Về tính ổn định của nghiệm tuần hoàn của một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến với chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

VÕ TRẦN AN

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN
HỒN CỦA MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN VỚI CHẬM

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã ngành: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

VÕ TRẦN AN

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN
HỒN CỦA MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHI TUYẾN VỚI CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã ngành: 60460112

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016


1
CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Hữu Anh Ngọc.

Cán bộ nhận xét 1: TS. Lê Xuân Đại.

Cán bộ nhận xét 2: PGS. TS. Nguyễn Văn Kính.

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày 08
tháng 01 năm 2017.
Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. PGS. TS. Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch hội đồng.
2. PGS. TS. Nguyễn Văn Kính - Phản biện 2.
3. TS. Lê Xuân Đại - Phản biện 1.
4. TS. Đặng Văn Vinh - Thư ký.
5. TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm - Uỷ viên.

Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên ngành
sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY

TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS. TS. HUỲNH QUANG LINH


2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XH-CN VIỆT NAM
ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: Võ Trần An

MSHV: 1570237

Ngày, tháng, năm sinh: 24/03/1991

Nơi sinh: Thành phố Hồ Chí Minh

Chun Ngành: Tốn Ứng dụng

Mã số: 60460112

I. TÊN ĐỀ TÀI: VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN CỦA MỘT
LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VỚI CHẬM.

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
- Các điều kiện cần, các điều kiện đủ, các điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại và duy
nhất nghiệm tuần hoàn của các hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm.
- Ứng dụng các kết quả đạt được để tìm hiểu tính ổn định mũ của nghiệm tuần hồn
của mạng nơ ron nhân tạo.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2016
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 04/12/2016
V. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS PHẠM HỮU ANH NGỌC

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 4 tháng 12 năm 2016
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA


LUẬN VĂN

VÕ TRẦN AN

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy hướng dẫn
PGS. TS Phạm Hữu Anh Ngọc – trường đại học Quốc Tế Tp. Hồ Chí Minh, đại
học quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, người đã ln tận tụy, nhiệt tình hướng dẫn, giảng
dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp
tơi hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn TS. Cao Thanh Tình đã nhiệt tình giúp đỡ, động
viên tơi trong q trình thực hiện luận văn này .
Tơi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong bộ mơn Tốn Ứng Dụng, khoa Khoa

Học Ứng Dụng, trường đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh đã hết lòng
giảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tơi hồn thành
luận văn của mình.
Tơi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp cao học ngành Tốn Ứng Dụng khóa
2015 đã động viên, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học và q trình thực hiện
luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đã luôn
ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt thời gian học tập.
Cuối cùng, trong q trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót,
rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cơ và bạn đọc để bổ sung và hồn
thiện đề tài tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2016
Học viên cao học

Võ Trần An

i


LUẬN VĂN

VÕ TRẦN AN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu những vấn đề sau:
1. Nghiên cứu tiêu chuẩn tường minh cho tính duy nhất và ổn định mũ của hệ
phương trình vi phân phi tuyến có chậm.
2. Nghiên cứu tiêu chuẩn tường minh cho tính duy nhất và ổn định mũ của

nghiệm tuần hồn của hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm.
3. Nghiên cứu mạng nơ ron nhân tạo.
Cách tiếp cận của chúng tôi trong luận văn này được dựa trên Định lý PerronFrobenius và nguyên lý so sánh nghiệm.
Kết quả chúng tôi đã thu được các tiêu chuẩn tường minh, đủ đơn giản, mới
cho sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn và tính ổn định mũ tồn cục của nó đối
với một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm. Đồng thời chúng tơi đã
sử dụng các kết quả mới thu được để áp dụng vào mạng nơ ron nhân tạo.

ABSTRACT THESIS
In this thesis, we will research these following subjects:
1. Research explicit criteria for existence, uniqueness and global exponential
stability of general nonlinear differential systems with time-varying delay.
2. Research explicit criteria for existence, uniqueness and global exponential
stability of periodic solutions of general nonlinear differential systems with
time-varying delay.
3. Research the delayed neural networks.
The approach utilized in the present paper is based on the celebrated PerronFrobenius theorem and the comparison principle.
After all, we get new explicit criteria for existence, uniqueness and global exponential stability of periodic solutions of general nonlinear differential systems
with time-varying delay. And then the obtained stability criteria are used to study
exponential stability of periodic solutions of delayed neural networks.
ii


LUẬN VĂN

VÕ TRẦN AN

LỜI CAM ĐOAN
Tôi tên là Võ Trần An, mã học viên: 1570237, học viên cao học chuyên ngành
Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh khóa 2015 2017. Tơi xin cam đoan rằng: ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các cơng trình

khác như đã ghi rõ trong luận văn, các cơng việc trình bày trong luận văn này là
do chính tơi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp
để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác.

Thành phố Hồ Chí Minh, 2016
Học Viên Cao Học

Võ Trần An

iii


Mục lục
LỜI CẢM ƠN

i

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

ii

LỜI CAM ĐOAN

iii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
LỜI MỞ ĐẦU

v
vii

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

1

1.1 Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Sơ lược về các phương trình vi phân có chậm . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA
CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN
CĨ CHẬM

10

2.1 Sự tồn tại duy nhất và ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của một
lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Áp dụng vào mạng nơ ron nhân tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

KẾT LUẬN

22

TÀI LIỆU THAM KHẢO

25

iv


LUẬN VĂN

VÕ TRẦN AN

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa

ES

Exponentially stable: ổn định mũ

GES

Globally exponentially stable: ổn định mũ toàn cục

N

Tập các số tự nhiên

m

m := {1, 2, ..., m}, với m ∈ N

m0

m0 := {0, 1, 2, ..., m}, với m ∈ N

R

Trường các số thực

R+

Tập hợp các số thực không âm

Rm

Không gian véc tơ thực m-chiều

Rl×q

Vành các ma trận thực, cỡ l × q

C

Trường các số phức
Phần thực của số phức z

z

C+

C+ := {z ∈ C : z ≥ 0}

K

K = R hoặc K = C

X

Bao đóng của tập X

JF (x)

Ma trận Jacobi của hàm F tại x

det(M )

Định thức của ma trận vuông M

M −1

Nghịch đảo của ma trận vuông M

|x|

|x| := (|x1 |, |x2 |, ..., |xm |)T , x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm

|M |

|M | := (|mij |) với M = (mij ) ∈ Rl×q

x

Chuẩn của véc tơ x

M

Chuẩn của ma trận M

Im

Ma trận đơn vị cấp m

0

Số không/ véc tơ không/ ma trận không

x≥y

xi ≥ yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm

và y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm
x

y

xi > yi (∀i ∈ m), với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm

và y = (y1 , y2 , ..., ym )T ∈ Rm

v


LUẬN VĂN

VÕ TRẦN AN

Ký hiệu
A≥B

Ý nghĩa
aij ≥ bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q và
B = (bij ) ∈ Rl×q

A

B

aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q và
B = (bij ) ∈ Rl×q

M (A)

M (A):= (ˆ
aij ) ∈ Rn×n , với a
ˆij := |aij |, i = j, i, j ∈ n;
a
ˆii := aii , i ∈ n và A = (aij ) ∈ Rn×n cho trước

σ(M )

σ(M ) := {λ ∈ C : det(λIm − M ) = 0}, phổ của ma

trận vng M
µ(M )

µ(M ) := max{ λ : λ ∈ σ(M )}, hồnh độ phổ của ma

trận vng M
C([a, b], Kn )

Khơng gian Banach các hàm liên tục trên [a, b],
nhận giá trị trong Kn với chuẩn ϕ = maxt∈[a,b] ϕ(t)

C := C([−h, 0], Rn )

Không gian Banach các hàm liên tục trên [−h, 0], nhận
giá trị trong Rn với chuẩn ϕ = maxt∈[−h,0] ϕ(t)

C+

C+ := {ϕ ∈ C : ϕ ≥ 0}

Cr

Cr := {ϕ ∈ C : ϕ ≤ r}, với r > 0

C(R− , Rn )

Không gian véc tơ các hàm liên tục trên (−∞, 0],
nhận giá trị trong Rn

C(R+ , Rn )

Không gian véc tơ các hàm liên tục trên [0, +∞),
nhận giá trị trong Rn

C(R, Rn×n )

Khơng gian véc tơ các hàm liên tục trên R,
nhận giá trị trong Rn×n

vi


LUẬN VĂN

VÕ TRẦN AN

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có lịch sử hơn 100 năm và
bắt đầu với những cơng trình của nhà Toán học nổi tiếng người Nga Aleksandr
Lyapunov (1857-1918):
- On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in 1884,
Russian),
- General problem of the stability of motion (1892, in Russian).
Hơn 100 năm qua, được thúc đẩy bởi các ứng dụng trong các ngành kĩ thuật,
các bài toán ổn định và ổn định vững của các hệ động lực ln là những vấn đề

trung tâm trong lí thuyết điều khiển của các hệ động lực và được các nhà Kĩ thuật,
Toán học, Cơ học, . . . quan tâm nghiên cứu. Các hệ phương trình vi phân có chậm
là lớp hệ có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Chúng được sử dụng như
mơ hình cho một loạt các hiện tượng trong Vật lý, Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật,
.... Lý thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm dừng
(linear time-invariant differential systems with delay) đã phát triển một cách gần
như hồn chỉnh. Tuy nhiên, khác với các bài tốn ổn định của các hệ phương trình
vi phân tuyến tính dừng, các bài tốn ổn định của các hệ phương trình vi phân có
chậm (tuyến tính, hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian (time-varying differential
systems with delay) khá phức tạp. Các tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định
của các hệ phương trình vi phân có chậm phụ thuộc thời gian khơng có nhiều và
thường được cho bởi các điều kiện dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính
(linear matrix inequalities) phức tạp và khó sử dụng. Nói riêng, khơng có nhiều
tiêu chuẩn tường minh cho tính ổn định mũ của các nghiệm tuần hồn của các hệ
phương trình vi phân phi tuyến có chậm.
Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các điều kiện đủ đơn giản cho
sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hồn và tính ổn định mũ tồn cục của nó đối với
một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm. Các vấn đề được đặt ra trong
luận văn này là mở và có ý nghĩa khoa học; các kết quả mong đợi là mới và là một
đóng góp có ý nghĩa trong lí thuyết ổn định của các hệ phương trình vi phân có
chậm . Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương và danh mục tài liệu tham khảo.

vii


LUẬN VĂN

VÕ TRẦN AN

Cấu trúc của luận văn được trình bày như sau:

Lời nói đầu
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương 2: Ổn định mũ của nghiệm tuần hoàn của các hệ phương trình vi phân
phi tuyến có chậm
Kết luận và hướng phát triển.
Tài liệu tham khảo.
Một cách cụ thể hơn, chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ sở sẽ
được dùng trong chương sau. Chương 2 trình bày kết quả chính của luận văn này,
cụ thể tơi trình bày gồm hai phần, phần thứ nhất trình bày một vài tiêu chuẩn ổn
định mũ về sự tồn tại, duy nhất và ổn định mũ của nghiệm tuần hồn của phương
trình vi phân phi tuyến với chậm phụ thuộc vào thời gian (Định lý 2.1.1), một ví
dụ minh họa (2.1.1) , phần thứ hai tôi áp dụng kết quả thu được (Định lý 2.1.1)
vào việc nghiên cứu mạng nơ ron nhân tạo (Định lý 2.2.1).

viii


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này chúng tơi trình bày một số quy ước và kiến thức được sử
dụng trong chương sau.

1.1

Một số kiến thức cơ sở

Cho N là tập hợp số tự nhiên. Với m ∈ N cho trước, ta kí hiệu m := {1, 2, ..., m}.
Với các số nguyên cho trước l, q ≥ 1, Rl là không gian vectơ l chiều trên R và
Rl×q là tập hợp tất cả các ma trận thực l hàng, q cột. Các bất đẳng thức giữa các
ma trận thực (hoặc các vectơ thực) được hiểu theo từng thành phần. Điều này có
nghĩa là:
Với A = (aij ) và B = (bij ) trong Rl×q , A ≥ B nếu và chỉ nếu aij ≥ bij với
i = 1, 2, ..., l , j = 1, 2, ..., q . Đặc biệt nếu aij > bij với i = 1, 2, ..., l j = 1, 2, ..., q thì ta

viết A

B thay cho A ≥ B . Kí hiệu Rl×q
+ là tập hợp tất cả các ma trận không âm.

Định nghĩa 1.1.1. [29] Cho X là không gian véc tơ trên trường K. Ánh xạ
·

: X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

i) x ≥ 0, ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) λx = |λ| x , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K;
iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X.
Giá trị x được gọi là chuẩn của véc tơ x. Không gian véc tơ X cùng với chuẩn
·

được gọi là một khơng gian định chuẩn, kí hiệu (X, · ). Một không gian định

chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
1

LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Chẳng hạn như, Kn là một không gian Banach với một trong các chuẩn sau
đây:
n

x

p

|xi |p

=

1
p

và x

∞

|xi | ,

= max

1≤i≤n

i=1

với x = (x1 , x2 , ..., xn )T ∈ Kn và 1 ≤ p < ∞.
trên Kn được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y| thì x ≤ y với

·

Một chuẩn

x, y ∈ Kn . Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng

·

là một chuẩn đơn điệu nếu và

chỉ nếu x = |x| , với mọi x ∈ Rn . Chú ý rằng,
đơn điệu. Giả sử ·

·

trên Kn với 1 ≤ p ≤ ∞ là

p

1

và ·

và

·

2

được gọi là các chuẩn tương đương nếu tồn tại các số

dương α và β sao cho α x

1

≤ x

tơ X . Khi đó,

·

1

2

là các chuẩn xác định trên cùng một không gian véc

2

≤ β x 1 , với mọi x ∈ X. Chú ý rằng, mọi chuẩn

trên Kn đều tương đương.
Với x ∈ Rn ; P ∈ Rl×q cho trước, ta định nghĩa: |x| = (|xi |)T và |P | = (|pij |). Một
chuẩn · trên Rn được gọi là đơn điệu nếu x ≤ y với bất kỳ x, y ∈ Rn , |x| ≤ |y|.
Rõ ràng rằng, các p-chuẩn trên Rn :
1

x

p

= (|x1 |p + |x2 |p + ... + |xn |p ) p , 1 ≤ p < ∞

và
x

∞

= maxi=1,2,...,n |xi |

là các chuẩn đơn điệu.

Định nghĩa 1.1.2. [29](Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q ,
chuẩn của tốn tử tuyến tính M : Kq → Kl , x → M x :
M := max
x=0

Mx
= max
x
x =1

Mx

,

được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M.
Chẳng hạn như nếu Kn được trang bị bởi chuẩn
ma trận M = (mij ) ∈ Kn×n được cho bởi M

1

·

= max

1
n

thì chuẩn tốn tử của

1≤j≤n i=1

của tổng các cột). Nếu Kn được trang bị bởi chuẩn ·

∞

|mij | (giá trị lớn nhất

thì chuẩn tốn tử của M

n

được cho bởi M

∞

= max

1≤i≤n j=1

|mij | (giá trị lớn nhất của tổng các dòng), xem [29]

2


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Với bất kỳ ma trận M ∈ Rnìn honh ph ca M c nh ngha bi
à(M ) := max{Re λ : λ ∈ σ(M )},

với

σ(M ) := {z ∈: det(zIn − M ) = 0}

là tập tất cả các giá trị riêng của ma trận M (phổ của ma trận M ).
Định nghĩa 1.1.3. [23] Một ma trận thực M ∈ Rn×n được gọi là ổn định Hurwitz
nếu µ(M ) < 0.
Định nghĩa 1.1.4. [23] Một ma trận thực cấp n × n được gọi là ma trận Metzler
nếu các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều khơng âm. Điều đó có nghĩa là
ma trận A := (aij ) ∈ Rn×n , i, j ∈ n được gọi là ma trận Metzler nếu aij ≥ 0 với mọi
i, j ∈ n, i = j .

Định lý sau đây tổng kết một vài tính chất quan trọng của ma trận Metzler và

chúng sẽ được dùng trong các chương sau.
Định lý 1.1.1. [23] Giả sử M ∈ Rn×n là ma trận Metzler và t ∈ R. Khi đó
i) (Perron-Frobenius) µ(M ) là một giá trị riêng của M và tồn tại một véc tơ không
âm x ∈ Rn+ , x = 0 sao cho M x = µ(M )x;
ii) Giả sử α ∈ R cho trước. Khi đó, tồn tại một véc tơ khơng âm x ∈ Rn , x = 0 sao
cho M x ≥ αx khi và chỉ khi µ(M ) ≥ α;
iii) (tIi − M )−1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > à(M );
nìn . Khi ú,
iv) Cho trc B Rnìn
+ , C C

|C| B à(M + C) ≤ µ(M + B).

Các tính chất quan trọng sau đây của các ma trận Metzler được suy ra trực
tiếp từ Định lý 1.1.1.
Định lý 1.1.2 sau đây đóng vai trị quan trọng trong chứng minh kết quả chính ở
Chương 2.

3


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Định lý 1.1.2. [23] Cho M ∈ Rn×n là một ma trận Metzler. Các khẳng định sau
là tương đương:
i) µ(M ) < 0;
ii) ∃p ∈ Rn+ : M p

0;

iii) M khả nghịch và M −1 ≤ 0;
iv) Với b ∈ Rn , b

0 thì tồn tại x ∈ Rn+ sao cho M x + b = 0;

v) Với bất kỳ x ∈ Rn+ \{0}, vectơ hàng xT M có ít nhất một phần tử âm.
Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng minh phát biểu (i), (ii) và (iii) là tương đương
nhau.
[(i) ⇒ (iii)]: Do M ∈ Rn×n là ma trận Metzler và µ(M ) < 0 nên M −1 ≤ 0, theo Định
lý 1.1.1 (iii). Vậy ta có (i) suy ra (iii).
[(iii) ⇒ (ii)]: Giả sử M −1 ≤ 0. Đặt
e := (1, 1, . . . , 1)T ∈ Rn ,

và
p := (−M )−1 e ∈ Rn

Dễ thấy p

(1.1)

0. Nhân hai vế của (1.1) cho (−M ) từ bên trái, ta có (−M )p = e hay

M p = −e. Vì vậy M p

0 với p ∈ Rn , p

0. Vậy ta có (iii) suy ra (ii).

[(ii) ⇒ (i)]: Vì M ∈ Rn×n là ma trận Metzler nên tồn tại véc tơ x ∈ Rn , x ≥ 0, x = 0
sao cho M T x = µ(M )x, theo Định lý 1.1.1 (i). Từ (ii) ta có
Mp

0.

(1.2)

Nhân hai vế của (1.2) với xT từ bên trái, ta được xT M p < 0. Suy ra
µ(M )xT p = xT M p < 0.

Vì xT p > 0, nên µ(M ) < 0. Vậy ta có (ii) suy ra (i).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh phát biểu (iii), (iv) và (v) là tương đương nhau.
[(iii) ⇒ (iv)]: Hiển nhiên.
4


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

[(iv) ⇒ (v)]: Giả sử (iv) đúng và giả sử phản chứng rằng tồn tại x ∈ Rn+ \{0} sao
cho véc tơ hàng xT M ≥ 0. Lấy r ∈ Rn , r

0, theo (iv) tồn tại véc tơ p ∈ Rn+ sao

cho M p + r = 0 hay r = −M p. Do đó, 0 < xT r = −xT M p ≤ 0. Đây là một mâu
thuẫn. Vậy ta có (iv) suy ra (v).
[(v) ⇒ (i)]: Giả sử (v) đúng và giả sử phản chứng rằng µ(M ) ≥ 0. Do M là ma trận
Metzler nên theo Định lý 1.1.1 (i), tồn tại p ∈ Rn+ \{0} sao cho M T p = µ(M )p. Với

µ(M ) ≥ 0 và p ∈ Rn+ \{0}, ta có M T p = µ(M )p ≥ 0. Điều này kéo theo pT M ≥ 0.

Mâu thuẫn với (v). Định lý được chứng minh.
Tiếp theo chúng tơi trình bày định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véc tơ
và định lý này sẽ được dùng trong các chương sau.
Định nghĩa 1.1.5. [4]Giả sử F (·) : Rl → Rm khả vi tại x = (x1 , x2 , ..., xl )T ∈ Rl .
Ma trận Jacobi của F (·) tại x là ma trận cỡ m × l trong Rm×l , kí hiệu JF (x), được
xác định như sau


∂F1

∂F1







JF (x) := 






∂x1
∂F2

∂x2
∂F2

∂x1
···

∂x2
···

∂Fm ∂Fm
∂x1

trong đó,

∂Fi
∂xj

:=

∂Fi (x1 , x2 , ..., xl )
∂xj

∂x2

···
···
···
···

∂F1









∂xl  ,

··· 


∂Fm 
∂xl
∂F2

∂xl

với i ∈ m, j ∈ l.

Sau đây là định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véc tơ.
Định lý 1.1.3. [4] Cho U là một tập mở trong Rm , F (·) : U → Rm là hàm khả vi
liên tục trên U và các véc tơ x ∈ U, h ∈ Rm sao cho x + th ∈ U , với mọi t ∈ [0, 1].
Khi đó,
1

F x+h −F x =

JF x + th dt h,
0

trong đó, JF (·) là ma trận Jacobi của hàm F .

5


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Định nghĩa 1.1.6. Cho hai không gian mêtric (X, dX ) và (Y, dY ) với dX là mêtric
trên X và dY là mêtric trên Y , hàm số f : X → Y là liên tục Lipschitz nếu tồn tại
hằng số K ≥ 0 sao cho với mọi x1 , x2 ∈ X ,
||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||.

Định nghĩa 1.1.7. Cho f là hàm giá trị thực xác định trên [a, b] và x0 ∈ (a, b)
D+ f (x0 ) = lim sup
x→x+
0

f (x) − f (x0 )
x − x0

được gọi là đạo hàm Dini trên bên phải của hàm f tại x0 .

1.2

Sơ lược về các phương trình vi phân có chậm

Trong phần này chúng tơi trình bày một số kết quả cơ bản về sự tồn tại,

tính duy nhất nghiệm, và một số khái niệm cơ bản về ổn định nghiệm của các hệ
phương trình vi phân có chậm.
Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm được xác định bởi:
x(t)
˙
= F t, xt ,

t ≥ σ,

(1.3)

trong đó, xt ∈ C := C([−h, 0], Rn ), được xác định bởi xt (θ) := x(t + θ), θ ∈ [−h, 0] và
hàm F (·; ·) : Ω → Rn , Ω ⊂ R × C (h > 0 cố định).
Với mỗi σ ∈ R cố định, chúng ta xét điều kiện đầu
θ ∈ [−h, 0], ϕ ∈ C.

x(σ + θ) = ϕ(θ),

(1.4)

Định nghĩa 1.2.1. [9] Một hàm x(·) được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu
(1.3)-(1.4) nếu
i) Tồn tại A > 0 sao cho x(·) ∈ C([σ − h, σ + A), Rn ), (t, xt ) ∈ Ω, ∀t ∈ [σ, σ + A) và
x(·) thỏa mãn (1.3) với mỗi t ≥ σ;

ii) x(·) thỏa mãn điều kiện đầu (1.4).
Định lý sau đây trình bày các điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm (địa phương)
của bài toán (1.3)-(1.4).

6


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Định lý 1.2.1. [9] Cho Ω là tập mở trong R × C. Giả sử F (·, ·) liên tục trên Ω và
F liên tục Lipzchitz theo biến thứ hai trên mỗi tập con compact của R × C . Khi đó,

với bất kỳ (σ, ϕ) ∈ Ω, bài tốn (1.3)-(1.4) có duy nhất nghiệm.
Nói rõ ra, nghiệm được cho bởi Định lý 1.2.1, xác định và liên tục trên [σ − h, γ)
với γ > σ và thỏa (1.3) trên [σ, γ) và được kí hiệu x(·; σ, ϕ). Nếu [σ − h, γ) là khoảng
lớn nhất của sự tồn tại nghiệm x(·; σ, ϕ) thì x(·; σ, ϕ) được gọi là một nghiệm không
thể kéo dài. Sự tồn tại của nghiệm không thể kéo dài được suy ra từ bổ đề Zorn
và khoảng lớn nhất của sự tồn tại phải là một khoảng nửa mở [σ, γ).
Định lý 1.2.2. [9] Cho Ω là tập mở trong R × C. Giả sử F (·, ·) : Ω → Rn là liên
tục hoàn toàn (nghĩa là, F là liên tục và biến các tập đóng bị chặn trong Ω thành
các tập bị chặn trong Rn ) và x(·) là nghiệm không thể kéo dài của (1.3)-(1.4) trên
[σ − h, γ). Khi đó, với tập đóng bị chặn U trong Ω, tồn tại tU sao cho (t, xt ) ∈
/ U với
tU ≤ t < γ .

Giả sử F (t, 0) = 0, ∀t ∈ R. Khi đó, x(·, σ, 0) ≡ 0 là một nghiệm của (1.3)-(1.4).
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm khơng của phương trình (1.3) được gọi là
(i) ổn định (S) (hay ổn định Lyapunov) nếu với mỗi ε > 0 và σ ∈ R cho trước, tồn
tại δ = δ(ε, σ) > 0 sao cho
ϕ <δ

⇒

x(t, σ, ϕ) < ε với mọi t ≥ σ.

Nếu δ có thể chọn độc lập với σ thì ta gọi nghiệm không của (1.3) là ổn định
đều (US).
(ii) ổn định tiệm cận (AS) nếu nó ổn định và với σ ∈ R cho trước, tồn tại µ =
µ(σ) > 0 sao cho
ϕ <µ

⇒

lim x(t, σ, ϕ) = 0.

t→∞

Nếu µ có thể chọn độc lập với σ và điều kiện ổn định đều được thỏa mãn thì ta
gọi nghiệm khơng của (1.3) là ổn định tiệm cận đều (UAS).
Định nghĩa về ổn định tiệm cận đều có thể được phát biểu một cách tương
đương như sau: Nghiệm khơng của phương trình (1.3) được gọi là ổn định tiệm
cận đều nếu nó ổn định đều và tồn tại µ > 0 sao cho với mỗi ε > 0 và σ ∈ R cho
trước, tồn tại N = N (ε) sao cho
7


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

ϕ <µ

⇒

x(t, σ, ϕ) < ε, với mọi t ≥ N + σ.

Trong Định nghĩa 1.2.2 (ii), nếu µ = +∞ thì ta nói nghiệm khơng của (1.3) là
ổn định tiệm cận (đều) toàn cục.
Nếu y(t) là nghiệm bất kỳ của (1.3) thì y được gọi là ổn định nếu nghiệm z = 0
của
z(t)
˙ = F (t, zt + yt ) − F (t, yt ),

là ổn định.
Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm khơng của phương trình (1.3) được gọi là ổn định mũ
(ES) nếu tồn tại các số thực dương r, K, β sao cho với mỗi σ ∈ R và mỗi ϕ ∈ Cr ,
nghiệm x(·; σ, ϕ) của (1.3)-(1.4) tồn tại trên [σ − h, ∞) và thỏa mãn
x(t; σ, ϕ) ≤ Keβ(t−σ) ϕ ,

∀t ≥ σ.

Trong Định nghĩa 1.2.3, nếu r = +∞ thì ta nói nghiệm khơng của (1.3) là ổn
định mũ tồn cục.
Khi nghiệm khơng của phương trình (1.3) ổn định (ổn định đều, ổn định tiệm
cận, ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ) thì ta nói phương trình (1.3) là ổn định
(ổn định đều, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận đều, ổn định mũ).
Sau đây là sơ đồ về mối quan hệ của các loại ổn định vừa nêu trên trong trường
hợp tổng quát:

Mệnh đề 1.2.3. [9] Nếu có một ω > 0 sao cho F (t + ω, ϕ) = F (t, ϕ) với mọi
(t, ϕ) ∈ R × C , thì nghiệm khơng của (1.3) là ổn định (ổn định tiệm cận) nếu và chỉ

nếu nó là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều).
Định lý sau đây cho ta các điều kiện để phương trình vi phân có chậm có duy
nhất nghiệm đi qua (σ, φ) ∈ D.
8


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Định lý 1.2.4. [9] Cho D là một tập mở của R × C . Giả sử f : D → Rn là một
hàm liên tục trên D và f (t, φ) liên tục Lipschitz theo φ trên mỗi tập con compact
của D. Khi đó với mỗi (σ, φ) ∈ D, tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân có chậm đi qua (σ, φ).

9


Chương 2
ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM
TUẦN HOÀN CỦA CÁC HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI
TUYẾN CĨ CHẬM
Trong chương này, chúng tơi trình bày một tiếp cận mới đối với bài tốn ổn định
mũ của nghiệm tuần hồn của phương trình vi phân tuyến tính có chậm phụ thuộc
thời gian. Cách tiếp cận của chúng tôi được dựa trên Định lý Perron-Frobenius và
nguyên lý so sánh nghiệm áp dụng đối với hệ phương trình vi phân có chậm. Các
kết quả thu được, sẽ được sử dụng để nghiên cứu ổn định mũ của nghiệm tuần
hồn của mạng nơ ron có chậm.

10


LUÂN VĂN

2.1

VÕ TRẦN AN

Sự tồn tại duy nhất và ổn định mũ của nghiệm
tuần hoàn của một lớp hệ phương trình vi phân
phi tuyến có chậm

Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến phụ thuộc thời gian với chậm có dạng:


0

x(t)
˙
= A(t)x(t) + F t; x(t), x(t − h1 (t)), ..., x(t − hm (t)),



B(s)x(t + s)ds (2.1)



−h(t)

ở đây, giả sử rằng:
i) hk (·), h(·) : R → R+ , k ∈ m là các hàm số liên tục cho trước sao cho 0 <
hk (t) ≤ hk , 0 < h(t) ≤ h, h ≥ hk ∀k ∈ m với h, hk , k ∈ m là các số dương cho

trước;
ii) A(·) : R → Rn×n và B(·) : [−h, 0] → Rn×n là những hàm liên tục cho trước;
(m+2)

iii) F (·; ·, ..., ·) : R ×Rn × ... × Rn → Rn là hàm liên tục cho trước sao cho F (t; 0, ..., 0) =
0 , ∀t ∈ R và F (t; u1 , u2 , ..., um+2 ) là liên tục Lipschitz (địa phương) theo các
(m+2)

biến u1 , u2 , ..., um+2 trên mỗi tập con compact của R × Rn × ... × Rn .
Từ các giả thiết (i)-(iii), theo Định lý 1.2.4, với mỗi φ ∈ C := C([−h, 0], Rn ) cho
trước, tồn tại duy nhất một nghiệm địa phương của phương trình (2.1) thỏa mãn
điều kiện ban đầu
x(s) = φ(s) , s ∈ [−h, 0].

(2.2)

Nghiệm này (được kí hiệu là x(·; φ)) xác định và liên tục trên [−h, γ) với một số
γ > σ nào đó và thỏa mãn phương trình (2.1) với mỗi t ∈ [0, γ). Hơn nữa, nếu đoạn
[σ − h, γ) là đoạn lớn nhất của sự tồn tại nghiệm x(· ; σ, φ) thì x(· ; σ, φ) được gọi là

nghiệm không thể kéo dài.
Sự tồn tại của nghiệm không thể kéo dài được chứng minh bằng cách sử dụng bổ
đề Zorn và đoạn [σ, γ) là luôn mở tại γ . Một cách chi tiết hơn, xem tài liệu tham
khảo [5, 9].

11


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

Để nghiên cứu nghiệm tuần hoàn của phương trình (2.1), chúng tơi thừa nhận
rằng
(H1 )

h(·), hk (·), (k ∈ m), A(·) là các hàm ω -tuần hoàn và F (·; ·, ...., ·) là ω -tuần

hoàn theo biến số đầu tiên.
Định nghĩa 2.1.1. [20] Cho trước ω > 0. Hàm giá trị véctơ x(·) : [−h, ∞) → Rn
được gọi là một nghiệm ω -tuần hoàn của (2.1)-(2.2), nếu x(·) thỏa mãn các phương
trình (2.1)-(2.2) với hàm giá trị đầu φ ∈ C và x(t + ω) = x(t), ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 2.1.2. [20] Giả sử với bất kỳ φ ∈ C cho trước, x(.; φ) xác định trên
[−h, ∞) và x∗ (·, φ∗ ) là một nghiệm của phương trình (2.1)-(2.2) với hàm giá trị đầu
φ∗ ∈ C . Khi đó, x∗ (·, φ∗ ) được gọi là ổn định mũ toàn cục nếu tồn tại M > 0, β > 0

sao cho
||x(t, φ) − x∗ (t, φ∗ )|| ≤ M e−βt ||φ − φ∗ ||, ∀t ≥ 0, ∀φ ∈ C.

.
Định lý sau đây là kết quả chính của chương này.
Định lý 2.1.1. [20] Giả sử rằng (H1 ) đúng và tồn tại các ma trận hằng A0 :=
(0)

(k)

(aii ) ∈ Rn×n và Ak := (aij ) ∈ Rn×n
+ , k ∈ m + 2 sao cho
(0)

aii (t) ≤ aii , ∀t ∈ [0, ω], ∀i ∈ n;

(0)

|aij (t)| ≤ aij , ∀t ∈ [0, ω], ∀i, j ∈ n, i = j,

(2.3)

và
m+2

Ak |uk − vk |, ∀t ∈ [0, ω], ∀uk , vk ∈ Rn .

|F (t; u1 , ..., um+2 ) − F (t; v1 , ..., vm+2 )| ≤

(2.4)

k=1
m+1

Khi đó, nếu A0 +

Ak +
k=1

0
−h Am+2 |B(s)| ds

ổn định Hurwitz thì

i) Với bất kỳ φ ∈ C, x(·, φ) xác định trên [−h, ∞);
ii) Tồn tại duy nhất nghiệm ω-tuần hoàn của (2.1)-(2.2) và nghiệm ω-tuần hoàn của (2.1)(2.2) ổn định mũ toàn cục.

Chứng minh. Bước 1: Chúng ta sẽ chứng minh rằng: Với bất kỳ φ ∈ C cho trước,
x(·, φ) xác định trên [0, ∞).
m+1

Do M := A0 +

Ak +
k=1

0
A
|B(s)| ds
−h m+2

là ma trận Metzler ổn định Hurwitz,

theo Định lý 1.1.2 ta có
m+1

A0 +

0

Am+2 |B(s)| ds

Ak +
k=1

−h

12

p

0.

(2.5)


LUÂN VĂN

VÕ TRẦN AN

với p := (p1 , p2 , ..., pn )T ∈ Rn , pi > 0, ∀i ∈ n. Từ tính liên tục, (2.5) kéo theo
m+1

A0 +

0

Am+2 |B(s)| ds

Ak +

−ξp.

p

(2.6)

−h

k=1

với ξ > 0 đủ nhỏ. Mặt khác, từ (2.4), ta có:
m+2

Ak |uk | + |F (t; 0, ..., 0)| , ∀t ∈ [0, ω].

|F (t; u1 , ..., um+2 )| ≤
k=1

Bởi vì F (t; 0, ..., 0) liên tục, ta suy ra:
m+2

Ak |uk | + v, ∀t ∈ [0, ω].

|F (t; u1 , ..., um+2 )| ≤

(2.7)

k=1

n×n
với v = (v1 , v2 , ..., vn )T ∈ R+
. Với φ ∈ C , ta định nghĩa |φ| (s) := |φ(s)| , ∀s ∈ [−h, 0].

Gọi x(t) := x(t, φ), t ∈ [−h, γ) là nghiệm không thể kéo dài của (2.1)-(2.2) và y(·) :=
y(·; |φ|) là nghiệm của bài toán giá trị đầu:
.

0

m+1

y (·) = (A0 + A1 )y(t) +

Ak y(t − hk−1 (t)) + Am+2
k=2

B(s)y(t + s))ds + v, t ≥ 0.

−h(t)

(2.8)
y(s) = |φ|(s), s ∈ [−h, 0].

(2.9)

Cố định ζ > 0. Chú ý rằng
|x(0)| = |φ(0)| = y(0) ≤ y(0) + ζp.

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng |x(t)| ≤ y(t) + ζp, ∀t ∈ [0, γ).

Sử dụng phản chứng, giả sử rằng tồn tại t0 > 0 sao cho |x(t0 )| ≤ y(t0 ) + ζp. Đặt
t1 := inf {t ≥ 0 : |x(t)| ≤ y(t) + ζp} .

Bởi tính liên tục của x(t), y(t), t1 > 0 và tồn tại chỉ số i0 ∈ n sao cho
|x(t)| ≤ y(t) + ζp, ∀t ∈ [0, t1 ); |xi0 (t1 )| = yi0 (t1 ) + ζpi0
1
|xi0 (tk )| > yi0 (tk ) + ζpi0 , tk ∈ (t1 , t1 + ), k ∈ N.
k

Giả sử F = (F1 , F2 , ..., Fn ). Từ (2.1) và (2.2), ta có
d
|xi (t)| = sgn(xi (t))x˙ i (t) = sgn(xi (t))
dt
13

n

aij (t)xj (t)
j=1

(2.10)