Phân tích dao động tự do của tấm chiều thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết PhaseField và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

HÀ NỘI, 2019


© 2019 Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Quốc gia.
Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ
hình thức hoặc phương tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của cơ quan chủ
quản.

Các đơn vị tài trợ

Trường Đại học Trần Đại Nghĩa
Trường Đại học Xây dựng
Công ty VSBCO Việt Nam
Công ty Cổ phần SBTech
Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam


Mục lục

vi

Khuc Van Phu and Le Xuan Doan
Nonlinear vibration of trapezoidal corrugated FGM-Sandwich plates
Phạm Minh Phúc, Đỗ Văn Thơm, Đoàn Hồng Đức và Nguyễn Đình Đức
Phân tích dao động tự do của tấm chiều thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết Phase-Field
và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

470

478

Nguyen Thi Phuong, Cao Van Doan and Vu Hoai Nam
Nonlinear dynamic buckling analysis of Spiral stiffened FGM cylindrical shells
subjected to radial pressure in thermal environment

486

Nguyen Thi Phuong, Dang Thuy Dong and Vu Hoai Nam
Nonlinear vibration of oblique stiffened FGM cylindrical panels by using FSDT
in thermal environment

494

Nguyen Thi Phuong, Dang Thuy Dong, Ho Duc Tuan, Tran Duy Kien and Vu Hoai Nam
Nonlinear thermo-mechanical buckling analysis of oblique stiffened FGM plates
by using FSDT resting on elastic medium

502

Nguyen Thi Phuong, Vu Hoai Nam and Vu Tho Hung
Semi-analytical approach of nonlinear dynamic buckling analysis of FG-CNTRC
corrugated toroidal shell segments under external pressure

510

Huỳnh Văn Quân Nguyễn Xuân Huy và Nguyễn Trung Kiên
Ứng xử của kết cấu chịu tác dụng động đất có xét đến biến dạng nền bằng phần tử vĩ mô 518
Thái Minh Quân và Nguyễn Sỹ Tuân
Ảnh hưởng của hình dạng lỗ rỗng lên tính chất đàn nhớt của vật liệu bê tông

526

Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan and Tran Minh Tu
Dynamic behavior analysis of FGM doubly curved shell panels
considering temperature dependency of material properties

533

Trần Hữu Quốc, Trần Minh Tú và Vũ Văn Thẩm
Nghiên cứu dao động và điều khiển dao động kết cấu tấm FGM
có gắn lớp vật liệu áp điện

541

Đỗ Xuân Quý, Lương Xuân Bính, Hà Văn Quân và Hoàng Văn Tuấn

Nghiên cứu ứng xử cơ học của thanh có liên kết dị hướng chịu tác dụng
của tải trọng động

549

Đỗ Xuân Quý, Lương Xuân Bính và Hoàng Thanh Thúy

Tính toán nội lực, chuyển vị trong cấu kiện ray đường sắt chịu tác dụng của tĩnh – hoạt tải
bằng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình liên kết một chiều
556


Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật răn lần thứ XIV,
Đại học Trần Đại Nghĩa, Thành phố Hồ Chí Minh, 19-20/7/2018

Phân tích dao động tự do của tấm chiều thay đổi có nứt dựa trên lý
thuyết Phase-Field và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
Phạm Minh Phúc1,*, Đỗ Văn Thơm2, Đoàn Hồng Đức3 và Nguyễn Đình Đức3,4
1
Bộ môn Cơ lý thuyết, khoa Khoa học Cơ bản, Đại học Giao thông Vận tải
2
Bộ môn Cơ học Vật rắn, Khoa Cơ khí, Học viện Kỹ thuật Quân Sự
3
Phòng Thí nghiệm vật liệu và kết cấu tiên tiến, Đại học QGHN
4
Chương trình hạ tầng kĩ thuật-Đại học Việt Nhật
*Email:
Tóm tắt. Bài báo nghiên cứu dao động tự do của tấm chiều dày thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết
cắt bậc cao và lý thuyết Phase-Field trong cơ học phá hủy. Để kiểm chứng độ tin cậy của lý thuyết
tính toán, kết quả được so sánh với một số bài báo đã công bố. Sau đó, bài báo sẽ khảo sát ảnh hưởng
của chiều dài vết nứt, góc nghiêng vết nứt và vị trí của vết nứt tới tần số dao động riêng của tấm.
Sau cùng là một vài hình ảnh các dạng dao động của tấm chiều dày thay đổi có nứt.
Từ khóa: Dao động, tấm chiều dày thay đổi, vết nứt, lý thuyết phase-field, lý thuyết cắt bậc cao

1. Mở đầu
Vết nứt là dạng hư hỏng điển hình ở kết cấu, khi xuất hiện vết nứt làm cho khả năng chịu lực của
kết cấu giảm. Bài toán cơ bản đầu tiên về vấn đề này được nghiên cứu bởi Adams và các cộng sự [1], ở
đó ông đã nghiên cứu trường hợp một thanh đàn hồi có khuyết tật (suy giảm độ cứng cục bộ) được mô
tả bởi một lò xo dọc trục và xây dựng được phương trình để xác định vị trí hư hỏng từ số liệu đo tần số
riêng. Guan-Liang Qian và cộng sự [2] đã nghiên cứu bài toán dao động của tấm có vết nứt bằng phương
pháp phần tử hữu hạn, các tác giả đã tính toán tần số dao động của tấm tương ứng với chiều dài vết nứt
khác nhau.
Gần đây, nhóm tác giả D.H.Doan và cộng sự [3] đã nghiên cứu dao động của tấm chữ nhật có
một hoặc nhiều vết nứt bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Mindlin và lý thuyết Phase-Field trong cơ

học phá hủy. Lý thuyết Phase-Field và lý thuyết Mindlin cũng được nhóm tác giả Phuc Pham Minh và
các cộng sự [4] sử dụng để tính toán ổn định cho tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi tuyến tính.
Theo hiểu biết của tác giả thì chưa có nghiên cứu nào về phân tích dao động tự do của tấm chiều
thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết Phase-Field và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Bài báo sẽ tập trung
vào khảo sát ảnh hưởng của chiều dài vết nứt, góc nghiêng vết nứt và vị trí của vết nứt tới tần số dao
động tự do của tấm.

2. Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao và lý thuyết Phase-field
Ở đây, chúng tôi sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc ba cho tấm [5]
u x, y , z = u0 x, y +

5
4
z − 2 z3
4
3h

x

( x, y ) +

1
5
z − 2 z 3 w0, x
4
3h

v x, y, z = v0 x, y +

5

4
z − 2 z3
4
3h

y

( x, y ) +

1
5
z − 2 z 3 w0, y
4
3h

w x, y , z = w0 x, y

(1)


Phân tích dao động tự do của tấm chiều thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết Phase-Field
và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
Trong đó: u0 , v0 , w 0 là các chuyển vị trong mặt trung bình của tấm, và

479

là các góc xoay

quanh trục y và x
Trường biến dạng được tính:

εx
εy

(0)

ε xy =

(1)

+z

(0)

+ z2

0

γ yz

(3)

0
(2)

+ z3

(2)

0

γ xz

Với:

(0)

=

(0)

2

u0
x
v0
;
y
v0
u
+ 0
x
y

5
=
4

w
+
y

w
+
x

(1)

2

w
x
x2
2
1
w
y
= 5
+ 2
4
y
y
x

5

+

w
x
x2
2

w
y
+ 2
y
y
x

(3)

;

=

−5
3h 2

+

2

x

5

y

;

(2)

−5
= 2
h

x

y

+2

w
+
y
w
+
x

;

2

w
y
+5
x y
x

x

y

+2

w
+
x y

y

x

y

;
x

Quan hệ ứng suất – biến dạng:
= Dm (ε (0) + zε (1) + z 3ε (3) )

(3)

= Ds ( γ (0) + z 2 γ (2) )
Với

=

T
x

E

Dm =
1 − v2

y

xy

; =

1

0
0

1

0 0
Các thành phần nội lực trong tấm:

1
1−
2

T
yz

xz

;

Ds =

1 0
E
2(1 + v) 0 1


Phạm Minh Phúc, Đỗ Văn Thơm, Đoàn Hồng Đức và Nguyễn Đình Đức

480

~

N

(0)

A B E 0 0

~

M
~

P

B D F 0 0

(1)

= E F H 0 0

(3)

~

(4)

(0)

Q

0 0 A B

0

(2)

~

R

0 0 B D

0
h/2

Với ( A, B, D, E , F , H ) =

h/2

(1, z , z 2 , z 3 , z 4 , z 6 ) Dm dz ; ( A , B, D ) =
−h/2

(1, z 2 , z 4 ) Ds dz
−h/2

Năng lượng biến dạng:
(0)T

U δ =

1
2



+

(1)T

+

(3)T

+

(0)T

+

(0)

A

(0) T

B

(0)

+

(1)T

E

(0)

+

(3)T

+

(0)

A

+

(1)

B
D

+

(1)T

(1)

+

(3) T

(2)

B

+

+

(3)

E

(1)

F

(0) T

(0) T

(3)

F
H

(2) T

+

(3)

B

d

+
(0)

+

(2) T

D

(5)

(2)

Trong cơ học phá hủy, lý thuyết Phase-field với biến Phase-field, s, nhận các giá trị liên tục từ 0
đến 1. Trong đó, giá trị 0 của biến Phase-field chỉ trạng thái vật liệu bị phá huỷ hoàn toàn; giá trị 1 chỉ
trạng thái vật liệu bình thường. Khi biến nhận giá trị giữa 0 và 1 ta nói vật liệu khu vực đó đang trong
trạng thái mềm hoá (softening). Trạng thái này được hiểu như quá trình hình thành các micro -crack
trong vật liệu và làm giảm độ cứng của vật liệu. Do đó, trong lý thuyết Phase-field, vết nứt được biểu
diễn bởi một vùng hẹp có biến đổi trạng thái liên tục từ phá huỷ - mềm hoá - bình thường thông qua sự
biến đổi liên tục của biến Phase-field từ 0 đến 1. Chính nhờ sự thể hiện này, trong vật liệu không xuất
hiện vùng bất liên tục, cho phép ta tính đạo hàm, tích phân một cách dễ dàng trong toàn miền giải tích.
Biến phase-field được đưa vào trong công thức tính năng lượng biến dạng của tấm thông qua hàm s
trong phương trình (6 - 9) với ngụ ý giảm năng lượng đàn hồi tại vùng có vết nứt về 0.
Năng lượng biến dạng của tấm khi xuất hiện vết nứt có dạng:
(0) T

1
U δ, s =
2

=



s

2

(0)

A

+

(1) T

+

(3)T

+

(0) T

+

B

+

(1)T

E

(0)

+

(3) T

A

s φ δ d +

(0)



+

D

GC h

(0) T

+

(1) T

(1)

+

(3) T

B

1− s

4l

(3)

F
H

+

(2) T

+l

s

(2)

+

(3)

E

(1)

F

(0) T

+

(1)

B

(0)

2



(0) T

+

(3)

B

d +

+
(0)

+

(2)T

D



GC h

1− s
4l

2

+l

s

2

d

(2)

2
2

d

(6)

Động năng của tấm:
Te =

1

1
s 2u T ud  =
2 e
2

Hàm Lagrang được tính theo công thức:

L( , s ) = T ( , s ) − U ( , s )

T

Me

(7)


Phân tích dao động tự do của tấm chiều thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết Phase-Field
và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao
=



s2  δ d  −



GC h

1− s

481

2

+l

4l

s

2

d

(8)

Biến phân của L δ, s được tính:
L δ, s, δ = 0
L δ, s, s = 0

Từ đó, ta có hệ phương trình xác định tần số dao động tự do của tấm có vết nứt:
Ke +


2

2s δ

Me δ=0
sd  −



2GC h −

1− s
4l

s

+l s

(9)

s d = 0

Trong công thức (9) hàm dạng của vết nứt được định nghĩa trong hàm  δ theo Borden [7]
như sau:

 δ =B
H x, y =

trong

1−

d ( x, y )
l

n u

d ( x, y ) = y − x −

L a cos
−
2
2
0

GC
. H x, y
4l
x

v i

L a cos
H l
+
v
2
2
2 2
ng c l i

(10)

y− x−

L

tan
2

H l
+
2 2

L
H
tan −
2
2

Ở đây, B là đại lượng vô hướng với giá trị B = 103 , a là chiều dài vết nứt, là góc nghiêng
vết nứt, l là chiều rộng của vết nứt, d ( x, y ) là khoảng cách từ điểm bất kỳ ( x, y ) đến đường bao của
vùng vết nứt.

3. Kết quả và thảo luận
3.1. So sánh kết quả với bài báo tấm chiều dày thay đổi

Hình 1. Tấm có chiều dày thay đổi tuyến tính theo trục x
Trong phần này, các thông số của tấm L=0.24m, E = 60.7GPa,
chiều dày tấm thay đổi
theo hàm bậc nhất
với
bốn cạnh liên kết tựa (hình 1). Công thức


482

Phạm Minh Phúc, Đỗ Văn Thơm, Đoàn Hồng Đức và Nguyễn Đình Đức

xác định tần số dao động tự do của tấm

với

Kết

quả được so sánh với bài báo của M. Huang [6], sai khác rất nhỏ như bảng 1 chứng tỏ độ tin cậy của
chương trình tính.
Bảng 1. Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật chiều dày thay đổi
α

H/L

0
0.4
0.8
0
0.4
0.8
0
0.4
0.8

0.5

1.0

2.0

M. Huang
[6]
7.255
7.927
8.524
4.902
5.36
5.77
4.19
4.575
4.909

Bài báo
7.1428
7.7927
8.3548
4.8892
5.3471
5.7588
4.1582
4.5382
4.8742

Sai khác
(%)
1.57
1.72
2.03
0.26

0.24
0.19
0.76
0.81
0.71

3.2. So sánh kết quả với bài báo tấm chiều dày không đổi có vết nứt

Hình 2. Tấm có chiều dày không đổi có tâm nứt ở giữa tấm.
Sử dụng chương trình tính ở mục 3.1 với chiều dày tầm không đổi
và có vết nứt chiều
0
dài
góc nghiêng = 0 , E=67GPa, hệ số poisson
khối lượng riêng
hai cạnh ngàm còn hai cạnh khác tự do (CFCF), chiều dày tấm thay đổi từ
tới 200, tần số dao
động tự do của tấm được tính theo công thức = ( a 02 / h 0 ) (1 − 2 ) / E với a0 = 10h0 , như bảng 2.
Theo số liệu tính toán thấy rằng, khi chiều dày tấm tăng thì độ cứng của tấm tăng dẫn tới tần số dao
động tăng theo.

Bảng 2. Tần số dao động tự do của tấm vuông (24x24cm2) có nứt
L/h
50
100
150
200

D.H.Duc
[3]

4.7493
2.3875
1.5942
1.1966

Bài báo
4.7197
2.3795
1.5917
1.1965

Sai khác
(%)
0.63
0.34
0.16
0.01


Phân tích dao động tự do của tấm chiều thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết Phase-Field
và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

483

Theo bảng 2 thì sai số của chương trình tính với bài báo của Duc et al. [3] là rất nhỏ, chứng tỏ
chương trình tính có độ tin tưởng cao. Từ đó, chúng tôi phát triển chương trình tính dao động tự do của
tấm chiều dày thay đổi có vết nứt như mục 3.3 dưới đây.

3.3. Dao động tự do của tấm chiều dày thay đổi có vết nứt
Các thông số của tấm chiều dày thay đổi tuyến tính theo trục x và vết nứt: chiều dài vết nứt thay

đổi từ
đến
đến
mô đun đàn hồi E=67GPa, hệ số
góc nghiêng từ
poisson
khối lượng riêng
tấm hình vuông với L=H=0.24m, chiều dày tấm
thay đổi theo hàm bậc nhất h = h0 (1 + x / L ) với = ( ha − h0 ) / h0 , tần số dao động tự do của tấm được
tính theo công thức
tự do (CFCF).

= ( a 02 / h 0 )

(1 −

2

) / E với a0 = 10h0 , tấm hai cạnh ngàm còn hai cạnh khác

Hình 3. Tần số dao động tự do của tấm vuông chiều dày thay đổi, chiều dài và góc nghiêng vết
nứt thay đổi.
Từ hình 3, ta nhận thấy khi tăng chiều dài vết nứt, độ cứng của tấm giảm đi, làm tần số dao động
tự do của tấm giảm xuống. Khi tăng góc nghiêng của vết nứt, thì bề mặt giải phóng năng lượng ở vết
nứt sẽ giảm xuống, kết quả là làm cho độ cứng của tấm tăng so với khi góc nghiêng vết nứt bé hơn, và
làm tần số dao động tự do tăng tương ứng. Với
và chiều dày tấm biến đổi theo quy


Phạm Minh Phúc, Đỗ Văn Thơm, Đoàn Hồng Đức và Nguyễn Đình Đức

484

luật bậc nhất dọc theo trục x, chiều dày lớn nhất (ha) cách chiều dày nhỏ nhất (h0) đoạn L, khi
lên, làm cho độ cứng của tấm tăng, dẫn tới tần số dao động tự do của tấm tăng.

tăng

Mode
#1

#2

#3

#4

#5

Góc nghiêng 00

Góc nghiêng 300

Góc nghiêng 600

Góc nghiêng 900

Hình 4. Năm dạng dao động đầu của tấm có nứt (L = H = 0.24m, h0 = 2.4mm,
CFCF)

a/L = 0.5,

4. Kết luận
Ở bài báo này, chúng tôi dùng lý thuyết Phase-field trong cơ học phá hủy và lý thuyết biến dạng
cắt bậc cao để nghiên cứu dao động tự do tấm có vết nứt. Kết quả số chỉ ra rằng với trường hợp đã xét:
(i) khi tăng chiều dài vết nứt thì tần số dao động tự do của tấm sẽ bị giảm xuống; (ii) khi tăng góc
nghiêng của vết nứt thì tần số dao động tự do của tấm sẽ tăng; (iii) khi tăng tỉ lệ chiều dầy tấm ( ), tần


Phân tích dao động tự do của tấm chiều thay đổi có nứt dựa trên lý thuyết Phase-Field
và lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

485

số dao động tự do của tấm tăng. Kết quả số này sẽ là định hướng cho các nghiên cứu về dao động tự do
của tấm khi vết nứt phát triển.

Tài liệu tham khảo
[1] Adams, R. D., Cawley. P., Pye. C. J and Stone. B. J. A vibration technique for non-destructively assessing the
integrity of structures. Journal of Mechanical Engineering Science, Vol 20(2), (1978), pp.93-101.
[2] G. L. Qian, S. N. Gu, and J. S. Jiang. A finite element model of cracked plates application to vibration problems.
Compos. Struct., vol. 39, (1991), pp.483–487.
[3] D.H.Doan et al. Validation simulation for free vibration and buckling of cracked Mindlin plates using phasefield method. Mechanics of Advanced Materials and Structures, online, (2018), pp.0-10. DOI: />10.1080/15376494.2018.1430262
[4] Phuc Pham Minh et al. The stability of cracked rectangular plate with variable thickness using phase field
method. Thin-Walled Structures, 129, (2018), pp. 157–165.
[5] Shi G. A new simple third-order shear deformation theory of plates. International Journal of Solids and
Structures, 44, (2007), pp. 4399-4417.
[6] M. Huang et al. Free vibration analysis of orthotropic rectangular plates with variable thickness and general
boundary conditions. Journal of Sound and Vibration, 288, (2005), pp.931-955.
[7] M.J. Borden, C.V. Verhoosel, M.A. Scott, T.J.R. Hughes, and C.M. Landis. A phase-field description of

dynamic brittle fracture. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 217-220 (2012), pp. 77–95.


NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ
Nhà A16 - Số 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội
Điện thoại: Phòng Phát hành: 024.22149040;
Phòng Biên tập: 024.37917148;
Phòng Quản lý Tổng hợp: 024.22149041;
Fax: 024.37910147; Email: ; Website: www.vap.ac.vn

TUYỂN TẬP CÔNG TRÌNH
HỘI NGHỊ KHOA HỌC TOÀN QUỐC
CƠ HỌC VẬT RẮN LẦN THỨ XIV

Chịu trách nhiệm xuất bản
Giám đốc, Tổng biên tập
TRẦN VĂN SẮC

Biên tập:
Trình bày kỹ thuật:
Trình bày bìa:

Đinh Như Quang
Đào Như Mai
Đào Như Mai

Liên kết xuất bản: Công ty CP Khoa học và Công nghệ Hoàng Quốc Việt
Số 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội

ISBN: 978-604-913-832-4

In 500 cuốn, khổ 19×26,5 cm, tại Công ty CP Khoa học & Công nghệ Hoàng
Quốc Việt. Địa chỉ: Số 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội.
Số xác nhận đăng ký xuất bản: 1587-2019/CXBIPH/01-18/KHTNVCN.
Số quyết định xuất bản: 23/QĐ-KHTNCN, cấp ngày 13 tháng 5 năm 2019.
In xong và nộp lưu chiểu quý II năm 2019.