Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

VÕ VĂN THẾ

ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CĨ CHẬM

Ngành: Tốn ứng dụng
Mã ngành: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành Phố Hồ Chí Minh, 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

VÕ VĂN THẾ

ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CĨ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Tốn ứng dụng
Mã ngành: 60460112

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh, 2016


1
CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hữu Anh Ngọc

Cán bộ nhận xét 1:.................................................................................

Cán bộ nhận xét 2:.................................................................................

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc Gia
TP.HCM ngày ..... tháng ..... năm .....
Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)

1. ....................................................................................................

2. ....................................................................................................

3. ....................................................................................................

4. ....................................................................................................

5. ....................................................................................................
Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA


2
Đại học Quốc Gia TP.HCM

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Trường Đại học Bách Khoa

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Võ Văn Thế

MSHV: 1570248

Ngày, tháng, năm sinh: 19/05/1984

Nơi sinh: Quảng Ngãi

Chuyên Ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân có chậm.
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
- Kiến thức chuẩn bị
- Lý thuyết ổn định của các phương trình vi phân có chậm
- Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2016
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2016
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS PHẠM HỮU ANH NGỌC

Tp. Hồ Chí Minh, ngày ... tháng ... năm ...

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin chân thành gửi tới PGS. TS. Phạm Hữu Anh
Ngọc, Thầy đã tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, tạo mọi điều kiện
giúp đỡ, động viên tơi trong suốt q trình thực hiện và hồn thành Luận
văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn TS. Cao Thanh Tình đã nhiệt tình giúp đỡ,

động viên tơi trong q trình thực hiện Luận văn này.
Tơi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cơ trong Bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa
Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã
hết lịng giảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tơi
hồn thành Luận văn này.
Tơi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp Cao học ngành Toán Ứng Dụng
khóa 2015 đã động viên, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học và q trình
thực hiện Luận văn này.
Tơi xin gởi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã
ln ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời
gian học tập.
Cuối cùng, trong quá trình thực hiện Luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của q Thầy Cơ và bạn đọc để bổ
sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, 2016
Học Viên Cao Học

Võ Văn Thế

Học Viên:Võ Văn Thế

ii

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chun ngành: Tốn Ứng Dụng

LỜI CAM ĐOAN
Tơi tên Võ Văn Thế, MSHV: 1570248, là học viên cao học chun ngành
Tốn ứng dụng khóa 2015 của trường Đại Học Bách Khoa TP. Hồ Chí Minh.
Xin cam đoan tồn bộ những gì trình bày trong Luận văn này là do chính
tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Thầy PGS. TS. Phạm Hữu
Anh Ngọc.
Trong toàn bộ Luận văn, tất cả các kết quả nghiên cứu từ các cơng trình
khoa học của các tác giả khác được tơi chọn lọc để đưa vào trình bày, trích
dẫn hoặc tham khảo, tơi đều có ghi rõ địa chỉ để người đọc tiện tham chiếu.
Tơi xin cam đoan về những gì đã nêu trên đây là sự thật và xin chịu toàn
bộ trách nhiệm về những gian dối tác quyền nếu có trong Luận văn này.

TP. Hồ Chí Minh, 15 tháng 12 năm 2016
Học Viên Cao Học

Võ Văn Thế

Học Viên:Võ Văn Thế

i

Khóa 2015


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

ii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

v

LỜI MỞ ĐẦU

vii

Chương 1. LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM

1

1.1 Véc tơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Sơ lược về phương trình vi phân có chậm . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân tuyến
tính có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4

8

Điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân phi
tuyến có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH CĨ CHẬM
2.1

17

Ổn định của hệ chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian . .

18

2.2 Ổn định của hệ chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian . . .

21

2.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

35

TÀI LIỆU THAM KHẢO

38

iii

Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU

Ký hiệu
ES
GES
N
m
m0
R
R+
Rm
Rl×q
C
z
C+
K
X
JF (x)
det(M )
M −1
|x|
|M |
x
M

Im
0
x≥y

x

y

Ý nghĩa
Exponentially stable: ổn định mũ
Globally exponentially stable: ổn định mũ toàn cục
Tập các số tự nhiên
m := {1, 2, ..., m}, với m ∈ N
m0 := {0, 1, 2, ..., m}, với m ∈ N
Trường các số thực
Tập hợp các số thực không âm
Không gian véc tơ thực m-chiều
Vành các ma trận thực, cỡ l × q
Trường các số phức
Phần thực của số phức z
C+ := {z ∈ C : z ≥ 0}
K = R hoặc K = C
Bao đóng của tập X
Ma trận Jacobi của hàm F tại x
Định thức của ma trận vuông M
Nghịch đảo của ma trận vuông M
|x| := (|x1 |, |x2 |, ..., |xm |)T , x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm
|M | := (|mij |) với M = (mij ) ∈ Rl×q
Chuẩn của véc tơ x
Chuẩn của ma trận M

Ma trận đơn vị cấp m
Số không/ véc tơ không/ ma trận không
xi ≥ yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm
và y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm
xi > yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm
và y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm

Học Viên:Võ Văn Thế

iv

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa

aij ≥ bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q và
B = (bij ) ∈ Rl×q
A
B
aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q và
B = (bij ) ∈ Rl×q
M (A)

M (A):= (ˆ
aij ) ∈ Rn×n , với a
ˆij := |aij |, i = j, i, j ∈ n;
a
ˆii := aii , i ∈ n và A = (aij ) ∈ Rn×n cho trước
σ(M )
σ(M ) := {λ ∈ C : det(λIm − M ) = 0}, phổ của ma
trận vuông M
µ(M )
µ(M ) := max{ λ : λ ∈ σ(M )}, hồnh độ phổ của
ma
trận vng M
C([a, b], Kn )
Khơng gian Banach các hàm liên tục trên [a, b],
nhận giá trị trong Kn với chuẩn φ
=
maxt∈[a,b] φ(t)
C
:= Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0],
n
C([−h, 0], R )
nhận
giá trị trong Rn với chuẩn φ = maxt∈[−h,0] φ(t)
C+
C+ := {φ ∈ C : φ ≥ 0}
Cr
Cr := {φ ∈ C : φ ≤ r}, với r > 0
C(R− , Rn )
Không gian véc tơ các hàm liên tục trên (−∞, 0],
nhận giá trị trong Rn

C(R+ , Rn )
Không gian véc tơ các hàm liên tục trên [0, +∞),
nhận giá trị trong Rn
C(R, Rn×n )
Khơng gian véc tơ các hàm liên tục trên R,
nhận giá trị trong Rn×n
BV ([α, β], Km×n ) Khơng gian Banach các hàm có biến phân bị chặn
trên [α, β], nhận giá trị trong Km×n thỏa mãn η(α) =
0
và được trang bị với chuẩn η = V ar[α,β] η(·)
m×n
N BV ([α, β], K
) := {η ∈ BV ([α, β], K m×n ); η liên tục trái trên (α, β)}
N BV0 ([α, β], Km×n ) := {η ∈ BV ([α, β], K m×n ); η liên tục trái trên [α, β]}
A≥B

Học Viên:Võ Văn Thế

v

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100
năm và bắt đầu với những cơng trình của nhà Tốn học nổi tiếng người Nga

Aleksandr Lyapunov (1857-1918):
- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid
(in 1884, Russian),
- General problem of the stability of motion (1892, in Russian).
Được thúc đẩy bởi nhiều ứng dụng trong các ngành kĩ thuật, các bài toán
ổn định vững của các hệ động lực dưới tác động của nhiễu đã thu hút nhiều
sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong suốt nhiều thập kĩ qua .(xem
[9],[10],[18],[21],[22],[28] và các tài liệu tham khảo trong đó)
Nói riêng, các bài tốn ổn định vững của các hệ phương trình vi phân
thường tuyến tính với hệ số hằng, hoặc của các hệ phương trình vi phân
tuyến tính có chậm với hệ số hằng đã được quan tâm nghiên cứu nhiều trong
suốt hơn năm thập niên qua. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đã có trong
quá khứ thường tập trung vào lớp nhiễu hằng (nghĩa là hệ chịu nhiễu cũng
chỉ là hệ dừng) (Xem trong [1],[7],[10],[19] và các tài liệu tham khảo trong
đó).
Các bài tốn ổn định vững trong đó hệ được xét chịu nhiễu phụ thuộc
thời gian, hoặc nhiễu phi tuyến thường khó và phức tạp. Vì thế, khơng có
nhiều kết quả cho lớp bài tốn ổn định vững liên quan đến các lớp nhiễu phụ
thuộc thời gian hoặc nhiễu phi tuyến.
Mục đích chính của Luận văn này là nghiên cứu các bài toán ổn định vững
của các hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm chịu nhiễu có cấu trúc
phụ thuộc thời gian và nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian.
Tên đề tài luận văn:
"Ổn định vững của các hệ phương trình vi phân có chậm"
Bố cục của Luận văn được trình bày như sau: Mục lục, danh mục chữ viết
tắt và kí hiệu, lời mở đầu, nội dung chính của Luận văn (gồm 2 chương), kết
luận, tài liệu tham khảo.
Học Viên:Võ Văn Thế

vi

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Cấu trúc của luận văn được trình bày như sau:
Lời mở đầu
Chương 1: Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có
chậm
Chương 2: Ổn định vững của hệ phương trình vi phân tuyến tính
có chậm
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.
Một cách cụ thể hơn:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cổ điển và một vài kết quả mới
gần đây về lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có chậm.
Chương 2: Chúng tơi trình bày một vài kết quả mới gần đây về ổn định
vững của các hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm, chịu nhiễu có cấu
trúc phụ thuộc thời gian và chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian.
Các vấn đề được trình bày trong luận văn này là mới, có ý nghĩa khoa
học và thời sự. Các kết quả là một đóng góp có ý nghĩa đối với lý thuyết ổn
định của hệ phương trình vi phân có chậm và sẽ là nguồn tài liệu tham khảo
bổ ích cho những ai quan tâm về lý thuyết hệ dương và các bài toán ổn định
mũ của hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm.

Học Viên:Võ Văn Thế

vii

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Chương 1
LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA CÁC
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ
CHẬM
1.1

Véc tơ và ma trận
Gọi N, R, và C lần lượt là tập các số tự nhiên, trường các số thực và

trường các số phức kí hiệu N0 := N ∪ {0}. Gọi K là trường số thực hoặc
phức. Cho số tự nhiên m, ta định nghĩa các tập hợp sau: m := {1, 2, ..., m}
và m0 := {0, 1, ..., m}. Cho các số nguyên dương l và q , tập hợp tất cả các
ma trận cỡ l × q với các số hạng trong K, được kí hiệu bởi Kl×q . Đối với hai
ma trận thực cỡ l × q là A = (aij ) và B = (bij ), bất đẳng thức A ≥ B có
nghĩa là aij ≥ bij với i ∈ l, j ∈ q . Đặc biệt, nếu aij > bij với i ∈ l, j ∈ q,

B thay cho A ≥ B. Ma trận A = (aij ) ∈ Rl×q được

khi đó ta viết A

gọi là ma trận không âm nếu aij ≥ 0 với mọi i ∈ l, j ∈ q . Cách hiểu tương

tự đối với véc tơ không âm. Tập hợp tất cả các ma trận thực khơng âm cỡ

l × q được kí hiệu bởi Rl×q
+ . Với số ngun dương m, ta kí hiệu ma trận đơn
vị cấp m bởi Im . Với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm và P = (pij ) ∈ Rl×q ta
định nghĩa giá trị tuyệt đối của véc tơ và ma trận như sau |x| = (|xi |)T và

|P | = (|pij |). Cho trước hai ma trận C, D (với cỡ phù hợp), ta dễ dàng kiểm
tra được |C + D| ≤ |C| + |D| và |CD| ≤ |C||D|. Giả sử

M (t) = (mij (t)) ∈ Rl×q , t ∈ [a, b];
Học Viên:Võ Văn Thế

1

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

F (t) = (F1 (t), F2 (t), ..., Fm (t))T ∈ Rm , t ∈ [a, b],
trong đó, mij (·), i ∈ l, j ∈ q, và Fk (·), k ∈ m là các hàm khả tích Riemann
trên [a, b], tích phân của hàm giá trị ma trận và hàm giá trị véc tơ trên đoạn

[a, b] được định nghĩa như sau:
b

b

mij (t)dt) ∈ Rl×q ,

M (t)dt := (
a

a

và
b

b

F (t)dt := (
a

b

F1 (t)dt,
a

b

Fm (t)dt)T ∈ Rm .

F2 (t)dt, ...,
a

a

Định nghĩa 1.1.1. [5] Cho X là không gian véc tơ trên trường K. Ánh xạ

· : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
i) x ≥ 0, ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) λx = |λ| x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;
iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X.
Giá trị x được gọi là chuẩn của véc tơ x. Không gian véc tơ X cùng với
chuẩn

·

được gọi là một khơng gian định chuẩn, kí hiệu (X, · ). Một

không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Chẳng hạn như, Kn là một không gian Banach với một trong các chuẩn
sau đây:
n

x

p

|xi |p

=

1
p

và

x

∞

= max |xi | ,

i=1

1≤i≤n

với x = (x1 , x2 , ..., xn )T ∈ Kn và 1 ≤ p < ∞.

· trên Kn được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y| thì x ≤ y

Một chuẩn

với x, y ∈ Kn . Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng

· là một chuẩn đơn điệu

nếu và chỉ nếu x = |x| , với mọi x ∈ Rn . Chú ý rằng,

·

p

trên Kn với

1 ≤ p ≤ ∞ là đơn điệu.
Giả sử

·

tơ X . Khi đó,

1

và ·

·

1

2

và

là các chuẩn xác định trên cùng một không gian véc

·

2

được gọi là các chuẩn tương đương nếu tồn tại

các số dương α và β sao cho α x

1

≤ x

2

≤ β x 1 , với mọi x ∈ X. Chú ý

rằng, mọi chuẩn trên Kn đều tương đương.
Học Viên:Võ Văn Thế

2

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Định nghĩa 1.1.2. (Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q ,
chuẩn của tốn tử tuyến tính M : Kq → Kl , x → M x :

M := max
x=0

Mx
= max
x =1
x

Mx

,

được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M.
Chẳng hạn như nếu Kn được trang bị bởi chuẩn
n×n

của ma trận M = (mij ) ∈ K

·

được cho bởi M

1

1

thì chuẩn tốn tử
n

= max

1≤j≤n i=1

trị lớn nhất của tổng các cột). Nếu Kn được trang bị bởi chuẩn
n

chuẩn toán tử của M được cho bởi M

∞

= max

1≤i≤n j=1

|mij | (giá
·

∞

thì

|mij | (giá trị lớn nhất

của tổng các dịng), xem [5].
Giả sử Kl và Kq được trang bị các chuẩn đơn điệu. Khi đó, chuẩn tốn tử
tương ứng

·

của ma trận trên Kl×q có tính chất sau:

P ∈ Kl×q , Q ∈ Rl×q
+ ,

|P | ≤ Q

⇒

P ≤ |P | ≤ Q ,

(1.1)

Trong suốt Luận văn này, nếu không phát biểu gì thêm, chuẩn của các ma
trận được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn véc tơ đơn điệu nào
đó.
Với bất kỳ M ∈ Kn×n , hồnh độ phổ của M được kí hiệu bởi µ(M ) :=

max{ z : z ∈ σ(M )}, trong đó, σ(M ) := {z ∈ C : det(zIn − M ) = 0} là
phổ của ma trận M , tập hợp tất cả các giá trị riêng của M .
Định nghĩa 1.1.3. Một ma trận thực M ∈ Rn×n được gọi là ổn định Hurwitz
nếu µ(M ) < 0.
Định nghĩa 1.1.4. Một ma trận thực cấp n × n được gọi là ma trận Metzler
nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều khơng âm. Điều đó có
nghĩa là ma trận A := (aij ) ∈ Rn×n , i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler
nếu aij ≥ 0 với mọi i, j ∈ n, i = j .
Trong phần cịn lại của mục này, chúng tơi trình bày một số tính chất
quan trọng của các ma trận Metzler, được sử dụng trong suốt Luận văn.
Các ma trận Metzler được nghiên cứu từ những năm 1945 với những cơng
trình tiên phong của Perron và Frobenius. Những tính chất này là tiền đề
cho việc xây dựng Lý thuyết hệ động lực dương (xem [17]).
Học Viên:Võ Văn Thế

3

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Định lý Perron-Frobenius được chứng minh bởi Perron (năm 1907) và
Fobenius (năm 1912). Nó có nhiều ứng dụng trong Lý thuyết xác suất (tính
ergodic của xích Markov), Lý thuyết hệ động lực, Lý thuyết kinh tế (Định
lý Okishio’s, Mơ hình đầu vào-đầu ra của Leontief), Thống kê điều tra dân
số (Mơ hình Leslie về phân bố tuổi dân số), Cơng cụ tìm kiếm trên mạng
(Thuật toán PageRank để xếp hạng các trang web mà Google đã sử dụng)
và thậm chí có ứng dụng trong xếp hạng bóng đá. Nội dung và chứng minh
đầy đủ của Định lý Perron-Frobenius có thể tham khảo trong [15].
Định lý sau đây là một phiên bản rút gọn của Định lý Perron-Frobenius.
Định lý 1.1.1. [29] Giả sử M ∈ Rn×n là ma trận Metzler và t ∈ R Khi đó
(i) (Perron-Frobenius) µ(M ) là một giá trị riêng của M và tồn tại một véc
tơ không âm x ∈ Rn+ , x = 0 sao cho M x = µ(M )x.
(ii) Giả sử α ∈ R cho trước. Khi đó, tồn tại một véc tơ khơng âm x ∈ Rn
sao cho M x ≥ αx khi và chỉ khi µ(M ) ≥ α.
(iii) (tIn − M )−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > µ(M ).
n×n
(iv) Cho trước B ∈ R+
, C ∈ Cn×n . Khi đó,

|C| ≤ B

⇒

µ(M + C) ≤ µ(M + B).

(1.2)

Các tính chất quan trọng sau đây của các ma trận Metzler được suy ra
trực tiếp từ Định lý 1.1.1.
Định lý 1.1.2. [29] Cho M ∈ Rn×n là ma trận Metzler. Những điều kiện
sau đây là tương đương:
(i)

µ(M ) < 0;

(ii)

Tồn tại p ∈ Rn sao cho M p

(iii)

M khả nghịch và M −1 ≤ 0;

(iv)

Cho b ∈ Rn , b

(v)

Cho bất kỳ x ∈ Rn+ \ {0} véc tơ hàng xT M có ít nhất một phần tử âm.

Học Viên:Võ Văn Thế

0;

0 Khi đó, tồn tại x ∈ Rn+ sao cho M x + b = 0

4

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng minh phát biểu (i), (ii) và (iii) là tương
đương nhau.
[(i) ⇒ (iii)]: Do M ∈ Rn×n là ma trận Metzler và µ(M ) < 0 nên M −1 ≤ 0,
theo Định lý 1.1.1 (iii). Vậy ta có (i) suy ra (iii).
[(iii) ⇒ (ii)]: Giả sử M −1 ≤ 0. Đặt

e := (1, 1, . . . , 1)T ∈ Rn ,
và

p := (−M )−1 e ∈ Rn
Dễ thấy p

(1.3)

0. Nhân hai vế của (1.3) cho (−M ) từ bên trái, ta có (−M )p = e

hay M p = −e. Vì vậy M p

0 với p ∈ Rn , p

0. Vậy ta có (iii) suy ra (ii).

[(ii) ⇒ (i)]: Vì M ∈ Rn×n là ma trận Metzler nên tồn tại véc tơ x ∈ Rn , x ≥

0, x = 0 sao cho M T x = µ(M )x, theo Định lý 1.1.1 (i). Từ (ii) ta có
Mp

0.

(1.4)

Nhân hai vế của (1.4) với xT từ bên trái, ta được xT M p < 0. Suy ra

µ(M )xT p = xT M p < 0.
Vì xT p > 0, nên µ(M ) < 0. Vậy ta có (ii) suy ra (i).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh phát biểu (iii), (iv) và (v) là tương đương nhau.
[(iii) ⇒ (iv)]: Hiển nhiên.
[(iv)⇒ (v)]: Giả sử (iv) đúng và giả sử phản chứng rằng tồn tại x ∈ Rn+ \{0}
sao cho véc tơ hàng xT M ≥ 0. Lấy r ∈ Rn , r

0, theo (iv) tồn tại véc tơ

p ∈ Rn+ sao cho M p + r = 0 hay r = −M p. Do đó, 0 < xT r = −xT M p ≤ 0.
Đây là một mâu thuẫn. Vậy ta có (iv) suy ra (v). [(v) ⇒ (i)]: Giả sử (v) đúng
và giả sử phản chứng rằng µ(M ) ≥ 0. Do M là ma trận Metzler nên theo
Định lý 1.1.1 (i), tồn tại p ∈ Rn+ \{0} sao cho M T p = µ(M )p. Với µ(M ) ≥ 0
và p ∈ Rn+ \{0}, ta có M T p = µ(M )p ≥ 0. Điều này kéo theo pT M ≥ 0. Mâu
thuẫn với (v).
Định lý được chứng minh.

Học Viên:Võ Văn Thế

5

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

1.2

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Sơ lược về phương trình vi phân có chậm
Trong phần này chúng tơi trình bày một số khái niệm cơ bản về ổn

định nghiệm của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm.
Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm được xác định bởi:

x(t)
˙
= F t, xt ,

t ≥ σ,

(1.5)

trong đó, xt ∈ C := C([−h, 0], Rn ), được xác định bởi xt (θ) := x(t + θ),

θ ∈ [−h, 0] và hàm F (·; ·) : Ω → Rn , Ω ⊂ R × C (h > 0 cố định).
Với mỗi σ ∈ R cố định, chúng ta xét điều kiện đầu

θ ∈ [−h, 0], φ ∈ C.

x(σ + θ) = φ(θ),

(1.6)

Định nghĩa 1.2.1. [9] Một hàm x(·) được gọi là nghiệm của bài toán giá
trị đầu (1.5)-(1.6) nếu
(i) Tồn tại A > 0 sao cho x(·) ∈ C([σ − h, σ + A), Rn ), (t, xt ) ∈ Ω, ∀t ∈

[σ, σ + A) và x(·) thỏa mãn (1.5) với mỗi t ≥ σ;
(ii) x(·) thỏa mãn điều kiện đầu (1.6).
Định lý sau đây trình bày các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm (địa
phương) của bài toán (1.5)-(1.6).
Định lý 1.2.1. [9] Cho Ω là tập mở trong R × C. Giả sử F (·, ·) liên tục trên

Ω và F liên tục Lipzchitz theo biến thứ hai trên mỗi tập con compact của
R × C . Khi đó, với bất kỳ (σ, φ) ∈ Ω, bài toán (1.5)-(1.6) có duy nhất nghiệm.
Nói rõ ra, nghiệm được cho bởi Định lý 1.2.1, xác định và liên tục trên

[σ − h, γ) với γ > σ và thỏa (1.5) trên [σ, γ) và được kí hiệu x(·; σ, ϕ). Nếu
[σ − h, γ) là khoảng lớn nhất của sự tồn tại nghiệm x(·; σ, ϕ) thì x(·; σ, ϕ)
được gọi là một nghiệm không thể kéo dài. Sự tồn tại của nghiệm không thể
kéo dài được suy ra từ bổ đề Zorn và khoảng lớn nhất của sự tồn tại phải là
một khoảng nửa mở [σ, γ).
Định lý 1.2.2. [9] Cho Ω là tập mở trong R × C. Giả sử F (·, ·) : Ω → Rn
là liên tục hoàn toàn (nghĩa là, F là liên tục và biến các tập đóng bị chặn
Học Viên:Võ Văn Thế

6

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

trong Ω thành các tập bị chặn trong Rn ) và x(·) là nghiệm không thể kéo dài
của (1.5)-(1.6) trên [σ − h, γ). Khi đó, với tập đóng bị chặn U trong Ω, tồn
tại tU sao cho (t, xt ) ∈
/ U với tU ≤ t < γ .
Giả sử F (t, 0) = 0, ∀t ∈ R. Khi đó, x(·, σ, 0) ≡ 0 là một nghiệm của
(1.5)-(1.6).
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm khơng của phương trình (1.5) được gọi là
(i) ổn định (S) (hay ổn định Lyapunov) nếu với mỗi ε > 0 và σ ∈ R cho
trước, tồn tại δ = δ(ε, σ) > 0 sao cho

⇒

φ <δ

x(t, σ, φ) < ε với mọi t ≥ σ.

Nếu δ có thể chọn độc lập với σ thì ta gọi nghiệm khơng của (1.5) là ổn
định đều (US).
(ii) ổn định tiệm cận (AS) nếu nó ổn định và với σ ∈ R cho trước, tồn tại

µ = µ(σ) > 0 sao cho

φ <µ

⇒

lim x(t, σ, φ) = 0.

t→∞

Nếu µ có thể chọn độc lập với σ và điều kiện ổn định đều được thỏa mãn
thì ta gọi nghiệm khơng của (1.5) là ổn định tiệm cận đều (UAS).
Định nghĩa về ổn định tiệm cận đều có thể được phát biểu một cách tương
đương như sau: Nghiệm khơng của phương trình (1.5) được gọi là ổn định
tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và tồn tại µ > 0 sao cho với mỗi ε > 0 và

σ ∈ R cho trước, tồn tại N = N (ε) sao cho
φ <µ

⇒

x(t, σ, φ) < ε, với mọi t ≥ N + σ.

Trong Định nghĩa 1.2.2 (ii), nếu µ = +∞ thì ta nói nghiệm khơng của (1.5)
là ổn định tiệm cận (đều) tồn cục.
Nếu y(t) là nghiệm bất kỳ của (1.5) thì y được gọi là ổn định nếu nghiệm

z = 0 của
z(t)
˙ = F (t, zt + yt ) − F (t, yt ),
là ổn định.

Học Viên:Võ Văn Thế

7

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm khơng của phương trình (1.5) được gọi là ổn
định mũ (ES) nếu tồn tại các số thực dương r, K, β sao cho với mỗi σ ∈ R
và mỗi φ ∈ Cr , nghiệm x(·; σ, ϕ) của (1.5)-(1.6) tồn tại trên [σ − h, ∞) và
thỏa mãn

x(t; σ, φ) ≤ Keβ(t−σ) φ ,

∀t ≥ σ.

Trong Định nghĩa 1.2.3, nếu r = +∞ thì ta nói nghiệm khơng của (1.5)
là ổn định mũ tồn cục.
Khi nghiệm khơng của phương trình (1.5) ổn định (ổn định đều, ổn định
tiệm cận, ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) thì ta nói phương trình (1.5) là
ổn định (ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ).
Mệnh đề 1.2.3. [9] Nếu có một ω > 0 sao cho F (t + ω, φ) = F (t, φ) với
mọi (t, φ) ∈ R × C , thì nghiệm không của (1.5) là ổn định (ổn định tiệm cận)
nếu và chỉ nếu nó là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều).

1.3

Điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình
vi phân tuyến tính có chậm
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng có chậm được xác định

bởi
m

0

Ai x(t − hi ) +

x(t)
˙
= A0 x(t) +

B(s)x(t + s),

t ≥ 0,

(1.7)

−h

i=1

trong đó, Ai ∈ Rn×n (i ∈ m0 ) là các ma trận cho trước, B(·) : [−h, 0] → Rn×n
là hàm liên tục cho trước và 0 < h1 < h2 < ... < hm < h là các số thực
cố định.
Với hàm φ ∈ C cho trước, chúng ta xét cho hệ (1.7) điều kiện đầu sau đây:

s ∈ [−h, 0].

x(s) = φ(s),

(1.8)

Định nghĩa 1.3.1. Hàm x(·) : [−h, ∞) → Rn được gọi là một nghiệm của
bài toán giá trị đầu (1.7)-(1.8) nếu x(·) khả vi liên tục trên đoạn [0, ∞), thỏa
mãn hệ (1.7) với bất kỳ t ≥ 0 và đồng nhất với hàm giá trị đầu φ trên đoạn

[−h, 0].
Học Viên:Võ Văn Thế

8

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Do hệ (1.7) là hệ tuyến tính, với mỗi φ ∈ C cho trước, bài tốn giá trị đầu
(1.7)-(1.8) ln có duy nhất nghiệm và nghiệm này được kí hiệu bởi x(·; φ)
(xem [9]).
Định nghĩa 1.3.2. Hệ (1.7) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại M ≥ 1 và

α > 0 sao cho
x(t; φ) ≤ M e−αt φ ,

∀t ≥ 0, ∀φ ∈ C.

Kết quả cổ điển sau đây có thể tìm thấy trong nhiều sách giáo khoa hoặc
các chuyên khảo về lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có
chậm (xem chẳng hạn [9]).
Định lý 1.3.1. [9] Hệ (1.7) là ổn định mũ nếu và chỉ nếu
m
−hi z

det(zIn − A0 −

Ai e

0

ezs B(s)ds) = 0,

−

∀z ∈ C, z ≥ 0

−h

i=0

Định lý 1.3.1 phát biểu rằng hệ (1.7) là ổn định mũ nếu và chỉ nếu phương
trình đặc trưng của hệ
m
−hi z

det zIn − A0 −

Ai e

0

ezs B(s)ds = 0,

−
−h

i=0

khơng có nghiệm trên nửa mặt phẳng phức bên phải C+ := {z ∈ C :

z ≥ 0}.
Rõ ràng rằng không dễ để kiểm chứng điều kiện ổn định mũ được cho bởi
Định lý 1.3.1. Chính vì vậy, việc chỉ ra một lớp hệ có nhiều ứng dụng thực
tiễn và các điều kiện ổn định cho lớp hệ này tường minh, dễ sử dụng là cần
thiết và có ý nghĩa khoa học.
Định nghĩa 1.3.3. Hệ (1.7) được gọi là hệ dương nếu với bất kỳ hàm giá
trị đầu không âm, nghiệm tương ứng của hệ cũng không âm, tức là

∀φ ∈ C+

=⇒

x(t, φ) ≥ 0, ∀t ≥ 0.

Định lý sau đây trình bày điều kiện cần và đủ để hệ (1.7) là một hệ dương.
Định lý 1.3.2. [22] Hệ (1.7) là dương khi và chỉ khi A0 là một ma trận
n×n
Metzler, Ai ∈ R+
(i ∈ m) và B(s) ∈ Rn×n
+ , ∀s ∈ [−h, 0].

Học Viên:Võ Văn Thế

9

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Định lý sau đây chỉ ra rằng, tính dương ảnh hưởng rất lớn đến tính ổn
định mũ của hệ (1.7). Một cách cụ thể hơn, đối với lớp các hệ dương dạng
(1.7), các tiêu chuẩn ổn định mũ là rất đơn giản và dễ sử dụng.
Định lý 1.3.3. [22] Giả sử hệ (1.7) là hệ dương. Khi đó, các điều kiện sau
đây là tương đương:
(i) Hệ (1.7) là ổn định mũ;
(ii) µ(A0 +

m
i=1 Ai

+

0
−h B(s)ds)

(iii) Tồn tại p ∈ Rn+ , p
(iv) A0 +

< 0;

0 sao cho (A0 +

0
m
i=1 Ai + −h B(s)ds

m
i=1 Ai

khả nghịch và (

+

0
−h B(s)ds)p

0
m
−1
i=0 Ai + −h B(s)ds)

0;
≤ 0;

(v) Với r ∈ Rn+ cho trước, tồn tại p ∈ Rn+ sao cho
m

A0 +

0

Ai +

B(s)ds p + r = 0;
−h

i=1

(vi) Với bất kỳ x ∈ Rn+ \{0}, véc tơ hàng xT (A0 +

m
i=1 Ai

+

0
−h B(s)ds)

có

ít nhất một phần tử âm.

Ví dụ 1.3.1. Xét phương trình vi phân tuyến tính có chậm
0

7
x(t)
˙
= − x(t) + x(t − h1 ) +
2

es x(t + s)ds, ∀t ∈ R+ ,

(1.9)

−h2

với h1 , h2 > 0, cho trước.
Theo Định lý 1.3.2, (1.9) là hệ dương. Hơn nữa, theo định lý 1.3.3 (1.9)
là ổn định mũ, bởi vì
0

7
− +1+
2

3
es ds = − − e−h < 0.
2
−h

Với ma trận A = (aij ) ∈ Rn×n cho trước, ma trận M (A) := (ˆ

aij ) ∈ Rn×n ,
với a
ˆij := |aij |, i = j, i, j ∈ n; a
ˆii := aii , i ∈ n được gọi là ma trận Metzler
hóa của ma trận A.

Học Viên:Võ Văn Thế

10

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Định lý sau đây cho một mở rộng của Định lý 1.3.3 cho các hệ không nhất
thiết dương.
Định lý 1.3.4. [22] Hệ (1.7) là ổn định mũ nếu
m

0

|Ai | +

µ M (A0 ) +

|B(s)|ds < 0.
−h

i=1

Định lý sau đây cho một mở rộng của Định lý 1.3.4 cho các hệ phụ thuộc
thời gian.
Định lý 1.3.5. [24] Cho Ak (·) ∈ C(R, Rn×n ) với mỗi k ∈ m0 và B(·, ·) ∈

C(R × [−h, 0], Rn×n ) và hk (·) ∈ C(R, R) với 0 < hk (t) ≤ h, ∀t ∈ R, với mỗi
k ∈ m. Khi đó, hệ
m

0

Ak (t)x(t − hk (t)) +

x(t)
˙
= A0 (t)x(t) +

B(t, s)x(t + θ)dθ, (1.10)
−h

k=1

là GES nếu một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) Tồn tại β1 > 0 và p ∈ Rn+ , p

0 sao cho

m

0

β1 h

|Ak (t)|+eβ1 h

M (A0 (t))+e

|B(t, s)|ds p

−β1 p,

∀t ∈ R;

−h

k=1

(1.11)
(ii) Tồn tại β2 > 0 và ma trận B0 ∈ Rn×n ổn định Hurwitz sao cho
m
β2 h

0

|Ak (t)| + eβ2 h

M (A0 (t)) + e

|B(t, s)|ds ≤ B0 ,

∀t ∈ R;

−h

k=1

(1.12)
(iii) Tồn tại A0 ∈ Rn×n và B0 ∈ Rn×n
sao cho
+
m

M (A0 (t)) ≤ A0 ;

0

|Ak (t)|+

|B(t, s)|ds ≤ B0 ,

∀t ∈ R, (1.13)

−h

k=1

và A0 + B0 là ổn định Hurwitz.
Ví dụ 1.3.2. Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian

có chậm
0

es−t x(t + s)ds, t ≥ σ ≥ 0 (1.14)

x(t)
˙
= −a(t)x(t) + b(t)x(t − τ (t)) +
−h(t)

Học Viên:Võ Văn Thế

11

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chun ngành: Tốn Ứng Dụng

Trong đó,a(·), b(·) ∈ C(R+ , R) là các hàm cho trước, a(t) ≥ a > 0, t ≥ 0,
với a > 0, và τ (·), h(·) ∈ C(R+ , R) với 0 ≤ τ (t), h(t) ≤ h, ∀t ∈ R+ .
Theo Định lý 1.3.5(iv), hệ (1.14) ổn định mũ nếu
0

es ds < 0

−a + sup |b(t)| +
t∈R+

−h

hay

sup |b(t)| < a + e−h − 1.
t∈R+

1.4

Điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình
vi phân phi tuyến có chậm

Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến phụ thuộc thời gian được xác định
bởi

x(t)
˙
= f (t, x(t)) + g(t; xt ),

t ≥ σ,

(1.15)

trong đó,
(i) Với mọi t ∈ R, xt (·) ∈ C được xác định bởi xt (θ) := x(t+θ), θ ∈ [−h, 0],
với h > 0 cho trước;
(ii) f (·, ·) : R × Rn → Rn , là hàm liên tục cho trước và Lipschitz (địa
phương) theo biến thứ hai, đều theo t trên các đoạn compact của R và

f (t, 0) = 0, với mọi t ∈ R;
(iii) g(·; ·) : R ×C → Rn , là hàm liên tục cho trước sao cho g(t; 0) = 0, ∀t ∈ R
và g(t; φ) Lipschitz (địa phương) theo φ trên mỗi tập con compact của
R × C.
Khi đó, với σ ∈ R cố định và hàm φ ∈ C cho trước, hệ (1.15) có duy nhất
nghiệm (địa phương), kí hiệu là x(·; σ, φ), thỏa mãn điều kiện đầu

xσ (s) = φ(s),

s ∈ [−h, 0].

(1.16)

Nghiệm này được xác định và liên tục trên [σ − h, γ) với một γ > σ và thỏa
mãn hệ (1.15) với mỗi t ∈ [σ, γ). Hơn nữa, nếu [σ − h, γ) là khoảng lớn nhất
Học Viên:Võ Văn Thế

12

Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

của sự tồn tại nghiệm x(·; σ, φ) thì x(·; σ, φ) được gọi là nghiệm không thể
kéo dài. Sự tồn tại nghiệm không thể kéo dài được suy ra từ Bổ đề Zorn và
khoảng lớn nhất của sự tồn tại phải là một khoảng mở.
Chú ý rằng, các giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R và g(t; 0) = 0, ∀t ∈ R, kéo

theo x(t) ≡ 0, ∀t ∈ R là một nghiệm của (1.15)-(1.16) (với φ(·) ≡ 0).
Định nghĩa 1.4.1. (i) Nghiệm không của (1.15) được gọi là ổn định mũ
(viết tắt là ES) nếu tồn tại các số thực dương r, K, β sao cho với mỗi σ ∈ R
và mỗi φ ∈ Cr , nghiệm x(·; σ, φ) của (1.15)-(1.16) xác định trên [σ − h, +∞)
và hơn nữa thỏa mãn

x(t; σ, φ) ≤ Ke−β(t−σ) ,

∀t ≥ σ.

(ii) Nghiệm không của (1.15) được gọi là ổn định mũ toàn cục (viết tắt
là GES) nếu tồn tại các số thực dương K, β sao cho với mỗi σ ∈ R và mỗi

φ ∈ C , nghiệm x(·; σ, φ) của (1.15)-(1.16) xác định trên [σ − h, +∞) và hơn
nữa thỏa mãn

x(t; σ, φ) ≤ Ke−β(t−σ) φ ,

∀t ≥ σ.

Định lý sau đây trình bày một điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định
mũ của hệ (1.15).
(0)

Định lý 1.4.1. [24] Giả sử A0 (·) := (aij (·)) ∈ C(R, Rn×n ), A1 (·) ∈ C(R, Rn×n
+ )
và η(·, ·) : R × [−h, 0] → Rn×n sao cho

η(t, ·) := (ηij (t, ·)) ∈ N BV0 ([−h, 0], Rn×n ),
với mỗi t ∈ R và L(t; φ) : R × C → Rn

0

L(t; φ) :=

dθ [η(t, θ)]φ(θ),

φ ∈ C,

(1.17)

−h

là liên tục theo t với mỗi φ ∈ C . Giả sử rằng, với mỗi t ∈ R, f (t, ·) khả vi
liên tục trên Rn và thỏa mãn điều kiện

∂fi
(0)
(t, x) ≤ aii (t), ∀i ∈ n;
∂xi

∂fi
(0)
(t, x) ≤ aij (t), ∀i, j ∈ n, i = j, (1.18)
∂xj

với bất kỳ t ∈ R, bất kỳ x ∈ Rn và

|g(t; φ)| ≤ A1 (t)|φ(0)| + |L(t; φ)|,
Học Viên:Võ Văn Thế

13

∀t ∈ R, ∀φ ∈ C.

(1.19)
Khóa 2015


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Đặt

B(t) := (V ar[−h,0] ηij (t, ·)) ∈ Rn×n , t ∈ R.

(1.20)

Khi đó, nghiệm khơng của (1.15) là ES nếu một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn:
(i) Tồn tại β1 > 0 và p ∈ Rn+ , p

0 sao cho

A0 (t) + A1 (t) + eβ1 h B(t) p

−β1 p,

∀t ∈ R;

(1.21)

(ii) Tồn tại β2 > 0 và ma trận B0 ∈ Rn×n ổn định Hurwitz sao cho

A0 (t) + A1 (t) + eβ2 h B(t) ≤ B0 ,

∀t ∈ R;

(1.22)

(iii) Tồn tại A0 ∈ Rn×n và B0 ∈ Rn×n
sao cho
+

A0 (t) ≤ A0 ;

A1 (t) + B(t) ≤ B0 ,

∀t ∈ R,

(1.23)

và A0 + B0 là ổn định Hurwitz.
Hơn nữa, nếu với mỗi t ∈ R, L(t; ·) là toán tử dương thì nghiệm khơng của
(1.15) là GES nếu một trong các điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn.
Nhận xét 1.4.1. Với φ ∈ C cho trước, xét |φ| ∈ C+ được xác định bởi

|φ|(θ) = |φ(θ)|, θ ∈ [−h, 0]. Nếu với mỗi t ∈ R, L(t; ·) là tốn tử dương thì
|L(t; φ)| ≤ L(t; |φ|),

∀t ∈ R, ∀φ ∈ C.

Vì vậy, (1.19) kéo theo

|g(t; φ)| ≤ A1 (t)|φ(0)| + L(t; |φ|),

∀t ∈ R, ∀φ ∈ C.

(1.24)

Khi đó, nghiệm không của hệ (1.15) là GES, nếu (1.18), (1.24) và một
trong các điều kiện (i), (ii), (iii) được đưa ra trong Định lý 1.4.1 đúng. Điều
này là hệ quả trực tiếp của chứng minh của Định lý 1.4.1 được trình bày ở
phần sau.
Như một trường hợp riêng, xét hàm L(·, ·) được xác định bởi
m

L(t; φ) :=

0

Ak (t)φ(−hk (t)) +
k=2

Học Viên:Võ Văn Thế

B(t, s)φ(s)ds,

t ∈ R, φ ∈ C. (1.25)

−h

14

Khóa 2015