Tuyển tập bài Toán hay CĐ-ĐH mới./.

I. Đặt vấn đề
Trong chơng trình toán ở trờng phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là
một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho ngời làm toán trí thông minh, sự
sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một công cụ sắc
bén của toán học. Nhng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào,
nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình một công cụ để
chứng minh hiệu quả nhất. Đã có rất nhiều tài liệu đa ra một số phơng pháp rất tốt
để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn:
- Phơng pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
- Phơng pháp sử dụng tam thức bậc 2.
- Phơng pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển.
- Phơng pháp sử dụng phản chứng.
- Phơng pháp sử dụng quy nạp.
- Phơng pháp sử dụng đạo hàm.
- Phơng pháp sử dụng hình học.
- Phơng pháp sử dụng hàm lồi.
Mặc dù vậy song vẫn là cha đủ bởi sáng tạo của mỗi ngời làm toán là vô
hạn. Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phơng pháp l-
ợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh
một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số. Phơng pháp l-
ợng giác hoá đã đợc một số sách của các tác giả đề cập nh giáo s Phan Đức Chính,
giáo s Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu... viết. Nhng do cấu trúc mục tiêu
của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phơng pháp này hay nói
cách khác là cha thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó.
Là một giáo viên gần 20 năm giảng dạy với các đối tợng học sinh khá giỏi
của các lớp chọn tôi đã phân chia phơng pháp này thành 5 dạng bài tập. Nhằm
cung cấp cho học sinh nhận ra các dấu hiệu ban đầu để thực hiện các bớc lợng
giác hoá bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số, để rồi dùng các kết quả của bất
đẳng thức lợng giác chứng minh bất đẳng thức đại số.
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp chọn khối 11 trờng THPT tôi nhận thấy
việc phân chia dạng của tôi là hợp lý, lôgíc cụ thể, có thể nhanh chóng tìm ra ph-

ơng pháp chứng minh đợc bất đẳng thức bằng cách áp dụng các phơng pháp t duy
này của tôi.
Tôi sẽ trình bày về hiệu quả của phơng pháp này đối với học sinh ở phần 4
kết quả trắc nghiệm thực tế của sáng kiến.
Các tài liệu tham khảo
1. Bất đẳng thức của giáo s Phan Đức Chính - NXB Giáo dục 1995.
2. Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức 2 tập của giáo s Phan Huy Khải -
NXB Giáo dục Hà Nội 2000.
3. Phơng pháp lợng giác hoá của PTS Vũ Thế Hựu - NXB Giáo dục 2002.
1
II. giải quyết vấn đề
1. Các kiến thức cần nắm
1.1. Các hệ thức cơ bản
+
1sincos
22
=+
+ 1 + tg
2
=
)k
2
(
cos
1
2
+

+ tg . cotg = 1 (
2
k

) + 1 + cotg
2
=
)k(
sin
1
2


1.2. Công thức cộng góc
+ cos( ) = cos cos

sin sin
+ sin( ) = sin cos cos sin
+ tg ( ) =
)k
2
;(
tgtg1
tgtg
+

+ cotg( ) =


gcotgcot
1gcot.gcot

)k;(

1.3. Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos
2
- sin
2
= 2cos
2
- 1 = 1 - 2sin
2

+ tg2 =
)
2
k
4
(
tg1
tg2
2

+

+ cotg2 =
)
2
k
(
gcot2
1gcot
2




+ sin3 = 3sin - 4sin
3

+ cos3 = 4cos
3
- 3cos
+ tg3 =
3
k
6
(
tg31
tgtg3
3

3

+




)
1.4. Công thức hạ bậc
+ cos
2
=
2
2cos1
+
+ sin
2
=
2
2cos1

+ tg
2
=
+

2cos1
2cos1

)k

2
(
+


1.5. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos
2
cos
2
+
+ cos - cos = - 2sin
22

sin
+
+ sin + sin = 2sin
22

cos
+
+ sin - sin = = - 2cos
2
sin
2
+
+ tg tg =


cos.cos

)sin(

)k
2
;(
+


1.6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
+ cos.cos =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.sin =
)]cos()[cos(
2
1
++
+ sin.cos =
)]sin()[sin(
2
1
++
2. Nội dung của sáng kiến
Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng
thức bằng phơng pháp lợng giác ở nhiều sách đều đa ra các phơng pháp chứng
minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác rất mơ hồ cha có hệ thống, cha
phân chia thành các dạng bài tập. Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức

bằng phơng pháp lợng giác mà tôi đợc biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập
cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây.
Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đa ra phơng pháp chọn cách đặt để học sinh
nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức l-
ợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các bất đẳng
thức lợng giác đơn giản nh:
2 2
| sin | 1;| cos | 1; sin 1; cos 1 ( *)
n n
n N


* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu
hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lợng giác sau đều có nghĩa)
Biểu thức đại số
Biểu thức lợng giác
tơng tự
Công thức lợng giác
1 + x
2
1 + tg
2
t 1+tg
2
t =
tcos
1
2
4x
3

- 3x 4cos
3
t - 3cost 4cos
3
t - 3cost = cos3t
2x
2
- 1 2cos
2
t - 1 2cos
2
t - 1 = cos2t
2
x1
x2

ttg1
tgt2
2

ttg1
tgt2
2

= tg2t
2
x1
x2
+
ttg1

tgt2
2
+
ttg1
tgt2
2
+
= sin2t
xy1
yx

+

+
tgtg1
tgtg

+
tgtg1
tgtg
= tg(+)
x
2
- 1
1
cos
1
2

1
cos
1
2


= tg
2

... .... ......
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin
2

+ cos
2

= 1
1) Ph ơng pháp:
3
a) Nếu thấy x
2
+ y
2
= 1 thì đặt



=

=
cosy
sinx
với [0, 2]
b) Nếu thấy x
2
+ y
2
= a
2
(a > 0) thì đặt



=
=
cosay
sinax
với [0, 2]
2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a
2
+ b
2
= c
2
+ d
2
= 1
Chứng minh rằng:

2
S = a(c+d) + b(c-d)
2
Giải:
Đặt



=
=
ucosb
usina
và



=
=
vcosd
vsinc
S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)

2)dc(b)dc(aS2]2,2[
4
)vu(sin2S
++=

+=
(đpcm)
VD2: Cho a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh rằng:
2
25
b
1
b
a
1
a
2
2
2
2
2
2

++






+
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2. Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
cos
1

cos
b
1
b
a
1
a







++







+=






++

+
= cos
4
+ sin
4
+
4
sin.cos
sincos
sincos4
sin
1
cos
1
44
44
44
44
+

+
++=+

+

=
( )
4
sin.cos
1
1sincos
44
44
+







++
=
( )
[ ]
4
sin.cos
1
1sincos2sincos
44
2222
+

++
=
2
25
4
2
17
4)161(
2
1
14
2sin
16
12sin
2
1
1
4
2
=+=++

+







+







(đpcm)
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a
2
+b
2
=1
VD3: Cho a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng:
A =
2334b)324(a)321(2ab32ba

22
++++
Giải:
Biến đổi điều kiện: a
2
+ b
2
- 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)
2
+ (b-2)
2
= 1
4
Đặt
+=



+=
+=




=
=
cossin32cossinA
cos2b
sin1a
cos2b

sin1a
22
A
2)
6
2sin(22cos
2
1
2sin
2
3
22cos2sin3


===
(đpcm)
VD4: Cho a, b thoả mãn :
7 12b 5a
++
= 13
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ 2(b-a) - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a
2
+ b
2

+ 2(b-a) - 1 (a-1)
2
+ (b + 1)
2
1
Đặt



=+
=
cosR1b
sinR1a
với R 0
222
R)1b()1a(
1cosRb
1sinRa
=++



=
+=

Ta có:
137)1cosR(12)1sinR(5137b12a5
=+++=++

R

13
5
arccossinRcos
13
12
sin
13
5
R113cosR12sinR5







+=+==+
Từ đó (a-1)
2
+ (b+1)
2
= R
2
1 a
2
+ b
2
+ 2(b - a) - 1 (đpcm)
II. Dạng 2: Sử dụng tập giá trị
1|cos|;1|sin|

1. Ph ơng pháp :
a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x khi
x khi





=





=

b) Nếu thấy |x| m (
0m
) thì đặt
[ ]
sin ;
2 2
cos 0;
x m khi

x m khi





=





=

2. Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)
p
+ (1-x)
p
2
p
|x| 1 ; P 1.
Giải:
Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)
p
+ (1 - x)
p
= (1+cos)
p
+ (1-cos)

p
=
p22pp2p2p
p
2
p
2
2
2
sin
2
cos2
2
sin
2
cos2
2
sin2
2
cos2
=







+

+

=







+







5
(®pcm)
VD2: Chøng minh r»ng:
23123223

22
+≤−+=≤−
aaaA
Gi¶i:
Tõ ®k 1 - a
2
≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 nªn
§Æt a = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒
2
a1
−
= sinα. Khi ®ã ta cã:
A=
α+α+=αα+α=−+
2sin)2cos1(3sincos2cos32a1a2a32
222
=
3
3
2sin232sin
2
1
2cos
2
3
2
+







π
+α=+






α+α
2323
+≤≤−⇒
A
(®pcm)
VD3: Chøng minh r»ng:
[ ]
)(a)a()a(a 122221111
2332
−+≤−−+−+
Gi¶i:
Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn
§Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒
α=−
α
=+
α
=−
sina1;

2
cos2a1;
2
sin2a1
2
(1)⇔
2
cos
2
sin2222
2
sin
2
cos22.
2
cos
2
sin21
33
αα
+≤






α
−
ααα

+
⇔
2
cos
2
sin1
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
αα
+≤







α
+
αα
+
α






α
−
α






α
+
α
⇔
1cos
2
sin
2
cos

2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
22
≤α=
α
−
α
=






α
−
α






α

+
α
®óng ⇒ (®pcm)
VD4: Chøng minh r»ng: S =
(
)
(
)
21314
2332
≤−−+−−
aaa)a(
Gi¶i:
Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn:
§Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒
2
a1
−
= sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:
S=
)cos3cos4()sin4sin3()sin(cos3)cos(sin4
3333
α−α+α−α=α−α+α−α
=
2
4
3sin23cos3sin
≤







π
+α=α+α
⇒ (®pcm)
VD5: Chøng minh r»ng A =
(
)
211311
2222
≤−−−+−+−
)b)(a(ababba
Gi¶i:
Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a
2
≥ 0 ; 1 - b
2
≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn.
§Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈






ππ
−
2

;
2
Khi ®ã A =
)cos(3sincoscossin
β+α−βα+βα
=
=
2
3
)(sin2)cos(
2
3
)sin(
2
1
2)cos(3)sin(
≤






π
−β+α=β+α−β+α=β+α−β+α
(®pcm)
VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a
3
- 24a
2

+ 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3]
6