Tính toán khả năng mang dòng của cáp ngầm cao thế bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
O

BÁO CÁO TỔNG KẾT KẾT QUẢ
ĐỀ TÀI KHCN CẤP TRƯỜNG

TÊN ĐỀ TÀI:

TÍNH TỐN KHẢ NĂNG MANG DỊNG
CỦA CÁP NGẦM CAO THẾ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Mã đề tài:
Thời gian thực hiện: 3/2012 – 3/2013
Chủ nhiệm đề tài: TS. VŨ PHAN TÚ
Cán bộ tham gia đề tài:

Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng 9/2012


Danh sách các cán bộ tham gia thực hiện đề tài
(Ghi rõ học hàm, học vị, đơn vị công tác gồm bộ môn, Khoa/Trung tâm)
1.

TS. VŨ PHAN TÚ, Ban ĐH&SĐH, ĐHQG-HCM; Bộ
môn Hệ Thống Điện, Khoa Đ-ĐT, ĐHBK TP.HCM.

2.

ThS. NGUYỄN NGỌC KHOA, C.Ty Điện Lực TP.HCM.

3.

ThS. NGUYỄN VIỆT, C.Ty Truyền Tải Điện 4.


MỤC LỤC
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
1.1 Phương pháp Sai phân hữu hạn (FDM)
1.2 Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)
1.2.1
Các bước cơ bản trong thủ tục phân tích FEM
1.2.2
Lưới thích nghi
1.3 Phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi (hp-FEM)
1.4 Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG III: GIỚI THIỆU VỀ KHẢ NĂNG MANG DỊNG CỦA CÁP
NGẦM
3.1 Giới thiệu
3.2 Phương trình truyền nhiệt của cáp
3.3 Các thủ tục tính tốn khả năng tải của cáp
3.4 Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG IV: TÍNH TỐN TRƯỜNG NHIỆT VÀ KHẢ NĂNG MANG
DỊNG CỦA CÁP BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
4.1 Giới thiệu
4.2 Trường hợp cáp 3 pha bố trí ngang
4.3 Trường hợp cáp 3 pha mạch đơi bố trí ngang
4.4 Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG V: TÍNH TỐN TRƯỜNG NHIỆT VÀ KHẢ NĂNG MANG

DỊNG CỦA CÁP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
5.1 Giới thiệu
5.2 Trường hợp cáp 3 pha bố trí ngang
5.3 Trường hợp cáp 3 pha mạch đơi bố trí ngang
5.4 Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG VI: TÍNH TỐN TRƯỜNG NHIỆT VÀ KHẢ NĂNG MANG
DÒNG CỦA CÁP BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN hp-FEM
6.1 Giới thiệu
6.2 Trường hợp cáp 3 pha bố trí ngang
6.3 Trường hợp cáp 3 pha mạch đơi bố trí ngang
6.4 Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG VII: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
71. Kết luận
72. Kiến nghị


TÓM TẮT
Trong đề tài này, cho lần đầu tiên tại Việt Nam, chúng tôi nghiên cứu áp
dụng các phương pháp số hiện đại như phương pháp sai phận hữu hạn, phương
pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi cho
việc mơ phỏng trường nhiệt và tính tốn khả năng mang dịng của cáp ngầm cao
thế. Các kết quả tính tốn của chúng tơi được so sánh với phương pháp phần tử
biên, phần mềm COMSOL và dữ liệu thực tế của cáp ngầm cao thế của TP.HCM.
Trong q trình nghiên cứu, chúng tơi đã đạt được một số kết quả như sau:

1.

Các kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu đề tài
Các luận văn tốt nghiệp Cao học và tiến sỹ
+ Th.S. Nguyễn Ngọc Khoa, “Ứng dụng Phương pháp phần tử hữu hạn tính

tốn khả năng mang dịng của cáp ngầm”, LV ThS, GVHD – TS. Vũ Phan
Tú – ĐHBK Tp.HCM, 12.2008.
+ ThS. Võ Minh Thiện, “Tính tốn và mơ phỏng khả năng mang dòng của
cáp ngầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn,” LV ThS, GVHD: TS. Vũ
Phan Tú – ĐHBK Tp.HCM - 7.2011.
+ Th.S. Nguyễn Việt, “Tính tốn và mơ phỏng khả năng mang dòng của cáp
ngầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi bậc cao,” LV ThS –
GVHD: TS. Vũ Phan Tú – ĐHBK Tp.HCM, -2012.
+ ThS. Võ Văn Hồng Long, “Tính tốn và mơ phỏng trường nhiệt và khả
năng mang dịng của đường dây trên khơng và cáp ngầm bằng phương pháp
số,” Đề tài nghiên cứu sinh, GVHD: TS. Vũ Phan Tú – ĐH SPKT Tp.HCM
– 2012-2015.

2.

Các bài báo khoa học đã đăng
+ Vũ Phan Tú, N.K. Nguyen, N.N. Nguyen, “Calculation of Temperature
and Ampacity of Underground Cables Using the Adaptive Finite Element
Methods,” Journal of Technology and Science, No.73B, pp. 39-45, Vietnam,
2009.
+ Vũ Phan Tú, N.K. Nguyen ,C.K. Nguyen, “FE Solution of Temperature
and Ampacity of Underground Cables Buried in Multi-layer soil”
International Symposium on Advanced Engineering (ISAE 2009), Korea,
2009.


+ N.K. Nguyen, Vũ Phan Tú, “Effects of Environmental Parameters on
Thermal Fields of Underground Cables Calculated by the Adaptive Finite
Element Method,” Journal of Technology and Science, No.83B, pp. 102-107,
Vietnam, 2011.

Vu Phan Tu, Nguyen Ngoc Khoa, Vu Pham Lan Anh, “Simulation of
Thermal Fields of High-Voltage Underground Cables using the Adaptive hpFEM,” Proceedings of International Conference on Advances in
Computational Mechanics (ACOME 2012), HCM City, August 14-16, 2012.
+

Đề tài này sẽ mở ra một hướng nghiên cứu mới trong ngành hệ thống điện
trong tương lai. Nó cung cấp các kiến thức và phương pháp tính tốn số cho các
giảng viên đại học, các nhà nghiên cứu, các kỹ sư thiết kế nghiên cứu về vận hành
và thiết kế hệ thống điện.


ABSTRACT
In this project, for the first time in Vietnam, we investigate the application
of numerical methods such as finite difference method, finite element method and
higher-order adaptive finite element method to modeling thermal field and
computing ampacity of high-voltage undeground cables. Our computed results are
compared with those of boundary element method, COMSOL software, and the
actual data of high-voltage undegound cable of Ho Chi Minh City. In doing this
project, we obtained some results as:
Results of research project
1.

Master and Ph.D. theses
+ M.E. Nguyễn Ngọc Khoa, “Application of Finite Element Method to
Computing Ampacity of Underground cables”, Supervised by Vu Phan Tu,
Ph.D. – Ho Chi Minh City University of Technology, 12.2008.
+ M.E. Võ Minh Thiện, “Modeling and Calculation of Underground Cables
Ampacity Using FDM”, Supervised by Vu Phan Tu, Ph.D. – Ho Chi Minh
City University of Technology, 7.2011.
+ M.E. Nguyễn Việt, “Modeling and Calculation of Underground Cables

Ampacity Using the Adaptive hp-FEM” – Supervised by Vu Phan Tu, Ph.D.
– Ho Chi Minh City University of Technology, 2012.
+ M.E. Võ Văn Hoàng Long, “Modeling and Calculation of Thermal Filed and
Ampacity of Underground Cables and Overhead Transmission Lines Using
Numerical Methods,” PhD thesis, Supervised by Vu Phan Tu, Ph.D. –
University of Technical Education, Ho Chi Minh City – 2012-2015.

2.

Published papers
+ Vũ Phan Tú, N.K. Nguyen, N.N. Nguyen, “Calculation of Temperature
and Ampacity of Underground Cables Using the Adaptive Finite Element
Methods,” Journal of Technology and Science, No.73B, pp. 39-45, Vietnam,
2009.
+ Vũ Phan Tú, N.K. Nguyen ,C.K. Nguyen, “FE Solution of Temperature
and Ampacity of Underground Cables Buried in Multi-layer soil”


International Symposium on Advanced Engineering (ISAE 2009), Korea,
2009.
+ N.K. Nguyen, Vũ Phan Tú, “Effects of Environmental Parameters on
Thermal Fields of Underground Cables Calculated by the Adaptive Finite
Element Method,” Journal of Technology and Science, No.83B, pp. 102-107,
Vietnam, 2011.
Vu Phan Tu, Nguyen Ngoc Khoa, Vu Pham Lan Anh, “Simulation of
Thermal Fields of High-Voltage Underground Cables using the Adaptive hpFEM,” Proceedings of International Conference on Advances in
Computational Mechanics (ACOME 2012), HCM City, August 14-16, 2012.
+

This project will open a new research way in power systems in the near

future. It gives knowledge and numerical computation methods for the university
lecturers, the researchers, design engineers to study power systems design and
operation.


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Hệ thống cáp ngầm là một trong những thành phần chính của một hệ thống
điện hiện đại, nhất là trong các thành phố lớn vì nó đã thể hiện nhiều ưu điểm nổi
bật so với hệ thống truyền tải điện trên không như: độ tin cậy cao, an tồn, có thể
được sử dụng trong trường hợp gặp khó khăn về hành lang an tồn, tạo vẽ mỹ quan
cho thành phố… Tuy nhiên, bên cạnh những ưu điểm đó thì các hệ thống cáp ngầm
cũng cịn tồn tại những khuyết điểm như: chi phí đầu tư lớn, thời gian thi cơng lâu,
khả năng mang tải kém… Chính vì những lý do trên, việc vận hành một hệ thống
cáp ngầm đảm bảo độ tin cậy cao, an toàn và ổn định luôn là sự mong đợi và ưu tiên
hàng đầu của các Cơng ty Điện lực. Xét về khía cạnh kỹ thuật, việc tính tốn trường
nhiệt (Thermal Field) cũng như khả năng mang dòng cho phép của cáp (Cables
Ampacity) để đảm bảo hệ thống cáp vận hành không bị quá tải do quá nhiệt là
nhiệm vụ quan trọng của các kỹ sư trong công tác thiết kế và vận hành hệ thống cáp
ngầm đó.
Như chúng ta đã biết, để phân tích một hệ thống kỹ thuật thì mơ hình toán học
tương ứng được xây dựng để diễn tả hệ thống, mô tả hành vi nhiệt của cáp ngầm
cũng không là một ngoại lệ. Trong q trình xây dựng mơ hình tốn đó, một số giả
thiết được đặt ra để đơn giản hóa thủ tục tính tốn. Những mơ hình tốn này thơng
thường chứa những phương trình vi phân cùng với các điều kiện ràng buộc của
chúng. Rất khó để có thể đạt được lời giải giải tích chính xác mà có thể mơ tả đầy
đủ hành vi của hệ thống, nhất là đối với các hệ thống được mô tả bằng những
phương trình vi phân phức tạp. Tuy nhiên, cùng với khả năng tính tốn của các hệ

thống máy tính ngày càng cao thì các phương pháp tốn số cũng được phát triển để
tìm các lời giải xấp xỉ của các phương trình vi phân này như: phương pháp sai phân

-1-


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

hữu hạn (FDM – Finite Difference Methods), phương pháp phần tử biên (BEM –
Boundary Element Methods), phương pháp thể tích hữu hạn (FVM – Finite Volume
Methods), phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Methods), phương
pháp phần tử hữu hạn bậc cao (hp-FEM – higher-order Finite Element Methods),
phương pháp lưới tự do (MFree – Mesh Free Methods)…và ngày càng thể hiện đó
là những cơng cụ tính tốn hiện đại, mạnh mẽ nhờ có khả năng giải quyết các vấn
đề mà đối với phương pháp giải tích cổ điển sẽ rất khó hoặc khơng thể tìm được lời
giải.
Để tính tốn khả năng mang dịng của cáp ngầm, có hai phương pháp đã được
các kỹ sư cũng như các nhà nghiên cứu sử dụng: Phương pháp giải tích và phương
pháp số hiện đại như đã nêu trên. Ngày nay, phương pháp giải tích vẫn được sử
dụng và hai hiệp hội tiêu chuẩn quốc tế lớn nhất trên thế giới là IEEE và IEC đã
chấp nhận phương pháp giải tích là phương pháp cơ sở của họ. Ngồi ra, khả năng
mang dịng của cáp được tính tốn theo phương pháp số hiện đại chủ yếu dựa trên
FDM, FEM… Đặc biệt, FEM và hp-FEM được sử dụng rộng rãi do tính thích nghi
cao của nó đối với nhiều dạng cấu trúc hình học khác nhau phụ thuộc vào mơ hình
của đối tượng cần khảo sát.
Thơng thường, khi cáp mang tải, sẽ có một phần năng lượng trong cáp tiêu hao
dưới dạng nhiệt. Nguồn nhiệt này sẽ truyền từ lõi dẫn của cáp ra môi trường xung
quanh cáp. Nếu như môi trường đất và các vật liệu lấp đầy xung quanh cáp có độ
dẫn nhiệt thấp thì nhiệt lượng tỏa ra từ cáp sẽ được truyền đi kém hiệu quả. Điều
này có thể dẫn đến hậu quả là làm cho nhiệt độ của cáp tăng cao, làm giảm khả

năng mang dịng, thậm chí là gây sự cố cách điện cáp do quá nhiệt. Do vậy, khả
năng mang dòng của cáp phụ thuộc phần lớn vào đặc tính nhiệt của mơi trường
xung quanh cáp và nhiệt độ vận hành cho phép của cáp. Chính vì lẽ đó, tính tốn
phân bố trường nhiệt gây ra bởi tổn thất trong cáp (điều này liên quan mật thiết đến
khả năng tải của cáp) là điều hết sức cần thiết.

-2-


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

Với mục đích thấy được ưu điểm của phương pháp số, sự cần thiết của việc
tính tốn và giám sát nhiệt độ của các hệ thống cáp ngầm là những lý do để đề tài
được thực hiện.
Như vậy các bài toán tương hợp điện từ trong hệ thống điện có thể được giải
bằng việc sử dụng các phương pháp số hiện đại. Biểu đồ lởi giải hệ thống vật lý sử
dụng PP số được giới thiệu trên Hình.1. Đó là Phương pháp sai phân hữu hạn
(FDM), Phương pháp phần tử biên (BEM), Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM),
Phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi (hp-FEM), và Phương pháp
khơng lưới (Meshless Method - MM).

MM
hp-FEM

BEM
FEM
FDM

HT vật lý

Phương trình
tốn

Rời rạc hóa
mơ hình

Lời giải số

So sánh sai số
Sai số rời rạc hóa và lời giải số

Hình .1. Biểu đồ lởi giải hệ thống vật lý sử dụng PP số.

Trên thế giới, quá trình nghiên cứu vấn đề tương hợp điện từ đã được thực
hiện từ rất lâu
 Ngồi nước
Các trường phái tính tốn mơ phỏng trường nhiệt và khả năng màng dịng của
cáp ngầm bằng phương pháp số đã được các nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu

-3-


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

từ những năm 1980. Cho đến này đề tài này vẫn còn được nghiên cứu và ứng dụng
rộng rãi trong ngàng điện. Điển hình qua các bài báo như sau:
 M. A. Kellow, “A Numerical Procedure for the Calculation of the
Temperature Rise and Ampacity of Underground Cables,” IEEE
Transactions on Power Apparatus and System, Vol. PAS-100, No. 7, pp.
1322-1330, July 1981.

 G. Gela, J. J. Dai, “Calculation of Thermal Fields of Underground Cables
Using the Boundary Element Method,” IEEE Transactions on Power
Delivery, Vol. 3, No. 4, pp. 1341-1347, October 1988.
 D. Mushamalirwa, J. C. Steffens, “A 2-D Finite Element Mesh Generator
for Thermal Analysis of Underground Power Cables,” IEEE
Transactions on Power Delivery, Vol. 3, No. 1, pp. 62-68, January 1988.
 M.A. Hanna, A.Y. Chikhani và M.M.A. Salama “Thermal Analysis Of
Cable Systems In A Trench In Multi-Layered Soil” IEEE Transactions
on Power Delivery, Vol. 9, No. 1, January 1994.
 Carlos Garrido, Antonio F. Otero, and José Cidirás “Theoretical Model
to Calculate Steady-State and Transient Ampacity and Temperature in
Buried Cables” IEEE Transactions on Power dilivery, Vol.18, No. 3,
July 2003.
 H. J. Li, “Estimation of Soil Thermal Parameters from Surface
Temperature of Underground Cables and Prediction of Cable Rating,”
IEE Proc.-Gener Transm., Vol. 152, No. 6, pp. 849-854, November 2005.
 M.S. Al-Saud, M.A. El-Kady và R.D. Findlay “Accurate Assessment Of
Thermal Field and Ampacity Of Underground Power Cables” IEEE
CCECE/CCGEI, Ottawa, May 2006.
 Trong nước
Tại Việt Nam các nghiên cứu về vấn đề trường nhiệt, khả năng mang dòng
của cáp, và đặc biệt nghiên cứu ứng dụng phương pháp số vào bài toán khả năng
mang dịng của cáp ngầm là hồn tồn khơng có. Chính vì thế, trong đề tài này,
chúng tơi đặt mục tiêu là lần đầu tiên tại VN có một nghiên cứu thể hiện việc áp
dụng các phương pháp số hiện đại vào vấn đề tính tốn khả năng mang dịng của
cáp ngầm cao thế trong Hệ thống điện.
Các kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu đề tài
1. Các luận văn tốt nghiệp Cao học và tiến sỹ
+ Th.S. Nguyễn Ngọc Khoa, “Ứng dụng Phương pháp phần tử hữu hạn tính
tốn khả năng mang dịng của cáp ngầm”, LV ThS, GVHD – TS. Vũ Phan

Tú – ĐHBK Tp.HCM, 12.2008.

-4-


CHƯƠNG I: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

+ ThS. Võ Minh Thiện, “Tính tốn và mơ phỏng khả năng mang dòng của cáp
ngầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn,” LV ThS, GVHD: TS. Vũ Phan
Tú – ĐHBK Tp.HCM - 7.2011.
+ Th.S. Nguyễn Việt, “Tính tốn và mơ phỏng khả năng mang dòng của cáp
ngầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn thích nghi bậc cao,” LV ThS –
GVHD: TS. Vũ Phan Tú – ĐHBK Tp.HCM, -2012.
+ ThS. Võ Văn Hồng Long, “Tính tốn và mơ phỏng trường nhiệt và khả
năng mang dịng của đường dây trên khơng và cáp ngầm bằng phương pháp
số,” Đề tài nghiên cứu sinh, GVHD: TS. Vũ Phan Tú – ĐH SPKT Tp.HCM
– 2012-2015.
2. Các bài báo khoa học đã đăng
+ Vũ Phan Tú, N.K. Nguyen, N.N. Nguyen, “Calculation of Temperature and
Ampacity of Underground Cables Using the Adaptive Finite Element
Methods,” Journal of Technology and Science, No.73B, pp. 39-45, Vietnam,
2009.
+ Vũ Phan Tú, N.K. Nguyen ,C.K. Nguyen, “FE Solution of Temperature and
Ampacity of Underground Cables Buried in Multi-layer soil” International
Symposium on Advanced Engineering (ISAE 2009), Korea, 2009.
+ N.K. Nguyen, Vũ Phan Tú, “Effects of Environmental Parameters on
Thermal Fields of Underground Cables Calculated by the Adaptive Finite
Element Method,” Journal of Technology and Science, No.83B, pp. 102-107,
Vietnam, 2011.
+ Vu Phan Tu, Nguyen Ngoc Khoa, Vu Pham Lan Anh, “Simulation of

Thermal Fields of High-Voltage Underground Cables using the Adaptive hpFEM,” Proceedings of International Conference on Advances in
Computational Mechanics (ACOME 2012), HCM City, August 14-16, 2012.

-5-


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

CHƯƠNG 2
TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

2.1. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) đầu tiên được phát triển bởi A. Thom
năm 1920 –[1]-[2] dưới tên gọi là “the method of squares” để giải các bài tốn khí
động học phi tuyến. Kể từ đó phương pháp này đã được phát triển và áp dụng vào
rất nhiều lãnh vực kỹ thuật – [3 ]-[13].
Ý tưởng của kỹ thuật sai phân là thay thế các phương trình vi phân
(Differential Equations -DE) bằng các phương trình sai phân hữu hạn (FDE - finite
difference equations ) trên cơ sở của các xấp xỉ sai phân được phát triển từ chuỗi
Taylor.
Trình tự xác định lời giải sai phân hữu hạn như sau
+ Bước 1: Chia miền lời giải thành lưới con với các nút – Hình.2.1.

Hình 2.1: Mơ hình lưới con dùng trong SPHH. a) lưới vuông; b) lưới xiên; c)
lưới tam giác; d) lưới tròn.

-6-


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

+ Bước 2: Xác định các xấp xỉ sai phân
Từ chuỗi Taylor, chúng ta có thể xác định các xấp xỉ sai phân của các đạo hàm
bậc một và bậc hai của một f ( x, y ) theo biến x như sau – [2]

f
f
f
 i , j 1 i , j 1 ,
2x
x
2
fi , j 1  2 f i , j  f i , j 1
 f
.

x 2
x 2

(2.1)

Và xấp xỉ sai phân của đạo hàm bậc một theo thời gian – [2]

df i n f i n 1  f i n

dt
t

(2.2)

+ Bước 3: Giải phương trình sai phân tương ứng với các điều kiện biên
Sau khi thay thế các xấp xỉ sai phân vào phương trình vi phân đã cho, chúng ta
sẽ giải hệ phương trình sai phần bằng hai cách: i) giải theo định thức ma trận, ii)
Dùng phép lặp Gauss Seidel hoặc SOR (successive Over Relaxation) cho các
phương trình dạng Laplace-Poisson 2D và 3D.
2.2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) lần đầu tiên được giới thiệu trong một
bài giảng ứng dụng toán học bởi Courant vào năm 1940. Trong bài giảng trên, ông
đã sử dụng việc gắn kết các phần tử tam giác như là một nguyên lý cơ bản trong
việc cực tiểu hoá thế năng đối với vấn đề ứng suất St. Venant. Năm 1965,
Zienkiewicz và Cheung đã đưa ra bằng chứng để chứng tỏ rằng PTHH có khả năng
được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như thiết kế
các chi tiết cơ khí, kết cấu, các vấn đề truyền nhiệt, phân tích dịng chảy, tính tốn
trường điện từ…[14]-[30].
2.2.1 Các bước cơ bản trong thủ tục phân tích PTHH
Ý tưởng cơ bản của PTHH là rời rạc hóa miền phức tạp Ω của bài toán thành
một số hữu hạn các miền con đơn giản hơn  e (được gọi là các phần tử). Các miền
con này được liên kết với nhau tại các điểm nút. PTHH khơng tìm dạng xấp xỉ của
hàm trên tồn miền xác định Ω của nó mà chỉ tìm trong những miền con thuộc miền
xác định của hàm. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm tại
các điểm nút trên các phần tử. Các giá trị này chính là các ẩn số cần tìm của bài tốn.
Có thể được mơ tả cụ thể bởi bước như sau
i. Rời rạc hóa hay chia nhỏ miền khơng gian khảo sát – Hình 2.2.
ii. Lựa chọn các hàm đa thức.
iii. Thiết lập hệ phương trình.

-7-


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

iv. Tìm lời giải số bằng việc giải hệ phương trình trên.

a)

b)

c)
Hình 2.2 – Các phần tử cơ bản: a) Phần tử 1D , b) Phần tử 2D, c) Phần tử 3D
2.2.2 Lưới thích nghi
Thuật ngữ lưới Delaunay được tạo thành từ các tam giác hay “Delaunay
triangulation” lần đầu tiên được Delaunay đưa ra vào năm 1934, cung cấp một
cơng cụ hữu ích trong việc tạo lưới - [29]
Hình 2.3a mơ tả miền khảo sát được chia nhỏ bởi các phần tử tam giác có các
cạnh gần bằng nhau sau khi hàm Delaunay phát sinh lần đầu để tạo được lưới thô
(nghĩa là chúng ta có lưới Delaunay cổ điển). Hình 2.3b) thể hiện được tính thích
nghi của lưới: Các phần tử nằm gần đường trịn có kích thước bé và mật độ các
phần tử lớn nhất. Kích thước và mật độ này suy giảm theo hàm bậc hai khi càng tiến
ra gần biên của hình vng. Do vậy, có thể diễn tả hàm khoảng cách đối với các
cạnh của phần tử tam giác như sau
h  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2

(2.3)

-8-


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

với (xo,yo) là toạ độ của tâm đường tròn, và (x,y) là toạ độ của điểm nút.

a)

b)

Hình 2.3 – Rời rạc hố miền khảo sát bài toán Poisson
a) Lưới Delaunay đều; b) Lưới Delaunay thích nghi
Cả hai lưới đều được chia sao cho tổng số nút nằm trên đường tròn là như
nhau và bằng 36. Kết quả tính tốn giá trị của f được thể hiện trên Hình 2.4.

a)

b)

Hình 2.4 – Lời giải phương trình Poisson: a)Dùng lưới Delaunay thường; b)Dùng
lưới Delaunay thích nghi

-9-


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

2.3. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN BẬC CAO THÍCH NGHI
Phương pháp phần tử hữu hạn bậc cao thích nghi (hp-FEM) là trường hợp
tổng quát của Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp số dùng để giải
quyết phương trình vi phân riêng phần Ellipse bậc 2 (PDEs) dựa trên phép xấp xỉ đa
thức từng phần (piecewise) mà phép xấp xỉ này sử dụng các yếu tố của biến số về
kích thước (h) và bậc đa thức (p). Nguồn gốc của hp-FEM xuất phát từ cơng trình
nghiên cứu của Ivo Babuska là những người tiên phong đã phát hiện ra rằng phương
pháp phần tử hữu hạn hội tụ rất nhanh theo hàm mũ khi lưới được cải tiến, nghĩa là

sử dụng sự kết hợp thích hợp giữa h-cải tiến h-refinements (chia các phần tử thành
các phần tử nhỏ hơn) và p-cải tiến p-refinements (gia tăng bậc đa thức của chúng).
Sự hội tụ theo cấp số mũ làm cho phương pháp này hấp dẫn rất nhiều trong sự lựa
chọn so với hầu hết các phương pháp phần tử hữu hạn khác mà chúng chỉ hội tụ
theo tỉ lệ đại số. Sự hội tụ theo cấp số mũ của hp-FEM khơng chỉ dự đốn về mặt lý
thuyết mà còn được nhận xét bởi nhiều nhà nghiên cứu độc lập.
2.3.1 Hàm nội suy bậc cao
a. Khái niệm:
Hàm nội suy là phần vô cùng quan trọng trong phép phân tích phần tử hữu hạn.
Có khá nhiều hàm nội suy như là: Lagrange, Hierarchical, Lobatto, …. Trong phần
này, chúng tơi sẽ giới thiệu hàm hình dáng Lagrange bậc cao (Higher-Order
Lagrange shape functions).
Hàm ẩn u e ( x, y) có thể được xấp xỉ bởi một phần tử dưới dạng một đa thức thức bậc
cao hoàn chỉnh là:
n

u e ( x, y )   aie qi ( x, y )  a T q( x, y )

(2.4)

i 1

Trong đó:

n

( p  1)( p  2)
là số nút của mỗi phần tử;
2

q( x, y )  1 x y x 2 xy y 2 ... y p 

T

- 10


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

Hình 2.5. Đơn thức tam giác Pascal (trong miền 2D)

Hình 2.6. Đơn thức hình chóp Pascal (trong miền 3D)

b. Dạng hàm hình dáng bậc 1 (phần tử tuyến tính)
Từ phương trình (2.4), ví dụ là bậc 1 (p = 1), đa thức có thể có hệ số n = 3.
Chúng ta cần xem xét đến cấu trúc đa thức Lagrange tuyến tính bằng cách đặt lại
các nút tại đỉnh của phần tử tam giác, vì vậy ta có:
u e ( x, y )  a1e  a2e x  a3e y

(2.5)

- 11


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

Với 3 hệ số của chúng a ej , j  1, 2,3 có thể được xác định bằng cách thay vào
(2.5) tại 3 nút:
u1e ( x, y )  a1e  a2e x1  a3e y1

(2.6a)

u2e ( x, y )  a1e  a2e x2  a3e y2

(2.6b)

u3e ( x, y )  a1e  a2e x3  a3e y3

(2.6c)

u1e  1 x1
 e 
u2   1 x2
u3e  1 x3
 

y1   a1e 
 
y2   a2e 
y3   a3e 

(2.7)

Khi chúng được thay vào (2.4), có thể viết lại:
3

u e ( x, y )    ie ( x, y )uie

i  1, 2,3.

(2.8)

i 1

Với hàm nội suy được cho bởi:
ie ( x, y) 

Trong đó:

1
a e  a2ei x  a3ei y 
e  1i
2

i  1, 2,3.

(2.9)

a1ei  x ej yke  xke y ej ; a2ei  y ej  yke ; a3ei  xke  x ej

Khi đó
và  e 

(i, j , k )  (1, 2, 3), (2, 3,1) or (3,1, 2)

1
 a21a32  a22a31  là diện tích của phần tử tam giác eth.
2

Hình 2.7. Hàm hình dáng tuyến tính tại 3 đỉnh của tam giác

- 12


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

Hình 2.8. Hàm hình dáng của tồn miền

c. Dạng hàm hình dáng bậc 2 –[30]
Từ phương trình (2.4), ví dụ là bậc 2 (p = 2) đa thức có thể có hệ số n = 6.
Chúng ta cần xem xét đến cấu trúc đa thức Lagrange bậc 2 bằng cách đặt lại các nút
tại đỉnh và trung điểm của phần tử tam giác, vì vậy ta có:
u e ( x, y )  a1e  a2e x  a3e y  a4e x 2  a5e xy  a6e y 2

(2.10)

Với 6 hệ số của chúng a ej , j  1, 2,..., 6 có thể được xác định bằng cách thay vào
(2.10) tại 6 nút:
Khi chúng được thay vào (2.10), có thể viết lại:
6

u e ( x, y )    ie ( x, y )uie

i  1, 2,..., 6

(2.11)

i 1

Với hàm nội suy được cho bởi:

 ie   2 Lei  1 Lei



e
4

i  1, 2, 3

 4 L 1e L e2

(2.12a)
(2.12b)

 5e  4 Le2 Le3

(2.12c)



(2.12d)

e
6

 4 L e3 L 1e

Với:
Lei ( x, y) 

1
 a1ei  a2ei x  a3ei y 
2 e

i  1, 2,3

(2.13)

Trong đó: a1ei  x ej yke  xke y ej ; a2ei  y ej  yke ; a3ei  xke  x ej
Khi đó (i, j , k )  (1, 2,3), (2, 3,1) or (3,1, 2) .

- 13


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

Hình 2.9. Hàm hình dáng Lagrange bậc 2. a) Tại đỉnh 1e ; b) Của đường biên  e4

d. Dạng hàm hình dáng bậc 3

a)

b)

c)

Hình 2.10. Hàm hình dáng Lagrange bậc 3. a) Tại đỉnh 1e ; b) Của đường biên  e4 ;
e
c) Của trọng tâm 10

e. Xây dựng hàm nội suy
Để thuận tiện trong việc phân tích vật thể hình tam giác, một hệ tọa độ mới (L1,
L2 and L3) được định nghĩa bởi mối tương quan tuyến tính dưới đây giữa hệ tọa độ
mới này và hệ tọa độ Đê-cac (the Catersian coordinates system), mà nó có tên gọi là
tọa độ miền (area coordinates)
x  L1 x1  L2 x2  L3 x3

(2.14a)

y  L1 y1  L2 y2  L3 y3

(2.14b)

1  L1  L 2  L 3

(2.14c)

Trong phần này, trước tiên chúng ta hãy phân tích tỉ mỹ hàm Lei ( x, y ) đã được
định nghĩa. Xem xét điểm P(x,y) trong phần tử tam giác. Vùng diện tích của hình

- 14


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

tam giác được xác định bởi điểm P này và nút 2 & 3 là:
1 x
1
1  det 1 x2e
2

1 x3e

y
1
y2e    x2e y3e  x3e y2e  x  y2e  y3e   y  x3e  x2e  
2
y3e 

1 

1 e
e
e
a11  a21
x  a31
y

2

(2.15)

(2.16)

Hình 2.11. Tọa độ miền

Hình 2.12. Phần tử tam giác tổng quát

So sánh với (2.13), chúng ta thấy rằng:
L1e 

1
1
e
e
 e  a11e  a21
x  a31
y
e

2

(2.17a)

Le2 

2
1
e
e
 e  a12e  a22
x  a32
y
e
2


(2.17b)

Le3 

3
1
e
e
 e  a13e  a23
x  a33
y
e
2


(2.17c)

Vì việc lựa chọn điểm P hoàn toàn được xác định L1e , Le2 , Le3 , có thể dùng chúng
đảo ngược để xác định điểm bên trong phần tử tam giác. Vì vậy, L1e , Le2 , Le3 được gọi
là tọa độ miền hay tọa độ tự nhiên. Phương trình (2.17) có thể được rút gọn lại:

- 15


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

 L1e 
 a11e
1  e
 e
 L2   2 e  a21
e
 Le3 
 a31

 


a12e
e
a22
e
a32

a13e   1 
e  
a23
 x
e 
a33
  y 

(2.18)

Từ đó có thể thấy rằng:
1   1
 x    xe
   1
e
 y   y1

1
x2e
y

e
2

1   L1e 
 
x3e   Le2 
y3e   Le3 

(2.19)

Để xây dựng được hàm nội suy, chúng ta gán mỗi nút trong mỗi phần tử bằng
3 số nguyên I, J and K. Biểu thức của hàm nội suy  ie liên quan với nút i, có nhãn
(I, J, K), có thể được viết lại là:
 ie  PI p  L1e  PJp  Le2  PKp  Le3 

(2.20)

IJ K  p

Trong đó: PI p  L1e  , PJp  Le2  , PKp  Le3  là các đa thức được định nghĩa:
I 1

PI p  L1e   
p 0
J 1

PJp  Le2   
p 0

K 1

PKp  Le3   
p 0

pL1e  m 1 I 1
   pL1e  m 
I m
I ! p 0

I 0

(2.21a)

pLe2  m 1 J 1
   pLe2  m 
J m
J ! p 0

J 0

(2.21b)

pLe3  m 1 K 1

  pLe3  m 
K m
K ! p 0

K 0

(2.21c)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét một ví dụ cụ thể để minh họa ứng dụng của các
biểu thức (2.21).
f. Phần tử tuyến tính:
Chúng ta hãy xem xét phần tử tuyến tính, p = 1 và Pi1  Lei   Lei , P01  Lei   1 , ta có:
1e  P11  L1e  P01  Le2  P01  Le3   L1e

(2.22a)

 e2  P01  L1e  P11  Le2  P01  Le3   Le2

(2.22b)

 3e  P01  L1e  P01  Le2  P11  Le3   Le3

(2.22c)

g. Phần tử bậc 2:
Hãy xem xét phần tử bậc 2, p = 2 và

P22  Lei   Lei  2 Lei  1 , P12  Lei   2 Lei , P02  Lei   1

- 16


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
1e  P22  L1e  P02  Le2  P02  Le3   L1e  2 L1e  1

(2.23a)

 e2  P02  L1e  P22  Le2  P02  Le3   Le2  2 Le2  1

(2.23b)

 3e  P02  L1e  P02  Le2  P22  Le3   Le3  2 Le3  1

(2.23c)

 e4  P12  L1e  P12  Le2  P02  Le3   2 L1e 2 Le2  4 L1e Le2

(2.23d)

 5e  P02  L1e  P12  Le2  P12  Le3   2 Le2 2 Le3  4 Le2 Le3

(2.23e)

 e6  P1 2  L1e  P02  Le2  P1 2  Le3   2 L1e 2 Le3  4 L1e Le3

(2.23f)

h. Phần tử bậc 3:
Hãy xem xét phần tử bậc 3, p = 3 và
P33  Lei  

1 e
3
Li  3Lei  1 3Lei  2  , P23  Lei   Lei  3Lei  1 , P13  Lei   3Lei , P03  Lei   1
2
2

(2.24)

1e  P33  L1e  P03  Le2  P03  Le3  

1 e
L1  3L1e  1 3L1e  2 
2

(2.25a)

 e2  P03  L1e  P33  Le2  P03  Le3  

1 e
L2  3Le2  1 3Le2  2 
2

(2.25b)

3e  P03  L1e  P03  Le2  P33  Le3  

1 e
L3  3Le3  1 3Le3  2 
2

(2.25c)

e4  P23  L1e  P13  Le2  P03  Le3  

9 e

L1  3L1e  1 Le2
2

(2.25d)

5e  P13  L1e  P23  Le2  P03  Le3  

9 e e
L1 L2  3Le2  1
2

(2.25e)

 e6  P03  L1e  P23  Le2  P13  Le3  

9 e
L2  3Le2  1 Le3
2

(2.25f)

e7  P03  L1e  P13  Le2  P23  Le3  

9 e e
L2 L3  3Le3  1
2

(2.25g)

8e  P13  L1e  P03  Le2  P23  Le3  

9 e e
L1 L3  3Le3  1
2

(2.25h)

9e  P23  L1e  P03  Le2  P13  Le3  

9 e
L1  3L1e  1 Le3
2

(2.25i)

e
10
 P13  L1e  P13  Le2  P13  Le3   27 L1e Le2 Le3

(2.25j)

- 17


CHƯƠNG II: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ

2.4. BÀI TOÁN NHIỆT BENCHMARK
Để trình bày ứng dụng của phương pháp hp-FEM bài tốn nhiệt chuẩn,
phương trình dưới đây sẽ được kiểm tra:
k2T  x, y  Q  0,

x, y   [0,1]2

(2.26)

Trong đó, giả thiết rằng k = 1 và khơng có nguồn nhiệt từ bên trong, khi đó
các giá trị của hàm trên đường biên sẽ là:

T  x, y  0

x, y 1,

T  x, y
0
x
T  x, y  sin  x


x, y 2 ,
x, y 3,

T  x, y
0
x

x, y4 ,

(2.27)

Với:

1   x, y  : 0  x  1, y  0

2   x, y :0  y  1, x  1

3   x, y : 0  x  1, y  1

4   x, y  : 0  y  1, x  0

,

,

Lời giải giải tích của bài tốn nhiệt chuẩn được cho bởi:
T  x, y  

2



y

4



cos  2n x  sinh  2n y 

  4n

n1

2

1 sinh  2n 

(2.28)

Hình 2.13. Đồ thị đường đẳng nhiệt của bài toán nhiệt chuẩn.

- 18