Phân tích dao động tự do và ổn định đàn hồi tấm sandwich chức năng fgm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN THÀNH TẤN

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO VÀ ỔN ĐỊNH ĐÀN HỒI TẤM
SANDWICH CHỨC NĂNG FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN
DẠNG CẮT BẬC NHẤT
Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và cơng nghiệp
Mã số ngành: 60 58 20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp.HCM, 11 - 2013


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn 1: TS. Nguyễn Trung Kiên
Cán bộ hướng dẫn 2: TS. Lương Văn Hải
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Nguyễn Trọng Phước
Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. Nguyễn Hồng Ân
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp. HCM,
ngày 18 tháng 01 năm 2014.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. TS. Hồ Hữu Chỉnh

Chủ tịch

2. PGS. TS. Chu Quốc Thắng

Thư ký

3. TS. Nguyễn Trọng Phước

Ủy viên

4. TS. Nguyễn Hồng Ân

Ủy viên

5. TS. Lương Văn Hải

Ủy viên

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG

TS. Hồ Hữu Chỉnh


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN THÀNH TẤN

MSHV: 11211017

Ngày, tháng, năm sinh: 16/04/1986

Nơi sinh: Cà Mau

Chun ngành: Xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp

Mã số: 605820

I. TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích dao động tự do và ổn định đàn hồi tấm Sandwich
chức năng FGM sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1. Phân tích dao động tự do và ổn định đàn hồi tấm Sandwich chức năng FGM sử
dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cải tiến, có sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt cho
vật liệu FGM.
2. Xây dựng chương trình tính tốn bằng ngơn ngữ lập trình Matlab.
3. Kết quả của các ví dụ số sẽ đưa ra các kết luận quan trọng về dao động tự do và ổn
định đàn hồi tấm Sandwich chức năng FGM
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ

: 24/06/2013

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 22/11/2013
V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1: TS. NGUYỄN TRUNG KIÊN
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2: TS. LƯƠNG VĂN HẢI
Tp. HCM, ngày... tháng... năm 20…

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

(Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

TS. Nguyễn Trung Kiên

TS. Lương Văn Hải

TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG
(Họ tên và chữ ký)


i

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận
được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân. Tơi xin ghi nhận và tỏ lịng biết ơn tới
tập thể và các cá nhân đã dành cho tơi sự giúp đỡ q báu đó.
Đầu tiên tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Trung
Kiên và TS. Lương Văn Hải. Những lời động viên, sự nhiệt tình hướng dẫn cộng với

những chỉ bảo của hai Thầy đã không chỉ giúp em có những kiến thức khoa học mà
cịn hình thành tác phong làm việc khoa học.
Nhân dịp này, tôi cũng gửi lời tri ân sâu sắc tới các Thầy Cô đã trực tiếp truyền đạt
những kiến thức khoa học, cung cấp những kinh nghiệm nghiên cứu và hỗ trợ rất nhiều
tài liệu quý báu để em hoàn thành tốt luận văn này.
Những lời cảm ơn ân tình nhất cũng xin được gửi tới các bạn học viên cao học
K2011, chuyên ngành xây dựng Dân dụng – Công nghiệp trường đại học Bách khoa
Tp. HCM, những người bạn đã gắn bó, động viên và giúp đỡ nhau trong suốt hai năm
qua.
Lời cảm ơn cuối cùng xin gửi tới Cha mẹ và anh chị trong gia đình đã tạo điều kiện
tốt nhất về mọi mặt, những khích lệ tinh thần đúng lúc để luận văn này được hồn
thành.
Vì thời gian hồn thành luận văn này có hạn nên khơng thể tránh khỏi những thiếu
sót. Mọi góp ý tơi xin ghi nhận và sẽ cập nhật trong thời gian sớm nhất để luận văn
được hồn chỉnh hơn.
Xin trân trọng cảm ơn.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng 11 năm 2013

Nguyễn Thành Tấn


ii

TĨM TẮT
Phân tích dao động tự do và ổn định đàn hồi tấm sandwich chức năng FGM sử
dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
Nguyễn Thành Tấn
Trong luận văn này, tác giả phát triển một mơ hình tấm sandwich chức năng cho phân
tích dao động tự do và ổn định sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cải tiến. Lý
thuyết biến dạng cắt bậc nhất cải tiến bao gồm bốn biến được xây dựng bằng việc xem

chuyển vị ngang của tấm được tạo bởi hai thành phần chuyển vị do uốn và cắt. Ứng
suất cắt ngang được xác định từ ứng suất màng và phương trình cân bằng là cơ sở để
thiết lập độ cứng cắt ngang và hệ số hiệu chỉnh cắt áp dụng cho tấm sandwich chức
năng FGM. Đặc trưng vật liệu được giả thiết là đẳng hướng tại mỗi điểm và thay đổi
liên tục trên chiều dày tấm theo quy tắc hàm mũ. Phương trình chuyển động và điều
kiện biên được thiết lập từ nguyên lý Hamilton. Lời giải nghiệm Navier và Sobhy
được dùng để phân tích tấm có biên tựa đơn, tấm có điều kiện biên khác được phân
tích dựa trên việc xấp xỉ các sóng đàn hồi với các hàm lượng giác được lựa chọn một
cách hợp lý. Các ví dụ được thực hiện nhằm phân tích hiệu ứng của sự phân bố vật
liệu, độ mảnh tấm, tỉ số chiều dày các lớp, độ tương phản vật liệu đến hệ số hiệu chỉnh
cắt, tần số dao động, tải trọng ổn định tới hạn, đường cong tương tác tần số và tải
trọng, và điều kiện biên tấm. Các kết quả nhận được cho thấy mơ hình đề xuất là phù
hợp và đơn giản trong phân tích ổn định và dao động tấm sandwich chức năng.


iii

ABSTRACT
Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich plates base on
the refined first – order shear defomation theory
Nguyen Thanh Tan
In this thesis, a functionally graded sandwich plate model for vibration and buckling
analysis using a refined first-order shear deformation theory is developed. The present
theory having only four unknowns is constituted by deviding the transverse
displacement into two componenents: bending and shear parts. The transverse shear
stresses derived from membrane stresses and equilbrium equations allow to obtain an
improved transverse shear stiffness and associated shear correction factor. Material
properties are assumed to be isotropic at each point and vary continuously through the
plate thickness according to the power-law form. Hamilton’s principle is used to
derive equations of motions. Navier-type analytical solution for simply supported

sandwich plates and Sobhy’s analytical solution for sandwich plates with various
boundary conditions are used. Numerical examples are carried out to investigate
effects of the power-law index, thickness ratio of layers, side-to-thickness ratio,
material constrast on the shear correction factor, natural frequencies, critical buckling
loads, load-frequency curves and boudary conditions. Obtaind results show that the
proposed plate model is found to be efficient and simple for analyzing vibration and
buckling behaviors of functionally graded sandwich plates.


iv

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn của
thầy TS. Nguyễn Trung Kiên và thầy TS. Lương Văn Hải
Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu
khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về cơng việc thực hiện của mình.

Tp. HCM, ngày 22 tháng 11 năm 2013

Nguyễn Thành Tấn


v

MỤC LỤC
Contents
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. i
TÓM TẮT....................................................................................................................... ii
LỜI CAM ĐOAN .......................................................................................................... iv

MỤC LỤC .......................................................................................................................v
DANH MỤC HÌNH VẼ .............................................................................................. viii
DANH MỤC BẢNG BIỂU ........................................................................................... xi
KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT ............................................................................................. xiii
CHƯƠNG 1.

MỞ ĐẦU ..............................................................................................1

1.1

Đặt vấn đề ....................................................................................................1

1.2

Tình hình nghiên cứu ...................................................................................2

1.2.1 Ngoài nước .................................................................................................. 2
1.2.2 Trong nước ................................................................................................... 4
1.3

Những vấn đề chưa được giải quyết ............................................................5

1.4

Mục tiêu của đề tài .......................................................................................5

1.5

Phương pháp nghiên cứu..............................................................................5

1.6

Cấu trúc luận văn .........................................................................................6

CHƯƠNG 2.
2.1

TỔNG QUAN ......................................................................................7

Vật liệu phân lớp chức năng FGM ...............................................................7

2.1.1 Khái niệm và đặc tính .................................................................................. 7
2.1.2 Lịch sử phát triển và ứng dụng .................................................................... 9


vi
2.2

Tổng hợp các mơ hình tính tốn tấm sandwich chức năng FGM
đã thực hiện ...............................................................................................10

2.2.1 Lý thuyết tấm cổ điển CPT ........................................................................ 12
2.2.2 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT ..................................................... 12
2.2.3 Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao HSDT ..................................................... 12
2.3

Trường chuyển của tấm sandwich chức năng FGM ..................................12

2.4

Mối quan hệ chuyển vị - biến dạng ............................................................14

2.5

Phương trình chuyển động .........................................................................15

2.6

Phương trình ứng xử ..................................................................................17

CHƯƠNG 3.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT .........................................................................19

3.1

Các thông số hữu hiệu của tấm sandwich chức năng ................................19

3.2

Thiết lập phương trình chuyển động ..........................................................23

3.2.1 Quan hệ chuyển vị - biến dạng................................................................... 23
3.2.2 Thiết lập phương trình chuyển động tấm ................................................... 24
3.2.3 Phương trình ứng xử .................................................................................. 26
3.2.4 Xây dựng độ cứng cắt ngang cho tấm sandwich chức năng
FGM ........................................................................................................... 28
3.2.5 Phương trình chuyển động tấm sandwich chức năng FGM ....................... 30
3.3

Nghiệm của bài toán tấm sandwich chức năng ..........................................30

3.3.1 Điều kiện biên trên chu vi tấm ................................................................... 31
3.3.2 Lời giải nghiệm Navier .............................................................................. 32
3.3.3 Lời giải nghiệm cho các điều kiện biên khác ............................................. 34
3.4

Lưu đồ tính tốn .........................................................................................37

CHƯƠNG 4.

VÍ DỤ SỐ ...........................................................................................39


vii
4.1

Tổng quát ...................................................................................................39

4.2

Hệ số hiệu chỉnh cắt tấm sandwich chức năng FGM .................................42

4.3

Phân tích tấm sandwich FGM có biên tựa đơn ..........................................46

4.3.1 Bài toán 1: Kiểm tra độ tin cậy của lý thuyết............................................. 46
4.3.2 Bài toán 2: Khảo sát dao động tự do .......................................................... 53
4.3.3 Bài tốn 3: Phân tích ổn định ..................................................................... 59

4.3.4 Bài toán 4: Biểu đồ tương tác giữa tải trọng mất ổn định và tần
số dao động tự nhiên ................................................................................. 65
4.3.5 Bài toán 5: Ảnh hưởng của hệ số hiệu chỉnh cắt........................................ 68
4.4

Phân tích tấm sandwich FGM với các điều kiện biên khác .......................74

4.4.1 Phân tích ổn định ........................................................................................ 75
4.4.2 Phân tích dao động tự do ............................................................................ 82
CHƯƠNG 5.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................89

5.1

Giới thiệu....................................................................................................89

5.2

Kết luận ......................................................................................................89

5.3

Kiến nghị ....................................................................................................90

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................91
KẾT QUẢ CÔNG BỐ ĐẠT ĐƯỢC TỪ LUẬN VĂN.................................................96
PHỤ LỤC ......................................................................................................................97
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG .........................................................................................111

viii

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Mơ hình vật liệu hỗn hợp ................................................................................ 1
Hình 1.2. Một số ứng dụng của vật liệu sandwich chức năng ........................................ 2
Hình 2.1. Vật liệu composite .......................................................................................... 7
Hình 2.2. Vật liệu composite phân lớp ........................................................................... 8
Hình 2.3. Tấm composite chức năng .............................................................................. 8
Hình 2.4. Cấu trúc vi mơ của tre ................................................................................... 10
Hình 2.5. Các lý thuyết tính tốn tấm sandwich chức năng. ........................................ 11
Hình 3.1. Cấu tạo hai dạng tấm sandwich FGM chính ................................................. 19
Hình 3.2. Hình học tấm sandwich FGM ...................................................................... 20
Hình 3.3. Tỉ lệ chiều dày các lớp của tấm sandwich chức năng FGM ......................... 21
Hình 3.4. Sự phân bố vật liệu Vb trên suốt chiều dày tấm ............................................ 22
Hình 3.5. Các dạng điều kiện biên trên chu vi tấm ....................................................... 31
Hình 3.6. Lưu đồ tính tốn hệ số hiệu chỉnh cắt tấm sandwich chức năng .................. 37
Hình 3.7. Lưu đồ phân tích ổn định và dao động tấm sandwich chức năng ................. 38
Hình 4.1. Tấm sandwich chức năng FGM với tỉ lệ chiều dày các lớp 1-2-1 ................ 40
Hình 4.2. Hệ số hiệu chỉnh cắt tấm vuông sandwich chức năng Al/Al2O3 (1-2-1) ...... 43
Hình 4.3. Quan hệ giữa hệ số hiệu chỉnh cắt κ s và chỉ số mũ hàm mật độ thể
tích p tấm vng sandwich FGM (1-2-1) .................................................... 44
Hình 4.4. Quan hệ giữa hệ số hiệu chỉnh cắt κ s và sự tương phản vật liệu Et Eb
tấm vuông sandwich FGM Al/Al2O3 lõi mềm (1-2-1), p = 2 ..................... 45
Hình 4.5. Tấm sandwich FGM biên tựa đơn (SSSS) .................................................... 46
Hình 4.6. Biểu đồ quan hệ p và tần số dao động riêng của ba mode đầu tiên của
tấm vuông sandwich chức năng Al/ Al2O3 ................................................... 54
Hình 4.7. Biểu đồ quan hệ mật độ thể tích , chiều dày tấm và tần số tự nhiên
không thứ nguyên của tấm sandwich chức năng FGM trường hợp tỉ số
chiều dày 1-2-1 ............................................................................................. 55

ix
Hình 4.8.

Biểu đồ quan hệ giữa tải trọng tới hạn mất ổn định không thứ
nguyên N cr và chỉ số mũ hàm mật độ thể tích p tấm vng
sandwich chức năng Al/Al2O3 (1-2-1) ....................................................... 60

Hình 4.9.

Biểu đồ quan hệ tải trọng mất ổn định không thứ nguyên N cr , chiều
dày tấm b h và chỉ số mũ của hàm mật độ thể tích p tấm sandwich
chức năng FGM (1-2-1) chịu tải trọng màng ( R1 = −1, R2 = 0 ) ................. 61

Hình 4.10. Biểu đồ tương tác giữa tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

ω với tải trọng tới hạn mất ổn định không thứ nguyên N cr của tấm
sandwich chức năng Al/Al2O3 (1-2-1) trường hợp b/a = 2 và p=10 ........ 66
Hình 4.11. Biểu đồ tương tác giữa tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên

ω và tải trọng tới hạn mất ổn định không thứ nguyên N cr của tấm
sandwich chức năng với tải trọng màng ( R1 = −1, R2 = 0 ) ........................ 67
Hình 4.12. Sai số (%) về tải trọng mất ổn định trường hợp tải trọng màng

( R1 = −1, R2 = 0 ) và tần số tự nhiên của tấm vuông sandwich chức
năng FGM ( p = 10 ) theo tỷ số chiều dày lớp ec e f ................................. 69
Hình 4.13. Sai số (%) của tải trọng tới hạn mất ổn định trường hợp tải trọng
màng ( R1 = −1, R2 = 0 ) và tần số tự nhiên của tấm vuông sandwich
chức năng FGM (1-2-1) theo chỉ số mũ p .................................................. 70

Hình 4.14. Sai số (%) về tần số tự nhiên của tấm vuông sandwich chức năng
Al/SiC và Al/WC lõi mềm theo chỉ số mũ p.............................................. 71
Hình 4.15. Sai số (%) của tải trọng tới hạn mất ổn định ( R1 = −1, R2 = 0 ) và tần
số tự nhiên của tấm vuông sandwich chức năng FGM với tỷ số b/h ........ 72
Hình 4.16. Các điều kiện biên tấm khác nhau ............................................................. 74
Hình 4.17. Biểu đồ quan hệ tải trọng mất ổn định tới hạn không thứ nguyên N cr
tấm vuông FGM (1-2-1) và chỉ số mũ p với bốn biên tựa (SSSS) ........... 75
Hình 4.18. Biểu đồ quan hệ tải trọng mất ổn định tới hạn không thứ nguyên N cr
tấm vuông FGM (1-2-1) và chỉ số mũ p với bốn biên ngàm (CCCC) ..... 76


x
Hình 4.19. Biểu đồ quan hệ tải trọng mất ổn định tới hạn không thứ nguyên N cr
tấm vuông FGM (1-2-1) và chỉ số mũ p với hai biên tự do hai biên
ngàm (FFCC) ............................................................................................. 77
Hình 4.20. Biểu đồ quan hệ tải trọng mất ổn định tới hạn không thứ nguyên N cr
tấm vuông FGM (1-2-1) và chỉ số mũ p với hai biên ngàm hai biên
tựa (CCSS) ................................................................................................. 78
Hình 4.21. Biểu đồ quan hệ mật độ thể tích và tải trọng mất ổn định tới hạn tấm
vuông FGM Al/Al2O3 (1-2-1) có lõi mềm ................................................. 79
Hình 4.22. Biểu đồ quan hệ sai số của tải mất ổn định tới hạn tấm vng FGM
Al/WC (1-2-1) có lõi mềm ......................................................................... 79
Hình 4.23. Biểu đồ quan hệ mật độ thể tích và tần số dao động tự nhiên tấm
vuông FGM (1-2-1) với biên SSSS ............................................................ 82
Hình 4.24. Biểu đồ quan hệ mật độ thể tích và tần số dao động tự nhiên tấm
vng FGM (1-2-1) với biên CCCC .......................................................... 83
Hình 4.25. Biểu đồ quan hệ mật độ thể tích và tần số dao động tự nhiên tấm
vuông FGM (1-2-1) với biên FFCC ........................................................... 84
Hình 4.26. Biểu đồ quan hệ mật độ thể tích và tần số dao động tự nhiên tấm
vuông FGM (1-2-1) với biên CCSS ........................................................... 85

Hình 4.27. Biểu đồ quan hệ mật độ thể tích và tần số dao động tự nhiên tấm
vng FGM Al/Al2O3 (1-2-1) có lõi mềm ................................................. 86
Hình 4.28. Biểu đồ quan hệ sai số tần số dao động tự nhiên tấm vng FGM
Al/WC (1-2-1) có lõi mềm ......................................................................... 86


xi

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Các đặc tính vật liệu của ceramic và kim loại ................................................ 9
Bảng 2.2. Trường chuyển vị theo các lý thuyết tính tốn ............................................. 13
Bảng 2.3. Mối quan hệ chuyển vị - biến dạng theo các lý thuyết ................................. 14
Bảng 2.4. Phương trình chuyển động của tấm theo các lý thuyết ................................. 16
Bảng 2.5. Phương trình ứng xử của tấm theo các lý thuyết .......................................... 18
Bảng 3.1. Các hàm X ( x ) , Y ( y ) tương ứng với các điều kiện biên tấm ...................... 35
Bảng 4.1. Các đặc trưng vật liệu của gốm và kim loại ................................................. 39
Bảng 4.2. Hệ số hiệu chỉnh cắt κ s của tấm sandwich chức năng FGM ........................ 42
Bảng 4.3. Tải trọng tới hạn mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm
sandwich chức năng Al/Al2O3 ( p = 2 ) trường hợp tỉ số chiều dày các
lớp 1-2-1 ........................................................................................................ 47
Bảng 4.4. Tải trọng tới hạn mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm
sandwich chức năng Al/Al2O3 ( p = 2 ) trường hợp tỉ số chiều dày các
lớp 2-2-1 ........................................................................................................ 47
Bảng 4.5. Tần số tự nhiên ω không thứ nguyên của tấm sandwich chức năng
Al/Al2O3 ( p = 2 ) trường hợp tỉ số chiều dày tấm 1-2-1 .............................. 48
Bảng 4.6. Tần số tự nhiên ω không thứ nguyên của tấm sandwich chức năng
Al/Al2O3 ( p = 2 ) trường hợp tỉ số chiều dày tấm 2 -2-1 ............................. 48
Bảng 4.7. Tần số riêng ω không thứ nguyên của tấm vuông sandwich chức năng
(Al/Al2O3) ..................................................................................................... 50
Bảng 4.8. Tải trọng tới hạn mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm vuông

sandwich chức năng Al/ Al2O3 với tải trọng màng

( R1 = −1, R2 = 0 ) ........ 51

Bảng 4.9. Tải trọng tới hạn mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm vuông
sandwich chức năng Al/ Al2O3 với tải trọng màng ( R1 = − 1, R2 = −1) ....... 52


xii
Bảng 4.10. Tải trọng tới hạn mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm vuông
sandwich chức năng Al/ Al2O3 với tải trọng màng ( R1 = −1, R2 = 1) ......... 53
Bảng 4.11. Tần số riêng ω không thứ nguyên của tấm sandwich chức năng
FGM Al/Al2O3 (1-2-1) của ba mode dao động đầu tiên ............................ 56
Bảng 4.12. Tần số riêng ω không thứ nguyên của tấm sandwich chức năng
FGM Al/SiC (1-2-1) của ba mode dao động đầu tiên ................................ 57
Bảng 4.13. Tần số riêng ω không thứ nguyên của tấm sandwich chức năng
FGM Al/WC (1-2-1) của ba mode dao động đầu tiên ............................... 58
Bảng 4.14. Tải trọng mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm sandwich chức
năng FGM Al/Al2O3 (1-2-1) ...................................................................... 62
Bảng 4.15. Tải trọng mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm sandwich chức
năng FGM Al/SiC (1-2-1) .......................................................................... 63
Bảng 4.16. Tải trọng mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm sandwich chức
năng FGM Al/WC (1-2-1) ......................................................................... 64
Bảng 4.17. Tải trọng tới hạn mất ổn định N cr không thứ nguyên của tấm vng
sandwich chức năng Al/ Al2O3 có lõi mềm với các điều kiện biên
khác nhau ................................................................................................... 80
Bảng 4.18. Tần số dao động tự nhiên ω không thứ nguyên của tấm vng
sandwich chức năng Al/ Al2O3 có lõi mềm với các điều kiện biên
khác nhau ................................................................................................... 87

xiii

KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
FGM

Vật liệu phân lớp chức năng (Functionally graded material)

CPT

Lý thuyết tấm cổ điển (Classical plate theory)

FSDT

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First – order shear deformation theory)

HSDT

Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (High – order shear deformation theory)

Ma trận và vectơ
A

Vectơ độ cứng màng của tấm

As

Vectơ độ cứng cắt ngang của tấm

B

Vectơ độ cứng tương tác của tấm

C

Tensơ bậc 4 hằng số vật liệu

D

Vectơ độ cứng uốn của tấm

K

Ma trận độ cứng

M

Ma trận khối lượng

U mn

Vectơ chuyển vị

σ

Vectơ ứng suất

ε

Vectơ biến dạng dài

γ

Vectơ biến dạng trượt

κ

Vectơ độ cong của tấm

ω

Vectơ tần số

Kí hiệu

φ, x

Đạo hàm riêng bậc một của hàm φ theo biến x

φ, xy

Đạo hàm riêng bậc hai của hàm φ theo biến x và y

u&

Đạo hàm bậc một của hàm u theo biến thời gian t

u&&

Đạo hàm bậc hai của hàm u theo biến thời gian t

E

Module đàn hồi của vật liệu


xiv

G

Module chống cắt đàn hồi của vật liệu

ν

Hệ số poisson của vật liệu

ρ

Khối lượng riêng của vật liệu

a

Chiều dài tấm theo phương x

b

Chiều dài tấm theo phương y

h

Chiều dày tấm

ec

Chiều dày lớp lõi

efb, ft

Chiều dày lớp FGM dưới và trên

ε

Biến dạng dài của tấm

κ

Độ cong của tấm

κs

Hệ số hiệu chỉnh cắt

γ

Biến dạng trượt của tấm

u, v, w

Chuyển vị của tấm theo phương x, y và z

w

Chuyển vị của tấm theo phương x, y


Mở đầu

1

CHƯƠNG 1.

MỞ
Ở ĐẦU

MỞ ĐẦU
1.1

Đặt vấn đề

Ngày nay, cùng với sự phát triển của xã hội thì sự phát triển của ngành công nghiệp
xây dựng cũng diễn ra mạnh mẽ, đòi hỏi các kết cấu phải đáp ứng các yêu cầu ngày
càng cao về tính năng sử dụng, có độ cứng, độ bền, khả năng chống ăn mòn, chịu được
nhiệt độ cao và trọng lượ
ợng nhẹ. Vì thế, trong những năm gần đây đã xuất hiện ngày
càng nhiều vật liệu và kết cấu mới, trong đó đáng quan tâm là các dạng kết cấu sử
dụng vật liệu hỗn hợp (C
Composite material) (Hình 1.1). Việc nghiên cứu ứng xử của
các loại kết cấu này đang là chủ đề thời sự thu hút rất nhiều các nhà khoa học nghiên
cứu và phát triển vật liệu.

Hình 1.1. Mơ hình vật liệu hỗn hợp
Từ đầu thế kỷ XX, việc sử dụng loại vật liệu hỗn hợp ở dạng tấm sandwich đã
phát triển đáng kể trong lĩnh vực xây dựng, ô tô, hàng không, cơ khí, hàng hải,…(Hình
1.2) trong đó các địi hỏi về độ cứng và trọng lượng nhẹ được yêu cầu nghiêm ngặt.
Tuy nhiên, do sự bất liên tục vật liệu giữa các lớp nên có thể tạo ra sự tập trung ứng
suất và dẫn đến sự phá hoại tại vị trí tiếp xúc giữa các lớp. Để khắc phục nhược điểm
này, kết cấu tấm sandwich sử dụng vật liệu chức năng FGM (Functionally
(
graded
material) thể được sử dụng.
Vật liệu chức năng FGM là loại vật liệu hỗn hợp có sự thay đổi liên tục về đặc
tính và thành phần vật liệu theo hướng nhằm loại bỏ sự tập trung ứng suất tại mặt tiếp
xúc gặp phải trong các vật liệu phân lớp truyền thống (1997) [1].


Mở đầu

2

Công nghiệp hàng không

Công nghiệp hàng hải

Công nghiệp ôtô

Công nghiệp xây dựng

Hình 1.2. Một số ứng dụng của vật liệu sandwich chức năng

1.2

Tình hình nghiên cứu

1.2.1

Ngồi nước

Rất nhiều lý thuyết tấm FGM đã được phát triển nhằm dự báo ứng xử tĩnh, dao động
và ổn định dưới tác dụng tải trọng cơ nhiệt khác nhau. Tổng quan về tình hình nghiên
cứu của chủ đề này có thể tóm tắt như sau:
Jha và cộng sự (2013) [2] nghiên cứu tổng quan về tình hình nghiên cứu tấm
chức năng FGM.
Lý thuyết tấm cổ điển CPT (Classical plate theory) của Love-Kirchoff được biết

đến là lý thuyết đơn giản nhất trong đó khơng kể đến biến dạng cắt, lý thuyết này chỉ
cho kết quả hợp lý với các tấm mỏng. Một số nghiên cứu của Feldman và Aboudi
(1997) [3], Javaheri và Eslami (2002) [4], Mahdavian (2009) [5], Mohammadi và cộng
sự (2010) [6] đã áp dụng lý thuyết tấm cổ điển nhằm phân tích ổn định tấm chức năng.


Mở đầu

3

Các nghiên cứu của Chen và cộng sự (2006) [7], Baferani và cộng sự (2011) [8] đã sử
dụng lý thuyết tấm cổ điển cho phân tích dao động.

Để khắc phục những bất lợi của tấm Love-Kirchhoff đặc biệt cho các tấm dày,
rất nhiều lý thuyết tấm biến dạng cắt trong đó kể đến hiệu ứng biến dạng cắt ngang đã

được phát triển. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT (First-order shear deformation
theory) kể đến hiệu ứng biến dạng cắt ngang từ sự thay đổi tuyến tính của chuyển vị
màng theo chiều dày tấm, nên có thể dự báo trước ứng xử một cách hợp lý cho các tấm
mỏng và dày. Tuy nhiên lý thuyết này đòi hỏi phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt nhằm
hiệu chỉnh sự thay đổi không hợp lý của ứng suất cắt và biến dạng cắt trên suốt chiều
dày tấm. Để tránh sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt, rất nhiều lý thuyết tấm biến dạng cắt
bậc cao HSDT (High-order shear deformation theory) đã được đề xuất. Nhìn chung
các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao được phát triển dựa trên giả thiết bậc cao của
chuyển vị màng (Reddy, 2000 [9]; Xiang và cộng sự, 2011 [10]) hoặc cả hai chuyển vị
màng và chuyển vị ngang theo chiều dày tấm (Pradyumna và Bandyopadhyay, 2008
[11]; Jha và cộng sự, 2013 [12]). Một số lý thuyết này có khối lượng tính tốn lớn (ví
dụ như lý thuyết của Pradyumna và Bandyopadhyay, 2008 [11]; Neves và cộng sự,
2012 [13] có 9 biến; lý thuyết của Reddy, 2011 [14] có 11 biến; Jha và cộng sự, 2013
[12] có 12 biến; Talha và Singh, 2010 [15] có 13 biến). Mặc dù một số lý thuyết biến
dạng cắt bậc cao chỉ có 5 biến (ví dụ như lý thuyết biến dạng cắt bậc 3 của Reddy,
2000 [9]; Xiang và cộng sự, 2011 [10] và lý thuyết biến dạng cắt dạng hình sin của
Zenkour, 2006 [16]), hoặc gần đây Thai và cộng sự (2013, 2013, 2012) [17] đã cải tiến
lý thuyết biến dạng cắt bậc cao có 4 biến nhằm giảm bớt khối lượng tính tốn trong
phân tích tĩnh, dao động, ổn định tấm chức năng. Tuy nhiên các phương trình chuyển

động của lý thuyết bậc cao phức tạp hơn rất nhiều so với lý thuyết biến dạng cắt bậc
nhất do sự có mặt của các số hạng bậc cao.
Lý thuyết tấm dựa trên FSDT được sử dụng rộng rãi cho phát triển các mơ hình
phần tử hữu hạn do tính đơn giản khi thiết lập trong tính tốn và lập trình hóa, chính vì
thế hầu hết các phần mềm tính tốn dựa trên phần tử hữu hạn đều sử dụng. Một số
nghiên cứu liên quan đến phân tích ổn định và dao động của tấm chức năng đã được


Mở đầu

4

thực hiện dựa trên lý thuyết FSDT (Zhao và cộng sự, 2009 [18]; Thai và Choi, 2013
[19]). Tuy nhiên, hệ số hiệu chỉnh cắt thường được giả thiết là hằng số. Trong khi đó

đối với tấm chức năng, dựa trên nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (2008) [20] cho
thấy rằng hệ số này phụ thuộc vào sự phân bố vật liệu theo chiều dày tấm. Tìm hiểu về
tình hình nghiên cứu hiệu ứng hệ số hiệu chỉnh cắt về ổn định và dao động của tấm
chức năng cho thấy chưa có nghiên cứu nào thực hiện.
Mặt khác, dù tổng quan về tình hình nghiên cứu liên quan đến phân tích ứng xử
tĩnh, dao động, ổn định của tấm chức năng đã được thực hiện với nhiều nghiên cứu,
nhưng liên quan đến tấm sandwich chức năng thì có rất ít các cơng trình nghiên cứu.
Nghiên cứu về đáp ứng uốn, ổn định và dao động tự do của tấm sandwich chức năng
tựa đơn trên các cạnh đã được đề xuất bởi Zenkour (2005) [21] sử dụng lý thuyết biến
dạng cắt dạng hình sin. Anderson (2003) [22] đã giới thiệu một phương pháp giải tích
ba chiều cho tấm composite sandwich với lõi chức năng chịu tải trọng ngang. Li và
cộng sự (2008) [23] đã đề xuất phân tích dao động ba chiều của tấm sandwich chức
năng. Một số tác giả đã áp dụng các lý thuyết bậc cao cải tiến (Hamidi và cộng sự,
2012 [24]; Tounsi và cộng sự, 2013 [25]) cho phân tích tĩnh, dao động, ổn định tấm
sandwich chức năng dưới tác dụng tải trọng cơ nhiệt khác nhau.

1.2.2

Trong nước

Việc nghiên cứu kết cấu sử dụng vật liệu chức năng đã và đang là chủ đề thu hút một
số nhà nghiên cứu tại Việt Nam, trong đó một số nghiên cứu điển hình có thể kể đến
như sau. Nguyen và cộng sự (2011) [26] tập trung vào các phương pháp số cho phân
tích tấm chức năng sử dụng lý thuyết tấm Reissner-Mindlin trong đó hệ số hiệu chỉnh

cắt của tấm đồng nhất đã được sử dụng. Loc và cộng sự (2013) [27] phân tích tĩnh, ổn

định và dao động tự do tấm chức năng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Lược
qua tình hình nghiên cứu trong nước cho thấy đã có một số nghiên cứu ứng xử tấm
chức năng, tuy nhiên việc phân tích ứng xử ổn định và dao động của tấm sandwich
chức năng chưa được thực hiện.


Mở đầu

1.3

5

Những vấn đề chưa được giải quyết

Tuy có khá nhiều nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm đến kết cấu sử dụng vật
liệu chức năng nhưng có một số vấn đề sau đây chưa được giải quyết mà đề tài lựa
chọn để phát triển:
Phân tích ứng xử dao động và ổn định tấm sandwich chức năng FGM còn rất
giới hạn, trong đó hầu hết các tác giả đều sử dụng lý thuyết bậc cao, các lý thuyết này
phức tạp và khối lượng tính tốn lớn.
Các lý thuyết bậc nhất sử dụng trong tính tốn tấm sandwich chức năng FGM
sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt của tấm đồng nhất, điều này chưa được hợp lý.

1.4

Mục tiêu của đề tài

Với những phân tích ở trên, mục tiêu của đề tài là đề xuất mơ hình tấm sandwich chức

năng FGM áp dụng cho phân tích dao động tự do và ổn định trong đó việc đánh giá
hiệu ứng của sự phân bố vật liệu, sự tương phản vật liệu, độ mảnh tấm, tỉ số chiều dày
các lớp đến hệ số hiệu chỉnh cắt, tần số dao động, tải trọng ổn định tới hạn và biểu đồ
tương tác tần số và tải trọng màng sẽ được thực hiện. Mơ hình được dựa trên lý thuyết
tấm biến dạng cắt bậc nhất cải biến: Trường chuyển vị ngang được phân làm hai thành
phần uốn và thành phần cắt, do đó số biến và số phương trình được giảm. Các ứng suất
cắt được tính tốn từ phương trình cân bằng và do đó độ cứng cắt cải tiến sẽ nhận được
cùng với hệ số hiệu chỉnh cắt tương ứng.

1.5

Phương pháp nghiên cứu

Học viên sẽ tìm kiếm tài liệu, trình bày seminar, thảo luận, thiết lập mơ hình, và lập
trình tính tốn. Các kết quả tính tốn nhận được sẽ được kiểm tra, so sánh với các kết
quả đã được công bố trên các tạp chí quốc tế. Các kết quả sẽ được báo cáo tại các hội
nghị chuyên ngành trong nước và được viết thành bài báo khoa học để công bố trên
các tạp chí uy tín trong nước và quốc tế.


Mở đầu

1.6

6

Cấu trúc luận văn

Trong luận văn này tác giả thực hiện tổng hợp các mơ hình phân tích dao động tự do
và ổn định của tấm sandwich chức năng đã được thực hiện trong và ngồi nước để có

cái nhìn tổng thể về tình hình nghiên cứu cũng như hướng tiếp cận của các tác giả đi
trước (Chương 2).
Chương 3 tác giả tập trung xây dựng lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất cải
tiến (mơ hình 4 biến), độ cứng cắt ngang của tấm sandwich chức năng và thiết lập
phương trình chuyển động của tấm. Đưa ra lời giải giải tích cho bài tốn tấm tựa đơn

để phân tích dao động tự do và ổn định tấm sandwich chức năng.
Chương 4 tác giả tiến hành đưa các lời giải số áp dụng cho phân tích dao động
tự do và ổn định tấm sandwich chức năng tựa đơn trong đó các bài tốn sau sẽ được
làm rõ: phân tích hệ số hiệu chỉnh cắt, tần số dao động, tải trọng ổn định tới hạn,

đường cong tương tác tải trọng màng và tần số dao động, phân tích hiệu ứng của hệ số
hiệu chỉnh cắt và phân tích hiệu ứng điều kiện biên.
Cuối cùng, tác giả đưa ra các kết luận và kiến nghị liên quan đến đề tài nghiên
cứu (Chương 5).


Tổng quan

CHƯƠNG 2.

7

TỔNG QUAN

TỔNG QUAN
Chương này tác giả tập trung giới thiệu một số loại vật liệu composite đặc biệt được
biết như vật liệu phân lớp chức năng FGM đã và đang được sử dụng trên thế giới, qua

đó tác giả dẫn giải các khái niệm, đặc tính và khả năng ứng dụng của dạng vật liệu

này. Phần còn lại tác giả tập trung vào tổng hợp các mơ hình tính tốn tấm vật liệu
sandwich chức năng FGM đã được thực hiện trong và ngồi nước có liên quan trực
tiếp với nội dung của luận văn này.

2.1

Vật liệu phân lớp chức năng FGM

2.1.1

Khái niệm và đặc tính

Như đã biết rằng, vật liệu composite hay vật liệu hỗn hợp được tạo nên từ hai hay
nhiều vật liệu khác nhau: các loại vật liệu này có thể trộn lẫn với nhau (Hình 2.1) hoặc
hình thành bằng cách xếp các lớp vật liệu đồng nhất khác nhau lên nhau để tạo thành
loại vật liệu mới (Hình 2.2). Mục tiêu là các loại vật liệu này bổ sung cho nhau về đặc
tính, nhưng cũng vì sự tồn tại của các loại vật liệu khác nhau dẫn đến sự bất liên tục về

độ cứng và tập trung ứng suất lớn, điển hình cho loại vật liệu composite này có thể tìm
thấy đó chính là vật liệu bê tơng, bê tơng cốt thép…

Hình 2.1. Vật liệu composite


Tổng quan

8

Hình 2.2. Vật liệu composite phân lớp

Để giảm thiểu sự bất liên tục về độ cứng cũng như sự tập trung ứng suất đòi hỏi
việc thay đổi các loại vật liệu này diễn ra một cách từ từ, đây chính là ngun tắc cơ sở
của sự hình thành vật liệu phân lớp chức năng FGM.
Vật liệu phân lớp chức năng FGM là loại composite đặc biệt có đặc trưng vật
liệu thay đổi liên tục nhằm cải thiện và tối ưu khả năng chịu tải cơ nhiệt của kết cấu
(Hình 2.3). Điều này có được từ việc chế tạo một loại vật liệu tổng hợp có sự thay đổi
dần dần trong các thành phần cấu tạo nên vật liệu, vì thế cần phải sắp xếp theo các yêu
cầu thực hiện chức năng. FGM thường được ứng dụng nhiều trong những mơi trường
có điều kiện làm việc khắc nghiệt như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, cấy ghép sinh học,
các bộ phận động cơ, các thiết bị tiếp xúc với nguồn điện cơng suất lớn.

Hình 2.3. Tấm composite chức năng
Vật liệu phân lớp chức năng FGM được chế tạo bằng việc trộn lẫn hai loại vật
liệu chức năng khác nhau theo một tỉ lệ thể tích nhất định. Vì lý do đó, tùy vào chức
năng vật liệu cần phải có cho yêu cầu sử dụng mà tỉ lệ trộn có thể: thay đổi từ đồng
nhất ở biên và thay đổi dần vào lõi, thay đổi từ biên đến đồng nhất ở lõi, hoặc thay đổi