Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (438.38 KB, 28 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI </b>
<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN </b>
---
<b>TẠ NGỌC ÁNH </b>
<b>MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ </b>
<b>PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN </b>
<b>LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI </b>
<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN </b>
---
<b>TẠ NGỌC ÁNH </b>
<b>MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ </b>
<b>PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN</b>
Chun ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 62 46 15 01
<b>LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC</b>
<b>NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC </b>
<b>GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Mục lục
Lời cam đoan
i
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
iv
Mở đầu
1
1. Kiến thức chuẩn bị
6
1.1
Các khái niệm cơ bản . . . .
6
1.2
Ánh xạ đa trị . . . .
7
1.3
Toán tử ngẫu nhiên . . . .
9
1.4
Một số kết quả về điểm bất động cho toán tử tất định
.
12
2. Phương trình tốn tử ngẫu nhiên
16
2.1
Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị . . . .
16
2.2
Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị . . . .
28
3. Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên
34
3.1
Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị . . . .
35
3.2
Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị
. . . .
43
3.3
Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . .
48
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
Kết luận và kiến nghị
69
Các kết quả chính của luận án . . . .
69
Những nghiên cứu tiếp theo . . . .
69
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án
70
Tài liệu tham khảo
71
Chỉ số
81
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
MỞ ĐẦU
Phương trình tốn tử ngẫu nhiên là một trong các hướng nghiên cứu
của lý thuyết tốn tử ngẫu nhiên. Đó là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý
thuyết phương trình tốn tử tất định. Trong vịng 60 năm trở lại đây,
hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học và thu được nhiều kết quả. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt
được của lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên tập trung vào một
trường hợp riêng là lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Các nghiên cứu
về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được khởi đầu bởi O.
Hans và A. Spacek trong những năm 1950. Họ đã chứng minh định lý
điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là phiên bản ngẫu
nhiên của ngun lý ánh xạ co Banach. Sau các cơng trình của Spacek
và Hans, nhiều tác giả đã thành công trong việc chứng minh phiên bản
ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động nổi tiếng khác hoặc mở rộng
các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có. Vào những năm 1990,
một số tác giả như H. K. Xu, K. K. Tan, X. Z. Yuan đã chứng minh các
định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đó các tác giả đã chỉ
ra rằng với một số điều kiện nào đó, nếu các quỹ đạo của tốn tử ngẫu
nhiên có điểm bất động tất định thì tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất
động ngẫu nhiên. Gần đây, một số tác giả như N. Shahzad, D. O’Regan,
R. P. Agarwal đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng
quát mở rộng các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó phiên
bản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã
được chứng minh. Tuy nhiên, một điều đáng chú ý là: Trong các định lý
điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện các tác giả đặt lên các
toán tử ngẫu nhiên và các không gian thường khá phức tạp.
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
tổng quát hiện có. Theo kết quả mà chúng tôi đạt được, mỗi định lý
điểm bất động cho tốn tử tất định sẽ có một phiên bản tương ứng cho
tốn tử ngẫu nhiên.
Tốn tử ngẫu nhiên có thể được xem như một ánh xạ biến mỗi phần
tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong
không gian metric. Mỗi phần tử của không gian metric có thể được xem
như một biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất
1. Từ cách quan niệm như vậy, ta coi không gian metric X như tập con
(gồm các biến ngẫu nhiên suy biến) của không gian các biến ngẫu nhiên
X-giá trị LX
0 (Ω). Với f là một toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X,
chúng ta có thể xây dựng được một ánh xạ Φ từ LX0(Ω) vào LX0(Ω) mà
hạn chế của Φ trên X trùng với f và f có điểm bất động ngẫu nhiên khi
và chỉ khi Φ có điểm bất động. Dựa trên thực tiễn đó cùng với các kết
quả về điểm bất động của ánh xạ trong không gian metric xác suất, O.
Hadzic và E. Pap đã có những liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất
động của toán tử ngẫu nhiên. Từ ý tưởng của bài toán mở rộng miền
xác định của toán tử ngẫu nhiên và các kết quả của Hadzic và Pap,
chúng tơi đưa ra khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, trong đó ánh
xạ mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến
ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric. Bước đầu, chúng tôi
đã chứng minh được một số kết quả về điểm bất động của tốn tử hồn
tồn ngẫu nhiên dựa trên các tính tốn thuần túy xác suất mà khơng
sử dụng các công cụ của lý thuyết không gian metric xác suất. Chúng
tôi cũng nhận được các kết quả tương tự như của Hadzic và Pap. Điều
đáng chú ý là, các kết quả về điểm bất động của tốn tử hồn tồn ngẫu
nhiên không dễ dàng suy ra từ các kết quả về điểm bất động của toán
tử tất định.
Nội dung của luận án liên quan đến các kết quả nghiên cứu về phương
trình tốn tử ngẫu nhiên và điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên. Luận
án gồm 3 chương.
Chương 1 thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày một số kết
quả của các tác giả khác mà được sử dụng trong phần sau của luận án.
Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về phương
trình tốn tử ngẫu nhiên. Nội dung chính của chương này là các định lý
về sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình tốn tử ngẫu nhiên.
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
bày. Trong chương này chúng tôi cũng đưa ra khái niệm tốn tử hồn
tồn ngẫu nhiên và chứng minh một số định lý điểm bất động cho tốn
tử đó.
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Đặng
Hùng Thắng. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới
GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng dẫn và chỉ bảo
tác giả trong suốt nhiều năm qua.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cơ trong Khoa Tốn Cơ
-Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tác giả nhiều tài
liệu bổ ích.
Tác giả xin cảm ơn các thầy trong Hội đồng cấp cơ sở đã có nhiều ý
kiến đóng góp quý báu.
Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên,
đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kết
quả nghiên cứu.
Tác giả xin cảm ơn các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong cơ quan
Học viện Kỹ thuật Quân sự và Đoàn 871 Bộ Quốc Phòng đã tạo điều
kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, đã hỗ trợ kinh phí
cho chúng tơi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn các thành viên của đại gia
đình, đã luôn động viên, chia sẻ và là chỗ dựa vững chắc về mọi mặt.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại, thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày
một số kết quả của các tác giả khác mà chúng tôi sử dụng trong các
phần sau của luận án.
1.1
Các khái niệm cơ bản
Cho X là một không gian metric, σ-đại số Borel B(X) của X là σ-đại
số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X. Trong suốt luận án, khi nói
đến σ-đại số các tập con của khơng gian metric chúng ta hiểu đó là σ-đại
số Borel. Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là không gian
Polish. Cho (X, A) và (Y, B) là các khơng gian đo được. Khi đó, σ-đại
số trên X × Y ký hiệu bởi A ⊗ B, được xác định là σ-đại số nhỏ nhất
chứa các tập A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B.
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
X được ký hiệu bởi 2X<sub>, họ các tập con đóng khác rỗng của X được ký</sub>
hiệu bởi C(X), họ các tập con đóng, khác rỗng và bị chặn của X được
ký hiệu bởi CB(X). Khoảng cách giữa hai tập con khác rỗng A, B của
X được xác định bởi
d(A, B) = inf{d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.
Khoảng cách từ điểm a ∈ X đến tập B ⊂ X được xác định bởi d(a, B) =
inf{d(a, b)|b ∈ B}. Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đóng A, B ∈
C(X) được xác định bởi
H(A, B) = max{sup
a∈A
d(a, B), sup
b∈B
d(b, A)}.
Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh
xạ ξ : Ω → X gọi là A-đo được nếu
ξ−1(B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ A
với mọi B ∈ B(X). Nếu (Ω, A, P ) là không gian xác suất, ξ : Ω → X là
ánh xạ A-đo được thì ξ được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong X hay biến ngẫu nhiên X-giá trị . Tập hợp các biến ngẫu nhiên
X-giá trị được ký hiệu là LX0 (Ω).
1.2
Ánh xạ đa trị
Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh xạ
đa trị F : Ω → 2X <sub>gọi là A-đo được nếu</sub>
F−1(B) = {ω ∈ Ω|F (ω) ∩ B 6= ∅} ∈ A
với mọi B là tập con mở của X. Đồ thị của ánh xạ F là một tập con
của Ω × X được xác định bởi
Gr(F ) = {(ω, x)|ω ∈ Ω, x ∈ F (ω)}.
Ánh xạ u : Ω → X gọi là một hàm chọn của ánh xạ đa trị F : Ω → 2X
nếu u(ω) ∈ F (ω) với mọi ω ∈ Ω.
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
a) F là A-đo được;
b) Với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω 7→ d(x, F (ω)) là A-đo được;
c) Gr(F ) là tập A ⊗ B(X)-đo được.
Khi đó, ta có a) ⇔ b) ⇒ c).
Định lý 1.2.2 (C. J. Himmelberg). Cho (Ω, A, P ) là không gian xác
suất, X là không gian Polish và F : Ω → 2X <sub>là ánh xạ đa trị. Nếu</sub>
Gr(F ) là tập A ⊗ B(X)-đo được thì tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị
ξ : Ω → X sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c.
1.3
Toán tử ngẫu nhiên
Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.
Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫu
nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω 7→ f (ω, x) là
một biến ngẫu nhiên Y -giá trị. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X được
gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R được
gọi là hàm ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3.4. Cho f, g : Ω × X → Y là hai tốn tử ngẫu nhiên.
Toán tử ngẫu nhiên f gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu
với mọi x ∈ X ta có f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c., trong đó tập các ω mà
f (ω, x) 6= g(ω, x) nhìn chung phụ thuộc vào x.
Định nghĩa 1.3.5. Ánh xạ T : Ω × X → 2Y <sub>được gọi là toán tử ngẫu</sub>
nhiên đa trị từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ đa trị
ω 7→ T (ω, x) là A-đo được.
Định nghĩa 1.3.6. Cho f : Ω × X → Y là tốn tử ngẫu nhiên, T :
Ω × X → 2Y là tốn tử ngẫu nhiên đa trị. Khi đó, với mỗi ω ∈ Ω, các
ánh xạ x 7→ f (ω, x) và x 7→ T (ω, x) tương ứng được gọi là quỹ đạo của
f và T tại ω.
Định nghĩa 1.3.7. 1. Tốn tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi
là đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là A ⊗ B(X)-đo được.
2. Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → 2Y <sub>được gọi là đo được</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
3. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với
mỗi ω quỹ đạo f (ω, .) của f là toán tử liên tục từ X vào Y .
4. Toán tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → C(Y ) được gọi là liên tục
nếu với mỗi ω quỹ đạo T (ω, .) của T là toán tử liên tục từ X vào
C(Y ) (với khoảng cách Hausdorff trên C(Y )).
5. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz nếu với
mỗi ω quỹ đạo f (ω, .) là toán tử Lipschitz, nghĩa là tồn tại số thực
L(ω) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤ L(ω)d(x, y).
6. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán
tử Lipschitz với L(ω) ∈ [0; 1) với mọi ω.
Định lý 1.3.9 (C. J. Himmelberg). Cho X, Y là các khơng gian Polish
và f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó, f là tốn tử
ngẫu nhiên đo được. Hơn nữa, nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì
ánh xạ ω 7→ f (ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị.
1.4
Một số kết quả về điểm bất động cho
toán tử tất định
Trong phần này chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản liên quan đến
toán tử tất định.
Định nghĩa 1.4.1. Cho X là khơng gian metric, C là tập con đóng của
X.
1. Ánh xạ f : C → X gọi là có điểm bất động nếu tồn tại phần tử
x ∈ C sao cho f (x) = x. Ta gọi x là điểm bất động của f .
2. Hai ánh xạ f, g : C → X gọi là có điểm bất động chung nếu tồn
tại phần tử x ∈ C sao cho f (x) = g(x) = x. Ta gọi x là điểm bất
động chung của f và g.
3. Ánh xạ đa trị T : C → 2X <sub>gọi là có điểm bất động nếu tồn tại</sub>
phần tử x ∈ C sao cho x ∈ T (x). Ta gọi x là điểm bất động của T .
4. Hai ánh xạ đa trị S, T : C → 2X <sub>gọi là có điểm bất động chung</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
5. Ánh xạ đơn trị f : C → X và ánh xạ đa trị T : C → 2X <sub>gọi là có</sub>
điểm trùng nhau nếu tồn tại phần tử x ∈ C sao cho f (x) ∈ T (x).
Ta gọi x là điểm trùng nhau của f và T .
Định nghĩa 1.4.4. Cho (X, d) là không gian metric. Các ánh xạ f :
X → X và T : X → CB(X) gọi là tương thích nếu với mọi x ∈ X ta có
f (T (x)) ∈ CB(X); đồng thời, H(T (f (xn)), f (T (xn))) → 0 với mọi dãy
(xn) trong X sao cho T (xn) → M ∈ CB(X) và f (xn) → x0∈ M .
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN
Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về phương
trình tốn tử ngẫu nhiên. Nội dung chính của chương này là các định
lý về sự tương đương giữa tồn tại nghiệm ngẫu nhiên và tồn tại nghiệm
tất định của phương trình tốn tử ngẫu nhiên. Một số điều kiện đủ để
phương trình tốn tử ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên cũng được đưa ra.
2.1
Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn
trị
Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.
Định nghĩa 2.1.1. Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị là phương
trình có dạng
f (ω, x) = g(ω, x) (2.1)
trong đó f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên (đã biết) từ X
vào Y . Để đơn giản, ta gọi phương trình tốn tử ngẫu nhiên đơn trị là
phương trình ngẫu nhiên.
Ngồi phương trình ngẫu nhiên dạng tổng quát (2.1), chúng ta cũng
xét một số phương trình ngẫu nhiên dạng đặc biệt. Khi vế phải của (2.1)
là biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong Y ta có phương trình
f (ω, x) = η(ω). (2.2)
Khi X là không gian Banach khả ly, ta có thể xét phương trình ngẫu
nhiên có nhiễu dạng
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
Định nghĩa 2.1.2. 1. Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm tất
định với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi
ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho
f (ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)).
Khi đó, ta gọi u(ω) là nghiệm tất định của phương trình (2.1).
2. Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại
biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho
f (ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c.
Khi đó, ta gọi ξ là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (2.1).
Ta nhận thấy rằng nếu biến ngẫu nhiên ξ là nghiệm ngẫu nhiên của
phương trình (2.1) thì ξ(ω) cũng là nghiệm tất định của (2.1) với hầu
hết ω. Do vậy, một phương trình ngẫu nhiên nếu có nghiệm ngẫu nhiên
thì nó có nghiệm tất định với hầu hết ω. Tuy nhiên, điều ngược lại chưa
chắc đúng.
Ví dụ 2.1.3. Cho Ω = [0; 1] và σ-đại số A gồm tất cả các tập con A ⊂ Ω
có tính chất: A là tập đếm được hoặc Ω \ A là tập đếm được. Độ đo xác
suất P trên A xác định bởi:
P (A) =
(
0 nếu A đếm được
1 nếu A khơng đếm được.
Khi đó, (Ω, A, P ) là một không gian xác suất đầy đủ. Xét X = [0; 1].
Hai toán tử ngẫu nhiên f, g : Ω × X → X xác định bởi:
f (ω, x) =
(
x nếu ω = x
1 nếu ω 6= x và g(ω, x) =
(
x nếu ω = x
0 nếu ω 6= x.
Ta nhận thấy, với mỗi ω ∈ Ω, ξ(ω) = ω là nghiệm tất định duy nhất
của phương trình f (ω, x) = g(ω, x). Tuy nhiên, ξ khơng là biến ngẫu
nhiên vì với B = [0; 1/2) ∈ B(X) ta có ξ−1(B) = B = [0; 1/2) /∈ A (do
cả B và Ω \ B đều khơng đếm được). Do vậy, phương trình ngẫu nhiên
f (ω, x) = g(ω, x) khơng có nghiệm ngẫu nhiên.
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f (ω, x) = g(ω, x)
có nghiệm duy nhất thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu
nhiên duy nhất.
Hệ quả 2.1.5. Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω×X → Y là
hai tốn tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó, phương trình f (ω, x) = g(ω, x)
có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó có nghiệm tất định với hầu hết
ω.
Hơn nữa, nếu với hầu hết ω, phương trình tất định f (ω, .) = g(ω, .)
có nghiệm duy nhất thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu
nhiên duy nhất.
Từ Định lý 2.1.4 và các kết quả về toán tử tất định ta có:
Định lý 2.1.6. Cho X là khơng gian Hilbert khả ly, f : Ω × X → X là
tốn tử ngẫu nhiên liên tục và thỏa mãn: Tồn tại biến ngẫu nhiên m(ω)
nhận giá trị dương sao cho với mọi x1, x2∈ X ta có
f (ω, x1) − f (ω, x2), x1− x2 ≥ m(ω)||x1− x2||2 h.c.c. (2.4)
Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong X, phương trình
ngẫu nhiên f (ω, x) = η(ω) có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất.
Ngoài ra, nếu tồn tại ánh xạ L : Ω → (0; ∞) sao cho với mọi x1, x2∈
X ta có kf (ω, x1) − f (ω, x2)k 6 L(ω)kx1− x2k h.c.c. thì dãy biến ngẫu
nhiên (xn) xác định bởi
xn+1(ω) = xn(ω) − α(ω)[f (ω, xn(ω)) − η(ω)]
hội tụ h.c.c. về nghiệm của phương trình f (ω, x) = η(ω) với mọi xấp xỉ
ban đầu là biến ngẫu nhiên x0 nhận giá trị trong X và α là biến ngẫu
nhiên nhận giá trị thực sao cho 0 < α < 2m/L2 <sub>h.c.c.</sub>
Định lý 2.1.7. Cho X là khơng gian Hilbert khả ly, h : Ω × X → X
là toán tử ngẫu nhiên Lipschitz, nghĩa là tồn tại ánh xạ L : Ω → (0; ∞)
sao cho với mọi x1, x2∈ X, ω ∈ Ω ta có
kh(ω, x1) − h(ω, x2)k 6 L(ω)kx1− x2k.
Giả sử k(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương sao cho L(ω) <
k(ω) h.c.c. Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong X
phương trình ngẫu nhiên
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
Định lý 2.1.8. Cho X là không gian Banach khả ly và L(X) là khơng
gian Banach các tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X. Giả sử rằng
A : Ω → L(X) là một ánh xạ sao cho với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω 7→ A(ω)x
là một biến ngẫu nhiên X-giá trị và λ(ω) là một biến ngẫu nhiên nhận
giá trị thực sao cho
kA(ω)k < λ(ω) h.c.c.
Khi đó, với mọi biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong X, phương trình
ngẫu nhiên
A(ω)x − λ(ω)x = η(ω) (2.6)
có nghiệm ngẫu nhiên duy nhất.
Ví dụ 2.1.9. Cho K : Ω × [0; 1] × [0; 1] → R và η : Ω × [0; 1] → R là các
hàm ngẫu nhiên liên tục; λ(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương.
Đặt M (ω) = max(t,s)∈[0;1]×[0;1]|K(ω, t, s)|. Xét phương trình tích phân
ngẫu nhiên
Z 1
0
K(ω, t, s)x(s)ds − λ(ω)x(t) = η(ω, t). (2.7)
Nếu M (ω) < λ(ω) h.c.c. thì phương trình (2.7) có nghiệm duy nhất
ξ(ω) = ξ(ω, t) là hàm ngẫu nhiên liên tục trong [0; 1].
Theo quan điểm xác suất, nếu hai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c.
thì ta có thể coi chúng trùng nhau. Vì cả tốn tử ngẫu nhiên và bản sao
của nó xác định cùng một ánh xạ từ X vào LY
0(Ω) nên nhiều khi chúng
ta có thể đồng nhất tốn tử ngẫu nhiên với bản sao của nó mà khơng
làm thay đổi ý nghĩa của vấn đề đang nghiên cứu. Khi nghiên cứu về
phương trình ngẫu nhiên, chúng ta cũng mong muốn khi thay thế toán
tử ngẫu nhiên bởi bản sao của nó thì khơng làm thay đổi tập nghiệm
của phương trình. Tiếc rằng thực tế điều đó khơng phải ln ln đúng.
Ví dụ 2.1.10. Cho (Ω, A, P ) = ([0; 1], B, µ) và X = Y = [0; 1], trong đó
B là σ-đại số Borel của [0; 1], µ là độ đo Lebesgue trên [0; 1]. Cho f1, f2
là hai toán tử ngẫu nhiên xác định bởi
f1(ω, x) =
(
x.ω nếu x 6= ω
1 nếu x = ω và f2(ω, x) = x.ω ∀ω ∈ Ω ∀x ∈ X.
Khi đó, f2là một bản sao của f1. Biến ngẫu nhiên ξ(ω) = ω là nghiệm
ngẫu nhiên của phương trình f1(ω, x) = 1. Tuy nhiên, ξ không là nghiệm
của phương trình f2(ω, x) = 1. Ta cũng thấy ξ là nghiệm của phương
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
Tuy nhiên, trong trường hợp các tốn tử ngẫu nhiên liên tục ta có:
Định lý 2.1.11. Cho X là không gian metric khả ly, Y là khơng gian
metric, f1, f2 là các tốn tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào Y và chúng là
bản sao của nhau. Khi đó, hai phương trình ngẫu nhiên f1(ω, x) = η(ω)
và f2(ω, x) = η(ω) là tương đương.
2.2
Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị
Trong phần này, chúng ta mở rộng phương trình (2.1) cho trường hợp
các toán tử ngẫu nhiên đa trị. Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất
và X, Y là các khơng gian metric. Phương trình tốn tử ngẫu nhiên
đơn trị f (ω, x) = g(ω, x) có thể được viết lại dưới dạng tập hợp là
{f (ω, x)} ∩ {g(ω, x)} 6= ∅. Từ đó ta có:
Định nghĩa 2.2.1. Phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị là phương
trình có dạng
S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅ (2.10)
trong đó S, T : Ω × X → 2Y <sub>là các tốn tử ngẫu nhiên đa trị (đã biết)</sub>
từ khơng gian metric X vào không gian metric Y .
Với dãy các toán tử ngẫu nhiên đa trị Tn : Ω × X → 2Y, phương
trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị là phương trình có dạng
∩∞
n=1Tn(ω, x) 6= ∅. (2.11)
Để đơn giản, ta cũng gọi phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị là
phương trình ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.2.2. 1. Ta nói rằng phương trình ngẫu nhiên (2.10)
có nghiệm tất định với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1
sao cho với mỗi ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho
S(ω, u(ω)) ∩ T (ω, u(ω)) 6= ∅.
Khi đó, ta gọi u(ω) là nghiệm tất định của phương trình (2.10).
2. Ta nói rằng phương trình ngẫu nhiên (2.10) có nghiệm ngẫu nhiên
nếu tồn tại biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho
S(ω, ξ(ω)) ∩ T (ω, ξ(ω)) 6= ∅ h.c.c.
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
Như chúng ta đã biết, trong Định lý 2.1.4, điều kiện đo được của các
toán tử ngẫu nhiên đảm bảo cho sự tương đương giữa tồn tại nghiệm
ngẫu nhiên với tồn tại nghiệm tất định với hầu hết ω. Trong trường hợp
phương trình tốn tử ngẫu nhiên đa trị, ta cũng có:
Định lý 2.2.3. Cho X, Y là các khơng gian Polish và S, T : Ω × X →
C(Y ) là các toán tử ngẫu nhiên đa trị đo được. Khi đó, phương trình
ngẫu nhiên S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅ có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi
nó có nghiệm tất định với hầu hết ω.
Hơn nữa, cho Tn : Ω × X → C(Y ) là các toán tử ngẫu nhiên đa trị
đo được. Khi đó, phương trình ngẫu nhiên ∩∞<sub>n=1</sub>Tn(ω, x) 6= ∅ có nghiệm
ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó có nghiệm tất định với hầu hết ω.
Ví dụ sau cho thấy điều kiện đo được của các toán tử ngẫu nhiên chỉ
là điều kiện đủ.
Ví dụ 2.2.4. Cho Ω = {0, 1}, F = {∅, Ω}, X = [0; 1], Y = [2; 3] và
T : Ω × X → C(Y ) là ánh xạ xác định bởi T (0, x) = T (1, x) = Y với
mọi x ∈ X. Lấy D là một tập con của X và khơng là tập Borel. Ta xác
định tốn tử S : Ω × X → C(Y ) bởi
S(0, x) = S(1, x) =
(
Y nếu x ∈ D
{2} nếu x ∈ X \ D.
Khi đó, S là tốn tử ngẫu nhiên khơng đo được. Tuy nhiên, ξ(ω) = c
với mọi ω, trong đó c là một phần tử bất kỳ của X, là một nghiệm ngẫu
nhiên của phương trình S(ω, x) ∩ T (ω, x) 6= ∅.
Hệ quả 2.2.5. Cho X và Y là các khơng gian Polish, Tn : Ω × X →
C(Y ) là các toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục (n = 1, 2, ...). Khi đó,
phương trình ngẫu nhiên T∞
n=1Tn(ω, x) 6= ∅ có nghiệm ngẫu nhiên khi
và chỉ khi nó có nghiệm tất định với hầu hết ω.
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
Chương 3
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN
Trong chương này, áp dụng các kết quả về phương trình tốn tử ngẫu
nhiên cho bài tốn điểm bất động ngẫu nhiên chúng tôi đưa ra các định
lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát trong đó nhận được và mở rộng
nhiều định lý điểm bất động ngẫu nhiên của các tác giả trước. Phiên
bản ngẫu nhiên của một số định lý điểm bất động cho toán tử tất định
cũng được đưa ra. Khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất và một
số điều kiện đủ để tốn tử ngẫu nhiên có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt
nhất cũng được trình bày. Chúng tơi đưa ra khái niệm tốn tử hồn tồn
ngẫu nhiên và chứng minh một số định lý điểm bất động cho toán tử đó.
3.1
Điểm bất động của tốn tử ngẫu nhiên
đơn trị
Chúng tơi chỉ ra rằng điều kiện đo được của tốn tử ngẫu nhiên đảm
bảo rằng nếu mỗi quỹ đạo của tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động thì
tốn tử đó có điểm bất động ngẫu nhiên.
Định nghĩa 3.1.1. Cho X là khơng gian metric, C là tập con đóng của
X và f : Ω × C → X là tốn tử ngẫu nhiên.
1. Ta nói với hầu hết ω, f (ω, .) có điểm bất động nếu tồn tại tập D
có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x)
có điểm bất động.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên
của f nếu f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c.
Nếu toán tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên ξ thì với hầu
hết ω, ξ(ω) là điểm bất động của toán tử tất định x 7→ f (ω, x). Do đó,
nếu tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên thì hầu hết các
quỹ đạo của nó có điểm bất động tất định. Tuy nhiên, ngược lại chưa
chắc đúng.
Định nghĩa 3.1.2. Cho X là không gian metric, C là tập con đóng của
X và f, h : Ω × C → X là các toán tử ngẫu nhiên.
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên
chung của f và h nếu f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) = h(ω, ξ(ω)) h.c.c.
Định lý 3.1.3. Cho X là không gian Polish, C là tập con đóng của X
và f, h : Ω × C → X là các tốn tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó:
1. Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi
với hầu hết ω, toán tử tất định f (ω, .) có điểm bất động.
2. Hai tốn tử ngẫu nhiên f và h có điểm bất động ngẫu nhiên chung
khi và chỉ khi với hầu hết ω, các toán tử tất định f (ω, .) và h(ω, .)
có điểm bất động chung.
Hệ quả 3.1.4. Cho X là không gian Polish, C là tập con đóng của X
và f, h : Ω × C → X là các toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó:
1. Tốn tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi
với hầu hết ω, tốn tử tất định f (ω, .) có điểm bất động.
2. Hai toán tử ngẫu nhiên f và h có điểm bất động ngẫu nhiên chung
khi và chỉ khi với hầu hết ω, các toán tử tất định f (ω, .) và h(ω, .)
có điểm bất động chung.
Nhận xét 3.1.5. Định lý 3.1.3 mở rộng nhiều định lý điểm bất động ngẫu
nhiên cho toán tử ngẫu nhiên đơn trị của H. K. Xu, T. D. Benavides, D.
O’Regan, N. Shahzad, R. P. Agarwal theo hướng loại bỏ điều kiện phức
tạp về tốn tử f và khơng gian X.
Theo Định lý 3.1.3, mỗi định lý điểm bất động cho toán tử tất định
đơn trị sẽ sinh ra một định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử
ngẫu nhiên đơn trị. Minh họa cho khẳng định đó chúng ta có:
Định lý 3.1.6. Cho X là không gian Polish và f : Ω × X → X là tốn
tử ngẫu nhiên đo được thỏa mãn điều kiện co như sau: Với mỗi ω ∈ Ω,
d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤α(ω) max{d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y)}
+β(ω) maxd(x, y), d(x, f (ω, x)), d(y, f (ω, y)),
1
2[d(x, f (ω, y)) + d(y, f (ω, x))]
+γ(ω)[d(x, f (ω, y)) + d(y, f (ω, x)]
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
Định lý 3.1.7. Cho K là tập con khác rỗng, compact và lồi của khơng
gian Banach khả ly X; f, g : Ω × K → K là các toán tử ngẫu nhiên từ
K vào K, trong đó f là tốn tử liên tục, g là tốn tử khơng giãn theo
nghĩa: Với mỗi ω ta có
kg(ω, x) − g(ω, y)k ≤ kx − yk
với mọi x, y ∈ K. Nếu với mỗi ω các ánh xạ f (ω, .) và g(ω, .) giao hốn
thì các tốn tử ngẫu nhiên f và g có điểm bất động ngẫu nhiên chung.
Cho f : A → B, trong đó A, B là hai tập con đóng khác rỗng của
khơng gian metric (X, d). Khi đó, nhìn chung ta có infx∈Ad(x, f (x)) ≥
d(A, B). Nếu tồn tại x0∈ A sao cho d(x0, f (x0)) = d(A, B) thì x0 được
gọi là một điểm xấp xỉ tốt nhất của ánh xạ f . Khi A ∩ B 6= ∅ ta có
d(A, B) = 0 nên điểm xấp xỉ tốt nhất x0 trở thành điểm bất động của
ánh xạ f . Do đó, khái niệm điểm xấp xỉ tốt nhất là một mở rộng của
khái niệm điểm bất động. Sau đây chúng ta sẽ đưa ra phiên bản ngẫu
nhiên của khái niệm điểm xấp xỉ tốt nhất.
Định nghĩa 3.1.8. Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của khơng
gian metric (X, d) và f : Ω × A → B là toán tử ngẫu nhiên từ A vào B.
Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → A được gọi là điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất
của toán tử f nếu d(ξ(ω), f (ω, ξ(ω))) = d(A, B) h.c.c.
Khi A ∩ B 6= ∅, điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của f trở thành
điểm bất động ngẫu nhiên của f . Nhìn chung, từng quỹ đạo của tốn
tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ tốt nhất khơng kéo theo tốn tử ngẫu
nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất.
Định lý 3.1.9. Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của khơng gian
Polish X và f : Ω × A → B là toán tử ngẫu nhiên đo được. Nếu tồn tại
tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ f (ω, .) : A → B có
điểm xấp xỉ tốt nhất thì tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên
tốt nhất.
Hệ quả 3.1.10. Cho A, B là hai tập con đóng khác rỗng của khơng gian
Polish X và f : Ω × A → B là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại
tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ f (ω, .) : A → B có
điểm xấp xỉ tốt nhất thì tốn tử ngẫu nhiên f có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên
tốt nhất.
Với (X, dX) và (Y, dY) là các không gian metric, ta nói ánh xạ f :
X → Y có tính co nếu
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>
Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để tốn tử ngẫu nhiên có điểm xấp
xỉ ngẫu nhiên tốt nhất.
Định lý 3.1.11. Cho A, B là hai tập con compact khác rỗng của không
gian Polish (X, d); f : Ω × A → B và g : Ω × B → A là các toán tử ngẫu
nhiên sao cho: Với mỗi ω ∈ Ω
1. các ánh xạ tất định x 7→ f (ω, x) và y 7→ g(ω, y) có tính co.
2. với x ∈ A và y ∈ B, nếu d(x, y) > d(A, B) thì
d(f (ω, x), g(ω, y)) < d(x, y).
Khi đó, các tốn tử ngẫu nhiên f và g có điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt
nhất. Hơn nữa, với mỗi x0 cố định thuộc LA0(Ω), đặt
x2n+1= f (ω, x2n), x2n= g(ω, x2n−1) (n ≥ 0).
Khi đó, dãy các biến ngẫu nhiên (x2n) hội tụ h.c.c. về điểm xấp xỉ ngẫu
nhiên tốt nhất của f và dãy các biến ngẫu nhiên (x2n+1) hội tụ h.c.c.
về điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất của g.
3.2
Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên
đa trị
Trong mục này, các định lý về điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu
nhiên của toán tử ngẫu nhiên đa trị sẽ được trình bày.
Định nghĩa 3.2.1. Cho X là khơng gian metric, C là tập con đóng của
X và T : Ω × C → 2X là tốn tử ngẫu nhiên đa trị.
1. Ta nói với hầu hết ω, T (ω, .) có điểm bất động nếu tồn tại tập
D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D ánh xạ tất định đa trị
x 7→ T (ω, x) có điểm bất động.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên
của T nếu ξ(ω) ∈ T (ω, ξ(ω)) h.c.c.
Định nghĩa 3.2.2. Cho X là không gian metric, C là tập con đóng của
X và S, T : Ω × C → 2X <sub>là các tốn tử ngẫu nhiên đa trị.</sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → C được gọi là điểm bất động ngẫu nhiên
chung của S và T nếu ξ(ω) ∈ S(ω, ξ(ω)) h.c.c. và ξ(ω) ∈ T (ω, ξ(ω))
h.c.c.
Định nghĩa 3.2.3. Cho X, Y là các không gian metric, f : Ω × X → Y
là tốn tử ngẫu nhiên và T : Ω × X → 2Y là tốn tử ngẫu nhiên đa trị.
1. Ta nói với hầu hết ω, f (ω, .) và T (ω, .) có điểm trùng nhau nếu
tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi ω ∈ D các ánh xạ tất
định x 7→ f (ω, x) và x 7→ T (ω, x) có điểm trùng nhau.
2. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X được gọi là điểm trùng nhau ngẫu
nhiên của f và T nếu f (ω, ξ(ω)) ∈ T (ω, ξ(ω)) h.c.c.
Khái niệm điểm trùng nhau ngẫu nhiên là một sự mở rộng của khái
niệm điểm bất động ngẫu nhiên. Khi X là tập con đóng của Y , và
f (ω, x) = x với mọi ω ∈ Ω, x ∈ X thì điểm trùng nhau ngẫu nhiên của
f và T chính là điểm bất động ngẫu nhiên của T .
Định lý 3.2.4. Cho X là không gian Polish, C là tập con đóng của X,
f : Ω × C → X là toán tử ngẫu nhiên đo được và S, T : Ω × C → C(X)
là tốn tử ngẫu nhiên đa trị đo được. Khi đó:
1. Tốn tử ngẫu nhiên T có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi
với hầu hết ω, toán tử tất định T (ω, .) có điểm bất động.
2. Các tốn tử ngẫu nhiên f và T có điểm trùng nhau ngẫu nhiên khi
và chỉ khi với hầu hết ω, các toán tử tất định f (ω, .) và T (ω, .) có
điểm trùng nhau.
3. Hai tốn tử ngẫu nhiên đa trị S và T có điểm bất động ngẫu nhiên
chung khi và chỉ khi với hầu hết ω, các toán tử tất định đa trị
S(ω, .) và T (ω, .) có điểm bất động chung.
Hệ quả 3.2.5. Cho X là khơng gian Polish, C là tập con đóng của X,
f : Ω × C → X là tốn tử ngẫu nhiên liên tục và S, T : Ω × C → C(X)
là các toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục. Khi đó:
1. Tốn tử ngẫu nhiên T có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi
với hầu hết ω, tốn tử tất định T (ω, .) có điểm bất động.
</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>
3. Hai toán tử ngẫu nhiên đa trị S và T có điểm bất động ngẫu nhiên
chung khi và chỉ khi với hầu hết ω, các toán tử tất định đa trị
S(ω, .) và T (ω, .) có điểm bất động chung.
Nhận xét 3.2.6. Định lý 3.2.4 mở rộng nhiều định lý điểm bất động và
điểm trùng nhau ngẫu nhiên cho toán tử ngẫu nhiên đa trị của các tác
giả H. K. Xu, T. D. Benavides, N. Shahzad theo hướng loại bỏ điều kiện
phức tạp về tốn tử f và khơng gian X.
Các định lý sau là phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất
động cho toán tử tất định tương ứng.
Định lý 3.2.7. Cho X là không gian Polish và f : Ω × X → X là toán
tử ngẫu nhiên, T : Ω × X → CB(X) là tốn tử ngẫu nhiên đa trị sao
cho với mọi ω ta có T (ω, X) ⊂ f (ω, X) và với mọi x, y ∈ X
H(T (ω, x), T (ω, y)) ≤λ(ω) maxd(f (ω, x), f (ω, y)),
d(f (ω, x), T (ω, x)), d(f (ω, y), T (ω, y)),
1
2[d(f (ω, x), T (ω, y)) + d(f (ω, y), T (ω, x))],
trong đó λ : Ω → [0; 1). Thêm nữa, nếu với mỗi ω, một trong các điều
kiện sau được thỏa mãn
1. các ánh xạ tất định f (ω, .) và T (ω, .) là liên tục và tương thích,
2. một trong hai tập T (ω, X) hoặc f (ω, X) là tập đầy đủ và các toán
tử ngẫu nhiên f , T là đo được.
Khi đó, f và T có điểm trùng nhau ngẫu nhiên.
Định lý 3.2.8. Cho X là không gian Polish và S, T : Ω × X → C(X)
là các toán tử ngẫu nhiên đa trị đo được. Nếu
H(S(ω, x), T (ω, y)) ≤λ(ω) maxd(x, y), d(x, S(ω, x)), d(y, T (ω, y)),
1
2[d(y, S(ω, x)) + d(x, T (ω, y))]
</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>
3.3
Điểm bất động của tốn tử hồn tồn
ngẫu nhiên.
Trong phần này, ta giả thiết X là khơng gian Banach khả ly và (Ω, A, P )
là không gian xác suất đầy đủ. Ta sẽ nghiên cứu bài toán điểm bất động
của ánh xạ Φ : LX
0 (Ω) → LX0(Ω), mà ta gọi là tốn tử hồn tồn ngẫu
nhiên. Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị LX
0 (Ω) với tôpô hội tụ
theo xác suất là một không gian đầy đủ theo nghĩa mỗi dãy (un) gồm
các phần tử trong LX
0 (Ω) hội tụ theo xác suất đến phần tử u ∈ LX0(Ω)
khi và chỉ khi dãy đó là dãy cơ bản theo xác suất. Không gian LX
0(Ω)
cũng là khơng gian metric hóa được với nhiều metric khác nhau (sự hội
tụ theo các metric đó tương đương với sự hội tụ theo xác suất). Như
vậy, toán tử Φ thực chất có thể xem xét như là tốn tử tất định giữa
hai khơng gian metric. Tuy nhiên, nhiều tính chất của Φ nếu nhìn ở góc
độ xác suất thì khá đơn giản nhưng khi nhìn ở góc độ Φ là tốn tử tất
định giữa hai khơng gian metric thì lại phức tạp. Do vậy, trong mục này
chúng ta sẽ xem xét tốn tử Φ ở góc độ xác suất mà không chú trọng
đến các metric trên LX
0 (Ω).
Định nghĩa 3.3.1. Cho X, Y là các không gian Banach khả ly.
1. Mỗi ánh xạ Φ : LX
0 (Ω) → LY0(Ω) được gọi là một tốn tử hồn
tồn ngẫu nhiên từ X vào Y .
2. Toán tử Φ được gọi là liên tục nếu với mọi dãy (un) trong LX0(Ω)
sao cho lim un= u h.c.c. ta có lim Φun= Φu h.c.c.
3. Toán tử Φ được gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu với mọi dãy (un)
trong LX
0 (Ω) sao cho p-lim un= u ta có p-lim Φun= Φu.
Định nghĩa 3.3.2. Cho Φ : LX
0 (Ω) → LY0(Ω) là tốn tử hồn toàn ngẫu
nhiên, k = k(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương.
1. Toán tử Φ được gọi là k-Lipschitz nếu với mỗi u, v ∈ LX
0(Ω)
kΦu(ω) − Φv(ω)k 6 k(ω)ku(ω) − v(ω)k h.c.c.
Chú ý rằng tập hợp các ω thỏa mãn bất đẳng thức trên nhìn chung
phụ thuộc vào u, v.
2. Toán tử Φ gọi là k-Lipschitz xác suất nếu với mỗi u, v ∈ LX0(Ω) và
t > 0 ta có
</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>
3. Tốn tử Φ gọi là co (tương ứng co xác suất ) nếu Φ là
k-Lipschitz (tương ứng k-k-Lipschitz xác suất) trong đó k(ω) < 1 h.c.c.
Khi không quan tâm nhiều đến giá trị cụ thể của k, ta gọi tốn tử
hồn tồn ngẫu nhiên k-co (tương ứng k-co xác suất) là tốn tử
hồn tồn ngẫu nhiên co (tương ứng co xác suất ).
4. Toán tử Φ gọi là không giãn (tương ứng, không giãn xác suất ) nếu
Φ là toán tử 1-Lipschitz (tương ứng, 1-Lipschitz xác suất).
Ta dễ nhận thấy nếu Φ là toán tử k-Lipschitz thì Φ cũng là tốn tử
k-Lipschitz xác suất. Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đúng.
Định nghĩa 3.3.3. Cho Φ là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên từ X vào
X. Biến ngẫu nhiên ξ nhận giá trị trong X được gọi là điểm bất động
của Φ nếu
Φξ(ω) = ξ(ω) h.c.c.
Định lý 3.3.4. Nếu Φ là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên k-co từ X vào
X thì Φ có điểm bất động duy nhất. Hơn nữa, với u0 là biến ngẫu nhiên
tùy ý X-giá trị, dãy các biến ngẫu nhiên (un) xác định bởi
un+1= Φun (n ≥ 0) (3.1)
hội tụ h.c.c. về điểm bất động ξ của Φ và ta có đánh giá
||un− ξ|| ≤
kn
1 − k.||u1− u0|| h.c.c.
Ví dụ 3.3.5. Cho X = C[0; 1], K(ω, s, t) là hàm ngẫu nhiên liên tục xác
định trên [0; 1] × [0; 1] và λ(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương.
Đặt M (ω) = maxs,t∈[0;1]|K(ω, s, t)|. Xét phương trình tích phân ngẫu
nhiên
1
Z
0
K(ω, s, t)x(ω, s)ds − λ(ω)x(ω, t) = y(ω, t) (3.2)
trong đó x(ω, t) và y(ω, t) là các hàm ngẫu nhiên liên tục xác định trên
[0; 1], y(ω, t) đã biết. Nếu M (ω) < λ(ω) h.c.c. thì phương trình (3.2) có
nghiệm duy nhất là hàm ngẫu nhiên ξ(ω, t) liên tục trên [0; 1].
Các kết quả sau đây liên quan đến tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co
xác suất.
</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>
1. Tốn tử Φ liên tục ngẫu nhiên.
2. Nếu Φ có điểm bất động ξ thì Φ có điểm bất động duy nhất và
p-lim Φn<sub>u(ω) = ξ với mọi u(ω) ∈ L</sub>X
0(Ω), trong đó
Φ0u(ω) = u(ω), Φnu(ω) = Φ(Φn−1u(ω)), n ≥ 1.
Định nghĩa 3.3.9. Cho Φ là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên từ X vào
X, u là biến ngẫu nhiên X-giá trị. Đặt
Φ0u(ω) = u(ω), Φnu(ω) = Φ(Φn−1u(ω)), n ≥ 1
và O(Φ,u) = {Φnu(ω) : n ≥ 0}. Ta gọi O(Φ,u) là quỹ đạo của toán tử Φ
tại biến ngẫu nhiên u.
Định lý 3.3.10. Cho Φ là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên q-co xác suất
từ X vào X, trong đó q là hằng số trong (0; 1). Tốn tử Φ có điểm bất
động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0∈ LX0(Ω) sao cho O(Φ,u0)
bị chặn theo xác suất. Khi đó, dãy biến ngẫu nhiên (Φnu) hội tụ theo
xác suất đến điểm bất động của Φ với mọi xấp xỉ ban đầu là biến ngẫu
nhiên u ∈ LX
0 (Ω).
Định lý sau đây là một mở rộng của Định lý 3.3.10 cho trường hợp
lũy thừa của toán tử Φ là toán tử co xác suất.
Định lý 3.3.11. Cho Φ : LX
0 (Ω) → LX0(Ω) là toán tử liên tục ngẫu
nhiên sao cho tồn tại k ∈ N để Φk là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên q-co
xác suất. Khi đó, Φ có điểm bất động duy nhất khi và chỉ khi tồn tại biến
ngẫu nhiên u0∈ LX0(Ω) sao cho O(Φ,u0) bị chặn theo xác suất. Hơn nữa,
dãy các biến ngẫu nhiên (Φnu) hội tụ theo xác suất về điểm bất động
của Φ với mọi xấp xỉ ban đầu là biến ngẫu nhiên u ∈ LX
0 (Ω).
Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện cần và đủ khác để đảm
bảo tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên q-co xác suất có điểm bất động và
đưa ra đánh giá độ lớn của xác suất đuôi P (kun − ξk > t) trong đó
un= Φnu0 và ξ là điểm bất động của Φ.
Định lý 3.3.13. Cho Φ là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên q-co xác suất
từ X vào X. Khi đó, Φ có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu
nhiên u0∈ LX0(Ω) và số thực α > 0 sao cho
sup
t>0
</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>
Hơn nữa, nếu điều kiện (3.3) được thỏa mãn thì dãy (un) với un =
Φnu0 (n = 1, 2, ...) hội tụ theo xác suất về điểm bất động ξ của Φ và ta
có đánh giá
P (kun− ξk > t) ≤
M
(1 − q1+αα <sub>)</sub>1+α
.(q
α<sub>)</sub>n
tα ,
trong đó M = sup<sub>t>0</sub>tα<sub>P (kΦu</sub>
0− u0k > t).
Nhận xét 3.3.14. Cho X là không gian Polish và f : Ω × X → X
là toán tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó, với mỗi u ∈ LX0(Ω), ánh xạ
ω 7→ f (ω, u(ω)) là biến ngẫu nhiên X-giá trị. Xét tốn tử hồn tồn
ngẫu nhiên Φ : LX
0(Ω) → LX0(Ω) là toán tử Nemytskij của f xác định
bởi Φu(ω) = f (ω, u(ω)) với mỗi u ∈ LX<sub>0</sub> (Ω). Nếu Φ là tốn tử q-co xác
suất trong đó q ∈ (0; 1) và tồn tại u0∈ LX0(Ω), α > 0 sao cho
sup
t>0
tαP (d(Φu0, u0) > t) < +∞
thì từ Định lý 3.3.13 ta suy ra Φ có điểm bất động là ξ(ω) ∈ LX
0(Ω).
Do vậy, toán tử ngẫu nhiên f có điểm bất động ngẫu nhiên là ξ(ω). Từ
đó ta mở rộng kết quả của Hadzic và Pap với khá với nhiều giả thiết và
thuật ngữ của lý thuyết không gian metric xác suất được loại bỏ.
Hệ quả 3.3.15. Cho Φ là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên q-co xác suất
từ X vào X. Khi đó, Φ có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu
nhiên u0∈ LX0(Ω) và α > 0 sao cho EkΦu0− u0kα< +∞.
Hệ quả 3.3.16. Cho Φ : LX0(Ω) → LX0(Ω) là toán tử liên tục ngẫu
nhiên sao cho tồn tại k ∈ N để Φk <sub>là tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên q-co</sub>
xác suất. Khi đó, Φ có điểm bất động khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu
nhiên u0∈ LX0(Ω) và α > 0 sao cho
sup
t>0
tαP (kΦku0− u0k > t) < +∞. (3.5)
Sau đây là một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của phương trình với
tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên.
Định lý 3.3.17. Cho Φ : LX
0(Ω) → LX0(Ω) là tốn tử hồn tồn ngẫu
</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>
nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tồn tại biến ngẫu nhiên u0∈ LX0 (Ω) sao
cho
E||Φu0− ku0||p< +∞. (3.7)
Định lý 3.3.18. Cho Φ, Ψ là hai tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên từ X
vào X thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) Ψ(LX
0(Ω)) ⊂ Φ(LX0 (Ω)).
(b) Φ và Ψ giao hoán, tức là ΦΨu = ΨΦu với mọi u ∈ LX
0 (Ω).
(c) Φ liên tục ngẫu nhiên.
(d) Tồn tại q ∈ (0; 1) sao cho với mọi u, v ∈ LX<sub>0</sub>(Ω) và t > 0 ta có
P (kΨu − Ψvk > t) ≤ P (qkΦu − Φvk > t).
Khi đó, phương trình
Φu = Ψu (3.8)
có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại u0∈ LX0(Ω) và α > 0 sao cho
EkΦu0− Ψu0kα< +∞. (3.9)
Hơn nữa, nếu điều kiện (3.9) được thực hiện thì Φ và Ψ có điểm bất
động chung duy nhất.
Ta chú ý rằng điều kiện (3.9) chỉ đảm bảo các toán tử Φ và Ψ có điểm
bất động chung duy nhất mà khơng đảm bảo tính duy nhất nghiệm của
phương trình Φu = Ψu. Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra điều đó.
Ví dụ 3.3.19. Cho Φ, Ψ : LR
0(Ω) → LR0(Ω) là các tốn tử hồn tồn ngẫu
nhiên xác định bởi
Φu = |u|, Ψu = |u| + η
2
trong đó η là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương. Khi đó, Φ và Ψ thỏa
mãn các giả thiết của Định lý 3.3.18 với q = 1/2. Các toán tử Φ và Ψ có
điểm bất động chung duy nhất là biến ngẫu nhiên η. Tuy nhiên, phương
trình Φu = Ψu có hai nghiệm là ξ1= η và ξ2= −η.
</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>
xỉ tốt nhất) ngẫu nhiên. Chúng tôi đã minh họa cho khẳng định đó bằng
việc đưa ra phiên bản ngẫu nhiên của một số định lý điểm bất động
cho toán tử tất định. Chúng tôi đã đưa ra khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu
nhiên tốt nhất, là sự ngẫu nhiên hóa khái niệm điểm xấp xỉ tốt nhất và
là một mở rộng của khái niệm điểm bất động ngẫu nhiên. Chúng tôi đã
chứng minh được một số điều kiện đủ để toán tử ngẫu nhiên có điểm
xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất. Chúng tơi đưa ra khái niệm tốn tử hồn
tồn ngẫu nhiên và chỉ ra rằng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co ln
có điểm bất động. Điều kiện tồn tại u0∈ LX0(Ω) sao cho quỹ đạo của Φ
tại u0bị chặn theo xác suất hoặc moment tuyệt đối cấp p của u0− Φu0
hữu hạn đảm bảo một tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co xác suất Φ có
điểm bất động. Cuối cùng, chúng tôi chứng minh một số điều kiện đủ
để phương trình với tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên có nghiệm.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Các kết quả chính của luận án:
• Đưa ra điều kiện đảm bảo một phương trình ngẫu nhiên có nghiệm
tất định với hầu hết ω thì có nghiệm ngẫu nhiên. Chứng minh một
số điều kiện đủ để phương trình ngẫu nhiên có nghiệm ngẫu nhiên.
• Chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát trong
đó mở rộng nhiều định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát của
các tác giả trước. Đưa ra phiên bản ngẫu nhiên của một số định
lý điểm bất động cho tốn tử tất định.
• Đưa ra khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên và chứng minh
một số định lý điểm bất động của tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên
co, co xác suất. Đưa ra khái niệm điểm xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất
và chứng minh một số điều kiện đủ để tốn tử ngẫu nhiên có điểm
xấp xỉ ngẫu nhiên tốt nhất.
2. Những nghiên cứu tiếp theo:
• Đưa ra các điều kiện mới đảm bảo một tốn tử ngẫu nhiên có
điểm bất động ngẫu nhiên, một phương trình tốn tử ngẫu nhiên
có nghiệm ngẫu nhiên.
• Tìm kiếm các ứng dụng của lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên,
phương trình tốn tử ngẫu nhiên. Nghiên cứu các tính chất xác suất
và thống kê của nghiệm của phương trình tốn tử ngẫu nhiên.
• Nghiên cứu phương trình ngẫu nhiên với tốn tử hồn tồn ngẫu
</div>
<!--links-->
