Hướng dẫn ôn tập Toán 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2 MB, 40 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A. NỘI DUNG TỰ HỌC TOÁN 9

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. GÓC Ở TÂM

2. GÓC NỘI TIẾP

 HỆ QUẢ: TRONG MỘT ĐƯỜNG TRỊN

1) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

2) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn những cung bằng nhau thì
chúng bằng nhau.

3) Góc nội tiếp



 90



có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung
4) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng.

3. GĨC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 
m

n

O

A

B

m
O

A

C
B

Định lí: Số đo góc ở tâm 
bằng số đo cung bị chắn

AOBSd AmB

Định lí: Số đo góc nội tiếp 
bằng nửa số đo cung bị chắn

1
2

ABC Sd AmC

Định lí: Số đo góc tạo bởi 
tiếp tuyến và dây cung bằng

nửa số đo cung bị chắn 
1

BAx Sd AmB 
x

m

y
O

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

4. GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN

5. GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN

6. TỨ GIÁC NỘI TIẾP

 CÁC CÁCH CHỨNG MINH MỘT 
TỨ GIÁC LÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 là tứ giác nội tiếp

2) Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì 
tứ giác đó nội tiếp

m

n A

O
D

B
C

E

O
A

B

C
D

Định lí: Số đo góc có đỉnh bên 
trong đường trịn bằng nửa

tổng số đo hai cung bị chắn
2

Sd BnC Sd DmE

BAC 

n

m

C
B

O

A

D

E

Định lí: Số đo góc có đỉnh bên 
ngồi đường trịn bằng nửa

hiệu số đo hai cung bị chắn
2

Sd DmE Sd BnC

BAC 

Định lí: Trong tứ giác nội 
tiếp, tổng hai góc đối nhau

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3) Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một đỉnh (đỉnh đó ta xác định được) là tứ 
giác nội tiếp

4) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới 
một góc  thì tứ giác đó nội tiếp.

7. CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN (CHU VI ĐƯỜNG TRÒN) 
C2R hoặc Cd (d2R)

8. CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI CUNG TRỊN:

Trên đường trịn bán kính R, độ dài l của một cung n0 được tính theo cơng thức:

 

 Rn  C

l 0

180 360

9. CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN

10. CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT TRỊN

Diện tích hình quạt trịn bán kính R, cung n0 được tính theo cơng thức:

S R n

360



 hay S lR

 (l là độ dài cung n0 của hình quạt tròn).

R
S = πR2

R

n°

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

II. BÀI TẬP:

Bài 1: Cho (O;R) và một điểm M nằm ngồi đường trịn sao cho MO = 2R. Từ M kẻ 
tiếp tuyến MA với (O). Tia OM cắt đường trịn tại B.

a) Tính số đo góc AOB và số đo cung AB nhỏ.

b) Kẻ tiếp tuyến MC với (O) ( C là tiếp điểm ). Chứng minh: OM vng góc
với AC.

c) Gọi H là giao điểm của AC và OB. Chứng minh: HA.HC = HB.HM và
OABC là hình thoi.

Bài 2: Cho (O;R) và một điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến KE với (O). 
Tia OK cắt đường tròn tại F. Cho biết OK = R 2.

a) Tính số đo cung nhỏ EF

b) Đường thẳng qua E vng góc OK và cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Chứng
minh: KM là tiếp tuyến của (O)

Bài 3: Cho (O;R) và dây cung BC =R

a) Tính số đo góc BOC và suy ra số đo cung nhỏ BC, số đo cung lớn BC.
b) Kẻ tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại A và đường kính BOD. Chứng

minh: OA//CD

Bài 4: Cho (O;R) và hai dây cung AB, AC tùy ý ( O nằm trong góc BAC). 
Kẻ đường kính AD.

a) Chứng minh: BADBCD và BD vng góc AB.

b) Lấy E thuộc (O) sao cho điểm D là điểm chính giữa cung nhỏ BE. Chứng
minh: CA là tia phân giác BCE

Bài 5: Cho (O;R) và một điểm S nằm ngồi đường trịn.Kẻ SA là tiếp tuyến của 
đường tròn ( A thuộc (O)) và AK là đường kính. SK cắt (O) tại điểm thứ hai là I.

a) Chứng minh: KI. KS = 4R2

b) Đường thẳng qua K và song song OS, cắt (O) tại B. Chứng minh: SB là tiếp
tuyến của (O).

Bài 6: Cho ABC có A60nội tiếp đường trịn (O;R)
a) Tính BOC

b) Kẻ OH vng góc BC tại H. Tia OH cắt (O) tại K. Chứng minh: AK là tia
phân giác của BAC

c) Gọi I là giao điểm thứ hai của (O) và đường thẳng OH. Chứng minh: AI
vuong góc AK.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 7: Cho (O;R), đường kính BC. Từ một điểm A ở ngồi đường trịn sao cho ABC
nhọn và các đường thẳng AB, AC cắt (O) lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm BD,
CE, AH cắt nhau tại K.

a) Chứng minh: BD, CE lần lượt là các đường cao của ABC
b) Chứng minh: AD. AC = AE.AB = AH.AK

c) Giả sử BAC 60 . Chứng minh: DOE đều và tính bán kính đường trịn ngoại
tiếp tam giác trên.

d) Tiếp tuyến của (O) cắt AK tại I. Chứng minh O, I, D, E, K cùng thuộc một
đường tròn. Xác định tâm của đường tròn trên.

Bài 8: Cho (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến SA với (O) ( A 
là tiếp điểm ) và cát tuyến SCD (SD > SC)

a) Chứng minh: 2
.

SA SC SD

b) Đường thẳng qua A và vng góc với OS tại I và cắt (O) tại B. Chứng minh:
SC.SD = SI.SO và SB là tiếp tuyến của (O)

c) Gọi F là trung điểm CD; OF cắt AB tại T. Chứng minh: 4 điểm T, F, I, S cùng
thuộc một đường tròn.

d) Chứng minh: 2
.

TC TF TO và TC là tiếp tuyến của (O)

Bài 9: Cho (O), đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng AB ở ngoài (O) lấy điểm D.

Kẻ DC là tiếp tuyến tại C của đường tròn. M là điểm chính giữa cung AB ( M khác
phía C đối với AB). CM cắt AB tại E.

a) Chứng minh: 2
.

DC DB DA

b) Chứng minh: OM ABvà DCEcân.

c) Gọi H là hình chiếu của C trên AD. Đường thẳng DM cắt (O) tại điểm thứ hai
là K. Chứng minh: CB là phân giác của DCH và OE.CH = HE.R

d) Chứng minh: HKDM

Bài 10: Cho ABC có ba góc nhọn và AB<AC. Đường trịn tâm O đường kính BC
cắt các cạnh AB; AC lần lượt tại E; D.

a) Chứng minh: AD.AC = AE.AB

b) Gọi H là giao điểm của BD và CE; K là giao điểm của AH và BC. Chứng
minh: AH BC.

c) Từ A kẻ tiếp tuyến AN đến (O) với N là các tiếp điểm ( N nằm cùng phía với C
đối với AH) . Chứng minh: 4 điểm A, K, O, N cùng thuộc một đường tròn
d) Chứng minh: AN2 AH AK. và ANH  AKN

Bài 11: Trên (O) lấy 3 điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các 
cung AB, BC, CA. BP cắt AN tại I; MN cắt AB tại E.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

b) Chứng minh: AE. BN = BE. AN
c) Chứng minh: EI // BC

Bài 12: Cho ABCcân tại A nội tiếp (O;R). Trên cung nhỏ AC lấy điểm S tùy ý. Tia
AM cắt BC tại D

a) Chứng minh: ACM ADB

b) Chứng minh: 2

AM ADAB

Bài 13: Cho (O;R) và điểm S ở ngồi đường trịn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB và cát 
tuyến SMN đến (O) ( M nằm giữa S và N). Phân giác MANcắt dây MN tại D và cắt
(O) tại E. Gọi F là giao điểm AB và MN; G là giao điểm EO và MN.

a) Chứng minh:
2

NE ED EA

b) Chứng minh:
2

SA SG SF

c) Chứng minh: SD = SA

Bài 14: Cho MEKcó 3 góc nhọn. Kẻ các đường cao MH, KB,EA cắt nhau tại I.

Chứng minh: Tứ giác MBIA, EBIH,KAIH, EBAK, MEHA, MBHK nội tiếp. Xác
định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên.

Bài 15: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R) có đường cao BE và CF cắt nhau tại H

a)Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp và OA vng góc EF

b)Kẻ đường kính AD của (O),BC cắt HD tại I.Chứng minh OI vng góc BC
Bài 16: Cho ABCcó 3 góc nhọn. Kẻ các đường cao BD, CE của ABC

a) Chứng minh: Tứ giác BECD nội tiếp. Xác định tâm O của đường trịn đó.
b) Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp

c) Gọi H là giao điểm của BD và CE. Kẻ HK vng góc BC tại K. Chứng minh:
A, H, K thẳng hàng.

d) Chứng minh: Tứ giác BEHK nội tiếp từ đó chứng minh EC là phân giác của
DEK

Bài 17: Cho ABCcó 3 góc nhọn (AB > AC). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H

a) Chứng minh: Tứ giác CEHD , ACDF nội tiếp.
b) Chứng minh: DA là phân giác của EDF

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 18: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) . Vẽ các tiếp tuyến AB ; AC với 
đường tròn (O) tại B và C .

a) CM : Tứ giác ABOC nội tiếp được đường tròn .

b) Vẽ cát tuyến ADE với đường tròn (O) .( cát tuyến ADE không qua tâm O ; D
nằm giữa A và E ) . CM : AB2 = AD.AE = OA2 – R2

c) Gọi H là giao điểm của BC và OA . CM : Tứ giác HDEO nội tiếp .

Bài 19: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hai đường 
cao BE và CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp được đường tròn. Xác định tâm và bán
kính của đường tròn này.

b) Gọi K và Q lần lượt là giao điểm của BE và CF với đường tròn (O). Chứng
minh EF song song KQ.

Bài 20: Cho đường tròn (O;R). Từ điểm M ở ngoài (O), kẻ hai tiếp tuyến MB và MC 
với (O) (B và C là hai tiếp điểm).

a/ Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp.

b/ Vẽ cát tuyến MKN không qua tâm O. Chứng minh: MB2 = MK. MN.

c/ Trên (O) lấy điểm A thuộc cung lớn BC sao cho AB song song với KN. AC
cắt KN tại I. Chứng minh I là trung điểm của KN.

Bài 21: Từ một điểm A ở ngồi đường trịn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến 
ACD .

a/ CMR :AB2 = AC . AD

b/ Vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (O) , E là tiếp điểm . CMR : tứ giác ABOE
nội tiếp (K) , xác định K

c/ Gọi I là trung điểm CD . CMR : I thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOE

Bài 22: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm M sao 
cho OM > 2R. Kẻ dây AC của (O) vng góc với OM tại H. MB cắt đường tròn (O) và AC
lần lượt tại D và T.

a) Chứng minh : MC là tiếp tuyến và tứ giác MAOC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I
của đường tròn.

b) Đường tròn (I) cắt MB tại E ( E khác M). Chứng minh OE // AD
c) Chứng minh : TD.TB = TM.TE

ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN 
DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN 
Bài 1:

a) Tính độ dài cung 60o

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 2: Máy kéo nơng nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng,
bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm. Hỏi
khi bánh xe sau lăn được 10 vịng thì bánh xe trước lăn được mấy vòng?

Bài 3: Bánh xe của một rịng rọc có chu vi là 540mm. Dây cua-roa bao bánh xe theo 
cung AB có độ dài 200mm. Tính góc AOB.

Bài 4: Vĩ độ của Hà Nội là 20o01'. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài khoảng
40 000km. Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.

Bài 6: Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: 
cm).

Bài 7: Tính diện tích phần tơ màu trên hình sau (theo kich thước đã cho trên hình)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Tuần 3

LUYỆN TẬP GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

I. LÝ THUYẾT

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
* Bước 1: Lập hệ phương trình

- Chọn ẩn, tìm đơn vị và điều kiện cho ẩn;

- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lượng đã biết; 
- Lập hệ phương trình

* Bước 2: Giải hệ phương trình.

* Bước 3: Đối chiếu với điều kiện để trả lời.

II. BÀI TẬP

Bài 1. Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường dài 156km, 
sau 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ
hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ơ tơ.

Hướng dẫn. Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h).

Hệ phương trình :



















40
12

156
3

y
x
x

y
y
x

Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h).

Bài 2. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với 
vận tốc 35 km/h thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h
thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian dự định
đi từ A đến B.

Hướng dẫn. Gọi quãng đường AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Hệ phương trình :

















8
350
1
50
2
35
y
x
x
y
y
x

Vậy quãng đường AB là 350(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ).

Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. 
Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô
đi xi dịng lớn hơn vận tốc ca nơ đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là
3km/h.

Hướng dẫn. Gọi vận tốc thật của ca nô đi xi dịng là x(km/h), vận tốc ca nơ đi ngược

dòng là y (km/h) (x, y > 3).
Hệ phương trình :



















24
27
85
)
3
(

3
5
)
3
(
3
5
9
)
3
(
3
y
x
y
x
y
x

Vậy vận tốc thật của ca nơ đi xi dịng là 27(km/h), vận tốc ca nơ đi ngược dòng là 24
(km/h)

Bài 4. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện 
tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì
chu vi thửa ruộng khơng thay đổi.

Hướng dẫn. Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y

(m). (x > 0, y > 0). Hệ phương trình :

15
60

2( ) 2(3 )

y x

x
y

y

x y x

 
  
 
  
   


Diện tích của thửa ruộng là : 900 m2.

Bài 5: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi 
chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị.

Hướng dẫn. Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab (0a9,0b9). Hệ phương trình :

11 4

7
27

a b a

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vậy số cần tìm là 47.
III. BAI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1. Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. nếu vận tốc tăng thêm 
20 km/h thì thời gian giảm đi 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt đi 10 km/h thì thời gian tăng
lên 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.

Bài 2. Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc , đi 
ngược chiều nhau và gặp nhau tại một địa điểm cách A 2 km. Nếu cả hai cùng giữ
nguyên vận tốc, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sễ
gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc của mỗi người.

Bài 3. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 
5km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc
và xuống dốc lúc đi và lúc về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống
dốc.

Bài 4. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 
là 3 đơn vị. Nếu đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó giảm 27 đơn
vị.

Bài 5. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì 
diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích 
giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

Bài 6. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược 
chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ơ tơ biết rằng nếu ô tô đi từ A
tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.

Bài 7. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A người ấy đi 
đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h. nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là
20 phút. Tính quãng đường AB?

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 9. Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi 
lấy ra ở thùng thứ nhất một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì
lượng dầu cịn lại trong thùng thứ hai gấp đơi lượng dầu cịn lại trong thùng thứ nhất.
Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?

Bài 10. Hai trường A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng 
tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có
bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.

Bài 11. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể khơng có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. 
Nếu chảy riêng thì vịi thứ nhất cần ít thời gian hơn vịi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian
để mỗi vịi chảy riêng thì đầy bể.

Bài 12. Hai tổ cùng làm chung một cơng việc hồn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm 
trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% cơng việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ
hồn thành trong bao lâu.

Bài 13. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng

đi 5m thì diện tích giảm đi 75 2

m . Tính diện tích thửa ruộng đó.

Bài 14. Một phịng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế 
ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi
hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phịng họp có bao nhiêu hàng
ghế và mỗi hàng có bao nhiêu.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

TUẦN 4

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a) x 5y 3

14x 51y 15

  


  

 b)

y 4 x
x y 4

 

  

 c)

9x 6y 4
15x 10y 7

 



  



d) 4x 5y 3

x 3y 5

 



  

 e)

x y
1
2 2
x y 3

  




  


f) 7x 2y 1

3x y 6

 



  


g) 1,7x 2y 3,8

2,1x 5y 0, 4

 



  

 h)

1,3x 4, 2y 12

0,5x 2,5y 5,5

 



  

 i)

( 5 2)x y 3 5
x 2y 6 2 5

    




   


Bài 2. Giải các hệ phương trình sau

a) 3x 2y 8

4x 3y 12

 



   

 b)

3x 2y 2
9x 6y 15 0

  


   

 c)

3x 2y 1
2x 3y 3

  




 



d) 2x 3y 1

x 3y 2

  




 

 e)

x 2 2y 5
2x y 1 10

  




  

 f)

( 2 1)x y 2
x ( 2 1)y 1

   




  



g) 2x 2 3y 5

3 2x 3y 4,5

  




 

 h)

2x 11y 7
10x 11y 31

  


  

 i)

4x 7y 16
4x 3y 24

 



   


j) 0,35x 4y 2,6

0,75x 6y 9

  


  

 k)

10x 9y 8
15x 21y 0,5

 



  

 l)

3,3x 4, 2y 1

9x 14y 4

 

  

m)
x y
5 3
x y 12

 



  


n) 8x 7y 5

12x 13y 8

 

   
 o)
x 2
3y
2 2

2x 12y 2 2


 


  


p) x y 2(x 1)

7x 3y x y 4

  



    

 q)

3 5x 4y 15 2 7
2 5x 8 7y 18

   




  

 r)

3(x 1) 2y x
5(x y) 3x y 5

   


     



Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng 3

4chiều dài.

Tính kích thước của mảnh đất.

Bài 4. Tổng kết năm học 2016 – 2017, lớp 9a2 đạt danh hiệu lớp xuất sắc của trường vì 
chỉ có học sinh tiên tiến và học sinh giỏi. Tìm số học sinh giỏi lớp 9a2 biết rằng số học 
giỏi hơn số học sinh khá là 28 em và tổng số học sinh của lớp 9a2 là 36 em ?

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 6. Mẹ hơn Lan 24 tuổi. 2 năm nữa tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Lan. Hỏi hiện giờ Lan bao 
nhiêu tuổi ?

Bài 7. Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất đựng ít hơn thùng thứ hai 24 lít dầu và 5 lần 
thùng thứ nhất bằng 3 lần thứ hai. Hỏi mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu?

Bài 8. Một người mua tám cái bánh và bốn chai nước, tổng số tiền phải trả là 128 nghìn

đồng. Biết rằng giá mỗi cái bánh gấp 1,5 lần giá một chai nước. Tính giá mỗi cái bánh.
Bài 9. Nam đem 72.000 đồng vào nhà sách mua hết bút và vở. Mỗi cây bút giá 6.000 đồng, 
mỗi quyển vở giá 12.000 đồng. Nam mua được số bút gấp đôi số vở. Tìm số bút và vở mà
Nam đã mua

Bài 10. Có hai kho thóc, biết rằng số thóc ở kho I gấp đơi số thóc ở kho II. Nếu chuyển 30 
tạ thóc từ kho I sang kho II thì số thóc cịn lại ở kho I bằng 8

7 số thóc ở kho II. Tính số
thóc ở mỗi kho lúc đầu.

TUẦN 5 & TUẦN 6

HÀM SỐ y = ax2 (a Đ TH C A HÀ Ố ax2 (a0) 
I. Tính chất

1. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị của x  R. 
2. Sự biến thiên:

- Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2: 
+ Đồng biến khi x > 0

+ Nghịch biến khi x < 0

+ Bằng 0 khi x = 0 (y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số)
Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2:

+ Đồng biến khi x < 0

+ Nghịch biến khi x > 0

+ Bằng 0 khi x = 0 (y = 0 là giá trị lớn nhất của hàm số)

x' y' x

y

O

x' x

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

II. Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 
 Là một đường cong Parabol

 Đi qua gốc tọa độ (nhận O làm đỉnh)
 Nhận trục tung làm trục đối xứng

 Nằm phía trên trục hồnh và có đỉnh O là điểm thấp nhất (nếu a > 0)
 Nằm phía dưới trục hồnh và có đỉnh O là điểm cao nhất (nếu a < 0)
Lưu ý: khi vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

- Bảng giá trị: tính tọa độ ít nhất 5 điểm, trong đó có tọa độ của điểm thấp nhất (a > 0) 
hoặc điểm cao nhất (a < 0).

- Vẽ đồ thị và nhận xét: đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong parabol

Ví dụ

a) Xác định hàm số y = ax2, biết đồ thị của nó đi qua điểm A(2; 1). Vẽ đồ thị vừa tìm

được.

b) Các điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)

c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hồnh độ là  2,

điểm Q có tung độ bằng 3. 
Giải

a) Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2. 
Vì A(2; 1)  (P): y = ax2  2

A A

y a.x  1 a.22 a 1
4

   

Vậy (P) là đồ thị của hàm số: 1 2

y x
4

 .

Vẽ (P): y 1x2



Bảng giá trị:

x –4 –2 0 2 4

1
y x

 4 1 0 1 4

x' x

y'
y

4 2 O 2 4
( P )

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số: M(–8; –16) và N(–6;9)
 Với điểm M(–8; –16):

Giả sử M(–8; –16)  (P): 1 2

y x
4

  2

M M

1
y x



 1 2

16 ( 8 ) 16 16

4

      (sai) 
Vậy M(–8; –16)  (P).

 Với điểm N(–6;9):

Giả sử N(–6;9)  (P): y 1x2

  2

N N

1
y x



 1 2

9 ( 6) 36 36
4

    (đúng)

Vậy N(–6;9)  (P).

c) Xác định tọa độ các điểm R, Q thuộc đồ thị hàm số biết điểm R có hồnh độ là  2,

điểm Q có tung độ bằng 3:

 2 2

R R R R R

1 1 1

R( 2; y ) (P) y x Y ( 2) y

4 4 2

        

Vậy R( 2; )1
2



 2 2 2

Q Q Q Q Q

1 1

Q(x ;3) (P) y x 3 x x 12

4 4

      

x 2 3

  hoặc xQ  2 3

III. Bài tập

1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: 
a) y2x2 b)

x
y

  c) y x2
2



 d) y 2x2



2. Cho hàm số 2

yf (x)ax có đồ thị (P) đi qua A 3; 9
4

 

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

a) Tính a.

b) Vẽ đồ thị (P).

c) Các điểm nào sau đây thuộc (P): B( 3 2; 4); C( 2 3; 3)  .

d) Tính f 3
2

 



 

  và tính x nếu f(x) = 8.

3. a) Xác định hàm số 2

yf (x)ax (P) có đỉnh O và đi qua A( 3; 3)

b) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ bằng – 2.
TUẦN 7

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:





0 0

ax bx c  a (1), trong đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước.

2. Cách giải

a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành: 2





0
0

0 0

x
x

ax bx x ax b b

ax b x

a




 

      



   

 

Ví dụ: Giải phương trình:

 

x 0
x 0

3x 5x 0 x 3x 5 0 5
3x 5 0 x





 

       

  

 

Vậy S 0; 5
3



 

  
 

b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành: 2 2 2

0 c

ax c ax c x

a

        (2)

- nếu c 0

a

  thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) vô nghiệm

- nếu c 0 x c

a a

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2 2 2 3

2x 3 0 2x 3 x
2



      

Vậy phương trình vơ nghiệm S 

b) 2 2 2

5
x

5 3

3x 5 0 3x 5 x

3 5

x
3




      

 



Vậy S 5; 5
3 3
 
 
  
 
 

c Đầ đủ: 2





0 0

ax bx c  a
Công thức nghiệm

2
4

b ac

  

+ Nếu  0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:

1 ; 2

2 2
b b
x x
a a
     
 

+ nếu  0 thì pt có nghiệm kép:

1 2
2
b
x x
a

 

+ nếu  0 thì pt vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn 
' '2

b ac

  

+ Nếu '
0

  thì pt có 2 nghiệm phân biệt:

' ' ' '

1 ; 2

b b

x x

a a

     

 

+ nếu '
0

  thì pt có nghiệm kép:
'
1 2

b
x x
a

 

+ nếu '
0

  thì pt vơ nghiệm
Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2

x  x 200

 2  

b 4ac 1 4.1. 20 81 0
81 9

        

  

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

b 1 9

x 5

2a 2.1
b 1 9

x 4
2a 2.1
   
  
   
   

b) 4x24x 1 0 

 2
2

b 4ac 4 4.4.1 0

      

Vậy phương trình có nghiệm kép:

1 2

4 1

2 2.4 2



  b 

x x

a

c) 2

3x 5x 3 0

2 2

b 4ac 5 4.3.3 11 0

       

Vậy phương trình vơ nghiệm

d Cho phương trình: 2





0 0

ax bx c  a . Điều kiện để phương trình:

- Vơ nghiệm:  0 ( '
0

  )
- Nghiệm kép:  0 ( '

  )
- Có 2 nghiệm phân biệt:  0 ( '

  ) hoặc a.c < 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu:

 

'
1 2
0
. 0
x x
  





- Có 2 nghiệm cùng dấu âm:

 

'
1 2
1 2

0
. 0
0
x x
x x
  
 

  


- Có 2 nghiệm cùng dấu dương:

 

'
1 2
1 2
0
. 0
0
x x
x x
  
 

  


- Có 2 nghiệm khác dấu:

 

'
1 2

0
. 0
x x
  





</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 1: Giải các phương trình sau:





2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

1 2

6 2 2

) 5 6 0 0; ) 2 1 0 ;

5 2 2

5 3

) 8 5 0 0; ) 2 3 0 0;

8 2

) 2 42 0 21; 21

a x x x x b x x x

c x x x x d x x x x

e x x x

 
 
             
   
   
            
   
    

Bài 2: Giải các phương trình sau:









2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

1 2

) 3 4 1 0 1; ) 10 39 0 3; 13

) 6 55 0 11; 5 ) 3 70 0 5;

3
1

) 2 5 2 0 2;

a x x x x b x x x x

c x x x x d x x x x

e x x x x

 
            
 
 
             
 
 
      
 

Bài 3: Giải các phương trình sau:





 



2 2

2x1 2x  1 x 3  1 5x 6x 7 0 pt vô nghiệm









1 2

10
4 1 2 6 1 0 14 20 0 0;

x  x x    x  x x  x   

 







1 2

11
3 1 2 20 3 5 22 0 2;

x x   x  x  x  x   

 







1 2

15
4 4 3 3 0 4 19 15 0 1;

x x    x  x  x  x  

 

Bài 4: Chứng tỏ rằng với mọi m các phương trình sau ln ln có 2 nghiệm phân biệt.

a) 2





2 1 0

x  m x m 

Hướng dẫn: Ta có:

' 2 1 3

... 1 0,

2 4

 

          

 

m m m m, do  ' 0 với mọi m nên pt

có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) 2 2

1 0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Hướng dẫn: Ta có: ' 2





... m 4 m 1 ... 5m 4 0, m

           , do '

  với mọi m nên
pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Bài 5: Cho pt 2





2 1 2 0

mx  m x  . Tìm m để pt có nghiệm kép

Pt có nghiệm kép:

1 2

0
0

0 3 2 2 3 2 2

;
3 2 2 3 2 2

0 4 12 1 0 ; 2 2

2 2

m
m

a

m m

m m m m




 
   
       
        
  
TUẦN 8

HỆ THỨC VI-ÉT 
A. LÝ THUYẾT

- Định lý: Nếu x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2bx c 0



a0



thì

1 2

1. 2

b
x x
a
c
x x
a
   


 

- Ứng dụng nhẩm nghiệm của hệ thức Vi-ét:

+ Nếu phương trình 2





0 0

ax bx c  a có a b c  0 thì phương trình có 2 nghiệm

là: 1 1; 2

c

x x

a

 

+ Nếu phương trình 2





0 0

ax bx c  a có a b c  0 thì phương trình có 2 nghiệm

là: 1 1; 2

c
x x
a
   
+ Nếu
.

u v S
u v P

 


 

 thì suy ra u, v là nghiệm của phương trình:

x Sx P (điều kiện để

tồn tại u, v là 2

4 0

S P

    )

Ví dụ:

Bài 1: Cho phương trình 2

4 1 0

x  x  m

a) Xác định m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn: 2 2

1 2 10

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

LG

a) Ta có: '

... 3 m

    . PT có nghiệm '

0 3 m 0 m 3

       
b) Với m3 giả sử pt có 2 nghiệm là x1 ; x2. theo Vi-ét ta có: 1 2

1 2

. 1

x x
x x m

 



  

 (*)

lại có: 2 2





1 2 10 1 2 2 1 2 10

x x   x x  x x  (**)

thay (*) vào (**) ta được: 2





4 2 m 1 10 m 2 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 2: Cho pt 2

3x 5x m 0. Xác định m để pt có 2 nghiệm thỏa mãn 12 22
5
9

x x 

Ta có:   ... 25 12m

Pt có 2 nghiệm 0 25 12 25

m m

       (*)

với 25
12

m giả sử pt có 2 nghiệm là x1 ; x2. theo Vi-ét ta có:

 

1 2
1 2
5
(1)
3
. 2
3
x x
m
x x
  


 


lại có: 2 2











1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

5 5 5 5 1

9 9 3 9 3

x x   x x x x   x x   x x  (3)

kết hợp (1) và (3) ta có hệ phương trình: 1 2 1

2
1 2
5
1
3
2
1
3
3
x
x x
x
x x
    
 
 

   


thay vào (2) ta được

1. 2

3 3

m
m

   (thỏa mãn đk (*))
Bài 3: Cho pt 2

2 2 1 0

x  mx m 

a) Chứng tỏ rằng pt có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Đặt



2 2



1 1 1 2

2 5

A x x  x x

* CMR: 2

8 18 9

A m  m

* Tìm m để A = 27

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

LG

a) ta có 2





2 1 1 0,

m m m m

        , do đó pt có 2 nghiệm với mọi giá trị của m
b) + với mọi m pt có nghiệm x1, x2. theo Vi-ét ta có: 1 2

1 2

. 2 1

x x m

x x m

 



  

 (*)

từ



2 2







1 1 1 2 1 2 1 2

2 5 2 9

A x x  x x  A x x  x x (**)

thay (*) vào (**) ta được:

 





2

2 2 9 2 1 8 18 9

A m  m  m  m => đpcm

+ với A = 27 suy ra 2 2

1 2

3
8 18 9 27 8 18 18 0 3;

m  m   m  m  m  m  

c) giả sử x1 = 2.x2, kết hợp (*) ta có:

1 1

1 2 1 2

1 2 2 2 2

1 2 1 2

4 4

3 3

2 2

2 3 2

3 3

. 2 1 . 2 1

4 2 8 18 9 0

. 2 1

3 3

m m

x x

x x x x

m m

x x m x m x x

x x m x x m

m m m m

m
   
 
 
   
        
   
       
      
 
 
 

giải pt 2

1 2

3 3

8 18 9 0 ;

2 4

m  m  m  m 

B. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho phương trình 2

2( 3) 6 0

x  m x m

a) Chư ng minh phương tr nh luo n luo n co nghiệm vơ i mo i gia tri cu a m.
b) Tính tổng và tích của 2 nghiệm theo m.

c) Gọi x1 ,x2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm m để x1 x2 3x x1 2 2

Bài 2: Cho phương trình x2 – 2mx - 4m - 5 = 0

a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

2 2

1 2 1 2

Ax x x x

Bài 3: Cho phương tr nh: 2 2

2 1 0

x  mxm   m vơ i m la tham so va x la a n so .

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , 1 x 2

c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức Ax x1 2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 4m = 0 (x là ẩn số)

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để 3 3

1 2 1 2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bài 5 :

Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0 (1) (x là ẩn số) 
a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Tìm m để: A= x12 + x22 – 6 x1.x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6:Cho phương trình ẩn x : 2

x (m 3)x 3m  0

a) Chứng minh phương trình trên ln có nghiệm x1 , x2 với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để: 2 2

1 2 1 2

x x x .x 9

Bài 7:Cho phương trình 2   2

x 2 m 3 x m  3 0 (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 thỏa : x1x2 2

Bài 8: Cho phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 3m2 + 6m = 0 (1) (x là ẩn số ) 
a) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 ; x2

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mn : x12 x1x22 x2 14

c) Định m để x1 = 2x2.

Bài 9: Cho phương trình 2





 

1 2 0 1

    

x m x m (x là ẩn số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình (1). Định m để 1, 2 2 2

1 2

2x 2x 15
Bài 10: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – m – 1 = 0 (x laø ẩn số )

a) Tìm m để phương trình trên có nghiệm.

b)Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm thỏa mãn: (x1 – 2x2)(x2 – 2x1) = 27
Bài 11: Cho phương tr nh: 2 2

2 1 0

x  mxm   m vơ i m la tham so va x la a n so .

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

ơ i đie u kie n cu a ca u b ha y t m m đe bie u thư c Ax x1 2 x1 x2 đa t gia tri nho nha t
Bài 12: (1,5đ) Cho phương trình: x2 – ( 2m + 1)x – m2 + m – 3 = 0 (1) ( x là ẩn )

a)Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b)Định m để phương trình(1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn :

2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

x (x 3) x (x   3) 2x x 2x x 2x x
Bài 13. Cho phương trình 3 2 5 – 6 0

x  x  . Khơng giải phương trình. Hãy tính giá trị biểu

thức sau:



3 – 21 2



3 – 22 1



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 14: Cho phương trình 4x2 – 12x + 5 = 0. Khơng giải phương trình. Tính giá trị biểu 
thức

M =

10 ĐỀ TỐN THỰC TIỄN VỀ HỆ PT(PT) VÀ HÌNH

HỌC CÓ ĐÁP ÁN

Câu 1: Người ta muốn lát gạch một nền nhà hình chữ nhật có chu vi 30m, chiều dài 
bằng chiều rộng. Gạch dùng để lát hình vng có cạnh 6dm. Tính số gạch cần
dùng. Gọi x (m) là chiều rộng nền nhà (x > 0)

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Thì chiều dài là x (m)

Theo đề bài ta có: x + x = 15 
⇒ chiều rộng: x = 6 (m)

Và chiều dài: 6 = 9 (m)

Diện tích nền nhà : 9. 6 = 54 (m2)

Diện tích 1 viên gạch: (0,6)2 = 0,36 (m2)
⇒ Số gạch cần dùng: = 150 (viên)

Câu 2: Sau khi xem bảng giá, mẹ bạn An đưa 350000 đồng nhờ An mua 1 bàn ủi, 1

bộ lau nhà. Hôm nay đúng đợt khuyến mãi, bàn ủi giảm 10%, bộ lau nhà giảm 20%
nên An chỉ trả 300000 đồng. Hỏi giá tiền của bàn ủi và bộ lau nhà lúc đầu là bao
nhiêu?

HƯỚNG DẪN GIẢI:

1) Gọi x (đồng) là giá tiền ban đầu của bàn ủi. ( x > 0) 
 y (đồng) là giá tiền bộ lau nhà ( y > 0)

Theo đề bài, ta có phương trình:








300000
%.

80
%.

350000

y
x

2 2

1 1 2 2 2 1

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

 … 








150000
200000

y
x

Vậy: Giá tiền ban đầu của bàn ủi là 200000đồng

Giá tiền ban đầu của bộ lau nhà là 150000đồng

Câu 3: Cuối năm học, cô Lan mua thước, compa làm phần thưởng tặng học sinh có 
tiến bộ trong học tập. Thước giá 3000đ/cây, compa giá 6000đ/cây. Tổng số thước và
compa là 40 cây và cô Lan đã bỏ ra số tiền là 150000 để mua. Hỏi có bao nhiêu
thước, bao nhiêu compa ?

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Gọi x là số cây thước (x nguyên dương)

y là số cây compa (y nguyên dương)
Theo đề bài ta có hệ:

40 3000

6000

150000

x

y

x

y

 











Giải hệ ta được: x = 30, y = 10 ( thỏa điều kiện)

Vậy: Số thước 30 cây, compa 10 cây

Câu 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu 
từng vòi chảy riêng thì vịi I chảy trong 3 giờ bằng lượng nước vòi II chảy vào bể
trong 2 giờ. Hỏi từng vòi nước chảy riêng thì sau bao lâu bể nước sẽ đầy.

HD giải

Gọi x, y là số giờ vòi I, vịi II chảy một mình đầy bể(x và y dương)

Ta có hệ phương trình:

1 1 2

3 2

x y

  




  


Giải ra ta được x = 6 giờ 15 phút; y = 4 giờ

10 phút.

Câu 5: Một trường tổ chức cho 250 người bao gồm giáo viên và học sinh đi tham 
quan Đại Nam. Biết giá vào cổng của một giáo viên là 80000 đồng, của một học sinh
là 60000 đồng. Nhân ngày giỗ Tổ Hùng Vương nên được giảm 5% cho mỗi vé vào
cổng, vì vậy mà nhà trường chỉ phải trả số tiền là 14535000 đồng. Hỏi có bao nhiêu
giáo viên? Bao nhiêu học sinh?

HƯỚNG DẪN GIẢI:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

y là số học sinh tham gia ( y nguyên dương )

Tiền vé vào cổng của giáo viên (80000 – 80000.5%)x= 76000x
Tiền vào cổng của học sinh : (60000 – 60000.5%)y = 57000y
Ta có hệ phương trình








14535000
57000

76000
250

y
x

Giải đúng








235
15

y
x

Vậy số giáo viên là 15 và số học sinh là 235

Câu 6: Một người đứng cách tháp Eiffel 460m thì nhìn thấy đỉnh tháp dưới góc nâng 
330. Biết mắt người ấy cách mặt đất 1,4m. Tính chiều cao tháp (làm trịn đến mét).

Vì ABDE là hcn nên:

 

1, 4
460

AB DE m

DB AE m

 




 



BCD

 vuông tại B nên:

 

460.tan 33 298, 7

BC  m

Mà AC = AB + BC

Nên AC1, 4 298, 7 300

 

m

Vậy chiều cao của tháp khoảng 300m

Câu 7: Một máy bay cất cánh với vận tốc là 972 km/h. Đường bay lên tạo với 
phương nằm ngang một góc 300

. Sau 3 phút, máy bay ở độ cao là bao nhiêu mét so
với mặt đất?

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Quãng đường bay được:

6
,
48
20

1
.

972  (km).
Độ cao của máy bay:

)
(
24300
)

(
3
,
24
30
sin
.
6
,

48 0 km  m

Câu 8: Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau 1km trên 
mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 40o và 32o. ( làm tròn đến
chữ số thập phân thứ 2 ).

Xét ∆ADC vng tại C có
AC = DC : tan 320

Xét ∆BDC vng tại C có
BC = DC : tan 400

Mà AB = AC – BC = DC .( 1 0 1 0
tan 32 tan 40 )
1000 = DC. ( 1 0 1 0

tan 32 tan 40 )
DC = 2439,02 m

Câu 9: Hằng ngày bạn An đi xe đạp từ nhà (tại điểm A ) đến trường ( tại điểm

B ) phải leo lên và xuống một con dốc cao 32 m ( như hình vẽ) biết góc A bằng 60 ,
góc B bằng 40 . Tính độ dài quảng đường từ nhà đến trường ( làm tròn đến mét)

A

H

C

B

60 40

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

AC = HC : sin 60 = 32 : sin 60 =306m
BC = HC : sin 40 = 32 sin 60 = 459 m
Quảng đường từ nhà đến trường 765 m

Câu 10: Một người đặt giác kế thẳng đứng cách cột cờ một khoảng a = 9m, chiều

cao giác kế b = 1,5 m. Chỉnh giác kế sao cho khi ngắm theo khe ngắm của giác kế ta
nhìn thấy đỉnh A của cột cờ. Đọc trên giác kế số đo 0



 của góc AOB (như hình
bên). Hỏi chiều cao của cột cờ là bao nhiêu mét? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ
nhất)

Tam giác OAB vuông tại B có:
AB = OB. tan

AB = 9.tan360
AB = 5,7m (0,5đ)

Chiều cao cột cờ là: 5,7 + 1,5 = 7,2m

CÁC ĐỀ TOÁN THỰC TIỄN TỰ LUYỆN

CHUYÊN ĐỀ : 25 BÀI TOÁN CHỌN LỌC THỰC TẾ

ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

VUÔNG

Bài 1:Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của một cây dừa, với

các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người
thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là 1,6m. Hỏi với
các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm trịn đến
mét).

Bài 2:Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Bài 3:Một cây cau có chiều cao 6m. Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu

thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài
8m (làm tròn đến phút)

Bài 4:Một máy bay đang bay ở độ cao 12km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của

máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.

a) Nếu cách sân bay 320km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm
trịn đến phút)?

b) Nếu phi cơng muốn tạo góc nghiêng 50 thì cách sân bay bao nhiêu kilơmét phải bắt

đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Bài 5:Hải đăng kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là ngọn hải

đăng được trung tâm sách kỷ lục Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi
nhất. Hải đăng Kê Gà được xây dựng từ năm 1897 – 1899 và toàn bộ bằng đá.Tháp đèn có hình
bát giác, cao 66m so với mực nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xa 22 hải lý
(tương đương 40km).

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 6:Trường bạn An có một chiếc thang dài 6 mét. Cần đặt chân thang cách chân tường một

khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an tồn” là 650 (tức là đảm

bảo thang không bị đổ khi sử dụng)

Bài 7:Thang xếp chữ A gồm 2 thang đơn tựa vào nhau. Để an toàn, mỗi thang đơn tạo với mặt

đất một góc khoảng 750. Nếu muốn tạo một thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thì mỗi

thang đơn phải dài bao nhiêu?

Bài 8:Từ một đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một chiếc

thuyền bị nạn dưới góc 200 so với phương ngang của mực nước biển. Muốn đến cứu con

thuyền thì phải đi quãng đường dài bao nhiêu mét?

Bài 9:Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm được chiếu bởi một chùm tia gamma.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Bài 10:Một người quan sát đứng cách một cái tháp 10m, nhìn thẳng đỉnh tháp và chân tháp

lần lượt dưới 1 góc 550 và 100 so với phương ngang của mặt đất. Hãy tính chiều cao của tháp.

Bài 11:Một cần cẩu có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang là 400. Vậy muốn nâng một vật

nặng lên cao 8,1 mét thì cần cẩu phải dài bao nhiêu? Biết chiều cao của xe là 2,6 mét, chiều cao
của vật nặng là 1 mét (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân)

Bài 12:Một con thuyền qua khúc sông với vận tốc 3,5km/h mất hết 6 phút. Do dòng nước chảy

mạnh nên đã đẩy con thuyền đi qua sơng trên đường đi tạo với bờ một góc 250. Hãy tính chiều

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 13:Một tịa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 272m, cùng thời điểm đó một cột đèn cao

7m có bóng trên mặt đất dài 14m. Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi
tầng cao 3,4m?

Bài 14:Tòa nhà Bitexco Financial, Bitexco Financial Tower hay Tháp Tài chính Bitexco là một

tịa nhà chọc trời được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tịa nhà có 68
tầng (khơng tính 3 tầng hầm). Biết rằng, khi tịa nhà có bóng in trên mặt đất dài 47,3 mét, thì
cùng thời điểm đó có một cột tiêu (được cắm thẳng đứng trên mặt đất) cao 15 mét có bóng in
trên mặt đất dài 2,64 mét.

a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm trịn đến độ)
b) Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 15:Giông bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và ngọn cây

tạo với mặt đất một góc 300. Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc

cây tre là 8,5m. Giả sử cây tre mọc vng góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó
(làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 16:Tính chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu cho biết tại hai điểm cách nhau

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Bài 17:Hai người A và B đứng cùng bờ sơng nhìn ra một cồn nổi giữa sơng. Người A nhìn ra

cồn với 1 góc 430 so với bờ sơng, người B nhìn ra cồn với 1 góc 280 so với bờ sông, 2 người

đứng cách nhau 250m. Hỏi cồn cách bờ sông hai người đang đứng là bao nhiêu m?

Bài 18:Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như hình vẽ dưới đây. Tính khoảng

cách giữa chúng (làm trịn đến mét).

Bài 19:Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống

một con dốc như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn AB dài 762m, góc A = 60, góc B = 40.

a) Tính chiều cao con dốc.

40
60

H B

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4km/h và tốc độ
xuống dốc là 19km/h.

Bài 20:Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di

chuyển theo một đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 210.

a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 250m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so
với mặt nước (làm tròn đến đơn vị mét).

b) Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 9km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu
ở độ sâu 200 mét (cách mặt nước biển 200m) làm tròn đến phút.

Bài 21:Một chiếc cầu trượt bao gồm phần cầu thang (để bước lên) và phần ống trượt (để

trượt xuống) nối liền với nhau. Biết rằng khi xây dựng phần ống trượt cần phải đặt ống trượt
nghiêng với mặt đất một góc là 500.Hãy tính khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống

trượt nếu xem phần cầu thang như một đường thẳng dài 2,5m, ống trượt dài 3m?

Bài 22:Trong các phịng ở khách sạn, bên cạnh bộ khóa cửa chính cịn có một phụ kiện hữu ích

khác chính là door guard (chốt trượt mở an toàn). Thiết bị này phòng trường hợp khi nghe
tiếng gõ cửa mà khơng biết chính xác được là ai.Door guard là một dạng chốt nổi, tạo một
khoảng cỡ 12cm đủ để người bên trong nhận diện người bên ngoài và nói chuyện với
nhau.Nếu chiều rộng cánh cửa vào khoảng 90cm. Em hãy tính góc mở cánh cửa.

Bài 23:Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm.

Thiết bị này có góc chiếu sáng là 200 và cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị

này sát tường và canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m.
Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.

12cm

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Bài 24:Trên nóc của một tịa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với

mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương

nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà.

Bài 25:Kim tử tháp kê ốp – Ai Cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vng, các mặt bên là

các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Mỗi cạnh bên của kim tự tháp dài 214m, cạnh đáy của
nó dài 230m.

a) Tính theo mét chiều cao h của kim tự tháp (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)
b) Tính góc tạo bởi cạnh bên của kim tự tháp so với mặt đất (làm tròn đến phút)

2m
?m

2,5m

thiết bị chiếu sáng
bức tường

dải ánh sáng

230m

214m

C
B

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

CHUYÊN ĐỀ : 25 BÀI TOÁN CHỌN LỌC THỰC TẾ

ỨNG DỤNG HỆ PT(PT)

CÂU 1: Lớp 9A, 9B cùng nhau đóng góp sách làm thư viện nhỏ tặng mái ấm. Biết 5
lần số lượng sách đóng góp của lớp 9A nhiều hơn 4 lần số lượng sách đóng góp của
lớp 9B là 5 quyển sách và lớp 9A đóng góp số sách ít hơn lớp 9B là 19 quyển sách.
Hỏi tổng số sách đóng góp làm thư viện của 9A, 9B là bao nhiêu quyển sách?

CÂU 2: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 120m. Biết rằng hai lần chiều dài
ngắn hơn năm lần chiều rộng 6m.Tính diện tích miếng đất hình chữ nhật.

CÂU 3: Có một nhóm người xếp hàng để mua vé xem đêm nhạc tưởng nhớ nhạc sĩ ca
sĩ Trần Lập tại một phòng trà. Vé còn vừa đủ cho mỗi người mua 2 vé.Nhưng nếu
mỗi người mua 3 vé thì sẽ cịn 12 người trong nhóm khơng có vé.Hỏi nhóm có bao
nhiêu người?

CÂU 4: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h, rồi quay
ngay về A với vận tốc trung bình 40 km/h. Tính qng đường AB, biết thời gian cả đi
và về là 7 giờ.

CÂU 5: Một trường tổ chức cho 250 người bao gồm giáo viên và học sinh đi tham
quan Suối Tiên. Biết giá vé vào cổng của một giáo viên là 80000 đồng , vé vào cổng
của một học sinh là 60000 đồng. Biết rằng nhà trường tổ chức đi vào đúng dịp lễ Giỗ
tổ Hùng Vương nên được giảm 5% cho mỗi vé vào cổng, vì vậy nhà trường chỉ phải
trả tổng số tiền là 14535000 đồng. Hỏi có bao nhiêu giáo viên và học sinh đi tham

quan?

CÂU 6: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12m. Nếu tăng
chiều dài 3m và giảm chiều rộng 1,5m thì diện tích khu vườn khơng thay đổi. Tính
chu vi của khu vườn.

CÂU 7:Bạn Nam vào cửa hàng sách để mua một số bút bi và thước kẻ. Nếu Nam
mua 9 bút bi và 5 thước kẻ thì phải trả tổng cộng 37 nghìn đồng.Nếu Nam mua 7 bút
bi và 6 thước kẻ thì phải trả tổng cộng 33 nghìn đồng.Tính giá mỗi cây bút bi, giá
mỗi cây thước kẻ là bao nhiêu?

CÂU 8:Tham quan trải nghiệm một trang trại chăn nuôi, bạn Minh hỏi một anh công
nhân số con gà và số con bị trang trại đang ni thì được anh cơng nhân cười và nói
rằng: “Tất cả có 1200 con và 2700 chân”. Bạn hãy tính giúp Minh có bao nhiêu con
gà, bao nhiêu con bò nhé?

CÂU 9: Nhằm động viên, khen thưởng các em đạt danh hiệu “học sinh giỏi cấp thành
phố” năm học 2017 – 2018, trường THCS ABC tổ chức chuyến tham quan ngoại
khóa tại một điểm du lịch với mức giá ban đầu là 375 000 đồng/người. Biết công ty
du lịch giảm 10% chi phí cho mỗi giáo viên và giảm 30% chi phí cho mỗi học
sinh.Số học sinh tham gia gấp 4 lần số giáo viên và tổng chi phí tham quan (sau khi
giảm giá) là 12 487 500 đồng.Tính số giáo viên và số học sinh đã tham gia chuyến đi.
CÂU 10: Có hai thùng gạo chứa tổng cộng là 200kg. Nếu đổ 20kg gạo từ thùng thứ
nhất qua thùng thứ hai thì lúc này số gạo ở thùng thứ nhất bằng số gạo ở thùng thứ
hai. Hỏi ban đầu mỗi thùng có bao nhiêu gạo?

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

CÂU 12: Trong tháng 3,cả hai tổ A và B sản xuất được 400 sản phẩm. Trong tháng 4,
tổ A làm vượt 10% và tổ B làm vượt 15% so với tháng 3, nên cả hai tổ sản xuất được
448 sản phẩm.Hỏi trong tháng 3 mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

CÂU 13: Một người đến cửa hàng điện máy mua 1 máy xay sinh tố và 1 bàn ủi theo
giá nêm yết hết 600 000 đồng. Nhưng gặp đợt khuyến mãi máy xay sinh tố giảm
10%, bàn ủi giảm 20%, nên người đó chỉ trả 520 000 đồng.Hỏi giá tiền của máy xay
sinh tố và bàn ủi giá bao nhiêu?

CÂU 14: Bạn Tuất tiêu thụ 12 ca-lo cho mỗi phút bơi và 8 ca-lo cho mỗi phút chạy
bộ. Bạn Tuất cần tiêu thụ tổng cộng 600 ca-lo trong 1 giờ với hai hoạt động trên.Vậy
bạn Tuất cần bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng bằng 3

4 chiều dài. Tính

kích thước của mảnh đất.

CÂU 15 : Tổng kết năm học 2016 – 2017, lớp 9a2 đạt danh hiệu lớp xuất sắc của
trường vì chỉ có học sinh tiên tiến và học sinh giỏi. Tìm số học sinh giỏi lớp 9a2

biết
rằng số học giỏi hơn số học sinh khá là 28 em và tổng số học sinh của lớp 9a2 là 36
em ?

CÂU 16: Bác Năm mua một thùng trái cây cân nặng 16kg gồm hai loại là táo và xoài,
táo giá 50 ngàn đồng/kg , xoài giá 70 ngàn đồng/kg. Hỏi Bác Năm mua bao nhiêu kg
táo và xoài mỗi loại biết rằng giá tiền của thùng trái cây là 900 ngàn đồng.

CÂU 17: Mẹ hơn Lan 24 tuổi. 2 năm nữa tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Lan.
Hỏi hiện giờ Lan bao nhiêu tuổi ?

CÂU 18: Tuổi mẹ hơn tuổi con là 26 tuổi. Biết rằng 3 năm trước tổng số tuổi của 2

mẹ con là 36 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người

CÂU 19: Theo hợp đồng, 2 tổ sản xuất chia lãi với nhau theo tỉ lệ 3 và 5. Hỏi mỗi tổ
được chia bao nhiêu nếu tổng số lãi là 12 800 000 đồng.

CÂU 20: Có hai thùng dầu, thùng thứ nhất đựng ít hơn thùng thứ hai 24 lít dầu và 5
lần thùng thứ nhất bằng 3 lần thứ hai. Hỏi mỗi thùng đựng bao nhiêu lít dầu?

CÂU 21: Lớp 91 có số học sinh nữ bằng 4

9 số học sinh cả lớp và số học sinh nam
nhiều hơn số học sinh nữ 5 em. Hỏi số học sinh nữ của lớp 91?

CÂU 22 :Một người mua tám cái bánh và bốn chai nước, tổng số tiền phải trả là 128
nghìn đồng. Biết rằng giá mỗi cái bánh gấp 1,5 lần giá một chai nước. Tính giá mỗi
cái bánh.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

CÂU 24: Có hai kho thóc, biết rằng số thóc ở kho I gấp đơi số thóc ở kho II. Nếu 
chuyển 30 tạ thóc từ kho I sang kho II thì số thóc cịn lại ở kho I bằng 8

7 số thóc ở
kho II. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.

CÂU 25: Trong đợt thi tuyển sinh 10 của năm học 2016 – 2017 có 1/10 số học sinh
của lớp 9/1 khơng tham gia dự thi vì đã đăng ký học nghề, và ít hơn số học sinh của
lớp là 36 học sinh. Hỏi lớp 9/1 có bao nhiêu học sinh?

Bài 15: Hai kho hàng chứa tất cả 320 tấn hàng. Nếu chuyển 70 tấn ở kho thứ nhất
sang kho

thứ hai thì số tấn hàng ở hai kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho chứa bao nhiêu tấn
hàng ?

Bài 16:Ngày 20/11 vừa qua tôi đã về thăm trường cũ và gặp lại thầy chủ nhiệm lớp 9.
Qua nói chuyện thầy cho biết lớp tôi sĩ số cuối năm giảm 1

</div>

Hướng dẫn ôn tập Toán 9

<b>A. NỘI DUNG TỰ HỌC TOÁN 9 </b>





















 

 

 

 

















 























































 



























 









 







<b>10 ĐỀ TỐN THỰC TIỄN VỀ HỆ PT(PT) VÀ HÌNH </b>

<b>HỌC CÓ ĐÁP ÁN </b>

40

3000

6000