Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán điện từ trường trên đường dây siêu cao thế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
---------------------------------

ĐỖ THỊ ĐOAN HIỀN

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ĐỂ TÍNH TỐN ĐIỆN TỪ TRƢỜNG TRÊN
ĐƢỜNG DÂY SIÊU CAO THẾ
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 604636

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
---------------------------------

ĐỖ THỊ ĐOAN HIỀN

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
ĐỂ TÍNH TỐN ĐIỆN TỪ TRƢỜNG TRÊN
ĐƢỜNG DÂY SIÊU CAO THẾ
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 604636

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. LÊ XUÂN ĐẠI

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2014


CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ XUÂN ĐẠI
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 1:.....................................................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 2:.....................................................................................................
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ tại Trƣờng Đại học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia
Tp. Hồ Chí Minh ngày…..tháng……. năm……
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ)
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Bộ môn quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã đƣợc sửa chữa (nếu có).
Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn

Bộ môn quản lý chuyên ngành


TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

Độc lập – Tự do – Hạnh Phúc

----------------

---oOo---

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên:

ĐỖ THỊ ĐOAN HIỀN

Phái:

Nữ

Ngày, tháng, năm sinh:

06-04-1987

Nơi sinh:

Bình Dƣơng

Chuyên ngành:

Toán ứng dụng

MSHV:

12240569

I.

TÊN ĐỀ TÀI: Ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính tốn điện từ
trƣờng trên đƣờng dây siêu cao thế.
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính
tốn điện từ trƣờng trên đƣờng dây siêu cao thế.

II.

NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày 20 tháng 01 năm 2014.

III.

NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: Ngày 20 tháng 06 năm 2014.

IV.

HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN: TS. LÊ XUÂN ĐẠI

Nội dung và đề cƣơng Luận văn thạc sĩ đã đƣợc Hội Đồng Chuyên Ngành thông
qua.
Tp. HCM, ngày .....tháng.....năm 2014
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MƠN QUẢN LÝ
CHUN NGÀNH

TS. Lê Xn Đại

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

KHOA QUẢN LÝ
CHUYÊN NGÀNH

TS. Huỳnh Quang Linh


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến TS. Lê Xuân Đại, ngƣời đã
tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện và cung cấp cho tơi nguồn tài liệu phong phú, giúp tơi
hồn thành nhiệm vụ đƣợc giao.
Bên cạnh đó, tơi cũng gửi lời cảm ơn đến các thầy trong bộ mơn tốn ứng dụng,
Trƣờng Đại học Bách Khoa đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm để tơi hồn thành
luận văn tốt hơn.
Cuối cùng, tơi cũng muốn nói lời cảm ơn đến gia đình đã luôn động viên và tạo
mọi điều kiện thuận lợi nhất để tơi hồn thành luận văn này.


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là sản phẩm nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu,
kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai cơng bố trong bất kì cơng
trình nào khác. Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm về nghiên cứu của mình.

Ngƣời thực hiện

Đỗ Thị Đoan Hiền


LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay, hệ thống điện siêu cao thế đã đƣợc lắp đặt và thực hiện nhiệm vụ truyền
tải điện cho sản xuất công nghiệp và sinh hoạt dân dụng. Tuy nhiên, do điện áp và công
suất truyền tải rất lớn nên điện từ trƣờng do đƣờng dây sinh ra cũng đủ lớn để gây ảnh
hƣởng đến môi trƣờng xung quanh. Nhiều thuật tốn khác nhau để tính tốn điện từ
trƣờng đã đƣợc nghiên cứu và phát triển.
Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của cơng nghệ máy tính, phƣơng pháp số đã trở
thành một trong những phƣơng pháp hữu hiệu và đƣợc sử dụng rộng rãi. Phƣơng pháp số
là phƣơng pháp phân tích điện từ rất hiệu quả, nó có thể giải quyết đƣợc các bài tốn rất
phức tạp mà phƣơng pháp giải tích khơng thể thực hiện đƣợc. Trong các phƣơng pháp số,
phƣơng pháp phần tử hữu hạn có một vai trị nổi trội, do tính đa năng, sự tồn diện, khả
năng xử lí linh hoạt và có thể kết hợp với nhiều chƣơng trình tiêu chuẩn.
Cụ thể, vấn đề tính tốn phân bố điện từ trƣờng trên đƣờng dây 500 kV đã đƣợc
nghiên cứu bởi:
[1] A. Isaramongkolrak, T. Kulworawanichpong, and P. Pao-la-or, October 2008. Finite
Element Approach to Electric Field Distribution Resulting from Phase-sequence
Orientation of a Double-Circuit High Voltage Transmission Line. in: Wseas Transaction
on Power Systems, ISSN: 1790-5060, Issue 10, Volume 3.
[2] Nguyễn Đăng Khoa, Vũ Phan Tú. Tính tốn và mơ phỏng trường điện từ của đường
dây truyền tải 500kV bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tạp chí khoa học 2012, trang
19-29
[3] Nguyễn Đình Thắng, Trần Kỳ Phúc, Lê Tuấn Anh. Tính tốn phân bố điện trường
của đường dây 500 kV bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tạp chí khoa học và cơng
nghệ 2008, tập 46, số 1, trang 113-120
Các bài báo này đều tập trung nghiên cứu tính tốn điện trƣờng của đƣờng dây cao
áp 500kV bằng phƣơng pháp PTHH, trong đó bài báo [3] sử dụng phần mềm ANSYS


(Analysis Systems), bài báo [1], [2] dùng phần mềm MATLAB để mô phỏng và chỉ dừng
lại ở việc công bố kết quả thu đƣợc.
Luận văn này tập trung nghiên cứu phƣơng pháp phần tử hữu hạn (Finite Element

Method – FEM) và giải thuật tiếp cận Galerkin để giải các phƣơng trình điện từ trƣờng
của hệ thống điện siêu cao thế. Các cấu trúc đƣờng dây khác nhau (mạch đơn và mạch
kép) cũng đƣợc đề cập và xem xét. Kết quả phân bố điện từ trƣờng trong không gian
xung quanh đƣờng dây sẽ đƣợc vẽ và phân tích cụ thể kèm theo code đầy đủ thông qua
việc sử dụng phần mềm mô phỏng MATLAB. Các kết quả thu đƣợc sẽ chỉ ra những vị trí
an tồn và nguy hiểm xung quanh một đƣờng dây truyền tải điện siêu cao thế, nhờ đó các
biện pháp bảo vệ và phịng tránh sẽ đƣợc áp dụng.
Luận văn đƣợc trình bày nhƣ sau:
 Chƣơng 1. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn
 Chƣơng 2. Lý thuyết trƣờng điện từ
 Chƣơng 3. Ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính tốn trƣờng điện từ
trên lƣới điện siêu cao thế


MỤC LỤC
CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN..................................................... 1
1.1

Phƣơng trình đạo hàm riêng ................................................................................... 1

1.1.1

Khái niệm ........................................................................................................ 1

1.1.2

Điều kiện biên ................................................................................................. 2

1.1.3

Các phƣơng pháp giải...................................................................................... 4

1.2

Phƣơng pháp phần tử hữu hạn ............................................................................... 5

1.2.1

Giới thiệu chung .............................................................................................. 6

1.2.2

Xấp xỉ miền khảo sát bằng các phần tử hữu hạn............................................. 7

1.2.3

Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn ....................................................... 7

1.2.4

Các dạng phần tử hữu hạn ............................................................................... 8

1.2.5

Sơ đồ tính tốn bằng FEM .............................................................................. 9

1.2.6

Phƣơng pháp trọng số thặng dƣ .................................................................... 10

1.2.7

Các phƣơng pháp tiếp cận ............................................................................. 11

CHƢƠNG 2. LÝ THUYẾT TRƢỜNG ĐIỆN TỪ ........................................................... 27
2.1

Giới thiệu ............................................................................................................. 27

2.2

Hệ phƣơng trình Maxwell .................................................................................... 31

2.2.1

Vector cƣờng độ điện trƣờng và vector cảm ứng điện.................................. 31

2.2.2

Vector cƣờng độ từ trƣờng và vector cảm ứng từ ......................................... 32

2.2.3

Định luật bảo tồn điện tích – Phƣơng trình liên tục .................................... 34

2.2.4

Định luật Gauss đối với điện trƣờng ............................................................. 36

2.2.5

Định luật cảm ứng điện từ Faraday ............................................................... 37

2.2.6

Định luật lƣu số Ampere - Maxwell ............................................................. 38

2.3

Trƣờng điện từ biến thiên .................................................................................... 41

2.3.1

Giới thiệu ....................................................................................................... 41

2.3.2

Phƣơng trình sóng của trƣờng điện từ biến thiên .......................................... 42

2.4

Trƣờng điện từ trong không gian phức ................................................................ 43


CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỂ TÍNH TỐN
TRƢỜNG ĐIỆN TỪ TRÊN LƢỚI ĐIỆN SIÊU CAO THẾ ............................................ 45
3.1

Hệ thống điện siêu cao thế ................................................................................... 45

3.1.1

Giới thiệu ....................................................................................................... 45

3.1.2

Mô tả ............................................................................................................. 46

3.1.3

Chia lƣới phần tử hữu hạn ............................................................................. 48

3.1.4

Biến đổi Galerkin .......................................................................................... 50

3.2

Kết quả tính tốn .................................................................................................. 51

3.2.1

Hệ thống truyền tải mạch đơn ....................................................................... 51

3.2.2

Hệ thống truyền tải mạch kép ....................................................................... 55

3.3

Một số kết quả cụ thể ........................................................................................... 60

KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 64
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 65


CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
1.1 Phƣơng trình đạo hàm riêng
1.1.1 Khái niệm
Phƣơng trình đạo hàm riêng (Partial Differential Equation – PDE) là phƣơng trình
mơ tả mối quan hệ toán học giữa các biến độc lập và biến phụ thuộc thơng qua các phép
tốn và các đạo hàm riêng của chúng. Cùng với sự mô tả này, các điều kiện đầu và điều
kiện biên cũng cần đƣợc cho trƣớc. Các thuật tốn giải PDE sẽ dùng những thơng tin trên
và đƣa ra lời giải là một hàm số của các biến.
Một phƣơng trình đạo hàm riêng của một hàm u( x1 ,..., xn ) có dạng tổng quát đƣợc
cho trong (1.1.1), trong đó x1 ,..., xn là các biến độc lập. Nếu f là một hàm tuyến tính của
u và các đạo hàm riêng của nó thì (1.1.1) đƣợc gọi là PDE tuyến tính.



u
u
 2u
 2u
f  x1 ,..., xn , u,
,...,
,...,
,...,
,...   0

x1
xn
x1x1
x1xn 


(1.1.1)

Hầu hết các lĩnh vực quan trọng của vật lý và kỹ thuật đều sử dụng PDE để mơ tả
các q trình và đối tƣợng, cụ thể nhƣ trong lĩnh vực âm thanh, lƣu chất, điện từ, truyền
nhiệt, cơ học,... Chúng chứa các đạo hàm riêng cấp một, cấp hai và cấp cao của hàm
trạng thái u theo không gian và thời gian.
Một số toán tử đƣợc định nghĩa để biểu diễn PDE trong lĩnh vực vật lý và kỹ
thuật:

  
Toán tử Nabla:    ; ; 
 x y z 
2
2
2
Toán tử Laplace:     2  2  2
x
y
z
2

1

1.1.2 Điều kiện biên
Xét một phƣơng trình eliptic đơn giản là phƣơng trình Poisson trên miền Ω
u 

 2u  2u

 f
x 2 y 2

(1.1.2)

Nếu Ω = (1,1)  (1,1) và u = 0 trên các biên của miền Ω, có nghĩa là trên các
đƣờng thẳng x = ±1 và y = ±1, với f = 1, nghiệm của (1.1.2) đƣợc biểu diễn nhƣ hình 1.1

Hình 1.1. Biểu diễn nghiệm của phƣơng trình Poisson với f = 1 và điều kiện biên
Dirichlet thuần nhất
Điều kiện biên u = 0 đƣợc gọi là điều kiện biên Dirichlet thuần nhất. Nếu ta sử
dụng điều kiện biên u = g(x,y) ≠ 0 trên các biên của Ω thì ta có điều kiện biên Dirichlet
khơng thuần nhất. Một ví dụ về điều kiện biên Dirichlet khơng thuần nhất đƣợc cho trong
hình 1.2.

2


Hình 1.2. Điều kiện biên Dirichlet
Xét miền Ω =  2,2    2,2  và f = 1, nghiệm của phƣơng trình (1.1.2) với điều
kiện biên trong hình 1.2 đƣợc biểu diễn nhƣ hình 1.3

Hình 1.3. Biểu diễn nghiệm của phƣơng trình Poisson với f = 1 và điều kiện biên
Dirichlet khơng thuần nhất

Ngồi việc sử dụng điều kiện biên Dirichlet, chúng ta cịn có điều kiện biên
Neumann, đặc trƣng cho sự biến thiên thông lƣợng qua biên của miền  . Điều kiện biên
3


Neumann cho trƣớc đạo hàm của hàm u theo hƣớng của một vector trên biên    .
Biểu diễn toán học của điệu kiện biên Neumann nhƣ sau:
du
 n.u  g ( x, y )
dn

( x, y )  

(1.1.3)

Điều kiện biên Dirichlet và Neumann có thể sử dụng kết hợp với nhau và đƣợc gọi
là điều kiện biên hỗn hợp. Ngoài ra, một số điều kiện biên khác cũng đƣợc sử dụng, tuy
nhiên chúng không thông dụng trong vật lý và kỹ thuật.
1.1.3 Các phƣơng pháp giải số
Hiện nay có nhiều phƣơng pháp giải PDE tùy thuộc vào lĩnh vực ứng dụng trong
kỹ thuật và cấu trúc phƣơng trình. Phƣơng pháp giải thơng dụng nhất đó là phƣơng pháp
sai phân hữu hạn, phƣơng pháp này sẽ chia miền khảo sát thành các nút lƣới và xấp xỉ
hàm u tại các điểm nút đó. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn là phƣơng pháp tốt khi miền
khảo sát đơn giản. Nhƣng khi miền khảo sát phức tạp, phƣơng pháp này thƣờng cho kết
quả với sai số lớn.
Để thiết lập đƣợc công thức cho phƣơng pháp sai phân hữu hạn trên miền thuộc
Oxy, ta cần sử dụng công thức Taylor 2 biến, bậc n với các bƣớc Δx và Δy nhƣ sau:
i

1


 
u ( x  x, y  y )    x  y  u ( x, y )  rn
x
y 
i 0 i ! 
n

(1.1.4)

Phần dƣ rn đƣợc xác định nhƣ sau:

1 

 
rn 
 x  y 
(n  1)!  x
y 

n 1

u ( x  x, y  y ),

0  1

(1.1.5)

Giả sử Δx = Δy = h, các cơng thức tính giá trị hàm u tại điểm bên trái, bên phải,
bên trên và bên dƣới của điểm (x,y) bằng công thức Taylor bậc 3 nhƣ sau:

4


u
h 2  2u
h3  3u
u ( x  h, y )  u ( x , y )  h ( x , y ) 
( x, y ) 
( x, y )  O ( h 4 )
x
2! x 2
3! x3
u
h 2  2u
h3  3u
u ( x  h, y )  u ( x , y )  h ( x , y ) 
(
x
,
y
)

( x, y )  O ( h 4 )
2
3
x
2! x
3! x
2

2
u
h u
h3  3u
u ( x, y  h )  u ( x, y )  h ( x, y ) 
(
x
,
y
)

( x, y )  O ( h 4 )
2
3
y
2! y
3! y

(1.1.6)

u
h 2  2u
h3  3u
u ( x, y  h )  u ( x, y )  h ( x, y ) 
( x, y ) 
( x, y )  O ( h 4 )
2
3
y
2! y

3! y

Khi h  0 , số hạng bậc 2 và 3 sẽ nhỏ so với số hạng bậc 1, do đó theo (1.1.6), đạo
hàm cấp 1 theo biến x hoặc y tại điểm (x,y) đƣợc tính tốn nhƣ sau:

u
u ( x  h, y )  u ( x, y )
u ( x , y )  u ( x  h, y )
( x, y ) 
 O ( h) 
 O ( h)
x
h
h
u
u ( x, y  h )  u ( x, y )
u ( x, y )  u ( x, y  h )
( x, y ) 
 O ( h) 
 O ( h)
y
h
h

(1.1.7)

Tƣơng tự, khi h  0 , số hạng bậc 3 sẽ nhỏ so với số hạng bậc 2, do đó theo
(1.1.6), đạo hàm cấp 2 theo biến x hoặc y tại điểm (x,y) đƣợc tính tốn nhƣ sau:
 2u
u ( x  h, y )  2u ( x, y )  u ( x  h, y )

( x, y ) 
 O(h 2 )
2
2
x
h
2
u
u ( x, y  h)  2u ( x, y )  u ( x, y  h)
( x, y ) 
 O(h 2 )
2
2
y
h

(1.1.8)

Phƣơng pháp phần tử hữu hạn và phƣơng pháp sai phân hữu hạn có điểm chung là
cùng chia lƣới miền khảo sát, điểm khác nhau là thay vì tính xấp xỉ các giá trị của hàm u
tại các nút lƣới nhƣ phƣơng pháp sai phân hữu hạn, FEM tính các giá trị của hàm u bằng
cách xấp xỉ bởi tổ hợp tuyến tính của các hàm dạng xác định trên miền khảo sát. Vì thế,
phƣơng pháp này thƣờng đƣợc sử dụng để giải các loại PDE khác nhau. MATLAB cũng
có phần mềm PDE Toolbox để hỗ trợ giải các phƣơng trình thơng dụng trong kỹ thuật.
FEM sẽ đƣợc khảo sát chi tiết trong phần sau.
1.2 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn
5


1.2.1 Giới thiệu chung

Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một phƣơng
pháp tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc
phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết ô tô, máy
bay, tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu,... đến những bài toán của lý thuyết trƣờng
nhƣ truyền nhiệt, cơ học chất lƣu, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ trƣờng.
Phƣơng pháp này đƣợc R.Courant sử dụng đầu tiên vào năm 1943 [Courant,
Richard. “Variational methods for the solution of problems of equilibrium and
vibrations”. Bulletin of the American Mathematical Society, 1943], ông đã dùng phƣơng
pháp Ritz và cực tiểu hóa sai số để thu đƣợc nghiệm xấp xỉ trong việc giải các bài toán
của hệ thống rung. Vào những năm 1970, FEM chỉ đƣợc sử dụng trong các lĩnh vực quan
trọng nhƣ hàng không, ô tô, quốc phịng và hạt nhân vì các hệ thống máy tính chƣa thông
dụng. Ngày nay, cùng với sự phát triển của hệ thống máy tính, FEM cũng đƣợc phát triển
nhanh chóng. Các hệ thống siêu máy tính ra đời đã tìm ra lời giải số với sai số nhỏ cho
các loại bài tốn kỹ thuật khác nhau.
Các mơ hình phần tử hữu hạn trong kỹ thuật bao gồm hai loại chính: mơ hình 2D
và mơ hình 3D. Mơ hình 2D thì đơn giản và cho phép chạy trên các hệ thống máy tính
thơng thƣờng, cịn mơ hình 3D thì phức tạp và phải chạy trên các hệ thống máy tính đủ
mạnh mới có thể đạt đƣợc kết quả với sai số nhỏ. Trong các mơ hình này, các lập trình
viên có thể sử dụng các thuật toán cải tiến để tuyến tính hóa một hệ thống phi tuyến. Hệ
thống tuyến tính sẽ ít phức tạp hơn hệ thống phi tuyến.
FEM sử dụng một hệ thống nhiều điểm nút, các điểm này sẽ đƣợc nối với nhau tạo
thành mạng lƣới. Các nút sẽ đƣợc phân bố thích nghi với mật độ khác nhau trong miền
khảo sát phụ thuộc vào trạng thái ứng suất của hệ thống. Khu vực ứng suất cao sẽ có mật
độ nút cao hơn các khu vực có ứng suất thấp. Tại các điểm gãy của miền, các điểm nút
cũng đƣợc tập trung nhiều nhƣ đƣờng biên hay vị trí góc. Một ví dụ về mạng lƣới thích

6


nghi đƣợc cho trong hình 1.4. Các nút gần nhau sẽ xác định một phần tử và đƣợc gọi là

phần tử hữu hạn, đây là thành tố cơ bản của FEM.

Hình 1.4. Chia lƣới thích nghi cho miền khảo sát
1.2.2 Xấp xỉ miền khảo sát bằng các phần tử hữu hạn
Giả sử Ω là miền xác định của một đại lƣợng u cần khảo sát (chuyển vị, ứng suất,
nhiệt độ,...). Miền Ω đƣợc chia ra thành nhiều miền con ve có kích thƣớc và bậc tự do hữu
hạn. Đại lƣợng xấp xỉ u trên Ω sẽ đƣợc tính trên tập hợp các miền ve.
Phƣơng pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve đƣợc gọi là phƣơng pháp xấp xỉ bằng các
phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau:
-

Xấp xỉ hàm trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những nút gắn vào nút của
ve và biên của nó.

-

Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve đƣợc xây dựng sao cho chúng liên tục
trên ve và phải thỏa mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con cạnh nhau.

-

Các miền con ve gọi là các phần tử hữu hạn.

1.2.3 Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn

7


Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền Ω để xác định hình học các phần tử hữu
hạn. Chia miền Ω theo các nút trên, rồi thay miền Ω bằng một tập hợp các phần tử ve có

dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó đƣợc xác định giải tích duy nhất
theo các tọa độ nút hình học của phần tử đó.
Việc chia miền Ω thành các phần tử ve phải thỏa mãn hai quy tắc sau:
-

Hai phần tử cạnh nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của
chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử cạnh nhau. Biên
giữa các phần tử có thể là điểm, đoạn thẳng hay mặt phẳng nhƣ trong hình 1.5.

Biên là 1 điểm

Biên là 1 đoạn

Biên là 1 mặt phẳng

Hình 1.5. Biên của các phần tử hữu hạn
-

Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền Ω cho
trƣớc càng tốt. Tránh không đƣợc tạo lỗ hổng giữa các phần tử.

1.2.4 Các dạng phần tử hữu hạn
Có nhiều dạng phần tử hữu hạn, tùy theo số chiều và độ chính xác yêu cầu của
PDE mà phần tử nào cần đƣợc sử dụng. Các dạng thơng dụng đó là: phần tử một chiều,
hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lƣợng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất
(gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hay bậc ba. Các dạng phần tử đƣợc cho trong hình 1.6,
1.7, 1.8.

Phần tử bậc 1

Phần tử bậc 2

Phần tử bậc 3

Hình 1.6. Phần tử hữu hạn một chiều
8


Phần tử bậc 1

Phần tử bậc 2

Phần tử bậc 3

Hình 1.7. Phần tử hữu hạn hai chiều

Phần tử bậc 1

Phần tử bậc 2

Phần tử bậc 3

Hình 1.8. Phần tử hữu hạn ba chiều
1.2.5 Sơ đồ tính tốn bằng FEM
Một chƣơng trình tính tốn bằng FEM thƣờng gồm các khối chính sau:
-

Đọc các dữ liệu đầu vào, bao gồm các thông tin mô tả nút và phần tử (lƣới
phần tử), các thơng số của phƣơng trình và điều kiện biên.

-

Tính tốn ma trận độ cứng phần tử K và vector giá trị lực nút F của mỗi phần
tử.

-

Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể K và vector giá trị lực nút tổng thể F
chung cho cả hệ.

-

Áp đặt các điều kiện biên bằng các biến đổi ma trận độ cứng K và vector giá trị
lực nút F.

-

Giải hệ phƣơng trình tuyến tính, xác định nghiệm của hệ là vector giá trị tại các
nút.

-

Tính tốn các đại lƣợng khác (ứng suất, biến dạng,…).
9


1.2.6 Phƣơng pháp trọng số thặng dƣ
Các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng trong lĩnh vực kỹ thuật thƣờng có cấu
trúc và miền khảo sát phức tạp, nên hầu nhƣ khơng thể tìm đƣợc nghiệm chính xác của
chúng. Do đó, các phƣơng pháp xấp xỉ để giải các phƣơng trình này là khơng thể thiếu

trong kỹ thuật, và phƣơng pháp phần tử hữu hạn nhƣ đã đề cập ở phần trên là một
phƣơng pháp xấp xỉ nhƣ thế.
Phƣơng pháp trọng số thặng dƣ (Method of Weighted Residuals – MWR) thƣờng
đƣợc sử dụng để hỗ trợ cho FEM trong việc tìm ra lời giải xấp xỉ của bài tốn. MWR sử
dụng các hàm thử để thỏa mãn các điều kiện biên và các phép tích phân để cực tiểu sai
số.
Xét phƣơng trình vi phân (1.2.1) trên miền Ω:
L(u)  p( x)

(1.2.1)

Và điều kiện trên biên của Ω:
S (u)  g ( x)

(1.2.2)

Nghiệm xấp xỉ của (1.2.1) sẽ đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
k

u  uB   ci Ni ( x1 , x2 ,..., xn )

(1.2.3)

i 1

với

uB – một hàm số thỏa mãn điều kiện biên
ci – các hệ số cần tìm
Ni(x1,x2,...,xn) – các hàm thử

Các hàm thử phải liên tục trên miền đƣợc khảo sát và thỏa mãn các điều kiện biên.
Từ (1.2.3), ta có điều kiện của các hàm thử trên miền Ω nhƣ sau:

10


S (uB )  g ( x)
S ( Ni )  0

(1.2.4)

i  1,..., n

Các hàm thử đƣợc phép tự chọn nhƣng chúng nên đƣợc chọn sao cho phù hợp với
cấu trúc của bài tốn đang khảo sát, nếu khơng kết quả tìm đƣợc sẽ khơng chính xác. Từ
nghiệm xấp xỉ ở (1.2.3), sai số thặng dƣ đƣợc tính nhƣ sau:

R  L(u)  p( x)

(1.2.5)

Từ (1.2.5), sai số thặng dƣ cũng là hàm của các hệ số ci. MWR cần tìm các hệ số
chƣa biết ci bằng tích phân sau:
. d   0 i  1,..., n
 RW

(1.2.6)

i



với

Wi – các hàm trọng số độc lập tuyến tính với nhau

Sau khi thực hiện tích phân (1.2.6), ta thu đƣợc n phƣơng trình đại số, từ đó có thể
tìm ra n giá trị hệ số ci. (1.2.6) chỉ ra rằng tổng của các sai số thặng dƣ trên toàn miền
khảo sát là bằng không. Do các hàm thử phải thỏa mãn điều kiện biên nên sai số tại biên
là bằng không và sai số tại bất kỳ điểm nào trong miền cũng khác không, tuy nhiên tổng
của chúng luôn bằng khơng.
Vấn đề quan trọng của MWR chính là lựa chọn các hàm thử sao cho hợp lý. Có
nhiều phƣơng pháp tiếp cận để lựa chọn các hàm này, một số phƣơng pháp thông dụng sẽ
đƣợc khảo sát ở các phần sau.
1.2.7 Các phƣơng pháp tiếp cận
a. Phƣơng pháp sắp xếp
Phƣơng pháp này chỉ cực tiểu hóa sai số tại các điểm đƣợc chọn. Xét bài toán
(1.2.1) trên miền R. Giả sử nghiệm xấp xỉ của bài toán đƣợc biểu diễn dƣới dạng (1.2.3),
với uB = 0, ta có:

11


k

u   ci Ni ( x)

(1.2.7)

i 1

Các hệ số ci trong (1.2.7) sẽ đƣợc xác định sao cho trọng số thặng dƣ bằng 0 tại n
điểm trong miền khảo sát. Do đó, hàm Delta Dirac (1.2.8) sẽ đƣợc chọn làm hàm trọng
số.

Wi   i ( x  xi )

(1.2.8)

Thay (1.2.8) vào (1.2.6), ta đƣợc:





R. i d   R( xi )  0

(1.2.9)

Từ (1.2.9), với việc giải n phƣơng trình đại số để xác định các hệ số ci, sai số
thặng dƣ tại các điểm đƣợc chọn sẽ bằng 0.
Ví dụ về phƣơng pháp này, xét phƣơng trình vi phân đơn giản trên miền

   0,1
f (u, x) 

d 2u
u  x  0
dx 2

u  0 khi

u  0 khi

x0
x 1

(1.2.10)

Chọn hai hàm thử nhƣ sau:

N1  x(1  x)

(1.2.11)

N 2  x 2 (1  x)
Nhƣ vậy, nghiệm xấp xỉ của (1.2.10) đƣợc biểu diễn nhƣ sau:

u  c1x(1  x)  c2 x 2 (1  x)

(1.2.12)

Sai số thặng dƣ sẽ là:

R( x)  x  c1 (2  x  x 2 )  c2 (2  6 x  x 2  x3 )

12

(1.2.13)

Chọn lựa 2 điểm trong miền Ω, ở đây ta chọn x1 = 0.25 và x2 = 0.5, thay vào
(1.2.13), ta đƣợc hệ 2 phƣơng trình đại số:

35 
1

c
64  1   4 
    
7   c2   1 
 

8 
2

 29
 16

 7

 4

(1.2.14)

Giải hệ phƣơng trình trên ta đƣợc c1 

6
40

, c2 
31
217

Nhƣ vậy, thay c1 và c2 vào (1.2.12), nghiệm xấp xỉ của (1.2.10) sẽ là:

u

x( x  1)
(42  40 x)
217

(1.2.15)

b. Phƣơng pháp bình phƣơng cực tiểu
Phƣơng pháp này đƣợc thực hiện bằng cách lấy tích vơ hƣớng của sai số thặng dƣ
với chính nó, sau đó sẽ cực tiểu hóa tích này. Sai số thặng dƣ đƣợc định nghĩa nhƣ trong
(1.2.6), ta có:
F   R2d 

(1.2.16)



Cực tiểu hóa F sẽ làm cho các sai số thặng dƣ tiến về 0, vì các ci là ẩn nên F là
hàm của các ci, do đó F sẽ đƣợc cực tiểu hóa theo các ci.

F

R


R2d    2R
d  0

ci ci 

c
i


(1.2.17)

Thay (1.2.7) vào (1.2.5), ta đƣợc:
n

R  L(uB )  p( x)   ci L( Ni )
i 1

13

(1.2.18)


Từ (1.2.18), ta có:

R
 L( N i )
ci

(1.2.19)

Vậy MWR đƣa ra biểu thức để cực tiểu hóa sai số thặng dƣ (1.2.20), với hàm
trọng số là đạo hàm của các hàm thử:

 R.L( N )d  0

(1.2.20)

i



Thay (1.2.18) vào (1.2.20), ta đƣợc:
n


L
(
u
)

p
(
x
)

ci L( Ni )  .L( N j )d  0

  B
i , j 1



(1.2.21)

Biến đổi (1.2.21), ta đƣợc:
n

 c  L( N ).L( N )d    [ L(u

i , j 1

i

i

j



B

)  p].L(N j )d 

(1.2.22)



Đặt K ji   L( Ni ).L( N j )d  và Fj   [ L(uB )  p].L( N j )d  , ta đƣợc biểu thức:




n

c K

i , j 1

i

ji

 Fj

(1.2.23)

Hay biểu diễn dƣới dạng ma trận độ cứng K, vector giá trị tại các nút c và vector
ứng suất F.

Kc  F

(1.2.24)

Từ (1.2.24) sẽ dẫn đến một hệ phƣơng trình đại số tuyến tính để tìm các hệ số ci.
Ví dụ về phƣơng pháp này, xét bài toán nhƣ trong (1.2.10) với các hàm thử nhƣ
(1.2.11), tính tốn các thơng số của các ma trận nhƣ sau:
14


N1  x(1  x)

 L( N1 ) 

d 2 N1
 N1  2  x  x 2
2
dx
(1.2.25)

 L( N1 ).L( N1 )  4  4 x  5 x 2  2 x 3  x 4
1

1

0

0

 K11   L( N1 ).L( N1 )dx   (4  4 x  5 x 2  2 x 3  x 4 )dx  3.36667
N 2  x 2 (1  x)
d 2 N2
 L( N 2 ) 
 N 2  2  6 x  x 2  x3
2
dx
 L( N 2 ).L( N 2 )  4  24 x  40 x 2  16 x 3  13x 4  2 x 5  x 6
1

1

0

0

 K 22   L( N 2 ).L( N 2 )dx   (4  24 x  40 x 2  16 x 3  13x 4  2 x 5  x 6 )dx  3.7428
(1.2.26)
1

1

0

0

K12  K 21   L( N1 ).L( N 2 )dx   L( N 2 ).L( N1 )dx  1.6833
1

1

0

0

(1.2.27)

F1   [ L(uB )  p].L( N1 )dx    x(2  x  x 2 )dx  0.91667
1

1

0

0

(1.2.28)

F2   [ L(uB )  p].L( N 2 )dx    x(2  6 x  x 2  x 3 )dx  0.9500
Nhƣ vậy, ta có hệ phƣơng trình đại số tuyến tính sau:

 3.36667 1.68333   c1   0.91667 
 1.68333 3.74280   c    0.95000 

 2  

Giải hệ phƣơng trình trên ta đƣợc c1  0.1875, c2  0.1695
Nhƣ vậy, thay c1 và c2 vào (1.2.12), nghiệm xấp xỉ của (1.2.10) sẽ là:
15

(1.2.29)