Hướng dẫn ôn tập Toán 9

¤n tËp To¸n 9 1 N¨m häc 2007-2008
Lª Quèc Dòng

Híng dÉn
«n tËp to¸n 9
N¨m häc
2007-2008
Lª Quèc Dòng THCS Liªn M¹c - Thanh Hµ
Ôn tập Toán 9 2 Năm học 2007-2008
Hớng dẫn ôn tập Toán 9
A - Đại số
I. Biểu thức đại số:
Các dạng toán cơ bản:
1. Rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức số:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a)
b)
c)
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a)
với a > 0, b > 0 và a b.
b)
với a > 0 và a 1.
2. Tính giá trị của biểu thức tại các giá trị của biến:
3. Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức thoả mãn điều
kiện cho trớc (lớn hơn, nhỏ hơn, bằng... một giá trị cho trớc,
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất...)
Bài 3: Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị của A, khi ;
c) Với giá trị nào của x < 1, thì A đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 4: Cho biểu thức:
a) Với giá trị nào của x thì B xác định?
b) Rút gọn B;
c) Tìm giá trị của x khi B = 5
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 3 Năm học 2007-2008
Bài 5: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện xác định của C;
b) Rút gọn C;
c) Với giá trị nguyên nào của a thì C có giá trị nguyên?
4. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức luôn thoả mãn điều
kiện cho trớc (lớn hơn, nhỏ hơn giá trị cho trớc, không đổi,. ..).
Bài 6: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện xác định của A;
b) Rút gọn biểu thức A;
c) Chứng minh rằng A luôn nhận giá trị dơng với mọi a;
d) Tìm các giá trị của a để A < 1.
5. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
Bài 7: Chứng minh rằng:
a)
với mọi a, b 0;
b)
với mọi x > 0;
c)
với mọi số thực không âm x.
II. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:
Các dạng toán cơ bản:
1. Giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn (dạng chuẩn tắc):
Bài 8: Giải các hệ phơng trình sau:
a) b)

Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 4 Năm học 2007-2008
c)
d)
2. Giải hệ hai phơng trình đa về hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn.
- Biến đổi tơng đơng.
- Đổi biến (đặt ẩn phụ).
Bài 9: Giải các hệ phơng trình sau:
a) b)
3. Tìm điều kiện của tham số để hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn có nghiệm, vô nghiêm, có vô số nghiệm.
Nên dùng phơng pháp thế, đa hệ về hệ hai phơng trình trong đó
có một phơng trình chỉ còn một ẩn và tìm điều kiện của tham số để
phơng trình một ẩn có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.
4. Tìm điều kiện của tham số để hệ hai phơng trình bậc nhất hai
ẩn có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện cho trớc (có các
nghiệm thoả mãn rằng buộc nào đó).
- Tìm điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Giải hệ
phơng trình, tìm x, y (nghiệm) theo tham số.
- Thay x, y theo tham số vào điều kiện để tìm điều kiện của tham
số.
Bài 10: Cho hệ phơng trình:
a) Giải hệ phơng trình khi a = 2;
b) Tìm điều kiện của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy
nhất.
c) Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) là các số
nguyên.
Bài 11: Cho hệ phơng trình:
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà

Ôn tập Toán 9 5 Năm học 2007-2008
a) Giải hệ phơng trình khi ;
b) Chứng minh rằng hệ đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của a;
c) Tìm a để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thoả mãn điều kiện:
.
5. Giải hệ ba phơng trình bậc nhất ba ẩn.
Bài 12: Giải hệ các phơng trình:
a) b)
III. Phơng trình bậc hai:
Các dạng toán cơ bản:
1. Giải phơng trình bậc hai (dạng chuẩn tắc).
Tính biệt thức hoặc
Xét hoặc với 0.
+ Với > 0 thì phơng trình có hai
nghiệm: ;
+ Với = 0 thì phơng trình có
nghiệm kép: .
+ Với < 0 thì phơng trình vô
nghiệm
+ Với > 0 thì phơng trình có
hai nghiệm: ;
+ Với = 0 thì phơng trình có
nghiệm kép: .
+ Với < 0 thì phơng trình vô
nghiệm
Cần chú ý: Đối với các phơng trình khuyết bậc, các phơng trình có vế
trái là hằng đẳng thức đơn gian thì phân tích vế trái thành nhân tử,
cho từng hạng tử bằng 0.
Bài 13: Giải các phơng trình sau:
a)

;
b)
;
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 6 Năm học 2007-2008
c)
;
d)
.
Bài 14: Giải các phơng trình sau:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
2. Giải phơng trình đa về phơng trình bậc hai.
Bài 15: Giải các phơng trình sau:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Bài 16: Giải các phơng trình sau:
a)

;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
3
f)
.
Bài 17: Giải các phơng trình sau:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
3. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai (chứa tham
số) có nghiệm 0, có hai nghiệm phân biệt > 0, có
nghiệm kép = 0, vô nghiệm < 0.
Cần chú ý phơng trình cha tham số chỉ là ph-
ơng trình bậc hai với điều kiện a 0. Chính vì vậy khi xét phơng trình
thì cần xét a = 0 và a 0.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 7 Năm học 2007-2008
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi a 0 và > 0.

Bài 18: Tìm giá trị của k để phơng trình
a) Có hai nghiệm phân biệt;
b) Có nghiệm kép;
c) Vô nghiệm.
Bài 19: Cho phơng trình bậc hai ẩn x
(1)
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt;
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm bằng -2.
4. Không giải phơng trình, tính tổng, tích, tính giá trị của biểu
thức chứa hai nghiệm của phơng trình. áp dụng hệ thức Vi -
ét.
Bài 20: Cho phơng trình bậc hai: và gọi hai
nghiệm của phơng trình là x
1
; x
2
. Không giải phơng trình hãy tính giá
trị của biểu thức:
a)
;
b)
Bài 21: Không giải phơng trình, hãy xác định dấu các nghiệm của
các phơng trình sau (nếu có):
a)
;
b)
;
c)
;

d)
.
Bài 22: Cho phơng trình:
a) Chứng minh rằng phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân
biệt dơng x
1
; x
2
;
b) Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 8 Năm học 2007-2008
c) Hãy lập phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên nhận

và là nghiệm.
5. Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai (cha tham
số) có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc. Cần thực hiện
- Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm.
- Dùng hệ thức Vi - ét để tính tổng, tích các nghiệm của phơng
trình, thế vào điều kiện để xác định tham số.
- Kết hợp hai điều kiện để kết luận.
Bài 23: Cho phơng trình đối với ẩn x
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm;
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm trái
dấu;
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn: .

Bài 24: Cho phơng trình:
a) Chứng minh rằng phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi giá trị của m khác -1;
b) Tìm giá trị của m để phơng trình đã có hai nghiệm cùng dấu;
c) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu
và trong hai nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Hớng dẫn: Phần (c), ta có x
1
+ x
2
= ; x
1
. x
2
=; x
1
= 2x
2
.
Bài 25: Cho phơng trình . Tìm các giá
trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a)
b)
Bài 26: Cho phơng trình bậc hai:
a) Giải phơng trình đã cho khi biết m = 1;
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân

biệt với mọi giá trị của m;
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 9 Năm học 2007-2008
c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình đã cho. Chứng minh
rằng giá trị của biểu thức: không
phụ thuộc vào giá trị của m.
6. Tìm hai số biết tổng và tích. Giải hệ hai phơng trình bậc hai
(dùng bài toán tìm hai số biết tổng và tích).
Bài 27: Giải các hệ phơng trình sau:
a) b)
Bài 28: Giải các hệ phơng trình sau:
a) b) c)
7. Sử dụng điều kiện của phơng trình có nghiệm để chứng minh
bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức.
Bài 29: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 30: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
8. Giải hệ hai phơng trình bậc hai đặc biệt (hệ phơng trình đẳng
cấp, hệ phơng trình đối xứng loại I, hệ phơng trình đối xứng
loại II).
Bài 31: Giải các hệ phơng trình sau:
a)
(hệ đối xứng loại I)
b)
(hệ đối xứng loại I)
Mô tả: Nếu thay x = y và y = x thì mỗi phơng trình của hệ đã cho
không đổi. Hệ không thay đổi.

Cách giải: Đặt x + y = u, xy = v, giải hệ tìm u, v từ đó thế vào giải hệ
để tìm x, y.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 10 Năm học 2007-2008
c)
(hệ đối xứng loại II)
Mô tả: Nếu thay x = y và y = x thì phơng trình này trở thành phơng
trình kia. Hệ không thay đổi.
Cách giải: Lấy phơng trình thứ nhất trừ đi phơng trình thứ hai, đặt đ-
ợc nhân tử chung (x - y), rút x theo y hoặc y theo x, từ đó thế vào
một trong hai phơng trình để giải.
d)
(hệ đẳng cấp)
Mô tả: Nếu đa ẩn của hệ về một vế của mỗi phơng trình thì bậc của
các đơn thức trong từng phơng trình là bằng nhau.
Cách giải: Xét x = 0 (hoặc y = 0), xét xem có là nghiệm của hệ hay
không. Xét x 0 (hoặc y 0), đặt y = kx (hoặc x = ky), thế vào hệ,
lấy phơng trình thứ nhất chia cho phơng trình thứ hai ta đợc phơng
trình chứa ẩn ở mẫu với một ẩn k, tìm k, thế vào hệ để giải.
9. Một số dạng toán khác:
Bài 32: Lập phơng trình bậc hai nhận và và hai
nghiệm.
Bài 33: Lập phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên nhận
là nghiệm.
Bài 34: Xác định m trong phơng trình
nếu biết một nghiệm của nó là 2. Tìm
nghiệm còn lại của phơng trình.
Bài 35: Cho là một nghiệm của phơng trình

(với a,c 0). Chứng minh rằng là nghiệm của phơng trình

.
Bài 36: Chứng minh rằng trong hai phơng trình sau:
và có ít nhất một phơng
trình có nghiệm với mọi số thực a, b.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 11 Năm học 2007-2008
Bài 37: Cho hai phơng trình bậc hai:
(1)
(2)
Có các hệ số thoả mãn điều kiện . Chứng minh
rằng trong hai phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài 38: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thì phơng trình
luôn có
nghiệm thực.
Bài 39: Giả sử hai phơng trình:
có nghiệm chung. Chứng minh rằng:
IV. Hàm số.
Các dạng toán cơ bản:
1. Tính giá trị của hàm số bậc nhất, hàm số y = ax
2
(a 0) tại các
giá trị của biến.
Bài 40: Cho hàm số: y = f(x) =
a) Tính giá trị của hàm số tại x bằng: - 2; 0,5; ;
b) Xác định các giá trị của x biết giá trị của hàm số là: 3; 5; -2
Bài 41: Cho hàm số
a) Tìm giá trị của hàm số tại các giá trị của biến là: -2; ; 0,3;
b) Xác định các giá trị của x khi hàm số nhận các giá trị: 1; -8; -4
2. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất, hàm số y = ax
2

(a 0).
3. Viết phơng trình đờng thẳng (tìm điều kiện của tham số để đ-
ờng thẳng) đi qua hai điểm cho trớc, đi qua một điểm và song
song với một đờng thẳng cho trớc hoặc vuông góc với một đ-
ờng thảng cho trớc, đi qua một điểm và tiếp xúc với Parabol.
Bài 42: Cho hàm số y = ax + b (a 0)
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 12 Năm học 2007-2008
a) Xác định các hệ số a và b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm: A(-2;
3) và B(1; 1);
b) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số đi qua A và song song
với đờng thẳng 2x + y = 1;
c) Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số đi qua B và vuông góc
với đờng thẳng y = - x.
Bài 43: Cho đờng thẳng y = kx + 3 (D) và Parabol (P) .
a) Xác định k để (D) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là - 2;
b) Xác định k để đờng thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm phân
biệt;
c) Xác định k để đờng thẳng (D) tiếp xúc với parabol (P).
Bài 44: Cho parabol (P) có phơng trình
a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua M (-2; 3) và tiếp xúc với
parabol (P); Vẽ đồ thị minh hoạ.
b) Chứng minh rằng mọi đờng thẳng đi qua điểm I (0; 2) luôn cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A, B trên parabol (P)
biết hoành độ của A và B lần lợt là - 3 và 2.
4. Tìm điều kiện của tham số để đờng thẳng thoả mãn điều kiện
cho trớc, hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm thảo thoả mãn
một điều kiện cho trớc: nằm trong góc phần t thứ I (II, III,
IV), nằm trên một đờng thẳng, một parabol

Bài 45: Cho hàm số:
a) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho là đờng thẳng song
song với trục hoành; đi qua gốc toạ độ; song song với đờng phân
giác của góc xOy.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho tạo với trục Ox
một góc nhọn, góc tù.
c) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại
điểm có tung độ là , vẽ đồ thị với m tìm đợc;
d) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ nhỏ hơn 0.
Bài 46: Cho hai đờng thẳng: mx - y = 2 (d) và x + my = 3 (d).
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 13 Năm học 2007-2008
a) Tìm (toạ độ) giao điểm của hai đờng thẳng trên khi
;
b) Chứng minh rằng hai đờng thẳng trên luôn cắt nhau với mọi a;
c) Tìm a để giao điểm (x; y) của hai đờng thẳng trên nằm trong góc
phần t thứ II;
d) Tìm a để toạ độ giao điểm (x; y) của hai đờng thẳng trên thoả
mãn điều kiện (giao điểm của hai đờng thẳng nằm
trên đờng thẳng ).
Bài 47: Cho đờng thẳng y = ax + a - 1
a) Xác định giao điểm A, B của hai đờng thẳng trên với hai trục toạ
độ theo a;
b) Tìm a để tam giác OAB có diện tích bằng 2 (đvdt)
c) Tìm a để khoảng cách từ O đến AB là lớn nhất.
Bài 48: Xác định m để giao của hai đờng thẳng y = x + 2 và y =
mx - 3 nằm trên parabol y = x
2
.

V. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình,
hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình (hệ phơng trình):
1) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn;
Có hai cách chọn ẩn: chọn trực tiếp (chọn ẩn là số liệu cần tìm), chọn
gián tiếp (chọn ẩn là một trong các số liệu cha biết - nhng không là số
liệu cần tìm).
Trớc khi chọn ẩn cần phân tích đợc các đại lợng tham gia bài toán,
số liệu đã biết, số liệu cha biết, số liệu cần tìm.
Điều kiện của ẩn phải phù hợp với tính thực tiễn của bài toán, cần
chú ý đến chọn đơn vị cho ẩn.
2) Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn;
3) Từ mỗi liên hệ giữa các số liệu lập phơng trình.
Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình);
Bớc 3: Chọn giá trị thích hợp và trả lời. Cần kiểm tra nghiệm của ph-
ơng trình và điều kiện của ẩn, trả lời phải đúng với yêu cầu của đề bài
(yêu cầu tìm gì).
Ví dụ: Giải các bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình:
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 14 Năm học 2007-2008
Bài 49: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành
xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ
thức nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt phần công
việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau
bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bài 50: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi
tiết máy. Sang tháng thứ hai tổ I làm vợt mức 15%, tổ II làm vợt mức
20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy. Hỏi
rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi

tiết máy?
Bài 51: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau giờ bể đầy.
Mỗi giờ lợng nớc của vòi I chảy đợc bằng lợng nớc chảy đợc của
vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?
Bài 52: Một ôtô dự định từ A đến B trong một thời gian nhất
định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu
xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng
AB và thời gian dự định lúc đầu.
Bài 53: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đo, biết rằng tổng hai
chữ số của nó nhỏ hơn số đo 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ
số đó sẽ đợc một số viết theo thứ tự ngợc lại của số đã cho.
VI. Các bài toán khác
Bài 54: Cho biểu thức . Tính giá
trị của M biết .
Bài 55: Giải hệ phơng trình sau:
Bài 56: Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng hai khảng định
sau là tơng đơng:
a) c 0 và ;
b) a > 0, b > 0 và .
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 15 Năm học 2007-2008
Bài 57: Cho và . Chứng minh
rằng: .
Bài 58:

Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
¤n tËp To¸n 9 16 N¨m häc 2007-2008
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
Lª Quèc Dòng THCS Liªn M¹c - Thanh Hµ
Ôn tập Toán 9 17 Năm học 2007-2008
B - Hình học:

I. Tứ giác:
Kiến thức cơ bản:
Hình
Định nghĩa
Tính chất Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác: Tứ giác
ABCD là hình tạo
bởi bốn đoạn
thẳng AB, BC,
CD, DA trong đó
không có hai đoạn
nào nằm trên một
đờng thẳng
Tổng bốn góc trong của
tứ giác bằng 180
0
.
Các tứ giác đặc biệt:
+ Hình thang,
+ Hình thang cân,
+ Hình thang vuông
+ Hình bình hành,
+ Hình thoi,
+ Hình chữ nhật,
+ Hình vuông.
Hình thang: Là tứ
giác có hai cạnh
song song.
+ Đờng trung bình của
hình thang (đoạn thẳng

nối trung điểm hai cạnh
bên) song song với hai
đáy và có độ dài bằng
nửa tổng độ dài hai đáy.
+ Đoạn thẳng nối trung
điểm hai đờng chéo của
hình thang song song
với hai đáy và bằng nửa
hiệu độ dài hai đáy.
Tứ giác có hai cạnh song
song (định nghĩa)
Hình thang cân:
Là hình thang có
hai góc kề với một
đáy bằng nhau
+ Có hai cạnh bên bằng
nhau.
+ Có hai đờng chéo
bằng nhau.
+ Hình thang cân có 1
trục đối xứng: Đờng
thẳng đi qua trung điểm
hai đáy là trục đối xứng
của hình thang.
+ Hình thang có hai góc
kề với một đáy bằng
nhau (định nghĩa).
+ Hình thang có hai đ-
ờng chéo bằng nhau.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà

Ôn tập Toán 9 18 Năm học 2007-2008
Hình
Định nghĩa
Tính chất Dấu hiệu nhận biết
Hình bình hành:
Là tứ giác có các
cạnh đối song
song.
Là hình thang có
hai cạnh bên song
song.
+ Các cạnh đối bằng
nhau.
+ Các góc đối bằng
nhau.
+ Hai đờng chéo cắt
nhau tại trung điểm mỗi
đờng.
Hình bình hành là hình
có tâm đối xứng. Giao
điểm của hai đờng chéo
là tâm đối xứng của
hình bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh
đối song song là hình
bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh
đối bằng nhau là hình
bình hành.
+ Tứ giác có hai cạnh

đối song song và bằng
nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có các góc đối
bằng nhau là hình bình
hành.
+ Tứ giác có hai đờng
chéo cắt nhau tại trung
điểm mỗi đờng là hình
bình hành.
Hình thoi: Là
hình bình hành có
hai cạnh kề bằng
nhau.
Là tứ giác có bốn
cạnh bàng nhau.
Hình thoi có đầy đủ các
tính chất của hình bình
hành. Ngoài ra:
+ Có hai đờng chéo
vuông góc với nhau.
+ Có đờng chéo là phân
giác của các góc ở đỉnh.
Hình thoi là hình có tâm
đối xứng và có hai trục
đối xứng. Hai đờng chéo
của hình thoi là hai trục
đối xứng.
+ Tứ giác có bốn cạnh
bàng nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai

cạnh bên bằng nhau là
hình thoi.
+ Hình bình hành có hai
đờng chéo vuông góc
với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có
một đờng chéo là phân
giác của một góc, là
hình thoi.
Hình chữ nhật:
Là hình bình hành
có một góc vuông.
Là tứ giác có bốn
góc vuông
Hình chữ nhật có đầy đủ
các tính chất của hình
bình hành và hình thang
cân. Đặc biệt:
Hình chữ nhật có hai đ-
ờng chéo bằng nhau và
cắt nhau tại trung điểm
+ Tứ giác có ba góc
vuông là hình chữ nhật.
+ Hình bình hành có
một góc vuông là hình
chữ nhật.
+ Hình bình hành có hai
đờng chéo bằng nhau là
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 19 Năm học 2007-2008

Hình
Định nghĩa
Tính chất Dấu hiệu nhận biết
mỗi đờng.
Hình chữ nhật là hình có
tâm đối xứng và có hai
trục đối xừng. Đờng
thẳng nối trung điểm hai
cạnh đối của hình chữ
nhật là hai trục đối xừng
của hình chữ nhật.
hình chữ nhật.
+ Hình thang cân có một
góc vuông là hình chữ
nhật.
+ Hình thang cân cso
hai đờng chéo cắt nhau
tại trung điểm mỗi đờng
là hình chữ nhật.
Hình vuông: Là
hình chữ nhật có
hai cạnh kề bằng
nhau.
Là hình thoi có
một góc vuông.
Hình vuông có dầy đủ
các tính chất của hình
chữ nhật và hình thoi.
(Hình vuông có tất cả
các tính chất của các tứ

giác khác).
Hình vuông là hình có
tâm đối xừng và có bốn
trục đối xừng).
+ Hình chữ nhật có hai
cạnh kề bằng nhau là
hình vuông.
+ Hình thoi có một góc
vuông là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai
đờng chéo bằng nhau là
hình vuông.
+ Hình chữ nhật có một
đờng chéo là phân giác
của mọt góc, là hình
vuông.
+ Hình thoi có hai đờng
chéo bằng nhau là hình
vuông.
II. Định lí Talét và Tam giác đồng dạng:
Kiến thức cơ bản:
1) Định lí Talét: Một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song
song với cạnh còn lại khi và chỉ khi nó định ra trên hai cạnh đó
những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ.
Hệ quả: Nếu một đờng thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song
song với cạnh còn lại thì nó tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tỉ
lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
2) Tính chất đờng phân giác trong tam giác: Đờng phân giác trong
tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề
với nó.

Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 20 Năm học 2007-2008
3) Tam giác đồng dạng:
a) Định nghĩa: Hai tam giác đồng dạng với nhau nếu ba cạnh của
tam giác này tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia và ba
góc của tam giác này bằng ba góc tơng ứng của tam giác kia.
b) Các trờng hợp đồng dạng của tam giác:
- Trờng hợp góc - góc: Hai tam giác đồng dạng với nhau nếu hai
góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia;
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh: Hai tam giác đồng dạng với nhau
nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia
và cặp góc xen giữa chúng bằng nhau;
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh: Hai tam giác đồng dạng với nhau
nếu ba cạnh của tam giác này tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam
giác kia
Trờng hợp đồng dạng đặc biệt của tam giác vuông: Hai tam giác
vuông đồng dạng với nhau nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của
tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác
vuông kia.
III. Hệ thức liên hệ cạnh, góc và đờng cao
trong tam giác vuông:
Kiến thức cơ bản:
1) Liên hệ giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông:
Trong một tam giác vuông
a) Bình phơng mỗi cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và hình
chiếu của nó trên cạnh huyền;
b) Tổng bình phơng hai cạnh góc vuông bằng bình phơng cạnh
huyền;
c) Bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền bằng tích hình chiều
hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền;

d) Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đờng cao ứng
với cạnh huyền;
e) Tổng nghịch đảo bình phơng hai cạnh góc vuông bằng nghịch
đảo bình phơng đờng cao ứng với cạnh huyền.
2) Liên hệ cạnh và góc trong tam giác vuông:
Trong tam giác vuông có góc nhọn thì:
; ;
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 21 Năm học 2007-2008
;
Tính chất:
+ Hai góc nhọn phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc
này bằng cotang góc kia;
+ ; ; ;
+ ; ; .
Chú ý:

30
0
45
0
60
0
sin
cos
tg
1
cotg
1
IV. Đờng tròn:

Kiến thức cơ bản:
1) Định nghĩa đờng tròn: Đờng tròn tâm O bán kính R (R > 0) là tập
hợp tất cả các điểm cách điểm O khoảng R cho trớc.
2) Tính chất:
a) Sự xác định đờng tròn:
- Đờng tròn xác định khi biết tâm và bán kính, biết một đờng kính,
biết tâm và một điểm nằm trên đờng tròn, biết ba điểm nằm trên
đờng tròn.
- Qua 1 điểm có vô số đờng tròn đi qua với tâm bất kì.
- Qua 2 điểm có vô số đờng tròn đi qua với tâm nằm trên đờng
trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó,
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 22 Năm học 2007-2008
- Quan 3 điểm không thẳng hằng có duy nhất một đờng tròn, có
tâm là giao của ba đờng trung trực của ba đoạn thẳng nối 2 trong
3 điểm đó.
- Qua 3 điểm thẳng hàng không có đờng tròn nào đi qua.
- Qua 4 điểm, có thể có đờng tròn, có thể không có đờng tròn đi
qua bốn điểm đó.
Đờng tròn đi qua các đỉnh của một đa giác gọi là đờng tròn ngoại
tiếp đa giác đó Mọi đa giác đều đều có duy nhất một đờng tròn
ngoại tiếp.
b) Tính chất đối xứng: Đờng tròn có một tâm đối xứng là tâm đờng
tròn, có vô số trục đối xứng là các đờng kính của đờng tròn.
c) Đờng kính và dây: Đờng kính đi qua trung điểm của dây (không
đi qua tâm - khác đờng kính) khi và chỉ khi nó vuông góc với dây
đó.
d) Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm: Trong một đờng tròn
hai dây bằng nhau nếu chúng cách đều tâm, hai dây không bằng
nhau thì dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn. Đờng kính của đờng

tròn là dây lớn nhất.
3) Tiếp tuyến của đờng tròn:
a) Một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn khi và chỉ khi nó
vuông góc với bán kính tại đầu mút nằm trên đờng tròn.
b) Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Giao điểm này cách đều hai tiếp điểm;
- Tia nối từ giáo điểm này đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo
bởi hai tiếp tuyến;
- Tia đi từ tâm qua giao điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi
hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
4) Đờng tròn nội tiếp:
- Mọi tam giác đều có một đờng tròn nội tiếp, có tâm là giao của
ba đờng phân giác trong của tam giác và có ba đờng tròn bằng
tiếp (là đờng tròn nằm ngoài tam giác, tiếp xúc với 1 cạnh của
tam giác và tiếp xúc với hai đờng thẳng chứa hai cạnh còn lại),
có tâm là giao của hai đờng phân giác ngoài và đờng phân giác
trong của góc có đỉnh còn lại.
- Mọi đa giác đều có duy nhất một đờng tròn nội tiếp, có tâm là
giao của các tia phân giác các góc của đa giác.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 23 Năm học 2007-2008
- Một tứ giác có thể có đờng tròn nội tiếp, có thể không có đờng
tròn nội tiếp.
V. Góc và đờng tròn:
Kiến thức cơ bản:
Trong một đờng tròn
1) Góc ở tâm: Góc ở tâm có số đo bằng số đo của cung bị chắn.
- Cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm;
- Cung nửa đờng tròn có số đo bằng 180
0

;
- Cung lớn có số đo bằng hiệu 360
0
và số đo của cung nhỏ
2) Góc nội tiếp: Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của cung bị
chắn.
3) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây có số đo bằng nửa số đo của
cung bị chắn,
4) Góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đờng tròn: Góc có đỉnh bên
trong đờng tròn có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị
chăn, góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn có số đo bằng nửa hiệu số
đo của hai cung bị chắn.
5) Tứ giác nội tiếp: Một tứ giác nội tiếp đờng tròn khi và chỉ khi
tổng hai góc đối bằng 180
0
.
VI. Diện tích đa giác, độ dài đờng tròn, diện
tích hình tròn:
Kiến thức cơ bản:
1. Diện tích đa giác:
STT Hình Công thức Ghi chú
1
Tam giác vuông:
c
b
a
2 Tam giác:
c
b
a

h
a
B
A
C
;
;
;
p là nửa chu vi; R, r
là bán kính đờng
tròn nội, ngoại tiếp.
Các công thức thứ 2
đến 5 để tham khảo,
có thể chứng minh đ-
ợc nếu áp dụng.
Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
Ôn tập Toán 9 24 Năm học 2007-2008
S = pr

(Công thức Hê-rông)
3
Hình thang:
b
h
a
Chú ý: Hình thang
vuông thì cạnh góc
vuông là đờng cao
của hình thang.
Độ dài đờng trung

bình bằng nửa tổng
độ dài hai đáy.
4
Hình bình hành:
a
b
h
a
Nếu biết độ dài góc,
hai đờng chéo có thể
kẻ đờng chéo và sử
dụng công thức tính
diện tích tam giác để
tính.
5 Hình chữ nhật S = ab
a,b là hai kích thớc
của hình chữ nhật
6 Hình vuông
a là cạnh hình vuông
7
Tứ giác có hai đờng
chéo vuông góc
d
1
, d
2
là độ dài hai đ-
ờng chéo
2. Độ dài đờng tròn, cung tròn:
- Độ dài (chu vi) đờng tròn bán kính R:

- Độ dài cung tròn n
0
, bán kính R:
3. Diện tích hình tròn hình quạt:
- Diện tích hình tròn bán kính R:
- Diện tích hình quạt tròn n
0
, bán kính R:







Lê Quốc Dũng THCS Liên Mạc - Thanh Hà
¤n tËp To¸n 9 25 N¨m häc 2007-2008
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Lª Quèc Dòng THCS Liªn M¹c - Thanh Hµ