Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán đại số trong chương trình trung học phổ thông

Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian làm khóa luận, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản
thân, em còn nhận được sự giúp đỡ của bạn bè, người thân, nhất là các
thầy giáo cô giáo trong khoa Toán - Công Nghệ, Trường Đại học
Hùng Vương.
Qua đây em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sự biết ơn sâu sắc và
toàn diện tới các thầy giáo, cô giáo đặc biệt là cô Nguyễn Thị Thanh
Tâm. Cô đã giành nhiều thời gian quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo
em trong quá trình thực hiện khóa luận, đồng thời giúp em lĩnh hội được
những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho em tác phong khi thực hiện
công việc.
Do khóa luận được thực hiện trong một thời gian ngắn, nên chắc chắn
không tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế em rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp quý báu của các thầy cô để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng em xin chúc các thầy giáo, cô giáo sức khỏe, hạnh phúc và
thành đạt, chúc các thầy cô có nhiều các công trình nghiên cứu khoa học
đóng góp cho sự nghiệp phát triển của trường. Chúc Trường Đại học Hùng
Vương ngày càng thu hút được học sinh trong các kì thi tuyển sinh Đại
học.
Em xin chân thành cảm ơn!
Việt Trì, ngày 30 tháng 4 năm 2012
Người viết khóa luận
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu
1
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Mục lục
Mở đầu 3
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.1. Lôgic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Điều kiện cần và đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Một số định lí cơ bản trong lí thuyết phương trình, bất
phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số
bài toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số 16
2.1. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm
duy nhất" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm
thỏa mãn một điều kiện cho trước" . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Chương 3. Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số
bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình chứa
tham số 41
3.1. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm
duy nhất" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Bài toán " Tìm điều kiện của tham số để bài toán có nghiệm
thỏa mãn một điều kiện cho trước" . . . . . . . . . . . . . 47
3.3. Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận 59
Tài liệu tham khảo 60
2
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu
tượng được ứng dụng rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống
xã hội và trong các môn khoa học khác. Toán sơ cấp là một phần quan
trọng của toán học.
Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương
trình là một trong những vấn đề khó của toán sơ cấp đặc biệt là những bài
toán chứa tham số. Vấn đề này càng ngày càng được khai thác sâu hơn và

trở thành một phần không thể thiếu trong chương trình toán trung học phổ
thông. Khi nghiên cứu vấn đề này chúng ta thường gặp một số dạng toán
như tìm giá trị tham số sao cho phương trình, hệ phương trình tương ứng
có nghiệm, có nghiệm duy nhất hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho
trước. Tuy nhiên việc giải hoặc đề xuất ra hướng đi đúng không phải đơn
giản. Thực tế, có nhiều phương pháp để giải các bài toán về phương trình,
hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số như
phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp hàm số, phương pháp
điều kiện cần và đủ Phương pháp điều kiện cần và đủ là một phương
pháp rất hiệu quả để giải lớp các bài toán chứa tham số.
Trên thực tế, việc giải quyết một số bài toán về phương trình, hệ
phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số còn
gặp nhiều khó khăn. Với mong muốn giúp các bạn học toán có thêm tài
liệu tham khảo để khắc phục những khó khăn khi giải bài toán về phương
trình, bất phương trình chứa tham số tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Sử dụng
phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán đại số
trong chương trình trung học phổ thông".
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp một cách hệ thống các nội dung lí thuyết, bài tập theo từng
dạng cụ thể của bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,
hệ bất phương trình chứa tham số bên cạnh đó đưa ra định hướng giải cho
các dạng bài tập.
3
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Hệ thống bài tập vận dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số bài toán
về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình
chứa tham số.
Nghiên cứu mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán từ đó

đưa ra định hướng giải cho một số dạng bài tập.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Khóa luận này nghiên cứu một số bài toán về phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số được giải bằng
phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các giáo trình tài liệu liên
quan đến phương pháp điều kiện cần và đủ và một số bài toán về phương
trình, bất phương trình chứa tham số để phân loại và hệ thống hóa các
kiến thức.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến
thức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp
hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như
hình thức của khóa luận.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về lôgic
mệnh đề, điều kiện cần và đủ. Sử dụng điều kiện cần và đủ vào bài toán
giải phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Ý nghĩa thực tiễn: Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh phổ
thông, sinh viên đại học, cao đẳng và các bạn yêu môn toán .
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung
khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, trình bày một số kiến thức về cơ sở lôgic toán: Lôgic
mệnh đề, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ; một số định
lí, mệnh đề của lí thuyết phương trình được áp dụng trong quá trình giải
toán.
4

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Chương 2: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bài
toán về phương trình, hệ phương trình chứa tham số
Trong chương này, trình bày một cách cụ thể phương pháp điều kiện
cần và đủ vào giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình liên
quan đến tham số. Nội dung chính của chương này là phương pháp giải
các dạng toán và hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp điều kiện cần
và đủ.
Chương 3: Phương pháp điều kiện cần và đủ giải một số bài
toán về bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số
Trong chương này, trình bày một cách cụ thể phương pháp điều kiện
cần và đủ vào giải một số bài toán về bất phương trình, hệ bất phương
trình liên quan đến tham số. Nội dung chính của chương này là phương
pháp giải các dạng toán và hệ thống các bài tập áp dụng phương pháp
điều kiện cần và đủ.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Lôgic mệnh đề
∗) Mệnh đề
Những câu phản ánh đúng hay sai thực tế khách quan được coi là
những mệnh đề.
Ví dụ:
1) Số 25 chia hết cho 5(25
.
.
.5 ) là mệnh đề đúng.
2) 3+2=6 là mệnh đề sai.
3) 0<1 là mệnh đề đúng.
4) Số 57 có phải là số nguyên tố không? - không là mệnh đề.

Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không có mệnh đề nào không đúng mà
cũng không sai. Cũng không có mệnh đề nào vừa đúng lại vừa sai.
Để chỉ các mệnh đề chưa xác định tính đúng, sai ta dùng các chữ cái
in thường: p, q, r và gọi chúng là các biến mệnh đề.
Ta quy ước viết p = 1 khi p là mệnh đề đúng, p = 0 khi p là mệnh đề
sai.
∗) Các phép toán lôgic trên các mệnh đề
• Phép phủ định
Phủ định của mệnh đề p, kí hiệu là p ( đọc là " không p") là một mệnh
đề sai khi p đúng và đúng khi p sai.
Ví dụ: p: " 2 + 3 = 6" (sai).
p: "2 + 3 = 6 " ( đúng).
• Phép hội
Hội của hai mệnh đề p,q kí hiệu là p ∧ q ( đọc là " p và q") là một
6
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
mệnh đề đúng khi cả p lẫn q cùng đúng và sai trong các trường hợp còn
lại.
Ví dụ: Mệnh đề: " −2 ∈ Z " nhưng " −2 /∈ N " là hội của hai mệnh
đề : "−2 ∈ Z " , " −2 /∈ N ".
• Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề p, q kí hiệu là p ∨ q (" đọc là p hoặc q") là
mệnh đề sai khi cả p lẫn q đều sai, và đúng trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ: Mệnh đề " 0 nhỏ hơn hoặc bằng 1 ( 0  1)" là tuyển của hai
mệnh đề :
" Số 0 nhỏ hơn 1" (0 < 1)
" Số 0 bằng 1" ( 0 = 1)
Mệnh đề " 0  1 " là đúng vì mệnh đề " 0 <1" là đúng, mặc dù mệnh
đề " 0 = 1" là sai.
• Phép kéo theo

Cho hai mệnh đề p, q. Mệnh đề kéo theo p ⇒ q ( đọc là " p kéo theo
q" hay " nếu p thì q " ) là mệnh đề sai khi p đúng và q sai, và đúng trong
các trường hợp còn lại.
Ví dụ: Mệnh đề " nếu 2 = 2 thì 4 = 4" là mệnh đề đúng theo định
nghĩa của phép kéo theo, đồng thời cũng là một mệnh đề đúng của toán
học vì từ 2 = 2 suy ra 4 = 4 bằng cách bình phương hai vế của đẳng thức
2 = 2.
• Phép tương đương
Cho hai mệnh đề p, q. Mệnh đề " p tương đương q", kí hiệu là p ⇔ q,
là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề p và q hoặc cùng đúng hoặc cùng
sai và sai trong các trường hợp còn lại.
Ví dụ: Mệnh đề " Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu
hai đường chéo giao nhau tại điểm giữa mỗi đường " là mệnh đề đúng.
1.2 Hàm mệnh đề
∗) Định nghĩa
Xét câu " x là số nguyên tố" (x ∈ N) ta thấy đây không phải là một
mệnh đề vì ta không thể xác định được là đúng hay sai. Nhưng khi thay x
bởi một số tự nhiên cụ thể thì ta được một mệnh đề.
Với x = 3 ta được mệnh đề đúng " 3 là số nguyên tố ".
7
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Với x = 4 ta được mệnh đề sai " 4 là số nguyên tố ".
Ta gọi câu " x là số nguyên tố" là một hàm mệnh đề một biến xác định
trên tập N các số tự nhiên.
Hàm mệnh đề là một câu chứa biến và trở thành mệnh đề khi ta thay
biến đó bằng một phần tử cụ thể thuộc một tập hợp nhất định.
Ta kí hiệu một hàm mệnh đề một biến xác định trên tập X bởi P(x),
Q(x), F(x),
x gọi là biến tử.
Một phần tử cụ thể của X gọi là hằng tử.

Khi thay x bởi a ∈ X ta được mệnh đề P(a) hoàn toàn xác định.
Ví dụ:
+ Phương trình 2x
2
+ x − 3 = 0 là một hàm mệnh đề một biến xác
định trên tập R các số thực.
Nó trở thành mệnh đề đúng với x = 1 và x = −
3
2
, trở thành mệnh đề
sai với các giá trị khác của x.
+ Phương trình 2x − 3y = 5 là một hàm mệnh đề hai biến.
Chú ý: Người ta coi mệnh đề là hàm mệnh đề không biến.
∗) Miền đúng của hàm mệnh đề.
Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi tập
E
P (x)
= {x ∈ X|P (x) = 1}
là miền đúng của hàm mệnh đề P(x).
Ví dụ: Miền đúng của hàm mệnh đề: " 2x
2
+ x − 3 = 0 "
chính là tập hợp
{x ∈ R : 2x
2
+ x − 3 = 0} = {1, −
3
2
}
∗) Mệnh đề hằng đúng, hằng sai.

Giả sử P(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X.
+) Hàm mệnh đề P(x) là hằng đúng trên tập hợp X nếu và chỉ nếu
P(a) = 1 với mọi a ∈ X nghĩa là E
P (x)
= X.
+) Hàm mệnh đề P(x) là hằng sai trên tập hợp X nếu và chỉ nếu
P(a) = 0 với mọi a ∈ X nghĩa là E
P (x)
= ∅.
+) Hàm mệnh đề P(x) là thực hiện được nếu và chỉ nếu tồn tại a ∈ X
sao cho P (a) = 1 nghĩa là: E
P (x)
= ∅
8
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Ví dụ: +) Hàm mệnh đề x
2
+ 1 > 0 xác định trên tập R các số thực
là một hàm mệnh đề hằng đúng trên tập R.
+) Hàm mệnh đề x
2
+ 1 = 0 là hằng sai trên R.
+) Hàm mệnh đề n < 10 xác định trên N là thực hiện được nhưng
không phải là hằng đúng.
∗) Sự tương đương lôgic giữa hai hàm mệnh đề.
Giả sử P(x) và Q(x) là hai hàm mệnh đề cùng xác định trên tập X. Ta
nói rằng P(x) tương đương lôgic với Q(x) và kí hiệu:
P (x) = Q(x)
nếu và chỉ nếu E
P (x)

= E
Q(x)
Ví dụ: Hai bất phương trình tương đương là hai hàm mệnh đề tương
đương lôgic với nhau. Chẳng hạn hai bất phương trình:
2x
2
− 3 < −x
2x
2
+ x − 3 < 0
là hai bất phương trình tương đương và đó cũng là hai hàm mệnh đề
tương đương lôgic với nhau.
∗) Các phép toán lôgic trên các hàm mệnh đề
Cho hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) cùng xác định trên tập X.
• Phép phủ định
Phủ định của P(x) kí hiệu là P (x), là một hàm mệnh đề xác định trên
tập X và nhận giá trị 1 trên tập các phần tử a ∈ X sao cho P(a) = 0 và
nhận giá trị 0 trên miền đúng của P(x), nghĩa là:
E
P (x)
= X −E
P (x)
= C
X
(E
P (x)
)
Ví dụ: P(x): " x là số lẻ" là một hàm mệnh đề xác định trên N.
P (x) : " x không là số lẻ" hay " x là số chẵn".
Miền đúng của P (x) là tập hợp các số chẵn.

• Phép hội
Hội của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P (x)∧Q(x) là một hàm
mệnh đề xác định trên tập X sao cho nó nhận giá trị 1 trên tập các phần
tử a ∈ X mà P (a) = 1 và Q(a) = 1 và nhận giá trị 0 trong các trường hợp
còn lại, nghĩa là:
E
P (x)∧Q(x)
= E
P (x)
∩ E
Q(x)
9
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Ví dụ: Hệ phương trình

3x + 5y = 2
x − 2y = 4
là hội của hai hàm mệnh đề hai biến 3x + 5y = 2 và x − 2y = 4 cùng
xác định trên R.
• Phép tuyển
Tuyển của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P(x) ∨Q(x) là một
hàm mệnh đề xác định trên tập X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập các
phần tử a ∈ X mà P (a) = 0 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các trường
hợp còn lại, nghĩa là:
E
P (x)∨Q(x)
= E
P (x)
∪ E
Q(x)

Ví dụ: Hàm mệnh đề (2x − 3)(x + 8) = 0 tương đương lôgic với hàm
mệnh đề (2x − 3 = 0) ∨ (x + 8 = 0)
Ta thường nói phương trình (2x −3)(x + 8) = 0 tương đương với tuyển
của hai phương trình 2x − 3 = 0, x + 8 = 0.
• Phép kéo theo
Kéo theo của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P (x) ⇒ Q(x) là
một hàm mệnh đề xác định trên tập X sao cho nó nhận giá trị 0 trên tập
các phần tử a ∈ X mà P(a) = 1 và Q(a) = 0 và nhận giá trị 1 trong các
trường hợp còn lại, nghĩa là:
E
P (x)⇒Q(x)
= C
X
(E
P (x)
) ∪ E
Q(x)
Ví dụ: Hàm mệnh đề " Nếu x là số nguyên tố thì x là số lẻ" xác định
trên N và có dạng P (x) ⇒ Q(x), trong đó:
P (x) : " x là số nguyên tố"
Q(x) : " x là số lẻ "
Dễ thấy rằng:
E
P (x)⇒Q(x)
= N − {2}
• Phép tương đương
Tương đương của hai hàm mệnh đề P(x), Q(x) kí hiệu là P (x) ⇔ Q(x)
là một hàm mệnh đề xác định trên tập X và nhận giá trị 1 trên tập các
phần tử a ∈ X mà P (a) = Q(a) và nhận giá trị 0 trong các trường hợp
10

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
còn lại, nghĩa là:
E
P (x)⇔Q(x)
= (X −(E
P (x)
∪ E
Q(x)
)) ∪ (E
P (x)
∩ E
Q(x)
)
Ví dụ: Hàm mệnh đề " n chia hết cho 6 khi và chỉ khi n chia hết cho
2 và cho 3" xác định trên N và có dạng P (n) ⇔ Q(n), trong đó:
P (n) : " n chia hết cho 6"
Q(n) : " n chia hết cho 2 và cho 3"
Dễ thấy rằng:
E
P (n)⇔Q(n)
= N
1.3 Điều kiện cần và đủ
∗) Các mệnh đề liên hợp
Các mệnh đề toán học thường được viết dưới dạng mệnh đề kéo theo
p ⇒ q, trong đó p là giả thiết, q là kết luận.
Nếu ta gọi p ⇒ q (1) là mệnh đề thuận thì:
q ⇒ p (2) là mệnh đề đảo của (1)
p ⇒ q (3) là mệnh đề phản của (1)
q ⇒ p (4) là mệnh đề phản đảo của (1)
Ta gọi 4 mệnh đề (1) (2) (3) (4) là những mệnh đề liên hợp với nhau.

Ví dụ: Nếu ta gọi mệnh đề: " Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia
hết cho 3 " (a) là mệnh đề thuận, ta có:
Mệnh đề " Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6" (b) là
mệnh đề đảo của (a)
Mệnh đề " Nếu một số không chia hết cho 6 thì nó không chia hết cho
3" (c) là mệnh đề phản của (a)
Mệnh đề " Nếu một số không chia hết cho 3 thì nó không chia hết cho
6" (d) là mệnh đề phản đảo của (a).
∗) Sự liên quan giữa các mệnh đề liên hợp.
Từ đẳng thức : p ⇒ q ≡ q ⇒ p suy ra q ⇒ p ≡ p ⇒ q
Vậy mệnh đề thuận tương đương lôgic với mệnh đề phản đảo.
Mệnh đề đảo tương đương lôgic với mệnh đề phản.
Trong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề p ⇒ q là đúng thì
ta có thể kết luận rằng mệnh đề q ⇒ p là đúng mà không cần phải chứng
11
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
minh. Khi đã biết mệnh đề p ⇒ q là sai ta kết luận q ⇒ p là sai.
∗) Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ
Cho mệnh đề p và q
Nếu mệnh đề p ⇒ q là đúng thì p gọi là điều kiện đủ để có q.
Nếu mệnh đề p ⇒ q là đúng thì q gọi là điều kiện cần để có p.
Vì vậy mệnh đề toán học có dạng p ⇒ q có thể được phát biểu bằng
những cách khác nhau:
Nếu p thì q.
p kéo theo q.
Từ p suy ra q.
p là điều kiện đủ để có q.
q là điều kiện cần để có p.
Muốn có q thì có p là đủ.
Muốn có p thì cần có q.

Nếu mệnh đề p ⇒ q và q ⇒ p đều đúng thì ta có mệnh đề đúng p ⇔ q.
Lúc đó ta nói: p là điều kiện cần và đủ để có q hay ta cũng nói: q là điều
kiện cần và đủ để có p.
Các mệnh đề toán học có dạng p ⇔ q thường được phát biểu bằng
những cách sau:
Nếu p thì q và đảo lại.
Có p khi và chỉ khi có q.
p xảy ra nếu và chỉ nếu q xảy ra.
Điều kiện cần và đủ để có p là có q.
Ví dụ: Ta có 2 mệnh đề
p: " Tam giác MNP là một tam giác đều"
q: " Tam giác MNP là tam giác cân và có một góc bằng 60"
Ta thấy cả hai mệnh đề p ⇒ q và q ⇒ p đều đúng. Do vậy ta có thể
nói: " Điều kiện cần và đủ để tam giác MNP là tam giác đều là tam giác
MNP là một tam giác cân và có một góc bằng 60."
∗) Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải các phương trình,
bất phương trình chứa tham số
Cho một bài toán có ẩn số là x thuộc miền D
x
, tham số là m thuộc
miền D
m
. Ta cần tìm điều kiện của tham số m để bài toán trên thỏa mãn
12
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
một tính chất P nào đó ( thí dụ tìm m để bài toán có nghiệm duy nhất,
hoặc tìm m để bài toán có nghiệm đúng ∀x ∈ Ω
x
⊂ D
x

, ) .
Phương pháp điều kiện cần và đủ để giải bài toán trên được tiến hành
theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần
Giả sử bài toán thỏa mãn tính chất P mà đề bài yêu cầu. Ta dựa vào
đặc thù của tính chất P, dạng cấu trúc của bài toán, miền xác đinh D
x
từ
đó tìm được một ràng buộc nào đó đối với m. Ràng buộc ấy chính là điều
kiện cần để thỏa mãn tính chất P và giả sử nó có dạng m ∈ Ω
m
⊂ D
m
.
Điều đó có nghĩa là: Nếu m
0
/∈ Ω
m
thì chắc chắn ứng với giá trị m
0
bài
toán đã cho không có tính chất P.
Bước 2: Điều kiện đủ
Giả sử m ∈ Ω
m
. Ta phải tìm xem trong các giá trị ấy của m, giá trị
nào làm cho bài toán đã cho thỏa mãn tính chất P. Nói chung ở bước hai,
ta chỉ phải xét các bài toán cụ thể ( thường là bài toán không có tham số,
hoặc nếu có thì bài toán đã đơn giản hơn nhiều). Dựa vào đặc trưng của
các bài toán ấy, ta vận dụng các kiến thức cần thiết về lí thuyết phương

trình, bất phương trình để giải chúng. Kết quả của phép giải cho phép ta
loại đi khỏi tập Ω
m
các giá trị không thích hợp của m. Kết hợp cả hai bước
trên ta tìm được lời giải của bài toán đã cho.
Như vậy ý tưởng của phương pháp điều kiện cần và đủ là rõ ràng và
đơn giản. Tuy nhiên điều quan trọng là ở chỗ: làm thế nào để phát hiện ra
điều kiện cần một cách hợp lí, và chọn ở đó điều kiện đủ một cách đúng
đắn.
1.4 Một số định lí cơ bản trong lí thuyết phương
trình, bất phương trình
∗) Định lí Viét đối với phương trình bậc hai
Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0, với a = 0.
Khi đó ta có các hệ thức sau



x
1
+ x
2
= −
b

a
x
1
x
2
=
c
a
13
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Bằng cách viết lại ax
2
+ bx + c dưới dạng a(x − x
1
)(x − x
2
), sau đó
đồng nhất các hệ số của các lũy thừa tương ứng, sẽ cho ta kết quả trên.
∗) Hệ phương trình dạng

F
1
(x) = F
2
(x) (1)
G
1
(x) = G
2
(x) (2)

tương đương với một trong các hệ phương trình sau đây

F
1
(x) = F
2
(x) (1)
F
1
(x) ± G
1
(x) = F
2
(x) ± G
2
(x) (3)

F
1
(x) + G
1
(x) = F
2
(x) + G
2
(x) (4)
F
1
(x) − G
1

(x) = F
2
(x) − G
2
(x) (5)
Lưu ý: Điều kiện để phương trình F
1
(x) ±G
1
(x) = F
2
(x) ±G
2
(x) có
nghiệm chỉ là điều kiện cần để hệ (1)(2) có nghiệm.
∗) Giả sử f(x) là một hàm liên tục trên miền D.
Đặt
m = min
x∈D
f(x), M = max
x∈D
f(x)
Ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1. Hệ phương trình

f(x) = α
x ∈ D
có nghiệm khi và chỉ khi
m = min
x∈D

f(x) ≤ α ≤ max
x∈D
f(x) = M
Mệnh đề 2. Giả sử D = [a, b]. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình
f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b).
Mệnh đề 3.
a) M  α là điều kiện cần và đủ để hệ bất phương trình sau đây có
nghiệm

f(x)  α
x ∈ D
14
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
b) m  α là điều kiện cần và đủ để bất phương trình f(x)  α nghiệm
đúng với mọi x ∈ D.
Mệnh đề 4.
a) m  β là điều kiện cần và đủ để hệ bất phương trình sau đây có
nghiệm

f(x)  β
x ∈ D
b) M  β là điều kiện cần và đủ để bất phương trình f(x)  β nghiệm
đúng với mọi x ∈ D.
Mệnh đề 5.
Xét hệ bất phương trình

f(x)  g(x) (1)
x ∈ D (2)
Nếu
max

x∈D
f(x)  min
x∈D
g(x)
thì hệ trên thỏa mãn với mọi x ∈ D.
Mệnh đề 6.
Cho phương trình f(x) = g(x) với x ∈ D.
Giả sử trên miền x ∈ D hàm f(x) luôn đồng biến, còn hàm g(x) luôn
nghịch biến. Khi đó nếu phương trình trên có nghiệm, thì nghiệm là duy
nhất.
15
Chương 2
Phương pháp điều kiện cần và đủ để
giải một số bài toán về phương trình,
hệ phương trình chứa tham số
2.1 Bài toán"Tìm điều kiện của tham số để bài toán
có nghiệm duy nhất"
Bài toán: Cho phương trình ( hệ phương trình ) có ẩn số x, y, thuộc
miền D
x
, D
y
, tham số là m thuộc miền D
m
. Tìm điều kiện của tham số
m để phương trình ( hệ phương trình) có nghiệm duy nhất.
Phương pháp chung: Tìm điều kiện cần dựa vào tính đối xứng của
biểu thức có mặt trong bài toán.
Chẳng hạn: Cho phương trình f(x, m) = 0. Tìm điều kiện của m để
phương trình có nghiệm duy nhất.

Cụ thể: Giả sử bài toán đã cho có nghiệm x = x
0
. Dựa vào cấu trúc
của phương trình, ta suy ra do x = x
0
là một nghiệm nên x = g(x
0
) cũng là
nghiệm ( trong đó g(x
0
) là biểu thức nào đó của x
0
). Do tính duy nhất ta
suy ra x
0
= g(x
0
). Giải phương trình này thay nghiệm của nó vào phương
trình ban đầu ta được điều kiện cần đối với m.
Do tính đa dạng và phức tạp của bài toán " Tìm điều kiện của tham
số để bài toán có nghiệm duy nhất " ta khó có thể đưa ra phương pháp
giải tổng quát cho tất cả các bài toán, mà tùy từng bài cụ thể ta có thể
tiếp cận và giải theo các hướng sau.
• Đối với những bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình,
bất phương trình có nghiệm duy nhất ta có thể sử dụng trực tiếp định
nghĩa, hoặc tính chất của hàm số chẵn ( như đối với một số hàm số:
y = x
2
, y =| x |, y = cosx, ). Nếu gọi x
0

là nghiệm của phương trình, hệ
16
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
phương trình thì −x
0
cũng là nghiệm của phương trình, hệ phương trình.
Do vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì x
0
= −x
0
hay suy ra
x
0
= 0. Từ đó ta sẽ tìm được điều kiện để phương trình có nghiệm duy
nhất.
• Ta cũng có thể sử dụng tính chất đối xứng nghiệm của hệ phương
trình đối xứng ( hệ phương trình đối xứng loại 1, hệ phương trình đối xứng
loại 2 ). Nếu gọi (x
0
, y
0
) là nghiệm của hệ thì (y
0
, x
0
) cũng là nghiệm của
hệ. Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x
0
= y
0

. Từ đó ta sẽ tìm được điều
kiện cần và sẽ giải quyết được yêu cầu bài toán đặt ra.

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình : x
2
− 2msin(cosx) + 2 = 0 có
nghiệm duy nhất.
Lời giải
Nhìn vào phương trình thấy hàm y = x
2
và hàm y = cosx là các hàm
chẵn, nên các biểu thức chứa ẩn x của phương trình đều là hàm chẵn.
1. Điều kiện cần
Giả sử phương trình có nghiệm là x = x
0
. Nếu x = x
0
là nghiệm thì
x = −x
0
cũng là nghiệm. Từ tính duy nhất nghiệm suy ra x
0
= −x
0
hay
x
0
= 0. Thay vào phương trình đã cho, ta có:
−2msin1 + 2 = 0 hay m =
1

sin1
.
Đó là điều kiện cần.
2. Điều kiện đủ
Với m =
1
sin1
phương trình đã cho có dạng:
x
2
+ 2 =
2sin(cosx)
sin1
(1)
∀x ∈ R, ta có −1  cosx  1. Do [−1, 1] ∈ [−
π
2
,
π
2
] mà y = sinx là
hàm đồng biến trên [−
π
2
,
π
2
] suy ra ∀x ∈ R thì hàm y = sin(cosx) là hàm
đồng biến. Kết hợp với sin1 > 0 ta có
2sin(cosx)

sin1

2sin1
sin1
= 2, ∀x ∈ R (2).
Mặt khác x
2
+ 2  2, ∀x ∈ R (3)
17
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Từ (2) và (3) suy ra
(1) ⇔



x
2
+ 2 = 2 (4)
2sin(cosx)
sin1
= 2 (5)
Từ (4) suy ra x = 0. Thay vào (5) thấy đúng. Vậy hệ phương trình (1)
có nghiệm duy nhất x = 0.
Vậy với m =
1
sin1
thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Với các bài toán tìm điều kiện của tham số để bài toán
có nghiệm duy nhất mà các biểu thức chứa ẩn đều là hàm chẵn thì ta sử
dụng chính định nghĩa của hàm chẵn để giải tức là nếu x

0
là nghiệm thì
−x
0
cũng là nghiệm của bài toán. Từ đó tìm được điều kiện cần và thử lại
tìm được điều kiện đủ của bài toán.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
√
4 − x +
√
x + 5 = m
Lời giải
Ta thấy nếu x = x
0
là nghiệm của phương trình, ta có
√
4 − x
0
+
√
x
0
+ 5 = m
Từ đó ta có:

4 − (−1 − x
0
) +

(−1 − x

0
) + 5 = m
Điều đó có nghĩa là x = −1 − x
0
cũng là nghiệm của (1).
1. Điều kiện cần
Giả sử (1) có nghiệm là x = x
0
. Dễ thấy vì (1) có nghiệm x = x
0
,
nên x = −1 − x
0
cũng là nghiệm của (1). Vì nghiệm là duy nhất nên
x
0
= −1 − x
0
hay x
0
= −
1
2
Thay x
0
= −
1
2
vào (1), ta được m = 3
√

2.
Đó chính là điều kiện cần để (1) có nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện đủ
18
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Với m = 3
√
2, Khi đó (1) có dạng:
√
4 − x +
√
x + 5 = 3
√
2
Ta có theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(
√
4 − x +
√
x + 5)
2
≤ (1 + 1)(4 − x + x + 5) = 18
Do đó
(
√
4 − x +
√
x + 5)
2
 18

⇒
√
4 − x +
√
x + 5  3
√
2 ( dấu "=" xảy ra khi 4 − x = x + 5)
Vậy phương trình tương đương: 4 − x = x + 5
⇔ x = −
1
2
Như thế phương trình có nghiệm duy nhất x = −
1
2
.
Vậy với m = 3
√
2 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Bài toán trên có sự đối xứng giữa x
0
và −1 −x
0
. Nên nếu
gọi x = x
0
là nghiệm thì ta tìm được nghiệm thứ hai là: x = −1 − x
0
. Từ
đó dựa vào tính duy nhất ta tìm được điều kiện cần của bài toán.
Tổng quát: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

2n
√
x + a +
2n
√
b − x = m
Giả sử phương trình có nghiệm x = α. Vì phương trình có nghiệm
x = α, nên x = (−α −a + b) cũng là nghiệm của phương trình. Vì nghiệm
là duy nhất nên α = (−α − a + b) ⇔ α =
−a + b
2
.
Thay x = α =
−a + b
2
vào phương trình ta được:
2n

−a + b
2
+ a +
2n

b −
−a + b
2
= m
⇔
2n


a + b
2
+
2n

a + b
2
= m
⇔ m =
2n

2
2n−1
(a + b)
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
19
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Với m =
2n

2
2n−1
(a + b), khi đó phương trình đã cho có dạng:
2n
√
x + a +
2n
√
b − x =
2n


2
2n−1
(a + b)
Ta có:
2n
√
x + a+
2n
√
b − x ≤
2n

2
2n−1
(a + b) ( chứng minh bằng phương
pháp quy nạp)
Dấu " = " xảy ra ⇔ x + a = b − x
Phương trình ⇔ x + a = b − x
⇔ x =
−a + b
2
Ta thấy x =
−a + b
2
là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy với m =
2n

2

2n−1
(a + b) thì phương trình đã cho có nghiệm duy
nhất.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
4
√
x +
4
√
2 − x +
√
x +
√
2 − x = m
Lời giải
1. Điều kiện cần
Giả sử phương trình có nghiệm x = x
0
. Dễ thấy vì phương trình có
nghiệm x = x
0
, nên x = 2−x
0
cũng là nghiệm của phương trình. Vì nghiệm
là duy nhất nên x
0
= 2 − x
0
Thay x
0

= 1 vào phương trình ta được m = 4.
Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Điều kiện đủ
Với m = 4 khi đó phương trình có dạng:
4
√
x +
4
√
2 − x +
√
x +
√
2 − x = 4
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
√
x +
√
2 − x  2 ( dấu "=" xảy ra khi x = 2 − x)
Và:
4
√
x +
4
√
2 − x  2 ( dấu "=" xảy ra khi x = 2 − x)
Vậy phương trình ⇔ x = 2 −x
⇔ x = 2
Như thế phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
20

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Vậy với m = 4 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Bài toán trên có sự đối xứng giữa x
0
và 2 − x
0
. Nên nếu
gọi x = x
0
là nghiệm thì ta tìm được nghiệm thứ hai là: x = 2 −x
0
. Từ đó
dựa vào tính duy nhất ta tìm được điều kiện cần của bài toán.
Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

x + y + xy = m
x
2
+ y
2
= m
Lời giải
Hệ trên là một hệ đối xứng loại 1 ( khi ta thay đổi đồng thời x và y
cho nhau thì từng phương trình trong hệ không đổi).
1. Điều kiện cần
Giả sử hệ có nghiệm (x
0
, y
0
). Vì (x

0
, y
0
) là nghiệm của hệ nên (y
0
, x
0
)
cũng là nghiệm của hệ. Do tính duy nhất suy ra x
0
= y
0
.
Thay vào hệ ta có:

x
0
2
+ 2x
0
− m = 0 (1)
2x
0
2
= m (2)
Lấy (2) trừ (1) ta có x
0
2
− 2x
0

= 0 ⇒ x
0
= 0 hoặc x
0
= 2
Nếu x
0
= 0 thì m = 0, nếu x
0
= 2 thì m = 8.
Vậy điều kiện cần là m = 0 hoặc m = 8.
2. Điều kiện đủ
a) Với m = 0. Khi đó hệ trở thành

x + y + xy = 0 (3)
x
2
+ y
2
= 0 (4)
Rõ ràng hệ (3) (4) có nghiệm duy nhất (0,0). Suy ra m = 0 thỏa mãn
điều kiện của đề bài.
b) Với m = 8. Khi đó hệ trở thành

x + y + xy = 8 (5)
x
2
+ y
2
= 8 (6)

21
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Từ (5) ta có: x + y +
(x + y)
2
− 8
2
= 8, hay
(x + y)
2
+ 2 + 2(x + y) − 24 = 0
Từ đó ta có: x + y = 4 hoặc x + y = −6
+) Nếu x + y = 4, ta có:

x + y = 4
xy = 4
Trường hợp này cho ta nghiệm (2; 2)
+) Nếu x + y = −6, ta có:

x + y = −6
xy = 14
Dễ thấy hệ này vô nghiệm.
Vậy khi m = 8 thì hệ cũng có nghiệm duy nhất.
Tóm lại, với m = 0 hoặc m = 8 thì hệ phương trình có nghiệm duy
nhất.
Nhận xét: Đối với những bài toán mà hệ ở dưới dạng đối xứng ta sử
dụng tính đối xứng nghiệm của hệ tức là nếu (x
0
, y
0

) là nghiệm của hệ thì
(y
0
, x
0
) cũng là nghiệm của hệ. Dựa vào tính duy nhất ta tìm được điều
kiện cần của bài toán.
Ví dụ 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

2
|x|
+ | x |= y + x
2
+ m
x
2
+ y
2
= 1
Lời giải
Nhận xét: Hệ phương trình trên có các biểu thức chứa biến x đều là
hàm chẵn như là x
2
và | x |.
1. Điều kiện cần
Giả sử hệ có nghiệm (x
0
, y
0
). Vì (x

0
, y
0
) là nghiệm của hệ nên (−x
0
, y
0
)
cũng là nghiệm của hệ. Do hệ có nghiệm duy nhất nên x
0
= −x
0
⇒ x
0
= 0
22
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
Thay vào hệ đã cho, ta có

1 = y
0
+ m
y
0
2
= 1
⇒ m = 0 hoặc m = 2
Vậy m = 0 hoặc m = 2 là điều kiện cần của bài toán.
2. Điều kiện đủ
+) Với m = 0, hệ trở thành


2
|x|
+ | x |= y + x
2
(1)
x
2
+ y
2
= 1 (2)
Từ (2) có:
| x | 1; | y | 1 ⇒| x | x
2
; 2
|x|
 y
Từ đó có
(1) ⇔

| x |= x
2
2
|x|
= y = 1
Hệ (1) (2)
⇔






2
|x|
= y = 1
| x |= x
2
x
2
+ y
2
= 1
⇔

x = 0
y = 1
Vậy với m = 0 hệ có nghiệm duy nhất.
+) Với m = 2, hệ trở thành

2
|x|
+ | x |= y + x
2
+ 2 (3)
x
2
+ y
2
= 1 (4)
Rõ ràng hệ (3) (4) nhận ít nhất hai nghiệm là (1, 0) và (−1, 0). Vậy

m = 2 không thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Tóm lại, với m = 0 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Nhận xét: Bài toán trên có các biểu thức chứa ẩn đều là hàm chẵn
nên ta sử dụng chính định nghĩa của hàm chẵn để giải tức là nếu x
0
là
23
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
nghiệm thì −x
0
cũng là nghiệm của bài toán. Dựa vào tính duy nhất của
nghiệm từ đó tìm được điều kiện cần.
Ví dụ 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất

√
x + 1 +
√
y −1 = m (1)
x + y = 2m + 1 (2)
Lời giải
Nhận xét: Nếu ta đặt

√
x + 1 = u, u  0
√
y −1 = v, v  0
Hệ (1)(2) ⇔

u + v = m
u

2
+ v
2
= 2m + 1
Hệ trên là hệ phương trình đối xứng loại 1
Do vậy nếu gọi (u
0
, v
0
) là nghiệm của hệ phương trình thì (v
0
, u
0
) cũng
là nghiệm của hệ phương trình. Từ đó suy ra nếu (x
0
, y
0
) là nghiệm của
hệ phương trình ban đầu thì (y
0
− 2, x
0
− 2) cũng là nghiệm của hệ đó.
1. Điều kiện cần
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x
0
, y
0
), do (x

0
, y
0
) là nghiệm của hệ
nên (y
0
−2, x
0
+ 2) cũng là nghiệm của hệ. Do hệ có nghiệm duy nhất nên
x
0
= y
0
− 2).
Khi đó hệ có dạng:

√
y
0
− 1 +
√
y
0
− 1 = m
y
0
− 2 + y
0
= 2m + 1
⇔


2
√
y
0
− 1 = m
2y
0
= 2m + 3
⇒

2(2m + 1) = m
⇔

m  0
2(2m + 1) = m
2
⇔ m = 2 +
√
6
Vậy m = 2 +
√
6 là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
24
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ Nguyễn Thị Thu
2. Điều kiện đủ
Với m = 2 +
√
6, hệ phương trình có dạng:


√
x + 1 +
√
y −1 = 2 +
√
6
x + y = 2(2 +
√
6) + 1
Đặt

u =
√
x + 1, u  0
v =
√
y −1, v  0
Ta được:

u + v = 2 +
√
6
u
2
+ v
2
= 5 + 2
√
6
⇔




u + v = 2 +
√
6
u.v =
5 + 2
√
6
2
⇒ u = v =
2 +
√
6
2
⇔





√
x + 1 =
2 +
√
6
2
√
y −1 =

2 +
√
6
2
⇔





x =
3 + 2
√
6
2
y =
7 + 2
√
6
2
là nghiệm duy nhất của hệ.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 2 +
√
6.
Chú ý: Có những bài toán chưa ở dạng đối xứng thì ta phải đặt ẩn
phụ để đưa về dạng đối xứng. Ở bài này hệ phương trình cho ban đầu sau
khi đặt ẩn phụ đã trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1. Từ đó dựa
vào tính duy nhất của nghiệm việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản
hơn nhiều.
25