Dạng 4 sử dụng tính liên tục chứng minh có nghiệm

CHUN ĐỀ 4
SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC

CHỨNG MINH
PHƯƠNG TRÌNH CĨ
NGHIỆM


Phương pháp:
Cho phương trình f  x   0 , để chứng minh phương trình có k nghiệm trong  a, b  , ta thực hiện
theo các bước sau:
B-íc 1: Chọn các số a  T1 T2  ... Tk

1

 b chia đoạn  a, b  thành k khoảng thoả mãn :

 f (a). f (T1 )  0

.
 ...
 f (T ). f (b)  0

k 1
B-íc 2: Kết luận về số nghiệm của phương trình trên đoạn  a, b  .

BÀI TẬP MẪU
Dạng 1: Phương trình khơng chứa tham số.
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5  x  1  0 có nghiệm trên khoảng  1;1  .

Hướng dẫn

Xét hàm số f  x   x5  x  1 liên tục trên

. Ta có:

f  1  . f  1   3.1  3  0

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng  1;1  .

Bài 2.

Chứng minh rằng phương trình x 2 cos x  x.sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng (0;  ) .
Hướng dẫn

Xét hàm số f  x   x2 cos x  x.sin x  1 liên tục trên (0;  ) .
 f 0 1
 f  0  . f ( )  1   2  0
Ta có: 
2
 f ( )  1  

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;  ) .

Bài 3.

Chứng minh rằng phương trình x3  x  1  0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 .
Hướng dẫn

Xét hàm số f  x   x3  x  1 liên tục trên

.

Ta có: f  1  . f  0   1.1  1  0 .
Vậy, phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng  1;0  , do đó nó có ít nhất một nghiệm
âm lớn hơn 1 .
Bài 4.

Chứng minh rằng phương trình 2 x  6 3 1  x  3 có ba nghiệm phân biệt thuộc  7;9  .
Hướng dẫn

Đặt t  3 1  x . Khi đó, phương trình có dạng: 2t 3  6t  1  0
HDedu - Page 2


Xét hàm số f  t   2t 3  6t  1 liên tục trên

.

Ta có: f  2   3, f  0   1, f  1   3, f  2   5 ,
suy ra:


f  2  . f  0   3  0 , phương trình có một nghiệm t1   2; 0  , khi đó:
t1  3 1  x  x1  1  t13  x1   1;9  .



f  0  . f  1   3  0 , phương trình có một nghiệm t2   0;1  , khi đó:
t2  3 1  x  x2  1  t23  x2   0; 1  .



f  1  . f  2   15  0 , phương trình có một nghiệm t3   1; 2  , khi đó:
t3  3 1  x  x3  1  t33  x3   7;0 

Vậy, phương trình có ba nghiệm trên khoảng  7;9  .

Bài 5.

Chứng minh rằng phương trình 2 x3  10 x  7  0 có ít nhất một nghiệm âm
Hướng dẫn

Xét hàm số
f  x   2 x3  10 x  7 , ta có f  1  1 ; f  0   7 ; f  3  17

nên f  1 . f  0   7  0 và f  0  . f  3  119  0 .
Mặt khác: f  x   2 x3  10 x  7 là hàm đa thức nên liên tục trên  1;0 và  0;3
Suy ra, phương trình 2 x3  10 x  7  0 có ít nhất một nghiệm x0   1;0  và x1   0;3
Vậy phương trình 2 x3  10 x  7  0 có ít nhất hai nghiệm

Bài 6.

Chứng minh rằng phương trình 4 x3  8 x 2  1  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng

 1; 2 
Hướng dẫn
Đặt f  x   4 x3  8 x 2  1 .
+ Ta có f  1  11 , f  2   1 nên f  1 . f  2   0
+ Hàm số f  x   4 x3  8 x 2  1 liên tục trên

nên liên tục trên  1; 2  .

Vậy phương trình 4 x3  8 x 2  1  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  1; 2  nên phương trình có
nghiệm trong khoảng  1; 2  .

Bài 7.

Chứng minh rằng phương trình 4 x 4  2 x 2  x  3  0 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng

 1;1 .
HDedu - Page 3


Hướng dẫn
Đặt f  x   4 x 4  2 x 2  x  3 .
+ Hàm số f  x   4 x 4  2 x 2  x  3 liên tục trên

nên liên tục trên  1;0 ,  0;1 .

+ Ta có f  1  4 , f  0   3 , f 1  2
Vì f  1 . f  0   0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  1;0  .
Vì f  0  . f 1  0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  0;1 .
Mà  1;0  và  0;1 là hai khoảng phân biệt.
Vậy phương trình 4 x 4  2 x 2  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng  1;1 .

Bài 8.

Chứng minh rằng phương trình x5  5x3  4 x  1  0 có đúng 5 nghiệm.
Hướng dẫn

Đặt f  x   x5  5 x3  4 x  1 .
+ Hàm số f  x   x5  5 x3  4 x  1  x  x 2  1 x 2  4   1 liên tục trên
+ Ta có

f  2   1 0 ,

73
 3  105
f   
1 
 0,
32
 2  32

.
13
 1  45
f  
1 
 0,
32
 2  32

f  1  1  0 ,

f 1  1  0 , f  3  119  0 .

3

 3

Vì f  2  . f     0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  2;   .
2
 2

 3
Vì f    . f  1  0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
 2

1
Vì f  1 . f    0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
2

 3

  ; 1 .
 2


1

 1;  .
2


1 
1
Vì f   . f 1  0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  ;1 .
2 
2

Vì f 1 . f  3  0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1;3 

3  3
Do các khoảng  2;   ;   ; 1 ;
2  2



1 1 

 1;  ;  ;1 ; 1;3  không giao nhau nên phương trình có
2 2 


ít nhất 5 nghiệm.
Mà phương trình đã cho là phương trình bậc 5 có khơng q 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

Bài 9.

Chứng minh rằng phương trình x3  x  1  0 có nghiệm duy nhất x0 thỏa mãn 0  x0 
HDedu - Page 4

1
2


Hướng dẫn
Xét hàm số f  x   x3  x  1 , ta có f  0   1 và f 1  1 nên f  0  . f 1  0
Mặt khác: f  x   x3  x  1 là hàm đa thức nên liên tục trên  0;1

3
3
2
2
f  x1   f  x2   x1  x1  1   x2  x2  1  x1  x2   x1  x1 x2  x2  1


x1  x2
x1  x2
x1  x2
2

x  3x 2

 x  x1 x2  x  1   x1  2   2  1  0 với mọi x1 , x2 thuộc
2
4

2
1

2
2

Suy ra f  x   x3  x  1 đồng biến trên

nên phương trình x3  x  1  0 có nghiệm duy nhất

x0   0;1

Theo bất đẳng thức Côsi:
1  x03  x0  2 x04  1  2 x02  x02 

Bài 10.

1
1
 0  x0 
2
2

Chứng minh phương trình x 4  x  3  0 ln có ít nhất một nghiệm x0  7 12
Hướng dẫn

Chỉ ra f  0  . f  2   0  x0   0; 2 
Mà x04  x0  3  2 3x0  x08  12 x0  x0  7 12
Dấu bằng xảy ra khi x0  3  L  . Vậy x0  7 12
Bài 11.

a) Chứng minh phương trình 2 x3  6 x  1  0 có 3 nghiệm trên khoảng  2; 2 
b) Chứng minh phương trình 2 x5  x  2  0 có 3 nghiệm duy nhất x0  3 2
c) Chứng minh phương trình x 4  x  3  0 có 3 nghiệm duy nhất x0  1; 2  và x0  7 12
Hướng dẫn
a) Tính f  2  , f  0  , f 1 , f  2 
b) Xét hàm f  x   x5  x  2 liên tục trên

và f 1  2, f  2   28  f 1 . f  2   0

ta chứng minh được hàm f  x  đồng biến trên 1; 2  nên phương trình x5  x  2  0 có nghiệm
duy nhất x0  1; 2 

Ta có: x05  x0  2  2 2 x0  x010  8x0  x09  8  x0  3 2
c) Tương tự câu b)
Bài 12.

Chứng minh phương trình

  
b) cos 2 x  2sin x  2 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng   ;  
6


c)

x3  6 x  1  2  0 có nghiệm dương


HDedu - Page 5


d) x5  x 2  2 x  1  0 có nghiệm
Hướng dẫn
b) Xét hàm số y  f  x   cos 2 x  sin 2 x  2
     
Xét trên khoảng   ;  ;  ;  
6 2
2


 



c) Xét f  0  và f 1
Bài 13.

Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

a) 3x3  2 x 2  3x  2  0 có ít nhất một nghiệm
b) Chứng minh rằng phương trình x5  3x 4  6 x3  x 2  4 x  1  0 có nghiệm trong khoảng  0; 2 
c) 4 x3  12 x 2  x  3  0 có 3 nghiệm trong các khoảng  1;0  ,  0;1 ,  2; 4 
Hướng dẫn:
f  x   0 có nghiệm trong đoạn  a; b   f  a  . f  b   0

a) khoảng  0;1
b)  0; 2 
c)  1;0  ,  0;1 ,  2; 4 

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1.

Chứng minh rằng phương trình x 4  3x 2  5x  6  0 ln có ít nhất một nghiệm trong
khoảng  1; 2  .

Bài 2.

Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm:

a) x5  3x  3  0
Bài 3.

b) x 4  x3  3x 2  x  1  0

Chứng minh rằng:

a) 4 x4  2 x 2  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng  1;1 
b) x5  5 x 4  4 x  1  0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc  0;5  .
c) 2 x 2  3x  4  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc  3;1 
d) x3  3x 2  3  0 có 3 nghiệm thuộc  1;3  .
Bài 4.

Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm:

a. x3  2x  7  0 ĐS: f  x  liên tục trên R và f  0  . f  3  0.
b. x 5  x3  1  0 ĐS: f  0  . f 1  0.
c. x 3  x2  x 

2
 0. ĐS: f  1 . f  0   0.
3

d. x 3  6 x 2  9 x  10  0. ĐS: f  0  . f  5  0
HDedu - Page 6


e. x 5  9 x 2  x  2  0 ĐS: f  3 . f  0   0.
f. cos x  x  1  0 ĐS: f  0  . f  3  0
g. x 5  3x  3  0 ĐS: f  2  . f  0   0
h. x 5  x  1  0 ĐS: f  0  . f 1  0.
i. x 4  x3  3x 2  x  1  0 ĐS: f  2  . f  0   0.
Chứng minh rằng phương trình:

Bài 5.

a. x3  3x2  3  0 có 3 nghiệm trong khoảng  1;3 .
ĐS: f  1  0, f  0   0, f  2   0; f  3  0.
b. 2 x3  6x  1  0 có 3 nghiệm trong khoảng  2; 2 
ĐS: f  2   0, f  0   0, f 1  0; f  2   0.
c. x3  3x 2  3  0 có 3 nghiệm trong khoảng  3;1
ĐS: f  3  0, f  2   0, f  0   0; f 1  0.
d. x3  3x2  1  0 có ba nghiệm trong khoảng  1;3 .
ĐS: f  1  0, f  2   0, f 1  0; f  3  0.
e. 2 x2  3x  4  0 có 2 nghiệm trong khoảng  3;1
ĐS: f  3  0,, f  0   0; f 1  0.
f. x5  5x 4  4x  1  0 có 3 nghiệm trong khoảng  0;5  .
ĐS: f  0   0, f 1 / 2   0, f 1  0; f  5   0.
Chứng minh phương trình 2 x3  3x2  1  0 có nghiệm x0 

Bài 6.



3

4;2



HD: Chỉ ra f 1 . f  2   0 .

2 x03  3x02  1  x02  x02  x02  1  4 4 x06  4 x03

  2 x03   16 x03  x03  4  x0  3 4
2

Dạng 2: Phương trình có tham số:
Bài 1.

Chứng minh rằng phương trình m  x  1  x  2   2 x  3  0 có nghiệm trong khoảng 1;2  .
3

Hướng dẫn
Đặt f  x   m  x  1  x  2   2 x  3 .
3

+ Ta có f 1  1 , f  2   1 nên f 1 . f  2   0 .
HDedu - Page 7


nên liên tục trên 1;2 .

+ Hàm số f  x   m  x  1  x  2   2 x  3 liên tục trên
3

Vậy phương trình m  x  1  x  2   2 x  3  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng 1;2  .
3

Bài 2.

Chứng minh rằng phương trình m2 x 4  2mx3  3x  1  0 có nghiệm trong khoảng  0;1 .
Hướng dẫn

Đặt f  x   m 2 x 4  2mx3  3x  1 .
 f  0   1
+ Ta có: 
nên f  0  . f 1  0 .
2
2
 f 1  m  2m  2   m  1  1  0, m

hàm số nên liên tục trên  0;1 .

+ Hàm số f  x   m 2 x 4  2mx3  3x  1 liên tục trên

Vậy phương trình m2 x 4  2mx3  3x  1  0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng  0;1 suy ra phương
trình có nghiệm trong khoảng  0;1 .

Bài 3.

Chứng minh rằng phương trình 1  m 2  x5  3 x  1  0 ln có nghiệm.
Hướng dẫn

Đặt f  x   1  m 2  x 5  3x  1.
+ Hàm số f  x   1  m 2  x 5  3x  1 liên tục trên

nên hàm số liên tục trên  1;0 .

+Ta có: f  0   1
f  1  m 2  1  0, m nên f  0  . f  1  0

Vậy phương trình 1  m 2  x5  3 x  1  0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng  1;0  nên phương
trình ln có nghiệm.

Bài 4.





Chứng minh rằng phương trình: m2  m  1 x 4  2 x  2  0 ln có nghiệm.
Hướng dẫn

Đặt f  x    m 2  m  1 x 4  2 x  2 .
+ Hàm số f  x    m 2  m  1 x 4  2 x  2 liên tục trên

nên hàm số liên tục trên  0;1 .

+ Ta có
f  0   2
2

1 3

f 1  m  m  1   m     0, m
2 4

2

Nên f  0  . f 1  0
HDedu - Page 8





Vậy phương trình m2  m  1 x 4  2 x  2  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng  0;1 nên
phương trình ln có nghiệm.

Bài 5.





Chứng minh rằng phương trình m2  1 x 3  2m2 x 2  4 x  m 2  1  0 ln có 3 nghiệm.
Hướng dẫn

Đặt f  x    m 2  1 x3  2m 2 x 2  4 x  m 2  1 .
+ Hàm số f  x    m 2  1 x3  2m 2 x 2  4 x  m 2  1 liên tục trên

.

+ Ta có: f  x   m 2  x 3  2 x 2  1  x3  4 x  1
f  3  44m2  14  0; m

f  0   m 2  1  0, m
f 1  2

f  2   m 2  1  0; m

Vì f  3 . f  0   0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  3;0  .

Vì f  0  . f 1  0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  0;1 .
Vì f 1 . f  2   0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 1;2  .





Vậy phương trình m2  1 x 3  2m2 x 2  4 x  m 2  1  0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng  3; 2  ,
mà phương trình đã cho là bậc 3 nên phương trình có đúng 3 nghiệm.

Bài 6.

Chứng minh rằng phương trình

1
1

 a ln có nghiệm trong khoảng
sin x cos x

 
 ;   với
2 

mọi a
Hướng dẫn
Xét hàm số f

 

1
1
 

 a liên tục trong khoảng  ;  
sin x cos x
2 


1
 1

để f  x1   0
lim 

 a    nên tồn tại x1 gần
  sin x
2
cos x

x
2

1
 1

lim 

 a    nên tồn tại x1 gần  để f  x2   0
 sin x cos x



x  

 
Suy ra f  x1  . f  x2   0 nên phương trình f  x   0 ln có nghiệm trong khoảng  ;  
2



HDedu - Page 9


Bài 7.

Cho phương trình x  mx 2   m  1 x  2  0
3

a) Giải phương trình với m  1
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình ln có ít nhất hai nghiệm phân biệt
Hướng dẫn
Đặt t  x , t  0 , ta được t 3  mt 2   m  1 t  2  0
a) x  1
b) Xét hàm f  t   t 3  mt 2   m  1 t  2 liên tục trên
Ta có: f  0   2  0
lim f  t     c  0 sao cho f  c   0

t 

Suy ra: f  0  . f  c   0,  2  có một nghiệm t1   0, c   x  t1

Vậy, với mọi m phương trình ln có ít nhất hai nghiệm phân biệt.

Bài 8.

Chứng minh rằng với mọi m phương trình:





3

x  1  mx  m  1 ln có một nghiệm lớn

hơn 1.
Hướng dẫn
Đặt t  x  1 , điều kiện t  0
Khi đó phương trình có dạng: f  t   t 3  mt 2  t  0
Xét hàm số y  f  t  liên tục trên  0;  
Ta có:
f  0   1  0

lim f  t    , vậy tồn tại c  0 để f  c   0

t 

Suy ra: f  0  . f  c   0
Vậy phương trình f  t   0 ln có nghiệm t0   0; c  , khi đó:

x  1  t0  t02  1  1

Vậy với mọi m phương trình ln có một nghiệm lớn hơn 1.
Bài 9.

Cho a, b, c là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng phương trình:

a  x  b  x  c   b  x  a  x  c   c  x  b  x  a   0 ln có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn
Khơng mất tính tổng quát, giả sử a  b  c và đặt:
f  x   a  x  b  x  c   b  x  a  x  c   c  x  b  x  a 

Ta có: f  b   0 và hệ số x 2 của f  x  bằng a  b  c  0
HDedu - Page 10


Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  b  x2

Bài 10.

Chứng minh rằng với mọi m phương trình x3  mx 2  1  0 ln có một nghiệm dương.
Hướng dẫn

Xét hàm số f  x   x3  mx 2  1 liên tục trên R.
Ta có :
f  0  1  0
lim f  x    , vậy tồn tại c  0 để f  c   0 ,

x 

suy ra : f  0  . f  c   0 .
Vậy phương trình f  x   0 ln có một nghiệm thuộc  0, c   phương trình ln có một
nghiệm dương.
Tổng quát:
Chứng minh rằng phương trình: x3  ax 2  bx  c  0 ln có ít nhất một nghiệm.
Xét hàm số f  x   x3  ax2  bx  c liên tục trên

.

Nhận xét rằng:
lim f  x    , vậy tồn tại x1 để f  x1   0 ,

x 

lim f  x    , vậy tồn tại x2 để f  x2   0 ,

x 

suy ra f  x1  . f  x2   0 .
Vậy phương trình f  x   0 ln có ít nhất một nghiệm.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1.

Chứng minh rằng:

1) Phương trình



x  1   mx  m  1 ln có một nghiệm lớn hơn 1.

3

2)  1  m2   x  1   x2  x  3  0 ln có nghiệm.
3

3)  m2  m  5  x 7  x5  1  0 luôn có nghiệm.
4) m  x  1 4  x  2 3   x  1  x  3   0 ln có nghiệm.
Bài 2.

Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm:

a) cos x  m.cos 2 x  0


HD: f 
4

b) m  2 cos x  2   2sin 5 x  1
c)

1
1

m
cos x sin x

 . f  3 
  4 
 



HD: f   . f
4

  
 4 




HD: f  0  . f  
2
HDedu - Page 11


d)  m 2  1 x3  4 x  1  0 ln ln có nghiệm. HD: Xét f  0  và f 1

Bài 3.

Chứng minh rằng:

a) Nếu m  3 thì  3m2  m  1  x3   3m  2  x 2   m  1  x  3  0 có ít nhất một nghiệm thuộc

 1;1 
b) ax3  bx2  cx  d  0,  a  0  ln có ít nhất một nghiệm.
(HD: xét a  0 và a  0 rồi dùng chú ý ở phần bài mẫu để giải)

Dạng 3: Phương trình cho mối liên hệ giữa các tham số.
BÀI TẬP MẪU

Bài 1.

Cho 3 số a , b , c thỏa mãn 12a  15b  20c  0 . Chứng minh phương trình

4
ax2  bx  c  0 ln có nghiệm thuộc  0;  .
 5

Hướng dẫn
Xét hàm số f  x   ax 2  bx  c .
+ Hàm số f  x   ax 2  bx  c liên tục trên

.

 
+ Ta có f    a  b  c nên
f    12a  15b  c .
4 5
5
4
 5  25
4

f  0   c nên

Do đó

16

4

75

4

75

5
5
f  0  c .
4
4

75  4  5
f    f  0   12a  15b  20c  0 .
4 5 4

Suy ra f   , f  0  trái dấu hoặc cả hai đều bằng 0.
5
4

4
Vậy phương trình ax 2  bx  c  0 ln có nghiệm thuộc 0;  .
 5

Bài 2.

Chứng minh ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0 luôn có ít nhất 1 nghiệm với a.e  0
Hướng dẫn

Xét a  0  e  0 . Ta có f  0   e  0
lim f  x     luôn tồn tại số x1 để f  x1   0 . Suy ra f  0  . f  x1   0  phương trình ln

x 

có nghiệm x0   0; x1  .
Tương tự trường hợp a  0
HDedu - Page 12


Bài 3.

Cho 3 số a , b , c thỏa mãn 5a  4b  6c  0 . Chứng minh phương trình ax 2  bx  c  0

ln có nghiệm.
Hướng dẫn
Xét hàm số f  x   ax 2  bx  c .
+ Hàm số f  x   ax 2  bx  c liên tục trên

.

1
a b
+ Ta có f  0   c , f  2   4a  2b  c , f      c
2

4

2

1
Do đó f  0   4 f    f  2   5a  4b  6c  0
2
 

Suy ra tồn tại hai giá trị p , q sao cho f  p  . f  q   0 .
Vậy phương trình ax 2  bx  c  0 ln có nghiệm.

Bài 4.

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b  c

Chứng minh phương trình

 x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a   0

ln có hai nghiệm

phân biệt.
Hướng dẫn
Xét hàm số f  x    x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a  là tam thức bậc hai có hệ số A  3
nên phương trình f  x   0 có nhiều nhất hai nghiệm
Ta có: f  a   0; f  b   0; f  c   0
Vậy f  a  . f  b   0 và f  b  . f  c   0
Mặt khác f  x  là hàm đa thức nên nó liên tục trên  a; b  và b; c 
Suy ra, phương trình f  x   0 có nghiệm x1   a; b  và x2   b; c 
Vậy phương trình ln có hai nghiệm.

Bài 5.

Cho phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  thỏa mãn 2a  6b  19c  0 . Chứng minh phương
 1

trình có nghiệm trong  0; 
 3
Hướng dẫn
Xét hàm số f  x   ax 2  bx  c  a  0  liên tục trên
1

1

Tính f  0   c; f     a  3b  9c 
3 9
HDedu - Page 13


1
f  0   18 f    0
3
1

1

Suy ra f  0  , f   trái dấu hoặc f  0   f    0
3
3
 1
Vậy phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm trong  0; 
 3

Bài 6.

Cho phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  thỏa mãn

a
b
c

  0 (Với m  0 )
m  2 m 1 m

Chứng minh phương trình có nghiệm  0;1 .
Hướng dẫn
Xét hàm số f  x   ax 2  bx  c liên tục trên
+ Khi c  0 , ta có ax 2  bx  0
 Nếu a  0 thì từ giả thiết

a
b
c

  0 suy ra b  0 , phương trình có vơ số nghiệm
m  2 m 1 m

nên phương trình có nghiệm trong khoảng  0;1
 Nếu a  0 , ta có ax 2  bx  c  0  x  ax  b   0
x  0

 x   b  m  1   0;1
a m2



c
 m 1 
 Khi c  0 , ta có f  0   c và f 

 m  2  m  m  2
 m 1 
Suy ra phương trình f  x   0 có nghiệm trong khoảng  0;
   0;1


Bài 7.

m2

Cho phương trình a tan 2 x  b tan x  c  0 thỏa mãn 2a  3b  6c  0 . Chứng minh phương



trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng  k ;




 k  , k 
4


Hướng dẫn

a tan 2 x  b tan x  c  0 (1) và 2a  3b  6c  0

Đặt t  tan x với x   k ;





 k   t   0;1 , ta có: at 2  bt  c  0 (2)
4


 Trường hợp 1: Nếu c  0 thì at 2  bt  0
+ khi a  0 thì b  0 …

HDedu - Page 14


t  0
b 2
2
+ khi a  0 thì   , từ phương trình at  bt  0   2
t 
a 3
 3

…
c
2 1
 Trường hợp 2: Nếu c  0 , ta có f  0   c và f     12c  9c    ....

3
9
3
 



Phương trình (2) có nghiệm  0;    0;1 nên phương trình 1 có nghiệm trong khoảng
3
2








 k ;  k  , k 
4



BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1.

Chứng minh rằng: ax 2  bx  c  0 ln có nghiệm với 2a  3b  6c  0

2
c2

HD: f  0  . f    
3
3

Bài 2.

Chứng minh rằng phương trình: p  x  a  x  c   q  x  b  x  d   0 ln có nghiệm, biết
rằng a  b  c  d , p và q là hai số thực bất kì.

HDedu - Page 15