70 đề HK2 toán 11 1920

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – KHỐI 11

ĐỀ SỐ 1

Mơn : TỐN
Thời gian làm bài 90 phút

I. Phần chung cho cả hai ban
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
2  x  x2
x 1
x 1

1) lim

2) lim

x 

2 x 4  3x  12

3) lim
x 3

7x  1
x 3

4) lim

x 3

x 1  2
9  x2

Bài 2.
 x 2  5x  6

1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x )   x  3
2 x  1

khi x  3
khi x  3

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x3  5x 2  x  1  0 .
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  x x 2  1
2) Cho hàm số y 

b) y 

3
(2 x  5)2

x 1
.
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y 

x 2
.
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA   ABCD  , SA  a 2 .
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn.
Bài 5a. Tính

lim

x  2

x3  8
x 2  11x  18

.

1
Bài 6a. Cho y  x 3  2 x 2  6 x  8 . Giải bất phương trình y '  0 .
3

2. Theo chương trình nâng cao.
1

Bài 5b. Tính lim

x  2x 1

x 1 x 2

Bài 6b. Cho y 

 12 x  11

.

x 2  3x  3
. Giải bất phương trình y '  0 .
x 1

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

Hướng dẫn

Bài

Điểm

Bài 1
1

2

2  x  x2
( x  2)( x  1)
 lim
 lim( x  2)  3
x 1
x 1
x 1
x 1
( x  1)

lim

2 x 4  3 x  12  lim x 2 2 

lim

x  

x 

3 12

 
x x4

3

Ta có: lim ( x  3)  0, lim (7 x  1)  20  0; x  3  0 khi x  3 nên I  

4

lim

x 3

x 3

x 1  2
9  x2

x 3

 lim

x 3

x 3 (3 

x )(3  x )( x  1  2)

 lim

x 3 ( x  3)(

1
x  1  2)

Bài 2
Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

 x 2  5x  6

f (x)   x  3
2 x  1

khi x  3
khi x  3

 Hàm số liên tục với mọi x  3.
 Tại x = 3, ta có:
1

+ f (3)  7
+ lim f ( x)  lim (2 x  1)  7
x 3

x 3

+ lim f ( x )  lim
x 3

x 3

( x  2)( x  3)
 lim ( x  2)  1
( x  3)
x 3

Vì lim f  x   lim f  x   Hàm số không liên tục tại x = 3.
x 3

x 3

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (;3), (3; ) .
2

Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :

2



1
24


2 x 3  5x 2  x  1  0 .

Xét hàm số: f ( x)  2 x3  5x 2  x  1  Hàm số f liên tục trên R.
Ta có:

+ f (0)  1  0   PT f  x   0 có ít nhất một nghiệm c1  (0;1) .
f (1)  1 


+ f (2)  1  0   PT f  x   0 có ít nhất một nghiệm c2  (2;3) .
f (3)  13  0 

Mà c1  c2 nên PT f  x   0 có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 3

y  x x 2  1  y '  x '. x 2  1  x.

1a

x2

 x2  1 

1b

y

3

 2 x  5

Ta có: y 
2a

x2  1
2



x2  1  x2
x2  1

 3.  2 x  5

2







x 2  1 '  x 2  1  x.

2x
2 x2  1

2x2  1
x2  1

3
 y '  3.  2  .  2 x  5  .  2 x  5   

12
(2 x  5)3

x 1
2
 y 
; ( x  1)
( x  1)2
x 1

Với x  2  y  3 và y (2)  2  PTTT: y  3  2( x  2)  y  2 x  1
Đường thẳng y 

x 2
1
1
có hệ số góc k   TT có hệ số góc k  .
2
2
2

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
2b

x  1
1
2
1
Ta có y ( x0 )  
.
  0
2
( x0  1)2 2
 x0  3

+ Với x0  1  y0  0  PTTT: y 

1
1
x .
2
2

+ Với x0  3  y0  2  PTTT: y 

1
7
x .
2
2

Bài 4

3


S

A

D
O

B

C

 SA   ABCD   SA  AB, SA  AD
 Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.
1

 BC  SA, BC  AB  BC   SAB   BC  SB  SBC vuông tại B.

 CD  SA, CD  AD  CD   SAD   CD  SD  SCD vuông tại D

2

BD  AC , BD  SA  BD   SAC    SBD    SAC 

 BC  (SAB)   SC ,(SAB)   BSC
3

 SAB vuông tại A  SB 2  SA2  AB 2  3a 2  SB  a 3
 SBC vuông tại B  tan BSC 

BC
1
 BSC  600

SB
3

Gọi O là tâm của hình vng ABCD.
 Ta có: (SBD)  ( ABCD)  BD,SO  BD, AO  BD ,
4

  (SBD),( ABCD)  SOA
 SAO vuông tại A  tan SOA 

SA
2
AO

Bài 5a

 x  2  x2  2x  4
x 2  2 x  4 12
I  lim
 lim
 lim

x 2 x 2  11x  18 x 2
x 2
x9
7
 x  2 x  9
x3  8

Bài 6a
1
y  x 3  2 x 2  6 x  18  y '  x 2  4 x  6
3

BPT y '  0  x 2  4 x  6  0  2  10  x  2  10
Bài 5b

4


lim
x 1

x  2x 1

( x  2 x  1)  x  2 x  11 
 lim 2
2
x  12 x  11 x1 ( x  12 x  11)  x  2 x  1 

 lim
x 1

x2  2x  1

 x  1 x  11 .  x 

2x 1

 lim
x 1

x 1

 x  11 .  x 

2x 1

0

Bài 6b
x 2  3x  3 .  x  1   x 2  3x  3 .  x  1

x 2  3x  3
y

 y' 
2
x 1
 x  1



 2 x  3 x  1  x2  3x  3  x2  2 x
2
( x  1)2
 x  1

 2
x2  2x

 0  x  2x  0  x  0 .
BPT y  0 
2
x  2
( x  1)
x  1

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – KHỐI 11

ĐỀ SỐ 2

Mơn : TỐN
Thời gian làm bài 90 phút

I . Phần chung cho cả hai ban.

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1) lim

x 

x 2  x  1  3x
2x  7

2) lim (2 x3  5x  1)
x 

3) lim
x5

2 x  11
5 x

4) lim
x0

x3  1  1
.
x2  x

Bài 2 .
 x3  1
khi x  1

1) Cho hàm số f ( x)   x  1
. Xác định m để hàm số liên tục trên R..

2m  1 khi x  1


2) Chứng minh rằng phương trình: (1  m2 ) x5  3x  1  0 ln có nghiệm với mọi m.
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) y 

2  2 x  x2
x2 1

b) y  1  2 tan x .

2) Cho hàm số y  x 4  x 2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vng góc với d: x  2 y  3  0 .
5


Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đơi một vng góc và OA  OB  OC  a, I là trung điểm
BC
1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC  (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần tự chọn.
1 . Theo chương trình chuẩn .
2
n 1 
 1

Bài 5a. Tính lim  2  2  ....  2  .
n 1 
 n 1 n 1

Bài 6a. Cho y  sin 2 x  2cos x . Giải phương trình y ' = 0 .
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho y  2 x  x 2 . Chứng minh rằng: y 3 . y  1  0 .
Bài 6b . Cho f ( x) 

64 60
  3x  16 . Giải phương trình f  ( x)  0 .
3
x
x

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

Hướng dẫn

Bài

Điểm

Bài 1

lim




1 1
1 1
x

1



3


x 1 
 3x
2


x
x
x x2
x 2  x  1  3x
 1
 lim
 lim 
x 
x 
2x  7


7

7
x2  
x2 
x
x



1

x 

2


5
1 
lim  2 x 3  5 x  1  lim x 3  2 
   
2
x 
x 
x
x3 


3

 lim  5  x   0



2 x  11
 x 5
Ta có:  lim  2 x  11  1  0  lim
 

x 5 5  x
 x 5
x  5  5 x  0



4

lim

x 0

x3  1  1
x2  x

 lim

x 0

x  x  1



x3



3

x 1 1

6

 lim

x 0

x2

 x  1  x  1  1
3

0


Bài 2
 Khi x  1 ta có f ( x) 

x3  1
 x 2  x  1  f  x  liên tục  x  1.
x 1

 Khi x = 1, ta có:
1

f (1)  2m  1



lim f ( x)  lim( x  x  1)  3

x 1
x 1

2

 f  x  liên tục tại x = 1  f (1)  lim f ( x)  2m  1  3  m  1
x 1

Vậy: f  x  liên tục trên R khi m = 1.
Xét hàm số f ( x)  (1  m2 )x 5  3x  1  f  x  liên tục trên R.
2

Ta có: f (1)  m2  1  0,  m; f (0)  1  0,  m  f (0). f (1)  0, m
 Phương trình có ít nhất một nghiệm c  (0;1) , m

Bài 3

 2  2 x  x
2  2 x  x 2
y

y
'


x2 1
1a
y' 

1b

 .  x

2

 2 x  2   x 2  1   2  2 x  x 2  .2 x

x

2

 1

2



2

 1   2  2 x  x 2  .  x 2  1

x

2

 1

2

2 x2  2 x  2
( x 2  1) 2

2
1  tan 2 x
cos2 x
y  1  2 tan x  y ' 


2 1  2 tan x 2. 1  2 tan x
1  2 tan x

1  2 tan x 

y  x 4  x 2  3  y  4x 3  2x

Ta có:
x  0
y  3  x  x  3  3   x  1
 x  1
4

2a

2

 Với x  0  k  y (0)  0  PTTT : y  3
 Với x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2 x  1
 Với x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2 x  1
d: x  2 y  3  0 có hệ số góc kd  
2b

1
 Tiếp tuyến có hệ số góc k  2 .
2

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
7


Ta có: y ( x0 )  2  4 x03  2 x0  2  x0  1  y0  3 .
 PTTT: y  2( x  1)  3  y  2 x  1.
Bài 4
A

K

O

C

I
B

 OA  OB, OA  OC  OA  BC

1

(1)

 OBC cân tại O, I là trung điểm của BC  OI  BC

(2)

Từ (1) và (2)  BC  (OAI)  (ABC)  (OAI)
2

Từ câu 1)  BC  (OAI)





 BC  (OAI)  AB,( AOI )  BAI
 BI 

BC a 2

2
2

3
 ABC đều  AI 

BC 3 a 2 3 a 6



2
2
2

 ABI vuông tại I  cos BAI 



Gọi K là trung điểm của OC  IK // OB   AI , OB    AI , IK   AIK
 AOK vuông tại O  AK 2  OA2  OK 2 
6a2
 AI 
4
2

4

 IK 2 



AI
3

 BAI  300  AB,( AOI )  300
AB 2

a2
4

 AIK vuông tại K  cos AIK 

IK
1

AI
6

Bài 5a
8

5a2
4


 1
2
n 1 
1
lim 

 ...
(1  2  3  ...  (n  1))
  lim 2
2
2
2
n 1
n 1

 n 1 n 1

=

lim

1

(n  1) 1  (n  1) 

2

n 1

2

 lim

(n  1)n
2(n2  1)

 lim

1
2

1
n 1
2 2
n2

Bài 6a
y  sin 2 x  2 cos x  y  2 cos2 x  2sin x

PT y '  0  2 cos2 x  2sin x  0  2sin2 x  sin x  1  0


 x  2  k 2
sin x  1

 x     k 2


1
sin x  

6

2

7
 x  6  k 2


Bài 5b
y  2x  x2  y ' 

1 x
2x  x

2

 y" 

1
2

(2 x  x ) 2 x  x

2

 y3 y " 1  0

Bài 6b
f ( x) 

64 60
192 60
  3x  16  f ( x)   4  2  3
3
x
x
x
x

 x 4  20 x 2  64  0
 x  2
192 60

PT f ( x)  0   4  2  3  0  

x
x
 x  4
x  0

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – KHỐI 11

ĐỀ SỐ 3

Mơn : TỐN
Thời gian làm bài 90 phút

Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1) lim ( x3  x 2  x  1)
x 

2 x3  5 x 2  2 x  3
4) lim 3
x 3 4 x  13x 2  4 x  3

2) lim
x 1

3x  2
x 1

3) lim
x2

4n  5n

5) lim n
2  3.5n

9

x2 2
x7 3


 3 3x  2  2

Bài 2. Cho hàm số: f ( x)   x  2
ax  1

4

khi x >2

. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x  2 .

khi x  2

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x5  3x 4  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong
khoảng

 –2;5 .

Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
5x  3
x  x 1

1) y 

2

2) y  ( x  1) x 2  x  1

3) y  1  2 tan x

4) y  sin(sin x)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC vng tại A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và
(SBC) vng góc với đáy; SB  a . Hạ BH  SA ( H  SA); BK  SC ( K  SC ) .
1) Chứng minh: SB   ABC 
2) Chứng minh: mp  BHK   SC .
3) Chứng minh: BHK vng .
4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).
Bài 6. Cho hàm số f ( x) 

x 2  3x  2
(1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết
x 1

tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d: y  5x  2 .
Bài 7. Cho hàm số y  cos2 2 x .
1) Tính y , y .
2) Tính giá trị của biểu thức:

A  y  16 y  16 y  8 .

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bài

Hướng dẫn

Bài 1
1


1 1
1 
lim ( x 3  x 2  x  1)  lim x 3  1  
   
x 
x 
x x2 x3 


10

SBD :. . . . . . . . . .

Điểm


2

 lim ( x  1)  0
 x 1

Ta có:  lim  (3 x  1)  2  0 
 x 1
 x  1  x  1  0

3

lim

x 2 2
x 7 3

x 2

 lim

lim 

x 1

( x  2)  x  7  3

x 2 ( x  2)



x  2  2

3x  2
 
x 1

x 7 3

 lim

x2 2

x 2



3
2

4

 x  3  2 x 2  x  1
2 x 2  x  1 11
lim
 lim
 lim

x 3 4 x 3  13 x 2  4 x  3 x 3 x  3 4 x 2  x  1
x 3 4 x 2  x  1 17
 


5

4

 5  1
n
n
4 5
1
lim
 lim  

n
n
n
3
2  3.5
2

3
 5
 

2 x 3  5x 2  2 x  3

n

Bài 2
 3 3x  2  2

f ( x)   x  2
ax  1

4

khi x >2
khi x  2

Ta có:
 f (2)  2a 

 lim f ( x)  lim
x 2

1
1

 lim f ( x)  lim  ax    2a 
x 2
x 2 
4
4

1
4

x 2

3

3x  2  2
 lim
x 2
x2

( x  2)



3( x  2)
3

(3x  2)2  2 3 (3x  2)  4

Hàm số liên tục tại x = 2  f (2)  lim f ( x)  lim f ( x)
x  2

x  2

1 1
 2a    a  0
4 4

Bài 3
Xét hàm số f ( x)  x5  3x 4  5x  2  f  x  liên tục trên R.
Ta có: f (0)  2, f (1)  1, f (2)  8, f (4)  16


f (0). f (1)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1  (0;1)

f (1). f (2)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2  (1; 2)
f (2). f (4)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3  (2; 4)

 PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
11





1
4


Bài 4
2
5x  3
  5 x  6 x  8

y
x2  x  1
( x 2  x  1)2

1

y

2

4 x2  5x  3
y  ( x  1) x 2  x  1  y 
2 x2  x  1

3

y  1  2 tan x  y ' 

4

y  sin(sin x)  y '  cos x.cos(sin x)

1  2 tan 2 x
1  2 tan x

Bài 5
S

K

H
B

C

600

A

1

 SAB    ABC  
 SBC    ABC    SB   ABC 
 SAB    SBC   SB 
CA  AB, CA  SB  CA  (SAB)  CA  BH

2

Mặt khác: BH  SA  BH  (SAC)  BH  SC
Mà BK  SC  SC  (BHK)

3

Từ câu 2), BH  (SAC)  BH  HK  BHK vuông tại H
Vì SC  (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)
  SA, ( BHK )    SA, KH   SHK

4

Trong ABC, có: AC  AB tan B  a 3; BC 2  AB 2  AC 2  a 2  3a 2  4a 2
Trong SBC, có:
SB 2 a 5

SC  SB  BC  a  4a  5a  SC  a 5 ; SK 
SC
5
2

2

2

2

2

2

12


Trong SAB, có: SH 

SB 2 a 2

SA
2

Trong BHK, có: HK 2  SH 2  SK 2 
 cos  SA, ( BHK )   cos BHK 

a 30
3a 2
 HK 
10
10

HK
60
15


SH
10
5

Bài 6
f ( x) 

x 2  2x  5
x 2  3x  2
 f  ( x) 
( x  1)2
x 1

Tiếp tuyến song song với d: y  5x  2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k  5 .
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
x  0
x 2  2x 0  5
 5   0
Ta có: f ( x0 )  5  0
2
( x0  1)
 x0  2

 Với x0  0  y0  2  PTTT: y  5x  2
 Với x0  2  y0  12  PTTT: y  5x  22
Bài 7
y  cos2 2 x 

1

1 cos 4 x

2
2

y  2sin 4x  y "  8cos 4 x  y '"  32sin 4 x

2

A  y  16 y  16 y  8  8cos 4 x

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – KHỐI 11

ĐỀ SỐ 4

Mơn : TỐN
Thời gian làm bài 90 phút

Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1) lim (5 x3  2 x 2  3)
x 

( x  3)3  27
x 0
x

4) lim

2) lim
x 1

3x  2
x 1

3) lim
x 2

 3n  4n  1 
5) lim 
n
n 
 2.4  2 

13

2 x
x 7 3


 x 1

khi x  1
Bài 2. Cho hàm số: f ( x )   x  1
. Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
3ax
khi x  1


Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3  1000 x  0,1  0
Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau:
2 x2  6 x  5
1) y 
2x  4

2) y 

x2  2 x  3
2x 1

3) y 

sin x  cos x
sin x  cos x

4) y  sin(cos x)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a.
1) Chứng minh ( SAC )  ( SBD) ; ( SCD)  ( SAD)
2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).
3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC))
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x 2  2 :
1) Tại điểm M  –1; –2 
1
2) Vng góc với đường thẳng d: y   x  2 .
9

Bài 7. Cho hàm số: y 

x2  2x  2
. Chứng minh rằng: 2 y. y  1  y2 .
2

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hướng dẫn

Bài
Bài 1
1


2
3 
lim (5 x 3  2 x  3)  lim x 3  1 
   
x 
x 
x2 x3 


Tính lim 
x 1

2

3x  2
.
x 1

 lim ( x  1)  0
 x 1
3x  2
 

Ta có:  lim  (3 x  1)  2  0  lim 
x

1
x

1
x

1

 x  1  x  1  0

14

SBD :. . . . . . . . . .

Điểm


3

2 x

lim

x 7 3

x 2

(2  x )  x  7  3
 lim   x  7  3  6
x 2
x 2
x 2

 lim

( x  3)3  27
x 3  9 x 2  27 x
 lim
 lim( x 2  9 x  27)  27
x 0
x 0
x 0
x
x

4

4) lim

5

3
1
 4  1  4 
n
n
3  4 1

  1
lim
 lim  
n
n
n
2
2.4  2
1
2 
2

n

n

Bài 2
 x 1

khi x  1
f ( x)   x  1
3ax
khi x  1


 lim f ( x )  lim 3ax  3a

Ta có:  f (1)  3a
 lim f ( x )  lim
x 1

x 1

x 1

x 1
 lim
x  1 x 1

x 1

1
x 1



1
2

Hàm số liên tục tại x = 1
 f (1)  lim f ( x)  lim f ( x)  3a 
x 1

x 1

1
1
a
2
6

Bài 3
Xét hàm số f ( x )  x 3  1000 x  0,1  f liên tục trên R.

f (0)  0,1  0
  f (1). f (0)  0
f (1)  1001  0,1  0 

 PT f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm c  (1;0)
Bài 4
1

2x2  6x  5
4 x 2  16 x  34 2 x 2  8 x  17
y
 y' 

2x  4
(2 x  4)2
2( x  2)2

2

y

x2  2x  3
3x  7
 y' 
2x  1
(2 x  1)2 x 2  2 x  3

y


sin x  cos x

 y   tan  x    y '  
sin x  cos x
4


3

4

y  sin(cos x )  y '   sin x.cos(cos x)

15



1
 
   1  tan2  x   
4 




cos2  x  

4



Bài 5
S

H
B

A
O
D

C

 BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC)
1

 CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  (DCS)  (SAD)
 Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)





SA  (ABCD)  SD,( ABCD)  SDA
tan SDA 

SA 2a


2
AD a

 Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAD)





AB  (ABCD)  SB,(SAD)  BSA

2

tan BSA 

AB a 1


SA 2a 2

 Tìm góc giữa SB và mặt phẳng (SAC).
BO (SAC)   SB,(SAC )   BSO .
OB 

a 2
3a 2
OB 1
, SO 
 tan BSO 


2
2
OS 3

 Tính khoảng cách từ A đến (SCD)
Trong SAD, vẽ đường cao AH. Ta có: AH  SD, AH  CD  AH  (SCD)
 d(A,(SCD)) = AH.
3

1
AH

2



1
SA

2



1
AD

2



1
4a

2



1
a

2

 AH 

2a 5
2a 5
 d ( A,(SCD)) 
5
5

 Tính khoảng cách từ B đến (SAC)
BO  (SAC)  d(B,(SAC)) = BO =

a 2
2

Bài 6
16

(C ) : y  x 3  3x 2  2  y  3x 2  6 x

1

Tại điểm M(–1; –2) ta có: y (1)  9  PTTT: y  9 x  7
1
Tiếp tuyến vng góc với d: y   x  2  Tiếp tuyến có hệ số góc k  9 .
9

Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
2

 x  1
Ta có: y ( x0 )  9  3 x02  6 x0  9  x02  2 x0  3  0   0
 x0  3

 Với x0  1  y0  2  PTTT: y  9 x  7
 Với x0  3  y0  2  PTTT: y  9 x  25
Bài 7
y

x2  2x  2
 y  x  1  y  1
2

2
 x2

 2 y.y  1  2   x  1 .1  1  x 2  2 x  1  ( x  1)2   y 

 2


ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – KHỐI 11

ĐỀ SỐ 5

Mơn : TỐN
Thời gian làm bài 90 phút

A. PHẦN CHUNG:
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2 n3  2 n  3

x 3 2

b) lim

1  4 n3

x 1

x2  1

 x 2  3x  2

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x )   x  2
3

khi x  2
khi x  2

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  2sin x  cos x  tan x

b) y  sin(3x  1)

c) y  cos(2 x  1)

d) y  1  2 tan 4 x

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 và SA = SB = SD = a.
a) Chứng minh (SAC) vng góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vng.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
17


B. PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số y  f ( x )  2 x 3  6 x  1 (1)
a) Tính f '(5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)
c) Chứng minh phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
2. Theo chương trình Nâng cao

sin 3 x
cos3 x 

 cos x  3  sin x 
.
3

3 

Bài 5b: Cho f ( x ) 

Giải phương trình f '( x )  0 .

Bài 6b: Cho hàm số f ( x )  2 x 3  2 x  3 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
y  22 x  2011

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc đường thẳng :
1
y   x  2011
4

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

Hướng dẫn

Bài

Điểm

Bai 1

a

b

lim

lim

x 1

3

2n  2n  3
1  4 n3

x 3 2
x2  1

2
 lim

2
n
1

n3

 lim





3

n3   1
2
4

2

x  3  2  x  3  2 

x 1 ( x  1)( x  1)



x  3  2

 lim

x 1 ( x  1)



1

x  3  2



1
8

Bài 2
 x 2  3x  2

f (x)   x  2
3

khi x  2
khi x  2

 Khi x  2 ta có f ( x ) 

( x  1)( x  2)
 x  1  f  x  liên tục tại x  2
x2

 Tại x  2 ta có:

18


f (2)  3, lim f ( x )  lim ( x  1)  1  f (2)  lim f ( x )
x 2

x 2

x 2

 f  x  không liên tục tại x = –2.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (; 2), (2; ) .
Bài 3
a

y  2sin x  cos x  tan x  y '  2 cos x  sin x 

b

y  sin(3x  1)  y '  3cos(3x  1)

c

y  cos(2 x  1)  y  2sin(2 x  1)

d

y  1  2 tan 4 x  y ' 

8

1

.

cos2 4 x 2 1  2 tan 4 x

1
2

cos x



 2 cos x  sin x  1  tan 2 x

4 1  tan2 4 x 
1  2 tan 4 x

Bài 4
S

A

D
H
O

B

C

Vẽ SH  (ABCD). Vì SA = SB = SC = a nên HA = HB = HD
 H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
a

Mặt khác ABD có AB = AD và BAD  600 nên ABD đều.

Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H  AO  H  AC
SH  (SAC )
 (SAC )  ( ABCD )
Như vậy, 
SH  ( ABCD )

Ta có ABD đều cạnh a nên có AO 
b

a 3
 AC  a 3
2

Tam giác SAC có SA = a, AC = a 3
Trong ABC, ta có: AH 

2
1
a 3
a2
AO  AC 
 AH 2 
3
3
3
3

19

Tam giác SHA vng tại H có SH 2  SA2  AH 2  a2 

a2 2a2

3
3

2
2a 3
4a2
4 a2 2 a2
2
2
2
2
HC  AC 
 HC 
 SC  HC  SH 

 2a 2
3
3
3
3
3

SA2  SC 2  a2  2a2  3a2  AC 2  tam giác SCA vuông tại S

c

SH  ( ABCD)  d (S,( ABCD))  SH 

a 6
3

Bài 5a
a
b

f ( x )  2 x 3  6 x  1 f ( x )  6 x 2  6  f (5)  144

Tại điểm Mo(0; 1) ta có: f (0)  6  PTTT: y  6 x  1
Hàm số f(x) liên tục trên R. f (1)  5, f (1)  3  f (1). f (1)  0

c

 phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1)

Bài 5b
f (x) 


sin 3 x
cos3 x 
 cos x  3  sin x 

3

3 

 f ( x )  cos3x  sin x  3(cos x  sin3x )
PT f ( x )  0  cos3 x  3 sin 3x  sin x  3 cos x
1
3
1
3
 cos3x 
sin3x  sin x 
cos x
2
2
2
2





4
x


k
2

x


k







2
8
2

 sin   3 x   sin  x    
7

7

6
3




2 x  
x  
 k 2
 k

6

12

Bài 6b

f ( x )  2 x3  2 x  3  f ( x )  6 x 2  2

Tiếp tuyến song song với d: y  22 x  2011  Tiếp tuyến có hệ số góc k  22 .
Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm.
a

 x  2
Ta có f ( x0 )  22  6 x02  2  22  x02  4   0
 x0  2

 Với x0  2  y0  9  PTTT : y  22 x  35
 Với x0  2  y0  15  PTTT : y  22 x  29

20


1
Tiếp tuyến vng góc với : y   x  2011  Tiếp tuyến có hệ số góc k  4
4

.
Gọi ( x1; y1 ) là toạ độ của tiếp điểm.
b

 x  1
Ta có f ( x1 )  4  6 x12  2  4  x12  1   1
 x1  1

 Với x1  1  y1  3  PTTT : y  4 x  7
 Với x1  1  y1  3  PTTT : y  4 x  1

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ 2 – KHỐI 11

ĐỀ SỐ 6

Mơn : TỐN
Thời gian làm bài 90 phút

A. PHẦN CHUNG
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
3x 2  4 x  1
x 1
x 1

a) lim

x2  9
x 3 x  3

b) lim

 x2  x  2

Câu 2: Cho hàm số f ( x)   x  2
 m


c) lim
x 2

khi x  2

x2
x 7 3

d) lim

x 

x 2  2  3x
2x 1

.

khi x  2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f ( x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x5  3x 4  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong
khoảng (–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  ( x  1)( x  2)
2

3

1
b) y  2
( x  1)2

c) y  x  2 x
2

 2 x2  1 
d) y   2

 x 3 

4

B.PHẦN TỰ CHỌN:
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vng cân tại B, AB  BC  a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là
đường cao của SAB. Trên đường thẳng Ix vng góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho
IS  a .
21


a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của đáy
ABCD.
a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và
SC.
--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hướng dẫn

Câu
Câu 1
a

3x 2  4 x  1
( x 1)(3x 1)
lim
 lim
 lim(3x  1)  2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

b

 x 3 x 3  lim ( x  3)  6
x 2 9
 lim
x 3 x  3
x 3
x 3
x 3

c

lim

lim

x 2

lim

x 

d

 x  2 . x  7 3  lim  x  7 3  6
x2
 lim
x 2
x2
x  7 3 x  2

2 
x  1 3x


x2  2 3x
x2 
 lim 
x 
2 x 1
2 x 1






2
2
 x 1 3 
 1 3 




x2 
x2 
 lim 
 lim 
 2
x 
x 
1
2 x 1
2
x

Câu 2

a

 x2  x  2

f ( x)   x  2
 m



khi x  2
khi x  2

 Ta có tập xác định của hàm số là D = R
Khi m = 3 ta có

22

SBD :. . . . . . . . . .
Điểm


 ( x  1)( x  2)

, khi x  2   x  1, khi x  2
f ( x)  

x 2
3 , khi x  2
3
, khi x  2 
 f  x  liên tục tại mọi x  2.

Tại x = 2 ta có:
f(2) = 3; lim f ( x )  lim ( x  1)  3 f  x  liên tục tại x = 2.
x2
x2
Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

 x2  x  2

f ( x)   x  2
 m


b

khi x  2
khi x  2

Tại x = 2 ta có:

x 1

m

khi x  2
khi x  2

lim f ( x )  3
x 2

f(2) = m ,

Hàm số f(x) liên tục tại x = 2  f (2)  lim f ( x )  m  3
x2
Câu 3
Xét hàm số f ( x )  x 5  3x 4  5x  2  f liên tục trên R.
Ta có: f (0)  2, f (1)  1, f (2)  8, f (4)  16



f (0). f (1)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1  (0;1)
f (1). f (2)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2  (1;2)
f (2). f (4)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3  (2; 4)

 PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5).
Câu 4
Ta có: y  ( x 2  1)( x3  2)  x5  x3  2 x 2  2
a

 y '  5x 4  3x 2  4 x

Ta có: y 
b

c

d

1
 ( x 2  1)2
2
( x  1)
2

2 1
 y '  2.  x 2  1 .  x 2  1 

y x

2

x

 2x  y ' 

2

 2x

4 x

 x 2  13

 

2 x2  2x

2  x  1
2 x2  2x



x 1
x2  2x

4
3
 2x2  1 

 2 x 2  1   2 x 2  1 
Ta có: y   2
  y  4.  2
 . 2

 x 3 
 x 3   x 3 

23


 2

2
2
2
 2 x 2  1   2 x  1 .  x  3   2 x  1 .  x  3
14 x

Mà  2
 
2
2
 x 2  3 2
 x 3 
 x  3

 2x2  3 
y'  



2 2

x

3
2
 x  3 

56 x

3

Câu 5a
S

M

A

C

I

B

 AC  BI, AC  SI  AC  SB.
a

 SB  AM, SB  AC  SB  (AMC)

SI  (ABC)   SB,( ABC )  SBI

b

AC = 2a  BI = a = SI  SBI vuông cân  SBI  450
SB  (AMC)   SC,( AMC )  SCM

c

Tính được SB = SC = a 2 = BC  SBC đều
 M là trung điểm của SB  SCM  300

Câu 5b
S

K

D

C

H
M

O
A

B

SO  ( ABCD )

 Vì S.ABCD là chóp tứ giác đều nên 
 AC  BD

a

SO  BD
 BD  (SAC )  (SAC)  (SBD)
 
 AC  BD

24



 SO  (ABCD )  (SBD)  (ABCD)
SO  (SBD )

 Tính d (S,( ABCD))
SO  (ABCD)  d (S,( ABCD))  SO
Xét tam giác SOB có
a 2
7a2
a 14
2
2
2
OB 
, SB  2a  SO  SA  OB 
 SO 
2

2
2

 Tính d (O,(SBC ))
Lấy M là trung điểm BC  OM  BC, SM  BC
b

 BC  (SOM)  (SBC)  (SOM).
Trong SOM, vẽ OH  SM  OH  (SBC)  d (O,(SBC ))  OH
Tính OH:

a 14
SO 
2  1  1  1
SOM có 
OH 2 OM 2 OS 2
OM  a

2

 OH 2 

OM 2 .OS 2
OM 2  OS 2



7a2
a 210
 OH 

30
30

Tính d (BD, SC )
Trong SOC, vẽ OK  SC. Ta có BD  (SAC)  BD  OK
 OK là đường vng góc chung của BD và SC  d (BD, SC )  OK .
Tính OK:
c


a 14
SO 
2  1  1  1
SOC có 
OK 2 OC 2 OS 2
OC  a 2

2

OC 2 .OS 2

7a2
a 7
 OK 

 OK 
2
2
16
4

OC  OS
2

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – KHỐI 11

ĐỀ SỐ 7

Mơn : TỐN
Thời gian làm bài 90 phút

I. PHẦN BẮT BUỘC:
25