Các phép toán của giải tích ngẫu nhiên thông qua mô hình black scholes ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
------------------oOo--------------------

NGUYỄN VĂN BÉ

CÁC PHÉP TỐN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN THƠNG
QUA MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES ỨNG DỤNG TRONG
TÀI CHÍNH

CHUN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ : 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2014


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS.Dương Tôn Đảm
Cán bộ chấm nhận xét 1:……………………………………………………………...
Cán bộ chấm nhận xét 2:……………………………………………………………...
Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa-ĐHQG-Tp.HCM.
Ngày 30 tháng 12 năm 2014
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm :
1……………………………………………………………………………………….
2……………………………………………………………………………………….
3…………………………………………………………………………………….....
4……………………………………………………………………………………….

5……………………………………………………………………………………….
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sữa chữa.

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨAVIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

------------oOo------------

------------oOo-----------

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên :

Nguyễn Văn Bé

MSHV: 12240563

Ngày,tháng,năm sinh :

06/10/1987

Nơi sinh: Cà Mau

Chuyên ngành :

Toán Ứng Dụng

Mã số : 60 46 36

I.Tên đề tài : CÁC PHÉP TỐN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN THƠNG QUA
MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH
NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG : Dùng mơ hình Black-Scholes định giá các hợp
đồng Quyền Chọn Mua,Bán theo kiểu Châu Âu
II. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 7/07/2014
III. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 7/12/2014
IV. CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS.Dương Tôn Đảm
TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS.Dương Tôn Đảm

CHỦ NHIỆM BỘ MƠN

PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

TRƯỞNG KHOA KHOA
HỌC ỨNG DỤNG

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến Thầy
hướng dẫn TS.Dương Tơn Đảm. Người đã tận tình giảng dạy,hướng dẫn và cho
nhiều ý kiến đóng góp quý báo để luận văn được hồn thành.
Em xin cảm ơn q Thầy (Cơ) trong bộ mơn Tốn ứng dụng,Trường Đại học
Bách Khoa,đặc biệt Thầy PGS.TS.Nguyễn Đình Huy đã tận tình giúp đở em trong
suốt thời gian học tập tại trường.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại
học,khoa Khoa học ứng dụng,Thư viện trường cùng quý Thầy (Cô),cán bộ công
nhân viên trường Đại học Bách khoa đã giúp đở,tạo điều kiện tốt nhất cho em trong
suốt thời gian học tập tại trường,cũng như trong thời gian thực hiện luận văn.
Cuối cùng, em xin cảm ơn đồng nghiệp,gia đình,bạn bè đã giúp đở,động
viên,góp ý kiến trong suốt q trình học tập và trong quá trình làm luận văn.

TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014

Nguyễn Văn Bé


LỜI MỞ ĐẦU
Giải tích ngẫu nhiên là cơng cụ quan trọng để giải quyết các bài toán trong lý
thuyết xác suất thống kê,ứng dụng giải các bài toán kinh tế, tài chính,bảo hiểm,dự
báo,các bài tốn xã hội,…Đồng thời giải tích ngẫu nhiên, gắn với các quá trình ngẫu
nhiên,với các biến động thị trường chứng khoán sự tăng lên hay giảm xuống diễn ra
theo quy luật ngẫu nhiên.
Từ các vấn đề phát sinh trong tài chính cũng theo quy luật ngẫu nhiên, người
ta mơ hình lại bằng các mơ hình tốn học mơ phỏng tính tốn cho các q trình dao
động thị trường tài chính trong khoảng thời gian nhất định. Mơ hình Black-Scholes
được ứng dụng vào việc định giá tài sản khơng rủi ro trong thị trường tài chính với

thời gian liên tục,cho Quyền Chọn Mua hoặc Quyền Chọn Bán thu lại lợi nhuận cho
các nhà đầu tư tài chính trong giai đoạn hiện nay.
Luận văn trình bày một số vấn đề của giải tích ngẫu nhiên ,áp dụng mơ hình
Black-Scholes để định giá các hợp đồng Quyền Chọn,luận văn gồm có 3 chương.
Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, q trình
Martingale, Weiner,Poisson,Itơ,…
Chương 2: Trình bày các dạng của phương trình vi phân ngẫu nhiên,phương pháp
giải,áp dụng mơ hình Black-Scholes định giá các hợp đồng Quyền Chọn Mua,Bán
cho các loại tài sản phi rủi ro trong tài chính.
Chương 3: Trình bày q trình ngẫu nhiên có nhảy, bài tốn phương án đầu tư đáp
ứng
Nội dung chính của luận văn được trình bày tập chung ở chương 2,sử dụng
các kiến thức giải tích ngẫu nhiên,mơ hình Black-Sholes để giải quyết các bài tốn
trong tài chính.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn của tôi là cơng trình khoa học được viết bằng sự
tìm tịi,nghiên cứu khoa học nghiêm túc của bản thân dưới sự hướng dẫn của
TS.Dương Tơn Đảm.Trong q trình thực hiện luận văn, tôi đã tham khảo các tài
liệu được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo.Các tài liệu, số liệu dùng trong
luận văn có nguồn gốc rõ ràng.
TP.HCM, ngày 06 tháng 12 năm 2014
Người cam đoan

Nguyễn Văn Bé


DANH MỤC KÍ HIỆU

R

Tập các số thực dương

Rn

Khơng gian n-chiều

Cn

Tập các hàm khả vi liên tục tới cấp n

( , F , P )

Không gian xác suất

(, F , Ft , P )

Không gian xác suất được lọc

P( A | F )

Xác suất có điều kiện của A đối với F

L2 ( p )

Tập các đại lượng ngẫu nhiên bình phương khả tích theo p

L2 ([a, b])

Tập các hàm thực bình phương khả tích trên đoạn [a,b]

L2 ()

Tập các đại lượng bình phương khả tích theo độ đo Gauss

l.i.m

Giới hạn theo nghĩa trung bình

h.c.c

Hầu chắc chắn

 (t )

Bước nhảy của  tại thời điểm t

N (U , t )

Độ đo bước nhảy

N (dt , dz )

Dạng vi phân của độ đo bước nhảy

N (dt , dz )

Độ đo bước nhảy bù



Q trình khả đốn (Predictable Stochastic Processes)

 (U )

Độ đo Lévy

t



f ( s,  )dWt

Tích phân Wiener

0

SDE

Phương trình vi phân ngẫu nhiên


MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
LỜI CẢM ƠN
LỜI MỞ ĐẦU
LỜI CAM ĐOAN
DANH MỤC KÍ HIỆU
MỤC LỤC

Chương 1:MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN…………..1
1.1 Q trình ngẫu nhiên và đặc trưng của nó………………………………….1
1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itơ…………………………………………………..14
1.3 Cơng thức vi phân ngẫu nhiên Itơ…………………………………………20
Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN……………………...31
2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm……………………………………………..31
2.2 Một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên đặc biệt…………………….36
2.3 Phương trình vi phân tuyến tính dạng tổng qt ………………………….41
2.4 Mơ hình Black-Scholes định giá Quyền Chọn ……………………………46
Chương 3: Q TRÌNH NGẪU NHIÊN CĨ NHẢY ………………………….72
3.1 Tích phân theo độ đo Poisson ………………………………………….....72
3.2 Vi tích phân Itơ-Lévy ……………………………………………………..75
3.3 Bài toán phương án đầu tư đáp ứng ……………………………………....92
KẾT LUẬN ……………………………………………………………………….97
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………………….98
PHỤ LỤC…………………………………………………………………………99
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG


1

Chương 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCH
NGẪU NHIÊN
1.1 Q trình ngẫu nhiên và đặc trưng của nó
Cho (, F , P ) là không gian xác suất và X :   R là biến ngẫu nhiên, tức là 
là tập hợp bất kỳ mà mỗi phần tử    đại diện cho một yếu tố ngẫu nhiên, F là

  trường các tập con của  , P là độ đo xác suất trên không gian đo (, F ) .
Quá trình ngẫu nhiên là tập hợp các đại lượng ngẫu nhiên X (t )  X (t ,  ) xác định
trên cùng không gian xác suất (, F , P ) và phụ thuộc vào tham số t.Nếu cố định

  , ta thu được hàm của biến t gọi là hàm chọn hay quỹ đạo của quá trình,
t  X (t , ) .
Quá trình ngẫu nhiên là tập hợp tất cả biến ngẫu nhiên biểu thị bởi thời gian,xét hai
trường hợp thời gian rời rạc và liên tục.
Quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc X  { X n , n  0,1,2,3,....} là tập đếm
được của biến ngẫu nhiên, biểu thị bởi số ngun khơng âm.
Q trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục X  { X t ,0  t  } là tập không đếm
được của biến ngẫu nhiên, biểu thị bởi số thực không âm.

1.1.1 Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên
a/. Cho (, F , P ) là một không gian xác suất, một quá trình X t , t  0 là một hàm
hai biến X (t ,  ) xác định trên R    lấy giá trị trong R , và là một hàm đo được
với   đại số tích BR  F ,trong đó BR là   đại số các tập Borel trên R  .
Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên R thì tập hợp

{(t ,  )  R    : X (t ,  )  B} là một phần tử của   đại số tích BR   F ,   đại


2

số này là   đại số nhỏ nhất chứa các tập con có dạng [0, t ]  A với

t  R  và A  F .
b/. Khi cố định   ,thì ánh xạ riêng phần t  X (t , ) từ R   R gọi là quỹ
đạo của quá trình ngẫu nhiên X  { X t , t  0} ,ứng với yếu tố ngẫu nhiên  ấy.
c/. Nếu X lấy giá trị trong khơng gian R n (n  0) thì ta có q trình ngẫu nhiên n chiều.
d/. Trong tài chính,các q trình giá chứng khốn St ,giá trái khốn Pt ,giá sản
phẩm phái sinh Ct ,…điều xem là các quá trình ngẫu nhiên.
Hình 1.1 mơ tả quỹ đạo hai q trình ngẫu nhiên,trích dẫn từ tài liệu [9].

Hình 1.1 Quỹ đạo hai quá trình ngẫu nhiên

1.1.2 Hàm phân phối hữu hạn chiều
Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên (QTNN) là hàm phân phối hữu hạn chiều



k



Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak )  P { (t j ,  )  Aj } , k  N
j 1


3

Trong đó : t1 , t 2 ,..., t k  T ; A1 , A2 ,....., Ak là các tập Borel trong miền giá trị của quá
trình ngẫu nhiên.
Các phân phối hữu hạn chiều phải thoả mãn các điều kiện sau:
1/.Với các số cố định t1 , t 2 ,..., t k hàm Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) là phân phối đồng
thời của k đại lượng ngẫu nhiên  (ti , ), i  1, k .
2/. Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) = Fti

1

,ti2 ,....,tik

( Ai1 , Ai2 ,...., Aik ) với hoán vị i1 , i2 ,.., ik của

các số 1,2,3,..., k
3/. Nếu X là miền giá trị của q trình ta có:

Ft1 ,t2 ,....,tk 1 ,tk ( A1 , A2 ,...., Ak 1 , X )  Ft1 ,t2 ,....,tk 1 ( A1 , A2 ,...., Ak 1 )
Các hàm phân phối hữu hạn chiều có thể cho bởi các hàm mật độ

f t1 ,t2 ,....,tk ( x1 , x2 ,...., xk ) bằng hệ thức
Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak )   .....  f t1 ,....,tk ( x1 ,...., xk ) dx1..dxk .
A1

Ak

Định lý [1] (Kolmogorov)
Cho hàm Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) xác định với mọi t1 , t2 ,..., tk  T ; A1 , A2 ,....., Ak

 B ( X ) ( B ( X ) là   trường đại số các tập Borel trong không gian Euclide hữu
hạn chiều X ). Khi đó để tồn tại một QTNN  (t ,  ) nhận các hàm

Ft1 ,t2 ,....,tk ( A1 , A2 ,...., Ak ) là phân phối hữu hạn chiều thì điều kiện cần và đủ là
chúng thoả mãn điều kiện 1,2,3.
Ví dụ 1: Xét q trình ngẫu nhiên X (t )  Vt 2 (t  0) với V là đại lượng ngẫu nhiên
có phân phối điều trên đoạn [0,3] .


4

0

Ta sẽ có hàm phân phối F1 ( x / t )  1x / 3t

1


x0
0  x  3t
x  3t

Suy ra hàm mật độ của X (t )

0
f1 ( x / t )  
2
1 / 3t

x  (0,3t 2 )
x  (0,3t 2 )

Ví dụ 2: [4] Cố định x  R xác định hàm
| x  y|

1
p(t , x, y) 
e 2t , y  R , t  0
2 t

Với 0  t1  t2  ....  tn xác định độ đo xác suất Pt1 .... t n

Pt1 .....tn ( B1  .....  Bn ) 



(1.1)

.....  p(t1 , x, x1 ) p (t2  t1 , x1 , x2 ).... p(t n  tn1 , xn1 , xn ) dx1....dxn

B1......

 Bn

Do đó tồn tại một không gian xác suất (, F , P x ) và một quá trình ngẫu nhiên

Wt trên  sao cho các phân bố hữu hạn chiều cho bởi (1.1), tức là:

Pt1 .....tn (Wt1  B1 ,.....,Wtn  Bn ) 



B1......

.....  p(t1 , x, x1 ) p(t2  t1 , x1 , x2 ).... p(tn  t n1 , xn1 , xn ) dx1....dxn
 Bn

Wt là quá trình Wiener xuất phát từ x .
1.1.3 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc
a/ Một họ các  -trường con ( Ft , t  0) của F , Ft  F gọi là bộ lọc thoả mãn các
điều kiện thông thường nếu :


5

(i).Đó là họ tăng theo t, tức là Fs  Ft nếu s  t
(ii).Họ đó là liên tục phải, tức là Ft 

F

t 

 0

(iii).Nếu A  F và P ( A)  0 thì A  F0 nên A  Ft .
b/ Cho một quá trình ngẫu nhiên X  ( X t , t  0) .Ta xét  -trường Ft X sinh bởi tất
cả các biến ngẫu nhiên X s với s  t : Ft X   ( X s , s  t ) ,  -trường này chứa mọi
thông tin về X cho đến thời điểm t . Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá
trình X , hay lịch sử của X , hay còn gọi là trường thông tin về X .
c/ Một không gian xác suất (, F , P ) trên đó người ta gắn thêm vào bộ lọc Ft được
gọi là không gian xác suất được lọc và kí hiệu là (, F , Ft , P ) .

1.1.4 Martingale thời gian rời rạc
Định nghĩa
Cho một quá trình ngẫu nhiên X  X t (t  0) thích nghi với bộ lọc Ft với mọi t ,thì
X t  Ft .

Dãy X t thuộc Lp với mọi t, tức là E | X t | p  
Dãy X t  L1 gọi là Martingale đối với bộ lọc Ft nếu nó tương thích với Ft với mọi

0  s  t , thì
E ( X t | Fs )  X s
Dãy X t  L1 gọi là supermatingale đối với Ft nếu nó tương thích với dãy Ft với mọi

0  s  t , thì

E ( X t | Fs )  X s


6

Dãy X t  L1 gọi là submatingale đối với Ft nếu nó tương thích với dãy Ft với mọi

0  s  t , thì
E ( X t | Fs )  X s

Ví dụ 1: Cho dãy σ-trường tăng Ft và giả sử X là một ĐLNN X  L1 .
Đặt X t  E ( X | Ft ) . Khi đó với 0  s  t do tính chất của kỳ vọng có điều kiện

E  Xt | Fs   E  E  X | Ft  | Fs   E  X | Fs   X s .
Ví dụ 2: Cho {Wt , t  0} là một quá trình có gia số độc lập và có số gia Wt  Ws có
phân phối N (0, t  s) .Khi đó Wt 2  t là Martingan đối với FtW ( Kí hiệu đơn giản là
Ft ) .Với mọi 0  s  t

E (Wt 2  t | Fs )  E (Ws2  2Ws (Wt  Ws )  (Wt  Ws ) 2 | Fs )
 Ws2  2Ws E (Wt  Ws ) | Fs )  E ((Wt  Ws ) 2 | Fs )
 Ws2  0  t  s  t  Ws2  s
Tính Chất
1/.Hàm số E ( X t ), t  0 sẽ bằng :
-Hằng số nếu X t là Martingale
-Không tăng nếu X t là Martingan trên
-Không giảm nếu X t là Martingale dưới
2/.Điều kiện cần và đủ để X t là Martingale trên (dưới) thành Martingale là kỳ vọng
của nó là hằng số trong miền xác định.
3/.Nếu X t1 , X t2 là hai Martingale với cùng một họ   trường ( Ft , t  0 ).Khi đó

7

aX t1  bX t2 , (a, b  R ) cũng là Martingale
4/.Nếu X t , t  0 là Martingale với một họ   trường ( Ft , t  0 ).Nếu f là hàm lồi
dưới sau cho Ef ( X t ) tồn tại khi đó f ( X t ), t  0 là Martingale dưới.
5/.Phân tích Doob-Meyer
Nếu X t , t  0 là Martingale dưới đối với một họ   trường ( Ft , t  0 ) và liên tục
phải theo t thì X t có thể phân tích dưới dạng X t  M t  X t* trong đó M t là một
Martingale đối với { Ft , t  0 } liên tục phải và X t* là một q trình tăng thích nghi
với Ft .

1.1.5 Q trình Wiener
1.1.5.1 Định nghĩa
Một quá trình ngẫu nhiên Wt (t  0) gọi là chuyển động Brown hay quá trình
Wiener nếu nó thoả mãn tính chất sau:
(i) . W0  0 (h.c.c).
(ii) . Với mọi 0  t0  t1  ....  tn có số gia

Wt1  Wt0 ,Wt2  Wt1 ,........,Wtn  Wtn1 là các biến ngẫu nhiên độc lập.
(iii). Nếu 0  s  t , số gia Wt  Ws có phân phối chuẩn (Gauss)
N (0, 2 (t  s)) .

(iv). Quá trình Wt là quỹ đạo liên tục.


8

Hình 1.2 Quỹ đạo quá trình Wiener
Chú ý: Quá trình Wiener kí hiệu là Wt

Q trình Wiener tiêu chuẩn (  2  1 ) hay chuyển động Brown tiêu chuẩn kí hiệu
là Bt
1.1.5.2 Tính chất
a/. Wt là một Mactingale đối với FtW ( FtW   trường nhỏ nhất sinh bởi mọi
Ws , s  t , còn gọi là lịch sử của W tính đến thời điểm t ).

b/. Nếu Wt (t  0) là quá trình Wiener thì
(i). E (Wt )  0 . t  R
(ii). K (t , s)  cov(Wt ,Ws )  min( s, t )  t , s  R


9

Chứng minh
(i). t  R, ta có Wt  W0  (Wt  W0 ), E (Wt )  E (W0 )  E (Wt  W0 )  0, vì

E (W0 )  0 (theo định nghĩa) và E (Wt  W0 )  0 (theo định nghĩa)
(ii). Đặt s, t  R và Cov(Wt ,Ws )  E (WW
t s )  E (Wt ) E (Ws ) ,
theo (i) có Cov (Wt ,Ws )  E (WtWs ) mà

E (WtWs )  E[Ws (Ws  (Wt  Ws ))]  E (Ws2 )  E[Ws (Wt  Ws )]
Khi Wt (t  0) ,có số gia độc lập nên

E[Ws (Wt  Ws )]  E (Ws ) E (Wt  Ws )  0
Cov (Wt ,Ws )  E (WtWs ) = E (Ws2 )  Var (Ws ) , phân tích

Ws  W0  Ws  W0 ,
 Var (Ws )  Var (W0  Ws  W0 )
 Var (W0 )  Var (Ws  W0 )  0  s  0

Vậy có: K (t , s)  cov(Wt ,Ws )  s  min( s, t ) t , s  R
c/. Wt tuân theo luật loga lặp

P{lim sup
t 

P{liminf
t 

W (t )
 1}  1
2t ln ln t
W (t )
 1}  1
2t ln ln t

d/. Đặc trưng Lévy của quá trình Wiener
Wt là một quá trình Wiener khi và chỉ khi :

+ Wt là một Mactingale, W0  0 h.c.c


10

+ Wt 2  t là Mactingale (đối với FtW )

1.1.5.3 [1] Xây dựng quá trình Wiener
Phương pháp các hàm Haar
Các hàm Haar trên đoạn [0 1] được xác định như sau :

H1(t) 1, 0  t 1

1
H 2 (t )  
 1


0t 

1
2

1
 t 1
2

…………………………..

2 /2

H2n 1(t)  2 /2
0


H2n  j (t)  H2n 1(t 

0  t  2(n1)
2(n1)  t  2n
2n  t  1

j 1
),
2n

j 1,2,3...2n

Các hàm Haar {H n (t )} tạo nên hệ trực chuẩn trên L2 [0,1]


11

Hình 1.3 Đồ thị hàm Haar


12

1.1.6 Quá trình Poisson
1.1.6.1 Quá trình đếm
Một quá trình ngẫu nhiên ( N t , t  0) gọi là quá trình đếm hay điểm nếu
N t biểu thị tổng số lần một biến cố nào đó xảy ra cho tới thời điểm t.Vậy một quá

trình đếm là một quá trình với thời gian liên tục,lấy giá trị nguyên dương và có
bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiên T0 , T1 , T2 ,... sao cho
T0  0, 0  T1  T2  .... và lim Tn  
n

Khi đó có thể viết

n t  [Tn , Tn 1 ], n  0
Nt  

 t  


Hay

Nt 

 n

[ Tn ,Tn  1 ]

n0

1.1.6.2 Quá trình Poisson
Một quá trình đếm ( N t , t  0) gọi là quá trình Poisson nếu
- N0  0
- ( N t , t  0) có số gia độc lập
- Số biến cố xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào có độ dài t là một biến ngẫu
nhiên có phân phối Poisson với trung bình là t (  0) . Điều đó có nghĩa là

t

P{Nt s  Ns  n}  e

(t)n
, n  0,1,2,....
n!

E ( Nt )  t ,   0 gọi cường độ của quá trình Poisson

13

Var ( N t )  t

Hình 1.4 Quá trình Poisson
Định lý 1.1.6 : [7] N t , t  0 là quá trình Poisson với cường độ   0 .Khi đó với
mọi t  R , E ( N t )   t , Var ( N t )  t .Hàm đặc trưng của nó là
iu

 Nt (u )  E[eiuNt ]  e t (1e ) , hàm phát sinh xác suất (probability-generating
function) g N t (u )  E (u Nt )  e t (u 1) , u  R*
Chứng minh
Tất cả công thức trên là kết quả của phân phối Poisson của Nt (t  0)

(t ) n   t
(t )n 1  t
E ( Nt )   n. pn  n
e  t 
e
n!
n 0
n 0
n 0 ( n  1)!






  t  e  t .e t  t
n 0

(t ) n1
 e t

(
n

1)!
n 0


Do


14


( t ) n   t
(t )n 1  t
E ( N )   ( n) . pn   n
e   t  ((n  1)  1)
e
n!
(n  1)!
n 0
n 0
n 0




2
t

2



  t  ( n  1)
n 0

2




(t )n 1  t
( t ) n1  t
e  t 
e  ( t ) 2  e  t .e t  t  e  t .e t  (t ) 2   t
(n  1)!
n 0 ( n  1)!
n 0
n 0

Var( Nt )  E( Nt2 )  [E( Nt )]2  (t )2  t  (t )2  t


E (e

iuN t

)  e

iun

n 0



E (e iuNt )   u n
n 0


iu
(t ) n   t
(e iu t ) n  teiu
 t (1e iu )
e e
e
 e  t (1e )

n!
n!
n 0


( t ) n  t

(u t ) n  ut
e  e  t (u 1) 
e
 e  t ( u 1)
n!
n!
n 0

1.2 Tích phân ngẫu nhiên Itơ
Cho f (t ,  ) là một quá trình ngẫu nhiên và Wt là chuyển động Brown tiêu
chuẩn (một chiều),tất cả quỹ đạo của f và W là xác định trên đoạn a  t  b .Xét
phân hoạch của đoạn [a, b]

a  t0  t1  t2  ....  tn  b
n1

Lập tổng của tích phân Sn ()   f (ti ,)[W (ti1,)  W (ti ,)]
i 0

Trong đó : f (ti ,  ) là giá trị của f (t ,  ) tại đúng đầu mút bên trái của đoạn nhỏ

[ti , ti 1 ] .
Ta làm mịn phân hoạch của đoạn [a, b] ,tức là xét các phân hoạch dần sao cho mọi
khoảng [ti , ti 1 ] đều thu nhỏ dần max [ti , ti 1 ]  0
0i  n 1

Khi đó tồn tại một biến ngẫu nhiên S * ( ) sao cho

E | Sn ( )  S * ( ) |2  0, n  

15

Thì S * ( ) được gọi là tích phân Itơ của q trình f (t ,  ) trên đoạn [a, b] và kí
hiệu là
b

I   f (t ,  ) dWt
a

Giới hạn của S * ( ) là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của S n ( ) và
kí hiệu là l.i.m S n ( ) (l.i.m=limit in mean : giới hạn theo trung bình)
n

1.2.1 Định nghĩa
Tích phân Itơ của q trình ngẫu nhiên f (t ,  ) là giới hạn theo nghĩa bình phương
trung bình nếu nó tồn tại
b

n1

I   f (t,)dWt 
a

l.i.m

max[ti1 ti ]0

 f (t ,)[W (t
i

i 1

)  W (ti )]

(1.2)

i0

Chú ý : Nếu công thức (1.2) a  0, b  t  0 ,thì có tích phân Itô
t

I   f ( s,  ) dWs phụ thuộc vào cận trên t.
0

Những quá trình ngẫu nhiên f (t ,  ) có tích phân Itơ, thì f (t ,  ) thoả mãn điều
kiện sau:
(i). Đo được đối với   trường tích [0,t ]  F và thích nghi với Ft  FtW ,trong đó

[0,t ] là   trường Borel trên [0, t ] , FtW là   trường sinh bởi chuyển động
Brown Wt đã cho
b

(ii). E f 2 (t ,  ) dt  


a


16

1.2.2 Tính chất của tích phân Itơ
t

t

t

a/. (af ( s,  )  bh( s ,  )) dWs  a ( f ( s ,  ) dWs  b h( s,  )dWs





0



0

0

t

b/. E f ( s,  ) dWs  0


0

2

 t
 
t 2

c/. E    f ( s,  )dWs    E   f ( s , ) dt 
 0
 
0



t
t
 t
d/. E   f ( s , ) dWs  g ( s,  ) dWs    E[ f ( s,  ) g ( s,  )]dt
0
0
 0

t

e/. X t 

 f (s)dW

s

là Martingle đối với bộ lọc FtW (t  0)

0

Chứng minh
a/. Do tính chất tuyến tính
b/. Giả sừ f (t ,  )  f k cho mọi tk  t  tk 1 thì
t

m 1

E  f ( s , ) dWs   E[ f k (W (tk 1 )  W (tk ))]
0

k 0

f k là Ftk - đo được và Ftk độc lập với W  (t k ) (   đại số,tương lai của chuyển
động Brown tới thời điểm tk ) ,vì thế W (tk 1 )  W (tk ) là W  (tk ) - đo được và f k
độc lập với W (tk 1 )  W (tk )

E[ f k (W (tk 1 )  W (tk ))]  E ( f k ) E (W (tk 1 )  W (tk ))  0


17

t

m 1

E  f ( s , ) dWs   E[ f k (W (tk 1 )  W (tk ))]  0
k 0

0

2
 t
  m 1
c/. E    f ( s , ) dWs     E[ f k f j (W (tk 1 )  W (tk )(W (t j 1 )  W (t j )]
 0
  k , j 1


Nếu j  k thì W (tk 1 )  W (tk ) độc lập f k f j (W (t j 1 )  W (t j ))

E[ f k f j (W (tk 1 )  W (tk )(W (t j 1 )  W (t j )]
 E ( f k f j )(W (t j 1 )  W (t j ) E ((W (tk 1 )  W (tk ))


 


0

Kết quả là
2
 t
  m1
E    f ( s,)dWs     E[ f k 2 (W (tk 1 )  W (tk )) 2 ]
 0
  k 0


m 1

  E ( f k 2 ) E (W (tk 1 )  W (tk )) 2
k 0

t 2

  E ( f k )(tk 1  t k )  E   f (s,  ) dt 
k 0
0

m 1

2

t
t
 m1
d/. E   f ( s,  ) dWs  g ( s , )dWs    E[ f k (W (tk 1 )  W (tk ) g k (W (tk 1 )  W (tk )]
0
0
 k 0

m 1

  E[ f k g k (W (tk 1 )  W (tk ) 2 ]
k 0

khi (W (t k 1 )  W (tk )) là phân phối chuẩn N (0, tk 1  tk )

E[ f k g k (W (tk 1 )  W (tk ) 2 ]  f k g k (tk 1  tk )