GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN TẢI MỞ RỘNG

GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN TẢI MỞ RỘNG
3.1 Bài toán sản xuất - vận tải
3.1.1 Phát biểu bài toán
Có một loại sản phẩm nào đó dự kiến được sản xuất ở m địa điểm A
1
, A
2
, ...,
A
n
. Biết rằng nếu địa điểm A
i
sản xuất x
i
đơn vị sản phẩm thì tốn chi phí là f
i
(x
i
).
Sản phẩn sản xuất ra cần được vận chuyển tới n địa điểm tiêu thụ B
1
, B
2
, ..., B
n
với
nhu cầu tương ứng là b
1
, b
2
, ..., b

n
. Chi phí vận chuyển một đơn vị sản phẩm từ địa
điểm A
i
tới địa điểm B
j
được biết trước là c
ij
. Cần lập một phương án sản xuất và
vận chuyển với tổng chi phí sản xuất và vận chuyển nhỏ nhất đảm bảo thoả mãn
nhu cầu của các nơi tiêu dùng bằng những sản phẩm làm ra được ở tất cả các nơi
sản xuất.
Minxcxf
m
i
n
j
ijij
m
i
ii
→+
∑∑∑
= == 1 11
)(
Ký hiều x
i
là khối lượng sản phẩm được sản xuất tại
địa điểm A
i

và x
ij
là khối lượng sản phẩm được chuyển từ địa điểm A
i
đến B
j
. Khi
ấy dạng toán học của bài toán sản xuất - vận tải là cực tiểu hàm chi phí.
với các điều kiện sau:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=






=≤≤=∈=
==≥
==
==
n
j

j
m
i
ii
T
m
ij
m
i
jij
n
j
iij
bS
xSxxXxxx
njmix
njbx
mixx
1
1
1
1
1
0:),...,(
,1,,1,0
,1,
,1,
với
Chú ý: f
i

là hàm lõm, nghĩa là quy mô sản xuất càng mở rộng thì chi phí sản
xuất trên một đơn vị sản phẩm càng giảm.
3.1.2.Phương pháp giải .
Hàm mục tiêu của bài toán gồm hai thành phần: phần phi tuyến lõm (ứng với
chi phí sản xuất) và phần tuyến tính (ứng với chi phí vận chuyển). Vì số biến phi
tuyến x
i
(m biến) tương đối nhỏ so với số biến tuyến tính x
ij
(m.n biến), nên để giải
bài toán sử dụng kỹ thuật phân dã.
Tạm thời cố định các biến x
i
(mức sản xuất) ta có bài toán vận tải thông
thường, giải bài toán này ta thu được phương án vận chuyển tốt nhất ứng với mức
sản xuất đã chọn. Tiếp đó, ta kiểm tra xem các x
i
hiện có đã phải là tốt hay chưa;
nếu chưa, ta sẽ tìm cách chọn (nhờ giải một bài toán phi tuyến phụ) mức sản xuất
mới tốt hơn và lại giải bài toán vận tải ứng với mức sản xuất mới này, .... Sau một
số hữu hạn bước lặp ta sẽ thu được lời giải của bài toán.
∑∑
==
ij
j
jij
j
j
cbtcbt maxmin
và

Ký hiệu:
t, t là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của phần chi phí vận chuyển trong hàm mục
tiêu.
Giải bài toán quy hoạch sau đây để tìm mức sản xuất ban đầu:
tttXx
txfQ
ii
≤≤∈
→+
∑
,
min)()(
0
Ký hiệu (t
0
,x
(0)
) là lời giải của bài toán (Q
0
).
Đặt k=0
njmix
njbx
mixx
xc
ij
j
m
i
ij

k
i
n
j
ij
m
i
n
j
ijij
,1,,1,0
,1,
,1,
min
1
)(
1
1 1
==≥
==
==
→
∑
∑
∑∑
=
=
= =
Bước lặp k
≥

0. Giải bài toán vận tải:
k
m
i
n
j
k
ijijk
txcl ≤=
∑∑
= =1 1
)(
ta thu được lời giải {x
ij
(k)
}và các thế vị tương ứng {u
i
(k)
, v
j
(k)
}.
1) Nếu , dừng thuật toán: {x
i
(k)
, x
ij
(k)
} là lời giải của bài
toán

k
n
j
j
k
j
m
i
k
j
k
ik
tbvxul >+=
∑∑
== 1
)(
1
)()(
2) Nếu trái lại, ta có:
Ta đưa thêm vào bài toán phụ (Q
k
) một rằng buộc mới:
0
1
)(
1
)()(
≤++−
∑∑
==

n
j
j
k
j
m
i
k
j
k
i
bvxut
ksbvxut
tttXx
MintxfQ
n
j
j
s
j
m
i
s
j
s
i
m
i
iik
,0,0

,
)()(
1
)(
1
)()(
1
1
=≤++−
≤≤∈
→+
∑∑
∑
==
=
+
từ bất đẳng thức trước đó cho
ta thấy x
(k)
vi phạm rằng buộc mới này và nhận được bài toán mới (Q
k+1
)
Giải bài toán này, ta thu được lời giải (t
k+1
, x
(k+1)
). Chuyển sang bước lặp mới
k+1.
Chú ý: Các bài toán phụ (Q
k

) là bài toán tìm cực tiểu của một hàm lõm với các
rằng buộc tuyến tính, trong đó bài toán sau chỉ khác bài toán trước bởi một rằng
buộc mới thêm vào.
3.2 Bài toán vận tải đa mục tiêu
3.2.1 Phát biểu bài toán
Chi phí và thời gian tương xứng được xét trong bài toán vận tải hai mục tiêu.
Giả sử rằng với mỗi ô (i,j) có vài lựa chọn một cặp gồm chi phí cho một đơn vị vận
chuyển và thời gian vận chuyển. Mục đích là để liệt kê tất cả các nghiệm hữu hiệu
(không trội) trong việc làm cực tiểu tổng chi phí vận chuyển và khoảng thời gian
vận chuyển. Phương pháp tham số vận chuyển được sử dụng cho mỗi ô (i,j) gồm
tập các lựa chọn (c
ij
, t
ij
) tạo ra mối quan hệ tuyến tính giữa c
ij
và t
ij
. Bài toán đối với
c
ij
trở thành từng bước đối với t
ij
cho tất cả hoặc một số ô (i,j) như là một trường
hợp đặc biệt.
∑∑
= =
→
m
i

n
j
ijij
xc
1 1
min
Lớp các bài toán vận
tải thông thường là:
)1.3(
;0,
,1;,1,0
,1,
,1,
1 1
1
1













=>

==≥
==
==
∑ ∑
∑
∑
= =
=
=
m
i
n
j
jiji
ij
m
i
jij
n
j
iij
baba
njmix
njbx
miax
Ngoài ra,
thời gian vận chuyển cũng rất quan trọng, đặc biệt là trong trường hợp chất lượng
sản phẩm có thể bị suy giảm hoặc có yêu cầu về thời gian đối với hàng hoá đó. Giả
sử t
ij

là thời gian yêu cầu vận chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j. Chúng ta coi
thời gian vận chuyển là không phụ thuộc vào tổng số hàng hoá được vận chuyển và
vận chuyển bấy kỳ từ điểm phát nào tới bất kỳ điểm thu nào đều bắt đầu tại một
thời điểm là 0.
)2.3(
)0:( ≥
ij
xij
ij
tMaxMinimise
Ngoài mục đích cực tiểu
cước phí, bài toán còn phải đòi hỏi giảm thời gian vận chuyển trong suốt quá trình
vận chuyển. Gọi thời gian này là “khoảng thời gian vận chuyển”. Về toán học
tương xứng với bài toán:
Đôi khi cũng có sự tương xứng giữa thời gian vận chuyển và chi phí vận
chuyển trên một đơn vị hàng hoá c
ij
, như trong trường hợp t
ij
cũng là biến quyết
định. Bài toán này xét cực tiểu vector (khoảng thời gian vận chuyển, tổng chi phí