Xây dựng chương trình thiết kế tối ưu kết cấu bằng matlab và c++ báo cáo tổng kết kết quả đề tài khoa học công nghệ cấp trường msđt t khud 2010 27

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
FOG

BÁO CÁO TỔNG KẾT KẾT QUẢ
ĐỀ TÀI KHCN CẤP TRƯỜNG

Tên đề tài:

Xây dựng chương trình thiết kế tối ưu kết cấu
bằng Matlab và C++

Mã số đề tài: T-KHUD-2010-27
Thời gian thực hiện: 01/04/2010 đến 01/04/2011
Chủ nhiệm đề tài:

TS. Vũ Cơng Hịa

Cán bộ tham gia đề tài: KS. Nguyễn Công Đạt
KS. La Hiếu Khương

Thành phố Hồ Chí Minh – Tháng 06/2012

0


MỤC LỤC
Trang
I. Giới thiệu chung về đề tài……………………………………………………....2
II. Khái quát về thiết kế tối ưu ...........................................................................................2
2.1. Tổng quan về tính tốn thiết kế kết cấu ..................................................................3

2.2. Phân loại tính tốn tối ưu kết cấu cơ học ................................................................4
2.3. Đặc điểm và các hướng đi tính tốn tối ưu kết cấu cơ học .....................................5
III. Cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn và thành lập ma trận độ cứng của
phần tử thanh......................................................................................................................6
3.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH). ......................................6
3.2. Trình tự phân tích bài tốn theo PP PTHH .............................................................8
IV. Lý thuyết tối ưu ..........................................................................................................8
4.1. Khái quát chung về lý thuyết tối ưu có ràng buộc ..................................................8
4.2. Các phương pháp giải bài tốn tối ưu có ràng buộc ...............................................9
V. Tối ưu thiết kế kết cấu hệ dàn bằng chương trình TRUSS ANALYSIS ....................12
5.1. Mơ hình tốn tối ưu kết cấu hệ dàn.......................................................................13
5.3. Chương trình TrussAnalysis .................................................................................19
VI. Kết luận và hướng phát triển .....................................................................................30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................................31

1


I. Giới thiệu chung về đề tài
Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, các phương pháp số trong tính
tốn cơ học ngày càng chứng tỏ sức mạnh và khả năng ứng dụng hiệu quả vào
thực tiễn.
Đề tài này được xây dựng với mục tiêu chủ đạo là kết hợp khả năng của máy
tính điện tử và tính ưu việt của phương pháp số, nhằm phục vụ cho q trình tính
tốn thiết kế các kết cấu cơ học khác nhau trong thực tế nhằm đạt được sự tối ưu
về chi phí độ bền vững dưới nhiều tác động khác nhau.
Chương trình tập trung khai thác chính vào dạng kết cấu hệ khung dàn trong
cơ học.Tùy vào cách sử dụng của người dùng, chương trình cho phép một cơng
cụ đắc lực hộ trợ cho việc thiết kế tối ưu.
Các giải pháp mà chương trình đưa ra chưa hẳn là tối ưu nhất nhưng chắc

chắn sẽ đem lại hiệu quả rõ rệt hơn so với ban đầu.
Chương trình được xây dựng bởi đề tài này là một thể hiện của hướng đi ứng
dụng các phương pháp số vào thực tiễn tính tốn, thiết kế kết hợp với lập trình
mơ phỏng. Một hướng đi vô cùng thú vị, cũng như đầy tiềm năng phát triển và
ứng dụng.
II. Khái quát về thiết kế tối ưu
Thực tiễn thiết kế và sản xuất bao gồm hai khối chính: khối tính tốn thiết kế
và khối tối ưu [12-13]. Khối tính tốn thiết kế có mục đích nhằm xác định các đặc
trưng và ứng xử của kết cấu dưới tác động của ngoại cảnh. Khối tính toán thiết kế
cung cấp các kết quả cụ thể của cơ hệ đang kiểm nghiệm cũng như các đặc trưng
về mặt cơ học của thiết kế có thể dự đốn ứng xử của hệ trong tương lai. Nó làm
căn cứ để đánh giá khả năng duy trì và phát triển của mơ hình. Khối tối ưu có
nhiệm vụ tối ưu kết cấu mơ hình thiết kế nhằm tăng hiệu quả đạt được, tăng độ tin
2


cậy độ bền vững, giảm bớt hao phí cũng như độ rủi ro hay biến cố có thẻ xảy ra.
Trong thực tiễn hiện nay, nó đóng vai trị quan trọng liên hệ trực tiếp với sản độ
an toàn xuất. Yêu cầu của khối này là hạ thấp chi phí sản xuất và tăng độ bền
cũng như độ an toàn.
2.1. Tổng quan về tính tốn thiết kế kết cấu
Khối thiết kế với sự hộ trợ của máy tinh đề cao tính tự động trong việc định
hướng cũng như thăm dò các phương án tác động thay đổi các thông số đầu vào,
cuối cùng là so sánh và lựa chọn phương án tối ưu.
Với sự trợ giúp của máy tính điện tử, khả năng tính tốn của chương trình
được hỗ trợ mạnh mẽ. Từ đó phép tính lặp sử dụng trong mơ hình thiết kế được
tận dụng đầy hiệu quả.
Hiện nay việc xây dựng cách thức hoạt động của thiết kế tự động đang được
nghiên cứu và phát triển song song với q trình xây dựng trí tuệ nhân tạo của
máy tính. Lý thuyết của khối thiết kế tự động dựa phần lớn vào việc xây dựng và

phát triển lý thuyết trí tuệ nhân tạo trên máy tính
Khối thiết kế tự động phải bao gồm được các yếu tố sau:
9 Sự mềm dẻo trong việc thu nhận mơ hình cần thiết kế
9 Sự mềm dẻo trong việc thu nhận các ràng buộc và yêu cầu đặc biệt của
người dùng
9 Sự mềm dẻo và tính chính xác trong tính tốn định hướng nhằm tìm ra
con đường tốt nhất cho bài tốn được đặt ra.
Q trình thiết kế tự động đơi lúc gặp bế tắc trong những trường hợp quá phức
tạp và có quá nhiều ràng buộc giữa các mơ hình trong bài tốn. Tuy nhiên với
những trường hợp có thể các chương trình tính tốn thiết kế thường đi theo hướng
tận dụng các yếu tố tối ưu có sẵn trong tự nhiên. Đó là những yếu tố được chọn
lọc rất khắt khe qua thời gian dài bởi tự nhiên [14].
3


Với việc tận dụng khả năng của phương pháp phần tử hữu hạn, các chương
trình tính tốn mơ phỏng hiện nay có được khả năng mạnh mẽ giải quyết được
nhiều mơ hình bài tốn khác nhau.Với đặc trưng là một phép tính xấp xỉ nhưng
phương pháp này có khả năng áp dụng vào nhiều mơ hình bài tốn khác nhau.
Bên cạnh khả năng tính tốn chính xác các chương trình hiện nay cịn có khả
năng tối ưu tĩnh nhằm mục đích đạt được sự tối ưu trong các vấn đề và chỉ tiêu
mong muốn. Lý thuyết tối ưu là các phương pháp số hoặc kết hợp với quy hoạch
toán học.

2.2. Phân loại tính tốn tối ưu kết cấu cơ học
Tối ưu hóa là một q trình tính tốn nhằm đạt được các yêu cầu đặt ra với chi
phí về trọng lượng, giá thành…Có thể được phân loại như sau:
Cách phân loại thứ nhất
9 phương pháp giải tích: dùng lý thuyết toán học, các phương pháp biến
phân.

9 phương pháp số: dùng các phương pháp quy hoạch tốn học, và q
trình hội tụ của kết quả.
Cách phân loại thứ hai
9 Phương pháp cổ điển: dựa trên thiết lập bài toán dưới dạng phương
trình tốn học, chọn trước một số các điều kiện ràng buộc tới hạn ở các
điểm tối ưu. Lời giải tối ưu khi các ràng buộc tới hạn xảy ra. Kĩ thuật
tính tốn, thiết kế để đạt được các u cầu đặt ra với chi phí thấp nhất

4


về trọng lượng, thể tích, ứng suất giá thành… nói cách khác thiết kế tối
ưu là thiết kế có hiệu quả nhất. Sau đây xin đưa ra hai cách phân loại:
9 Phương pháp tiêu chuẩn tối ưu: dùng phương pháp lặp. Mỗi lần lặp sẽ
thay đổi giá trị biến thiết kế cho đến khi tiêu chuẩn tối ưu đặt ra được
thỏa. Phương pháp này tùy thuộc vào ứng xử của kết cấu khơng đảm
bảo tính hội tụ của kết quả.
9 Phương pháp quy hoạch tốn học: một phương pháp tìm hướng bằng
phương pháp số, cực tiểu hóa hàm mục tiêu sao cho thỏa các ràng buộc
đó là đẳng thức hay bất đẳng thức.
Các vấn đề quan tâm:
9 Những thông số có thể được tối ưu bao gồm: kích thước cấu trúc, hình
dạng, vị trí liên kết, giá thành chế tạo….
9 Chương trình tính tốn hiện nay thường cung cấp hai phương pháp để
tối ưu hóa các vấn đề trong kỹ thuật đó là phương pháp bậc khơng và
phương pháp bậc một. Tùy thuộc vào yêu cầu của kết quả mà chọn
phương pháp thích hợp.
 
2.3. Đặc điểm và các hướng đi tính tốn tối ưu kết cấu cơ học
Một số đặc điểm của hệ cơ học:

9 Biến dạng chuyển vị của hệ được xem gần đúng và liên tục với chuyển
dịch bé.
9 Biến dạng chuyển dịch của hệ không liên tục với chuyển vị lớn hoặc
đến gần với biên ràng buộc
9 Hệ cơ học không xác định được hàm số f(x1,x2,x3….) với giá trị f là
các yêu cầu cần xác định (chuyển vị, biến dạng, ứng suất, phản

5


lực….). Các biến xi là các đặc trưng của hệ (vị trí, ngoại lực, ràng
buộc.
9 Dữ liệu đối với hệ chỉ bao gồm thông số đầu vào và kết quả thu được.
9 Kết quả của hệ phụ thuộc nhiều tham số là các biến đầu vào và các yếu
tố ảnh hưởng.
9 Các ràng buộc của hệ
ƒ Chuyển vị, phản lực biến dạng hoặc ứng suất của mọi phần tử, mọi
nút của hệ phải nằm trong giới hạn cho phép.
ƒ Ràng buộc đặc biệt của người dùng về quan hệ giữa các thành
phần và ràng buộc về hình học của người dùng.
III. Cơ sở lý thuyết của phương pháp phần tử hữu hạn và thành lập ma trận
độ cứng của phần tử thanh

3.1. Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH)[2, 15].
Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để
tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nó. Tuy nhiên
PPPTHH khơng tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền khảo sát mà chỉ thực
hiện trong từng miền con nằm trong miền khảo sát.
Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt các bài tốn vật lý và kĩ
thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều

vùng nhỏ có đặc tính hình học vật lý khác nhau chịu những điều kiện khác nhau.
Phương pháp này ra đời từ trực quan phâp tích kết cấu rồi được phát biểu một
cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư
có trọng số nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử.
Trong PP PTHH miền khảo sát được chia thành những miền con gọi là phần
tử. Các phần tử này được nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên phần
tử gọi la nút. Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong
6


một dạng hàm đơn giản được gọi là các hàm xấp xỉ. Và các hàm xấp xỉ này được
biểu diễn qua các giá trị của hàm tại các nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi
là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài tốn.
Với bài tốn cơ học vật rắn biến dạng và cơ cấu, tùy theo ý nghĩa vật lý của
hàm xấp xỉ người ta có thể phân tích bài tốn theo ba loại mơ hình sau:
9 Mơ hình tương thích: người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước
và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong
phần tử. Các ẩn số này được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên
cơ sở ngun lý thế năng tồn phần hay biến phân Lagrange.
9 Mơ hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của
ứng suất hay nội lực trong phần Các ẩn số được xác định gần đúng từ hệ
phương trình thiết lập trên nguyên lý năng lượng toàn phần hay nguyên
lý biến phân về ứng suất.
9 Mơ hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố
độc lập. Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả
chuyển vị và ứng suất trong phần tử. Các ẩn số được xác định từ hệ
phương trình dựa trên nguyên lý biến phân Reisner.
Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa
nhận được thì cũng có nghĩa ta tìm ra được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm
trong tất cả các phần tử. Và từ đó cũng tìm được các đại lượng cịn lại. Trong ba

mơ hình trên mơ hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả.

7


3.2. Trình tự phân tích bài tốn theo PP PTHH

Bước 1: Rời rạc hóa: miền khảo sát được chia thành một tập các phần tử đơn
giản.
Bước 2: Xây dựng phương trình phần tử, dựa vào bản chất vật lý của bài tốn sử
dụng các phương pháp điển hình.
Bước 3: Tập hợp, các phương trình cho mỗi phần tử trong lưới FEM được tập
hợp thành một phương trình tồn cục mơ tả hệ.
Bước 4: Áp dụng điều kiện biên,
Bước 5: Giải các biến chính tại các node.
Bước 6: Tính các biến liên quan dựa vào biến chính.

IV. Lý thuyết tối ưu [1]
4.1. Khái quát chung về lý thuyết tối ưu có ràng buộc
So với tối ưu khơng ràng buộc thì tối ưu có ràng buộc, có sự khác biệt khá
lớn bởi vì mục đích tìm của tối ưu có ràng buộc khơng tìm trên tồn cục nó chỉ
tìm trên miền được giới hạn bởi các ràng buộc. Tuy nhiên tối ưu có ràng buộc vẫn
sử dụng tối ưu khơng ràng buộc như là một bước trung gian trong quá trình tìm
8


giá trị tối ưu. Có nhiều phương pháp có thể tìm kết quả cho tối ưu có ràng buộc,
sau đây là một trong số đó. Mơ hình của tối ưu có ràng buộc
Dạng dưới đây là mơ hình tổng qt cho bài tốn tối ưu có ràng buộc:
minimize

f ( x)

subject to

g j ( x) ≤ 0, i = 1,..., p
hi ( x) = 0, i = 1,..., m

Với x là vector n chiều, f ( x) là hàm mục tiêu, g j ( x ) là ràng buộc
bất đẳng thức, hi ( x) là ràng buộc đẳng thức. Trong nhiều trường hợp ta sử
dụng g ( x ) = − g ( x ) để thuận lợi cho việc lập trình tính tốn.

4.2. Các phương pháp giải bài tốn tối ưu có ràng buộc
Trong vơ số phương pháp giải mơ hình tối ưu có ràng buộc, sau đây chỉ
tập trung vào một số phương pháp sau.
a. Phương pháp sử dụng hàm phạt
Phương pháp này có thể giải quyết cho bài toán tối ưu chịu đồng thời hai
ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Phương pháp này áp dụng cho giải thuật
tối ưu không ràng buộc với một hàm phạt dựa trên hàm mục tiêu và các ràng
buộc. Phương pháp hàm phạt được mô tả dưới dạng tổng quát sau:
minimize

P( x)

where

P( x, ρ , β ) = f ( x) + ∑ ρhi 2 ( x) + ∑ β j g j 2 ( x)

Các hệ số ρ , β xác định như sau
ρ >> 0

⎧⎪0

if g j ( x) ≤ 0

⎪⎩ ρ >> 0

if g j ( x) > 0

βj =⎨

9

m

p

i =1

j =1


Lúc này bài tốn trở về mơ hình tối ưu không ràng buộc. Tuy nhiên chúng
ta không thể giải trực tiếp vì giá trị ρ quá lớn dẫn đên sự khơng chính xác vì sự
hội tụ của ρ . Ta có thể sử dụng kỹ thuật sau để khắc phục điều này
Bước 1: Chọn sai số cho phép ε 1 = ε 2 = 10 −5 . Chọn giá trị ban đầu
x0 = 0, ρ0 = 1

Bước 2: Xác định giá trị xk * thông qua hàm penalty P( x0 , ρk )
Bước 3: Kiểm tra điều kiện hội tụ nếu xk * − xk −1* < ε1 và
P ( xk * ) − P ( xk −1* ) < ε 2 thì dừng lại, nếu thỏa thì ρk +1 = 10ρk và x0 = xk *

b. Phương pháp nhân tử Lagrange
Từ dạng tổng quát trên ta có thể chuyển đổi về dạng sau
Cực tiểu hóa hàm
m

p

i =1

j =1

L( x, w, u ) = f ( x) + ∑ wi hi ( x) + ∑ u j g j ( x)

Trong đó L( x, w, u ) được gọi là hàm Lagrange, và các hệ số w, u được gọi
là nhân tử Lagrange. Dựa hàm Lagrange này ta có thể chuyển đổi từ tối ưu có
ràng buộc về tối ưu không ràng buộc. Lợi thế của hàm lagrangre này là cho ta biết
được điều kiện cần cho lời giải tối ưu.
Trong trường hợp ràng buộc đẳng thức, bài toán được biểu diễn ở dạng
sau:
minimize

f ( x)

subject to

hi ( x) = 0, i = 1,..., m

Khi đó hàm Lagrange có dạng
m

L( x, w) = f ( x) + ∑ wi hi ( x)
i

Lúc đó điều kiện cần và đủ sẽ là
m

∆L = ∆f ( x) + ∑ wi ∆hi ( x) = 0
i

∂L
= hi ( x) = 0 i = 1, 2,..., m
∂wi

10


⎡ 2
2
⎢( ∇ f + ∑ wi ∇ hi )n×n
⎢
H L ( x*, w*) = ⎢
T
⎢⎛ ∂h j ⎞
⎢⎜ ∂x ⎟
⎣⎝ i ⎠ m×n

⎛ ∂h j ⎞ ⎤
⎜
⎟ ⎥

⎝ ∂xi ⎠ n×m ⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎦ ( n + m )×( m + n )

i = 1, 2,..., n
j = 1, 2,..., m

Với H L ( x* , w* ) là đạo hàm bậc hai của x và w
Chú ý rằng:

H L ( x* , w* ) xác định dương thì x* là cực tiểu địa phương

H L ( x* , w* ) xác định âm thì x* là cực đại địa phương

Trong trường hợp ràng buộc bất đẳng thức, bài toán được biểu diễn ở dạng
sau:
minimize
subject to

f ( x)
g j ( x) ≤ 0, j = 1,..., p

Lúc này ta phải chuyển ràng buộc bất đẳng thức về dạng đẳng thức theo
quan hệ sau
gi(x) + si2 = 0 với Si (i=1,…,p) là các biến phụ thuộc. Khi đó hàm
lagrange sẽ là
L = f ( x ) + ∑ ui ( g i ( x ) + si2 )

i

áp đặt điều kiện cần cho hàm Lagrange trên:
∇Lx = ∇f ( x) + ∑ ui ∇g i ( x) = 0
i

∇Ls = ui si = 0
∇Lu = g i ( x) + si2 = 0
i = 1, 2,..., p

Lúc này ta khảo sát quan hệ giữa ui và gi
Nếu si = 0, thì gi(x) = 0 ngược lại si ≠ 0, thì gi(x) < 0.
Với L ( x* , u * , s* ) = f ( x* ) → ui ⎡⎣ g i ( x ) + si 2 ⎤⎦ = 0
Suy ra khi
⎫
⎧⎪ui = 0
si ≠ 0 ⇒ ⎨
⎪
⎩⎪ g i ( x ) < 0 ⎪
⎬ ⇒ ui g i ( x ) = 0
⎧⎪ui ≠ 0
⎪
si = 0 ⇒ ⎨
⎪
⎪⎩ g i ( x ) = 0 ⎭

11


Với hai mơ hình ràng buộc được khảo sát trên, ta có thể đưa ra điều kiện

cần và đủ cho bài toán tổng quát
minimize
subject to

f ( x)
g j ( x) ≤ 0, j = 1,..., p
hi ( x) = 0, i = 1,..., m
m

p

i =1

j =1

L( x, w, u ) = f ( x) + ∑ wi hi ( x) + ∑ u j g j ( x)

Điều kiện cần Karush-Kuhn-Tucker (KKT)
m

p

i =1

j =1

∇f ( x) + ∑ wi∇hi ( x) + ∑ u j ∇g j ( x) = 0

ui g j ( x ) = 0 j = 1,…, p
uj ≥ 0

hi ( x ) = 0
g j ( x) ≤ 0

i = 1,…, m
j = 1,…, p

Điều kiện đủ
H L ( x* , w* , u * ) xác định dương thì x* là cực tiểu địa phương
H L ( x* , w* , u * ) xác định âm thì x* là cực đại địa phương

Với H L ( x* , w* , u * ) là ma trận hessian của hàm lagrange với các biến
x* , w* , u*

V. Tối ưu thiết kế kết cấu hệ dàn bằng chương trình TRUSS ANALYSIS
Trong đề tài nghiên cứu này, quá trình tối ưu kết cấu được thảo luận. Đề tài
này đã xây dựng được chương trình tối ưu hệ giàn bằng MATLAB [17]. Qua đó
việc so sánh giữa thiết kế ban đầu và chương trình sẽ đưa ra một hướng tiếp cận
mới về thiết kế tối ưu.
Quá trình thiết kế bao gồm hai quá trình, thiết kế ban đầu và tối ưu kết cấu.
Quá trình thiết kế ban đầu nhấn mạnh hay nói cách khác đảm bảo kết cấu được
đứng vững. Quá trình tối ưu nhấn mạnh việc tìm hướng thiết kế tốt nhất nhưng
vẫn đảm bảo được sự cứng vững của kết cấu. Tuy nhiên, với một kết cấu thì có
nhiều khía cạnh được cải thiện.
12


5.1. Mơ hình tốn tối ưu kết cấu hệ dàn
Mơ hình tốn cho bài tốn tối ưu két cấu hệ dàn, với những ràng buộc về
độ võng và ứng suất được phát biểu như sau:

Cực tiểu hóa :
n

w = ∑ ρ Ai Li
i =1

Rằng buộc:
σ i ≤ [σ i ] (i1 = 1, 2,3,..., n1 )
1

δ j ≤ [δ j ] ( j = 1, 2,3,..., m)
σ i ≤ [σ cr ] (i2 = 1, 2,3,..., n2 )
2

Ai min ≤ Ai ≤ Ai max

Trong đó:
w là tổng khối lượng của cả hệ dàn, ở đây w được xem là hàm mục

tiêu.
ρ là khối lượng riêng của vật liệu
Li là chiều dài của thanh thứ i
A = [ A1 , A2 ,..., An ] là vector diện tích mặt cắt ngang của tất cả các

thanh trong hệ. A là biến thiết kế của hệ
σ i và [σ i ] lần lượt là vector ứng suất kéo trong thanh và ứng suất
1

cho phép trong thanh.
σ i và [σ cr ] lần lượt là vector ứng suất nén trong thanh và ứng suất

2

tới hạn cho phép trong thanh.
δ j , [δ j ] là các chuyển vị nút và chuyển vị cho phép tại nút.
Ai min , Ai max là vector diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của các thanh

trong hệ.
n, n1 , n 2 , m lần lượt là tổng số thanh của hệ, số thanh chịu kéo, số

thanh chịu nén và tổng số nút của hệ.
13


a. Hiệu chỉnh mơ hình tối ưu
Dựa trên phương pháp hàm phạt, ta hiệu chỉnh mơ hình tối ưu như sau:
Cực tiểu hóa :
n

w = ∑ ρ Ai Li
i =1

Rằng buộc:

gi1 = σ i1 − [σ i ] ≤ 0 (i1 = 1, 2,3,..., n1 )
g j = δ j − [δ j ] ≤ 0( j = 1, 2,3,..., m)
gi2 = σ i2 − [σ cr ] ≤ 0 (i2 = 1, 2,3,..., n2 )
Ai min ≤ Ai ≤ Ai max

Trở thành
Cực tiểu hóa :

n2
m
⎛ n1
⎞
2
2
P ( x, ρ ) = w( x ) + ρ ⎜ ∑ δ i1 g i1 ( x ) + ∑ δ j g j ( x ) + ∑ δ i2 g i2 2 ( x ) ⎟
j =1
i2 =1
⎝ i1 =1
⎠

Trong đó:
⎧1 ( g > 0)
⎩0 ( g ≤ 0)

δ =⎨

b. Tối ưu tiết diện và hình học kết sử dụng thuật tốn mơ phỏng luyện kim
Như ta đã biết khi đốt nóng các phân tử của thủy tinh hoặc kim loại
chuyển động tự do, nhiệt độ là thước đo mức năng lượng trong từng phần tử cũng
như toàn bộ hệ thống. Nếu như nhiệt độ giảm nhanh chóng, các phần tử ấy sẽ
đông đặc lại như một kết cấu phức hợp. Tuy nhiên nếu nhiệt độ giảm chậm hơn
thì dạng tinh thể của chúng sẽ mịn hơn nhiều. Trong trường hợp này những phần
tử của các tinh thể rắn ấy ở trạng thái năng lượng cực tiểu. Năm 1983, S.
Kirkpatrick, C. D. Gelatt và M. P. Vecchi [16], đã mô phỏng lại quá trình tự
nhiên xảy ra với mạng tinh thể của thủy tinh hoặc kim loại khi làm nguội để tìm
nghiệm tối ưu, do vậy phương pháp được đề xuất có tên là Mơ phỏng luyện kim
(SA).
Vấn đề tối ưu hóa cấu trúc bao hàm việc tìm kiếm lời giải tối ưu của một

hàm mục tiêu đã nêu chịu sự ràng buộc khác nhau như ứng suất và biến dạng, và
14


cũng có bị hạn chế bởi kích thước tối thiểu, hoặc kích thước của các thành phần
của cấu trúc. Nếu biến thiết kế có thể được liên tục bài được gọi là liên tục, trong
khi nếu các biến thiết kế đại diện cho một lựa chọn từ một tập hợp của các bộ
phận, vấn đề được xem là rời rạc.
Thuật tốn mơ phỏng luyện kim được phát triển nhằm giải quyết các bài
toán tối ưu cỡ lớn, dựa trên nguyên tắc xác suất thống kê do đó thuật tốn này giải
quyết vấn đề bế tắc trong tìm kiếm cực tiểu tồn cục. Ngun tắc của thuật tốn
này là ln chấp nhận một “phương án” mới, nếu phương án đó tốt hơn phương
án hiện tại. Tuy nhiên, nếu phương án mới “xấu” hơn phương án hiện tại, phương
án mới sẽ chỉ được chấp nhận với một xác suất xác định. Xác suất này giảm dần
theo thời gian trong quá trình làm mát.

15


Sơ đồ giải thuật mô phỏng luyện kim
START

X = X 0 , T = T0

X ′ = rand ( X )
∆f = f ( X ) − f ( X ′ )

NO
NO

∆f ≥ 0

rand () < e

YES

YES

X = X′

iter=iter+1
VÒNG LẶP NỘI

T = αT

NO

∆f
T

iter < imax
YES
VỊNG LẶP NGOẠI

STOP

Hình 1: Sơ đồ giải thuật mơ phỏng luyện kim
Dựa trên tính hiệu quả của thuật tốn mơ phỏng luyện kim và phương
phương pháp hàm phạt cho ta một hướng tiếp cận mới trong bài toán tối ưu kết
cấu.

16


5.2. Ví dụ minh họa
a. Bài tốn 10 thanh

Hình 2: Sơ đồ kết cấu bài toán 10 thanh
Ba giải pháp được trình bày trong bảng1: TRUSS ANALYSIS, Auer [9],
Romero [8] và Uri Kirsch [10]. Mỗi giải pháp trình bày diện tích tối ưu và
ứng suất tối ưu. Ứng với lời giải được trình bày bởi Romero (2004) có
khối lượng thấp hơn lời giải khác, nhưng vi phạm ràng buộc ứng suất.
Bảng 1
Diện tích (in2)

Auer [9]

A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
Khối Lượng(lb)

7.9324

0.1
8.0678
3.9323
0.1
0.1
5.7527
5.5611
5.5611
0.1164
1593.42

Romero [8] Uri Kirsch TrussAnalysis
[10]
7.9378
7.94
7.9379
0.1
0.1
0.1
8.0621
8.06
8.0621
3.9378
3.94
3.9379
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1

0.1
5.7447
5.75
5.7448
5.5689
5.57
5.5690
5.5689
5.57
5.5690
0.1
0.1
0.1
1593.16
1593.4
1593.2
17


b. Mơ hình bài tốn 18 thanh

Hình 3: Sơ đồ kết cấu bài toán 18 thanh

18


Bảng 2
Biến thiết
kế
A1

A2
A3
A5
X3
Y3
X5
Y5
X7
Y7
X9
Y9
Khối lượng

Hasancebi,
Erbatuer
[11]
13
18.25
5.5
3.0
913
182
648
152
417
103
204
39
4566.21

Kaveh,
Kalatjariv [7]

TRUSS
Analysis

12.5
18.25
5.5
3.75
933
188
658
148
422
100
205
32
4574.28

12.6846
18.00
5.25
3.25
986.372
228.1423
723.6344
184.6376
387.6808
96.5803

214.4261
38.8884
4509.0

5.3. Chương trình TrussAnalysis
a. Giới thiệu chung về chương trình
Với mong muốn xây dựng một chương trình tính để phục vụ cho việc
nghiên cứu tối ưu kết cấu được hiệu quả, đề tài này đã sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn làm cơ sở, lý thuyết tối ưu và kết hợp với ngơn ngữ
lập trình Matlab để xây dựng một giao diện người dùng để tính một số bài
tốn tiêu biểu của tối ưu kết cấu

19


Hình 4: Giao diện chính của chương trình
Chương trình Truss-Analysis được trình bày theo dạng menu, rất thân thiện
với người dùng, bao gồm các menu sau:
- Structure : Tab structure dùng để thiết lập mơ hình hình học cho kết cấu,
bao gồm định nghĩa node và phần tử cũng như thơng số gắn liền với phần
tử : diện tích mặt cắt ngang và module đàn hồi. Tuy nhiên, khi định nghĩa
node chương trình cũng yêu cầu định nghĩa ràng buộc cho node tùy từng bài
toán.

20


Số node
của kết cấu
Điều kiện biên

tại node j

Node thứ j và tọa
độ tương ứng

Hình 5 : Giao diện định nghĩa node cho mơ hình tính

Số phần tử
của kết cấu
Module đàn hồi và diện
tích của từng phần tử

Phần tử thứ i và
kết nối tương ứng

Hình 6: Giao diện định nghĩa phần tử cho mơ hình tính
- LoadCases : Tab loadcases cho phép định nghĩa và hiệu chỉnh tải cho mơ
hình tính

Node thứ j và tải
trọng tương ứng

Hình 7: Giao diện định nghĩa phần tử cho mơ hình tính
21


- Run : Tab run cho phép ta định nghĩa kiểu phân tích, và phương pháp giải.

Kiểu phân tích
Phương pháp giải

Kiểu phân tích bao gồm thiết kế tĩnh (sử dụng trong tiền tối ưu) và tính
tốn tối ưu.

Kiểu tối ưu

Ràng buộc tối ưu

Hình 8: Giao diện định nghĩa thơng số cho quá trình tối ưu.
-

Result : Tab Result, cho ta xem kết quả của q trình tính tĩnh dưới dạng

file text. Trong trường hợp tính tốn tối ưu, để xem kết quả, vảo result trong tab

22


optimization.

Xem kết quả tối ưu

- View : Tab view, cho ta xem mơ hình tính ứng suất trên giao diện đồ họa.
- Và một số Icon rút ngắn quá trình nhập liệu, như nhập bằng file text và
Excel.

Input mơ hình tính
bằng File Text

Input mơ hình tính

bằng Excel

Hình 9: Giao diện định nghĩa node sử dụng Excel để input

23


Hình 10: Giao diện định nghĩa phần tử sử dụng Excel để input

Hình 11: Giao diện định nghĩa tải sử dụng Excel để input

Hình 12: Giao diện định nghĩa node sử dụng Notepad để input
24