Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.98 MB, 70 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

(CT377)

CBGD:

Nguyễn Chánh Nghiệm

Đơn vị:

Bộ mơn Tự động hóa

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

4.1

Khái niệm về ổn định

4.2

Tiêu chuẩn ổn định đại số

4.3

Tiêu chuẩn ổn định tần số

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Định nghĩa

Hệ thống ổn định (stable system) là một hệ thống nếu tín 
hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn
(BIBO: Bounded Input Bounded Output).

 Ba trạng thái cân bằng

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Cực và Zero

Cho hệ thống có hàm truyền là

Đặt:

Cực: là nghiệm của mẫu số hàm truyền A(s) = 0. Do A(s)
bậc n nên hệ thống có n cực, ký hiệu pi (i = 1, 2, 3 … n).

Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền B(s) = 0. Do B(s)
bậc m nên hệ thống có m zero, ký hiệu zi (i = 1, 2, 3 … m).

4.1 Khái niệm về ổn định

0 1 1

...
( )
( )
( ) ...
m m
m m
n n
n n

b s b s b s b

Y s
G s

U s a s a s a s a






   
 
   
1

0 1 1

( ) n n ... n n

A s  a s  a s    a s a 
1

0 1 1

( ) m m ... m m

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Phân bố cực và zero trên mặt phẳng S

Biểu diễn vị trí của các cực và zero trên mặt phẳng phức

4.1 Khái niệm về ổn định

Im

Re

Mặt phẳng S

о

×

× ×

×
×

о

0

×: các cực của hệ thống

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Kết luận về tính ổn định của hệ tuyến tính

Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (tất cả các cực
đều nằm bên trái mặt phẳng phức Re{pi} < 0)  hệ thống ổn 
định.

Hệ thống có cực có phần thực bằng 0, các cực khác đều nằm
bên trái mặt phẳng phức  hệ thống ở biên giới ổn định.

Hệ thống có ít nhất 1 cực có phần thực dương (có ít nhất 1

cực nằm bên phải mặt phẳng phức)  hệ thống không ổn 
định.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Kết luận về tính ổn định của hệ tuyến tính

4.1 Khái niệm về ổn định

Im

Re

Mặt phẳng S

о

×

× ×

×
×

о

0

Vùng ổn định Vùng khơng ổn định

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8></div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Phương trình đặc trưng (characteristic equation)

Phương trình đặc trưng của hệ thống: A(s) = 0
Đa thức đặc trưng: A(s)

Phương trình đặc trưng của hệ thống:

4.1 Khái niệm về ổn định

0 )

det(

sI

 A















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

Cx

t

y

t

Bu

t

Ax

t

x

G(S)
E(s)
H(s)
Y(s)
R(s)

Yht(s)
+

-1



G s H s

( ) ( ) 0



PTĐT: PTĐT:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

Điều kiện cần:

Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của 
phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.

Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng

s3 + 3s2 - 2s +1 = 0 Không ổn định
s4 + 2s2 + 5s +3 = 0 Không ổn định

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Routh–Hurwitz stability criterion

Edward John Routh (1831–1907)

(/ˈraʊθ/)

Adolf Hurwitz (1859 – 1919)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

Để xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, ta 
thành lập bảng Routh theo quy tắc:

- Bảng Routh có n + 1 hàng.

- Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số ai có chỉ số chẵn

- Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số ai có chỉ số lẻ Phần tử ở
hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được tính theo cơng thức:

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

0

1
1











n
n

n

a

s

a

s

a

s

a



1
,
1
1
,

2 

.

 





i j i i j

ij

c

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

sn c

11=a0 c12=a2 c13=a4 c14=a6 …

sn-1

c21=a1 c22=a3 c23=a5 c24=a7 …

sn-2 c31=c12

-α3c22 c32=c13-α3c23

c33=c14
-α3c24

c34=c15

-α3c25 …

sn-3 c41=c22

-α4c32 c42= c23 - α4c33

c43=c24
-α4c34

c44=c25

-α4c35 …

… … … … … … …

s0 cn1=cn-2,2

-αncn-1,2

1
,
2
1
,
1
3
c
c


1
,
3
1
,

2
4
c
c


1
,
1
1
,
2



n
n
n
c
c


Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện

cần và đủ để

hệ thống

ổn định

là

tất cả các

phần tử nằm ở cột 1

của bảng Routh

đều dương

. Số

lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh

bằng số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình 
đặc trưng: s4 + 4s3 + 5s2 + 2s + 1 = 0

* Giải

Bảng Routh

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

s4 1 5 1

s3 4 2 0

s2 α

3= 1/4 5 - 1/4 * 2 = 9/2 1 - 1/4 * 0 =1

s1 α

4= 8/9 2 - 8/9 * 1 = 10/9

s0 α

5= 81/20 1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối:

Phương trình đặc trưng của hệ thống:

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

PTĐT

Bảng Routh

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

5 6 4 16 3 31 2 30 50 0
s  s  s  s  s  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

PTĐT

Bảng Routh

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

Kết luận: Hệ thống không ổn định do các phần tử ở cột 1 của bảng Routh

đổi dấu 2 lần.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

Ví dụ 3: Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn định:

* Giải

Phương trình đặc trưng của hệ thống:

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

Ví dụ 3: (tt)
Bảng Routh

Điều kiện để hệ thống ổn định:

9
14
0

0
7

2   








 K

K

3

2

0

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Các trường hợp đặc biệt của tiêu chuẩn Routh:

Trường hợp 1: Nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 
0, các hệ số cịn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số
bằng 0 đó bởi số ε dương, nhỏ tùy ý, sau đó q trình tính
tốn được tiếp tục.

Trường hợp 2: Tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0
- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng

có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức phụ đó là Ap(s).

- Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi 1 hàng khác có

các hệ số là hệ số của đa thức phụ đạo hàm (dAp(s)/ds).
Sau đó q trình tính tốn được tiếp tục.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Các trường hợp đặc biệt của tiêu chuẩn Routh:

Ví dụ 4:

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Các trường hợp đặc biệt của tiêu chuẩn Routh:

Ví dụ 5:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Các trường hợp đặc biệt của tiêu chuẩn Routh:

Ví dụ 5:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Tiêu chuẩn Hurwitz

(Hurwitz Stability Criterion)

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

Muốn xét tính ổn định theo tiêu chuẩn Hurwitz, ta thành
lập ma trận Hurwitz theo quy tắc:

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

0 1 1 0

n n

a s  a s    a s a  

- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n.

- Đường chéo là các hệ số từ a1 đến an.

- Hàng lẻ gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo thứ
tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và
giảm dần nếu ở bên trái.

- Hàng chẵn gồm các hệ số có chỉ số chẵn theo
thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và

1 3 5 7
0 2 4 6
1 3 5
0 2 4

0
0

0 0

0 n

a a a a

a a a
a a a

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tiêu chuẩn Hurwitz

Dạng của ma trận Hurwitz

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số













n

a







0

4
2
0
5
3
1
6
4
2
0
7
5
3
1
0

: 1 1

0     n  n 
n

n a s a s a

s
a

PTĐT 

-2 +2 +2

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Tiêu chuẩn Hurwitz

Phát biểu của tiêu chuẩn Hurwitz

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định

thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều 
dương.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Tiêu chuẩn Hurwitz

Ví dụ 1:

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số - Tóm tắt

Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:

0 1 1 0

n n

a s  a s    a s a  

Bậc của hệ (n) Điều kiện ổn định
2

≥ 5 Lập bảng Routh
0, i 0,2
i

a  

1 2 0 3

0, i 0,3
0

i

a

a a a a

  



 



1 2 0 3

2 2

1 2 3 0 3 1 4
0, i 0,4

0
i

a

a a a a

a a a a a a a

  

  



   

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số - Bài tập

1. Thực hiện lại ví dụ 3, 4 sử dụng hệ quả của tiêu chuẩn

Hurwitz

2. Bài tập 3.9.1; 3.9.2; 3.9.3 trang 97 Giáo trình Lý thuyết điều

khiển tự động, Nguyễn Chí Ngơn & Nguyễn Hồng Dũng

3. Thực hiện lại ví dụ A-5-17 (trang 251), A-5-21 (trang 257),

Modern Control Engineering – 5th Edition, Katsuhiko Ogata

bằng cách lập bảng Routh và sử dụng hệ quả tiêu chuẩn
Hurwitz

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có sơ đồ khối:

Bài tốn đặt ra là xác định tính ổn định của hệ kín Gk(s)

khi biết đặc tính tần số của hệ hở G(s).

Tiêu chuẩn Nyquist: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu

đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0) l/2 
vòng theo chiều dương khi ω thay đổi từ 0 đến + ∞, l là số 
cực nằm bên phải mặt phẳng phức.

G(S)

E(s) Y(s)

R(s)
+

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

-4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số

1
8
.
0
1
)
( 2



s
s

s
G

Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Ví dụ

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Im
ag
inar
y A
xi

s % Code Matlab

num = [1];

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Tiêu chuẩn ổn định Bode

Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị có sơ đồ khối:

Bài tốn đặt ra là xác định tính ổn định của hệ kín Gk(s)

khi biết đặc tính tần số của hệ hở G(s).

Tiêu chuẩn Bode: Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ hở

G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương.

4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số













0 M

GM

G(S)

E(s) Y(s)

R(s)
+

-% Code Matlab

num = [1];

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

% Code Matlab

num = [1];

den = [1 0.8 1];
margin(num,den);

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Quỹ đạo nghiệm số

% Code Matlab

num = [1];

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số - Tiêu chuẩn Routh

G(S) Y(s)
R(s)
+

-)
1
)(

2
(
)
( 2




s
s
s
s
K
s
G

Điều kiện để hệ thống ổn định:

9
14
0
0
0
7
9

2   

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

G(S) Y(s)
R(s)

+

-)
1
)(

2
(

)

( 2







s
s

K
s

G

K = 1

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

G(S) Y(s)
R(s)

+

-)
1
)(

2
(

)

( 2







s
s

K
s

G

K = 14/9

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

G(S) Y(s)
R(s)

+

-)
1
)(

2
(

)

( 2







s
s

K
s

G

K = 100

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số

Tiêu chuẩn ổn định Routh

(Routh Stability Criterion):

Ví dụ 3: (tt)
Bảng Routh

Điều kiện để hệ thống ổn định:

9
14
0

0
7

2   








 K

K

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

)
5
)(

1
(

)
(






s
s

s

K
s

G

Tiêu chuẩn ổn định Bode

Ví dụ

4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số

G(S)

E(s) Y(s)

R(s)
+

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

-Định nghĩa

Quỹ đạo nghiệm số (Root-Locus) là tập hợp tất cả các 
nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi có 
một thơng số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞.

Xét hệ thống có sơ đồ:

Phương trình đặc tính của hệ thống:

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

G(S)
E(s)

H(s)

Y(s)
R(s)

Yht(s)
+

-0

)

(

)

(

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)

Để áp dụng các quy tắc vẽ QĐNS, phương trình đặc tính
phải đưa về dạng:

Trong đó, K là thơng số thay đổi

Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của G0(s).

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

0
)
(
1
0
)
(
)
(

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Quy tắc 1: Số nhánh của QĐNS = bậc của phương trình
đặc tính = số cực của G0(s) = n.

Quy tắc 2:

- Khi K = 0: các nhánh của QĐNS xuất phát từ các cực

của G0(s).

- Khi K tiến đến + ∞: m nhánh của QĐNS tiến đến m 
zero của G0(s), n – m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo
các tiệm cận xác định bởi quy tắc 5 và 6.

Quy tắc 3: QĐNS đối xứng qua trục thực.

Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc QĐNS nếu

tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Quy tắc 5: Góc tạo bởi các đường tiệm cận của QĐNS với
trục thực xác định bởi:

Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là
điểm A có tọa độ xác định bởi:

(pi và zi là các cực và các zero của G0(s))

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

)

,

2 ,

1 ,

0 (

)

1

2 (













l

m

n

l





m
n
z
p
n-m

-OA
m
i
i
n
i

i




</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của QĐNS nằm trên
trục thực là nghiệm của phương trình:

Quy tắc 8: Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác
định bằng một trong hai cách:

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz

- Thay s = jω vào phương trình đặc tính, cân bằng phần
thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và
giá trị K.

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Quy tắc 9: Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức pj được
xác định bởi:

Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ
0 → + ∞.

Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo QĐNS có thể xác

định từ điều kiện biên độ:

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

1
)
(
)
( 
s
D
s
N
K










 n
j
i
i
i
j
m

i
i
j
o

j p z p p

1
1
)
arg(
)
arg(
180






 









 180o pj pj

j

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Các bước thực hiện

Tìm phương trình đặc trưng của hệ kín (hệ hồi tiếp)
Xác định cực và zero

Xác định các đoạn trên trục thực thuộc quỹ đạo nghiệm số
Xác định đường tiệm cận (giao điểm & các góc)

Điểm tách nhập

Giao điểm của QĐNS với trục ảo (giá trị K và tần số)
Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức (nếu có)

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Ví dụ 1:

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:

Yêu cầu: Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → + ∞.

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

)
3
)(

2
(

)
(






s
s

s

K
s

G
G(S)

E(s) Y(s)

R(s)
+

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

-Ví dụ 1:

* Giải

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Ví dụ 1:

* Giải

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Ví dụ 1:

* Giải

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Ví dụ 1:

* Giải

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Ví dụ 1:

* Giải

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

% vi du 1 - chuong 4

num=1;

den = conv([1 2 0],[1 3]);
G=tf(num,den)

rlocus(G)
Giao điểm của các

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Ví dụ 2:

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:

Yêu cầu: Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → + ∞.

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

)
20
8

(
)

( 2






s
s

s

K
s

G
G(S)

E(s) Y(s)

R(s)
+

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

-Ví dụ 2:

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Ví dụ 2:

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Ví dụ 2:

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Ví dụ 2:

4.4 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

num=1;

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Ví dụ 3:

Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Ví dụ 3:

* Giải

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Ví dụ 3:

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Ví dụ 3:

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Ví dụ 3:

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

MATLAB

b = [1 2 3 4 5 5 1 2]; % numerator coefficients
a = [4 5 6 7 9 10 4 6]; % denominator coefficients

flag = isstable(b,a) % determine if the filter is stable
zplane(b,a) % zero-pole plot for filter

flag =
0

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5
0
0.5
1

Real Part

agi

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Bài tập

1. Hệ thống ổn định với giá trị K = ?

2. Hãy vẽ quỹ đạo nghiệm số

3. Hãy vẽ biểu đồ Bode của hệ hở  tính ổn

định của hệ hồi tiếp âm đơn vị

 







 

4 3 2

5 15 20

40 475 1500

s
H s

s s s s

s
H s

s s s




  




</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68></div>
(69)<div class='page_container' data-page=69></div>
(70)<div class='page_container' data-page=70></div>

Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

<b>LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG</b>

<b>(CT377)</b>

<b>CBGD: </b>

<b>Nguyễn Chánh Nghiệm</b>

<b>Đơn vị: </b>

<b>Bộ mơn Tự động hóa</b>

<b>Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống</b>

<b>4.1</b>

<b>Khái niệm về ổn định</b>

<b>4.2</b>

<b>Tiêu chuẩn ổn định đại số</b>

<b>4.3</b>

<b>Tiêu chuẩn ổn định tần số</b>

<b>Định nghĩa</b>

<b>Cực và Zero</b>

<b>4.1 Khái niệm về ổn định</b>

<b>Phân bố cực và zero trên mặt phẳng S</b>

<b>4.1 Khái niệm về ổn định</b>

<b>Kết luận về tính ổn định của hệ tuyến tính</b>

<b>Kết luận về tính ổn định của hệ tuyến tính</b>

<b>4.1 Khái niệm về ổn định</b>

<b>Phương trình đặc trưng (characteristic equation)</b>

<b>4.1 Khái niệm về ổn định</b>

0

)

det(

<i>sI</i>

<i> A</i>















)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

<i>t</i>

<i>Cx</i>

<i>t</i>

<i>y</i>

<i>t</i>

<i>Bu</i>

<i>t</i>

<i>Ax</i>

<i>t</i>

<i>x</i>

-1



<i>G s H s</i>

( ) ( ) 0



<b>4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số</b>

<b>Điều kiện cần:</b>

<b>Routh–Hurwitz stability criterion</b>

<b>Tiêu chuẩn ổn định Routh </b>

<b>4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số</b>

0











<i><sub>a</sub></i>

<i><sub>s</sub></i>

<i><sub>a</sub></i>

<i><sub>s</sub></i>

<i><sub>a</sub></i>

<i>s</i>

<i>a</i>

