình mx2 5mx 4 0 (1)
a) Giải bất phương trình (1) với m 1
b) Tìm m để bất phương trình (1) đúng với x
Hướng dẫn
a) m 1 1 x2 5x 4 0 x ;1 4;
b) Xét m 0 4 0 m 0 thỏa mãn.
16
m 0
Với m 0 , bất phương trình đúng với mọi x khi:
0m
25
0
Vậy 0 m
16
25
Câu 2. (3 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau
a) x 2 2 x 8 x 2
b)
x 1 x 2 x2 3x 4
c)
x2 x 12 7 x
Hướng dẫn
a) Điều kiện: x 2 ,
x2 2 x 8 x 2
x2 2x 8 x 2 2
x 2x 8 x 2
Giải được x 2;3;5
b) Đặt ẩn phụ:
Giải được x
x 1 x 2 t 0 x 1 x 2 t 2 hay x 2 3x 2 t 2
3 37
2
x 2 x 12 0
c) Điều kiện:
7 x 0
Bình phương hai vế ta được:
x 4
x 3 x ; 3 4;7
x 7
x 2 x 12 7 x x
2
61
61
x ; 3 4;
.
Vậy
13
13
x 1 y 1 4
Câu 3. (1 điểm) Giải hệ phương trình sau:
x y 8
Giải:
x 1 a 0
a b 4
2
Đặt ẩn phụ:
. Đáp số: x; y 3;5
2
a
b
8
y
1
b
0
Câu 4. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M 2; 3 và hai đường thẳng
x 1 2t
d1 :
y 1 t
d2 : x y 1 0
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua M và vng góc với d 2
b) Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ I đến d 2 bằng
1
2
Hướng dẫn
a) Đường thẳng vng góc với d2 : x y 1 0 có dạng: x y c 0
Vì M 2; 3 2 3 c 0 c 5 .
Vậy đường thẳng cần tìm là: x y 5 0
b) Vì I d1 I 1 2t; t 1
Dùng cơng thức tính khoảng cách từ I đến d 2 :
t 0
suy ra
2
t
3
1 2t 1 t 1
1
2
12 12
I 1; 1
1 5
I ;
3 3
3 3
; và đường thẳng
Câu 5. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M
2 2
(d ) : x 3. y 3 0 . Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc đường thẳng d sao cho MAB
vng tại M và MAB 600 , biết hồnh độ điểm A nhỏ hơn điểm B
Hướng dẫn
Ta có: MA
A d A
MH
1
sin MAH
a 1
3 3.a; a MA 4a 6a 3
1
a
2
2
2
Với
3 1
3
3
a 1 A 0;1 ; B 3 3.b; b MA
; ; MB
3b; b B 3;0
2
2
2
2
Tương tự.
Câu 6. (1 điểm) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn abc 1 .
Chứng minh:
1
1
1
1
3
3
3
3
3
1 a b 1 b c 1 c a3
Hướng dẫn
a3 b3 1 a3 b3 abc a b a 2 ab b 2 abc a b ab abc ab a b c 0
Suy ra
1
1
c
3
3
ab a b c a b c
1 a b
Tương tự rồi cộng theo vế.
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II
Mơn: Tốn 10
Thời gian: 90 phút
®Ị sè 04
Câu 1. (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
m 2 x2 2 m 3 x m 1 0
Hướng dẫn
Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi:
m 2 0
m 2
7
7 3m 0
m ;1 2;
' 0
3
a.c m 2 m 1 0
m ;1 2;
Câu 2. (1 điểm) Tìm m để f ( x) m 1 x2 2 m 1 x 3 m 2 0 x
Hướng dẫn
Xét m 1 . Thay vào bất phương trình ta được: 6 0 m 1 thỏa mãn
Với m 1 . Để bất phương trình đúng với x
m 1
m 1 0
' 0
m 1 2m 7 0
thì :
m 1
; 7 1; m 1;
m
2
Vậy m 1; thì bất phương trình đúng với x
Câu 3. (3 điểm) Giải các bất phương trình sau
a)
b) x 2 5 x 6 x 2 6 x 5
x2 72x 4x 3
c) x 10 x2 x. 10 x2 7
Hướng dẫn
x 2 72 x 0
a) Điều kiện:
4x 3 0
x ; 72 0;
x 0;
3
x
4
Bình phương hai vế ta được:
1
2
x 2 72 x 4 x 3 15 x 2 48 x 9 0 x ; 3;
5
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là: x 3;
x 1
b) Điều kiện: x 2 6 x 5 0
x 5
Cách 1: Sử dụng tính chất: A B B A B
x 1
x 5x 6 x 6 x 5
x 1
x2 5x 6 x2 6 x 5 2
2
2
x 5x 6 x 6 x 5
x 1
2
2
x 1
Vậy nghiệm của bất phương trình :
1
x
2
Cách 2: Xét điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối.
x 6
Xét x 2 5 x 6 0
x 1
Bất phương trình tương đương:
x 1
x 2 5x 6 x 2 6 x 5 x 1 . Kết hợp điều kiện suy ra
(*)
x 6
Xét x 2 5x 6 0 1 x 6
Bất phương trình tương đương:
x 1
x 5x 6 x 6 x 5 2 x x 1 0
2
x 1
2
2
Kết hợp điều kiện suy ra
2
1
x 6 (**)
2
x 1
Kết hợp (*) và (**) suy ra nghiệm của bất phương trình là:
1
x
2
x 1
1
x
2
c) Điều kiện: x 10; 10
2
2
Đặt x 10 x a x. 10 x
Ta có bất phương trình: a
a 2 10
2
a 2 10
7 a 2 2a 24 0 a 6;4
2
2
10 x 2 4 x 1
x 10 x 4
Suy ra
2
2
x 10 x 6
10 x x 6 2
Giải (1):
x 4
x 4
2
10 x 4 x 10 x 0
x 10; 10
10 x 2 16 8 x x 2
2
x 4x 3 0
x 4
x 10; 10 x 10;1 3; 10
x 1
x 3
2
Giải (2):
10 x2 x 6
x 6 0
x 10; 10
TH1:
2
10 x 0
x 6
x 6 0
2
TH2: 10 x 0
x 10; 10 x
2
2
2
10 x x 6
x 6 x 13 0x
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là: x 10;1 3; 10
Câu 4. (1 điểm) Chứng minh đẳng thức sau
sin x
cos x
1 cot 2 x
sin x cos x sin x cos x 1 cot 2 x
Hướng dẫn
Cách 1: Ta có:
sin x
cos x
tan x
cot x
sin x cos x sin x cos x tan x 1 1 cot x
tan x
cot x
1
cot x
1 cot 2 x
1 cot x 1 cot x 1 cot x 1 cot x 1 cot 2 x
cot x
Chú ý: Ở dòng thứ nhất ta chia cả tử số và mẫu số của phân số thứ nhất cho cos x , chia cả tử số
và mẫu số của phân số thứ hai cho sin x .
Cách 2:
Ta có:
sin x sin x cos x cos x sin x cos x
sin x
cos x
sin x cos x sin x cos x
sin x cos x sin x cos x
sin 2 x cos 2 x
1
2
2
2
sin x cos x sin x cos 2 x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
1 cot x
1
sin 2 x
sin 2 x
2
2
2
2
2
1 cot x
cos x sin x cos x sin x cos 2 x
1
sin 2 x
sin 2 x
2
1
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC có AB 5; AC 8; A 600
a) Tính BC và số đo góc B
b) Lấy D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính BD và diện tích hình bình hành ABCD.
Hướng dẫn
a) Áp dụng định lí hàm số cos cho tam giác ABC ta có:
BC 2 AB2 AC 2 2 AB. AC.cos A 52 82 2.5.8.cos 600 49 BC 7
Áp dụng định lí hàm số sin cho tam giác ABC ta có:
sin A sin B
AC.sin A 8.sin 600
sin B
B 820
BC
AC
BC
7
Hoặc dùng công thức: cos B
a 2 c 2 b2 1
B
2ac
7
b) Gọi M là trung điểm AC suy ra BD 2 BM
Áp dụng cơng thức tính đường trung tuyến BM :
2 BC 2 BA2 AC 2 2 47 25 64
MB
22,5 MB BD
4
4
2
1
1
Ta có: S ABCD 2SABC 2. . AB. AC.sin A 2. .5.8.sin 600 20 3
2
2
Ngồi ra tính BD các em có thể làm như sau:
Trong tam giác ABD có A 980 , AD BC 7; BA 5 , dùng định lí hàm số cos để tính BD
Câu 6. (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng : x 2 y 2 0 và điểm
A 1; 2 ; B 3; 4 .
a) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song
b) Tìm tọa độ B’ là điểm đối xứng của B qua
Hướng dẫn
