Chuyên đề phép dời hình- phép đồng dạng- Hình học 11- Full – Xuctu.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG </b>

<b>TRONG MẶT PHẲNG </b>

<b>Nguyễn Minh Tiến </b>

<b>1/ Phép Dời Hình ………. </b> <b>trang 2 </b>

<b>2/ Phép Tịnh Tiến... </b> <b>trang 5 </b>

<b>3/ Phép Đối Xứng Trục……….. </b> <b>trang 10 </b>

<b>4/ Phép Đối Xứng Tâm……… </b> <b>trang 18 </b>

<b>5/ Phép Quay... </b> <b>trang 22 </b>

<b>6/ Hai hình bằng nhau……… </b> <b>trang 30 </b>

<b>7/ Phép Vị Tự………. </b> <b>trang 32 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG </b>
<b>Vần đề 1 : PHÉP DỜI HÌNH </b>

<b> A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>
<b>1/ Phép biến hình. </b>

<i> ĐN: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng, xác định được một điểm </i>
<i>duy nhất điểm M</i>′<i>của mặt phẳng. Điểm M</i>′<i>gọi là ảnh của M qua phép biến hình đó. </i>

<i> Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M</i>′<i>là ảnh của M qua phép f . Ta viết: </i>

( )

<i>M</i>′ = <i>f M</i> hay <i>f M</i>

( )

=<i>M</i>′ hay <i>f M</i>: ֏<i>M</i>′ hay <i>M</i> →<i>f</i> <i>M</i>′.
Lưu ý : <i>+ Điểm M gọi là tạo ảnh, M</i>′là ảnh.

<i>+ f là phép biến hình đồng nhất </i>⇔ <i>f M</i>

( )

=<i>M</i> ,∀ ∈<i>M</i> <i>H. Điểm M gọi là điểm bất động, </i>
điểm kép, bất biến.

+ <i>f f là các phép biến hình thì </i>₁, ₂ <i>f</i>₂ <i>f là phép biến hình. </i>₁

Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm <i>M</i>′ = <i>f M</i>

( )

<i>, với M</i>∈<i>H</i> <i>, tạo thành hình H</i>′được
<i>gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết: H</i>′ = <i>f H</i>

( )

.

<b>2/ Phép dời hình. </b>

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, tức là với hai
điểm bất kì <i>M N và ảnh </i>, <i>M N</i>′ ′, <i>của chúng, ta luôn có: M N</i>′ ′ =<i>MN</i>.(Bảo tồn khoảng cách)

<b>3/ Tính chất (của phép dời hình): </b>

ĐL: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, ba điểm không thẳng hàng
thành ba điểm không thẳng hàng.

HQ: Phép dời hình biến:

+ Đường thẳng thành đường thẳng.
+ Tia thành tia.

+ Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

+ Tam giác thành tam giác bằng nó. (Trực tâm →trực tâm, trọng tâm→trọng tâm,…)

+ Đường trịn thành đường trịn bằng nó. (Tâm biến thành tâm: <i>I</i>→<i>I R</i>′ ′, =<i>R</i>)
+ Góc thành góc bằng nó.

<b> B . BÀI TẬP </b>

′

 ₋

′

→ 

′


− −

′
′

x = 2x 1
1 Trong mpOxy cho phép biến hình f: M(x;y) M = f(M) = .

y = y + 3
Tìm ảnh của các điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)

Giaûi :

a) A = f(A) = (1;5)

b) B =

I

−

′ −

′

 _{− +}

′

→ 

′ −



− −

f(B) = ( 7;6)
c) C = f(C) = (3; 1)

x = 2x y 1

2 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = .

y = x 2y + 3

Tìm ảnh của các ñieåm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C( 2;

I

′

′ − −

′ − −

′
→

4)
Giaûi :

a) A = f(A) = (4;3)
b) B = f(B) = ( 4; 4)
c) C = f(C) = ( 7; 7)

3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x; y) . Đây có phải là phép dời

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

′
→

′
→

1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

Giải : Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )
Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )

I
I

′ ′

− + − − + −

′ ′

≠ ≠

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

1 2

Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y )
Nếu x x thì M N MN . Vậy : f khơng phải là phép dời hình .
(Vì có 1 số điểm f khơng bảo toàn khoảng cách) .

′ ′

→ →

4 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

a) f : M(x;y) M = f(M) = (y ; x-2) b) g : M(x;y) M = g(M) = ( 2x ; y+1) .
Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?

HD :

I I

′ ′

≠ ≠

′

→ −

1 2

a) f là phép dời hình b) g không phải là phép dời hình ( vì x x thì M N MN )
5 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

a) f : M(x;y) _I M = f(M) = (y + 1 ; x) b) → ′
≠
1

g : M(x;y) M = g(M) = ( x ; 3y ) .

Phép biến hình nào trên đây là phép dời hình ?

Giải :

a) f là phép dời hình b) g khơng phải là phép dời hình ( vì y y
I

′ ′ ≠
2 thì M N MN )
′

→ − +

∆ − −

6 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( 2x ;y 1) . Tìm ảnh của đường
thẳng ( ) : x 3y 2 = 0 qua phép biến hình f .

Giaûi :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

I

′

 ₋

′

 ₋  ₌

′

→  ⇔

′ = +

 _ _{= −}_′


′

− _′ _′ _′ _{′ ′ ′} _′

∈ ∆ ⇔ − − − = ⇔ + − = ⇔ ∈ ∆ + − =

∈ ∆ ≠

x

x = 2x x

Ta coù f : M(x;y) M = f(M) = ₂

y y 1 _{y y 1}

x

Vì M(x;y) ( ) ( ) 3(y 1) 2 0 x 6y 2 0 M (x ;y ) ( ) : x 6y 2 0

2

Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
+ M

I

′

∈ ∆ → = = −

′

∈ ∆ − − → = =

( ) : M(2;0) M f(M) ( 4;1)

+ N ( ) : N( 1; 1) N f(N) (2;0)

I
I

′

 ₋ ₋

′ ′ ′ ′ ′

∆ ≡ _ → ∆ = ⇒ _∆ ₊ _{− =}

′ ′= − −



Qua M ( 4;1) x+ 4 y 1

( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ ( ) : x 6y 2 0

6 1

VTCP : M N (6; 1)

′

→ + +

′

− →

2 2

7 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3 ;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 1) + (y 2) = 4 . (C ) : (x
I

I −2) + (y 3) = 42 − 2

′

→ − +

∆ −

8 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 3 ;y 1) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x + 2y 5 = 0 .
c) Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x

I

−

2 2

+ 1) + (y 2) = 2 .

2 2

x y

d ) Tìm ảnh của elip (E) : + = 1 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

′

→ − +

′

→ − +

′ ′

1 1 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

Giải : a) Lấy hai điểm bất kì M(x ;y ),N(x ;y )

Khi đó f : M(x ;y ) M = f(M) = (x 3; y 1) .
f : N(x ;y ) N = f(N) = (x 3; y 1)
Ta có : M N = (

I
I

− 2+ − 2

2 1 2 1

x x ) (y y ) = MN

Vậy : f là phép dời hình .

′ ′
 ₋  _{= +}
′
→  ⇔
′= + = −′
 
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ + + − − = ⇔ + − = ⇔ ∈

b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

x = x 3 x x 3

Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =

y y 1 y y 1

Vì M(x;y) ( ) (x 3) 2(y 1) 5 0 x 2y 4 0 M (x ;y ) (
I

′

∆) : x 2y 4 0+ − =

∈ ∆ ≠

′

∈ ∆ → = =

′

∈ ∆ → = =

Cách 2 : Lấy 2 điểm bất kì M,N ( ) : M N .
+ M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)
+ N ( ) : N(3 ; 1) N f(N) (0;2)

I
I
′
 ₋ ₋
′ ′ ′ ′ ′
∆ ≡  → ∆ = → ∆ + − =
′ ′= − −

′
∆

Qua M (2;1) x 2 y 1

( ) (M N ) : PTCtaéc ( ) : PTTQ( ) : x 2y 4 0

2 1

VTCP : M N ( 2;1)

Cách 3: Vì f là phép dời hình nên f biến đường thẳng ( ) thành đường thẳng (∆ ∆
′

∈ ∆ → = =

′ ′ ′ ′ ′

∆ ∆ ⇒ _∆ ₊ _{≠ −} _{∆ ∋} ⇒ ₋ ⇒ _∆ ₊ _{− =}

) // ( ) .
+ Laáy M ( ) : M(5 ;0) M f(M) (2;1)

+ Vì ( ) // ( ) ( ): x + 2y m = 0 (m 5) . Do : ( ) M (2;1) m = 4 ( ) : x 2y 4 0
c) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

I
′ ′
 ₋  _{= +}
′
→  ⇔
′= + = −′
 
′ ′
∈ − ⇔ + + − = ⇔
′ ′ ′
⇔ ∈

2 2 2 2

x = x 3 x x 3

Ta coù f : M(x;y) M = f(M) =

y y 1 y y 1

Vì M(x;y) (C) : (x + 1) + (y 2) = 2 (x 4) (y 3) 2
M (x ;y )

I
′ + + − =
′
 ₋  ₋ _{= −}
′ ′
→ → + + − =
 
′
+ +
 
2 2

f 2 2

(C ) : (x 4) (y 3) 2

+ Taâm I( 1;2) + Taâm I = f [I( 1;2)] ( 4;3)

Caùch 2 : (C) (C ) (C ) : (x 4) (y 3) 2

BK : R = 2 BK : R = R = 2

′ ′
 ₋  _{= +}
′

→  _′ ⇔ _′
= + = −
 

d) Dùng biểu thức toạ độ

x = x 3 x x 3

Ta coù f : M(x;y) _I M = f(M) = _{y y 1} _{y y 1}

′ ′ − _{′ ′ ′} _′ −

∈ x2 y2 ⇔(x + 3)2 (y 1)2 ⇔ ∈ (x + 3)2 (y 1)2

Vì M(x;y) (E) : + = 1 + = 1 M (x ;y ) (E ) : + = 1

3 2 3 2 3 2

′

→ + −

∆ − +

9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
−

− − + −

2 2

2

2 2 2

= 0.

c) Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .

ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x 1)
′

→ −

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng định nào sau đây

sai ? I

∈

A. f là 1 phép dời hình B. Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

→

ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung C sai .

′ ′

→ − → − −

−

1 1 2 2

1 2

12 Trong mpOxy cho 2 phép biến hình :

f : M(x;y) M = f (M) = (x + 2 ; y 4) ; f : M(x;y) M = f (M) = ( x ; y) .
Tìm toạ độ ảnh của A(4; 1) qua f rồi f , nghĩa là tìI I

′ ′′

− →1 − →2 −

2 1

f f

m f [f (A)] .
ÑS : A(4; 1) _I A (6; 5) _I A ( 6 ; 5 ) .

′

→ −

∈
x

11 Trong mpOxy cho pheùp biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( ; 3y) . Khẳng định nào sau đây sai ?
2

A. f (O) = O (O là điểm bất biến) B. Ảnh của A Ox thì
I

′ ∈

′ ′

∈ ∈ − ảnh A = f(A) Ox .−

C. Ảnh của B Oy thì ảnh B = f(B) Oy . D. M = f[M(2 ; 3)] = (1; 9)

′ −

ÑS : Chọn D . Vì M = f [M(2 ; 3)] = (1; 9)

<b> </b>

<b>Vấn đề 2 : PHÉP TỊNH TIẾN </b>
<b> A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

<i><b>1/ ĐN: Phép tịnh tiến theo véctơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M</b></i>′sao cho <i>MM</i>′ =u.

′ ′

= ⇔ =

i

Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) M_u _u MM u

Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vectơ tịnh tiến của nó .

= ∀

i Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nhất ._o _o
<b>2/ Biểu thức tọa độ: Cho u = (a;b) và phép tịnh tiến </b>_Tu.

′


′ ′ ′

→ =  _′



x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì _u

y = y + b
I

<b>3/ Tính chất: </b>

i

i

ĐL : Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
HQ :

1. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .

3. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .

→ →

Bieán

7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm _I trực tâm , trọng tâm _I trọng tâm )
′ ′

→
8. Đường tròn thành đường trịn bằng nó .

(Tâm biến thành tâm : I

_I

I , R = R )
<b> PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM </b>

′


′ ′ ′

→ =  _′



x = x + a
M(x;y) M =T (M) (x ;y ) thì _u

y = y + b
I

<b> PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) . </b>

Cách 1: Dùng tính chất (cùng phương của đường thẳng, bán kính đường trịn: khơng đổi)
1/ Lấy M (H) ∈ I→M (H )′∈ ′

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

′

₊ ₊

′ ′ ′

≡  → ≡ 

′

 

i (H) (C) Taâm I (H ) (C ) Taâm I (cần tìm I ) .

+ bk : R II + bk : R = R

′ ′

′ ′ ′

∈ → ∈

Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .

Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ .
Cách 3 : Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) _I M , N (H )
<b> B. BÀI TẬP </b>

′ −

′ ′

 _{− =}  ₌

′ ⇔ ′= ⇔ ′− ′+ = ⇔ ⇔

′+ = ′= −

 

1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải

x 3 2 x 5

Theo định nghóa ta có : M = T (M)_u MM u (x 3;y 2) (2;1)

y 2 1 y 1

′

⇒ ₋

−

M (5; 1)
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tịnh tiến theo vectơ u :

a) A( 1;1) , u = (3;1) ⇒ ′

−

A (2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2) ⇒ ′ ₋

′

− − ⇒

B ( 1;3)
c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)

′ ′
′ ′

′ = ′ =

3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1) .
Tính độ dài AB , A B .

Giaûi

Ta coù : A = T (A) (5;4) , B = T (B)_u _u = ′ ′ ′ ′ =

= = =

= ⇔ = = ⇔ =

1 2

1 2

(4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 .
4 Cho 2 vectơ u ;u . Gỉa sử M_{1 2} ₁ T (M),M_u ₂ T (M ). Tìm v để M_u ₁ ₂ T (M) ._v
Giải

Theo đề : M₁ T (M)_u MM₁ u , M₁ ₂ T (M )_u ₁ M M_{1 2}

= ⇔ = ⇒ ₌ ₌ ₊ ₌ ₌

u .₂

Neáu : M₂ T (M)_v MM₂ v v MM₂ MM M M₁ _{1 2} u + u .Vaäy : v u + u_{1 2} _{1 2}
′

∆ − ∆

∆ −

5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 1) .

′= = − ′= =

′

 ₋  _{= +}

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ⇒_∆ _∆ _ ⇒ _∆ _

= − +

′ ′ 


i
i
Giaûi Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) ._u _u

qua A (1; 1) x 1 t

Mặt khác : T ( )_u đi qua A ,B . Do đó : ptts :

y 1 2t

VTCP : A B = (1;2)

′

∆ ∆

∆ − −

′ = = −

6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) .

Giải

Vì : A T (A) (0; 2) ,_u ′ = = −

′

 ₋  _{= −}

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ⇒_∆ _∆ _ ⇒ _∆ _

= − +

′ ′ − 


i
i
B T (B) ( 1;1) ._u

qua A (0; 2) x t

Mặt khác : T ( )_u đi qua A ,B . Do đó : ptts :

y 2 3t

VTCP : A B = ( 1;3)

′

∆ − − ⇒_∆ ₋ _{+ =}

∆ + − − −

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

+ − = −

′ ′

  ₋

⇔

 

′ − ′

 

2 2

8 Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) .
Giải

x = x + 1 x = x 1

Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : _u

y = y 3 y = y + 3

V ∈ + − = ⇔ ′ + ′+ = ⇔ ′ ′ ′ ∈ ′ + + =

′ + + =

2 2 2 2 2 2

ì : M(x;y) (C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4

2 2

Vậy : Ảnh của (C) là (C ) : x (y 1) 4
′

→ + −

∆ − +

9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1;y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3
I
−

− − + −

2 2

2

2 2 2

= 0.

c) Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .

ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x
′

→ −

1)

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ;y) . Khẳng định nào sau đây
sai ?

A. f là 1 phép dời hình B.
I

∈

Neáu A(0 ; a) thì f(A) = A

C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung →C sai .

− + + = −

′ ′

 _{− ⇔}

 _′  _′

+ −

 

2 2

9 Tìm ảnh của đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4) .

x = x 2 x = x + 2

Giải : Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : _u

y = y 4 y = y 4

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =

′ − + − =

2 2 2 2 2 2

Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2

Vậy : Ảnh của (C) laø (C ) : (x 1) (y 2) 1

′

− + + = ⇒ ₋ _{+ −} ₌

′

+ − + − = −

2 2 2 2

BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2

b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) : x2+y2+2x 2y 7 0− − =

− −

i

10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .

Giải

Gọi C(x;y) .Ta = − − = = −

 _{− =}  ₌

⇔ = ⇔_ ⇔_ ⇒

− = =

 

⇔ =

i

i

coù : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I là trung điểm của AC nên :

x 1 3 x 4

C = T (I)_AI IC AI C(4;4)

y 2 2 y 4

Vì I là trung điểm của AC nên :

D = T (I)_BI ID ⇔_ − = ⇔_ = ⇒

− = =

 

 

x_D 1 2 x_D 3

BI D(3;4)

y_D 2 2 y_D 4

− ⇒ ₋

Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Tu+v

′ ′

∈ ∈

′ ′

∈ ⇔ =

′ ′ ′ ′ ′

⇒ ₌ ⇒ ⇒ _∈ ⇒

Giải : Chọn 2 điểm cố ñònh A d , A d

Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T_AB(M) MM AB

MA M B M B/ /MA M d d = T_AB(d)

Nhận xét : Có vô số phép tịnh ′

′ ′ ′ ′

′ _′ ⇔ ′

tiến biến d thành d .

12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (I,R) thành (I ,R ) .

Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M)_II M = ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

⇒ ₌ ⇒ ₌ ₌ ⇒ _∈ ⇒

′

M II

IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]_II

13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động
trên đường trịn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.

Giải

Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó dễ thấy J cố định và IM JB .=
Vậy M là ảnh của I qua phép tịnh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là_JB
ảnh của đường trịn (C) trong phép tịnh tiến theo vectơ JB

′

2

14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n)
và (P ) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến đó . Hãy viết phương trình của ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

→ − −

′ ′

 ₋  ₋

′ ⇔ _′ ⇔ _′

− −

 

′ ′ ′

∈ = ⇔ − − ⇔

i u

(P ) .
Giaûi :

T

M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y)

x x = m x = x m

Vì MM = u

y y = n y = y n

2 2

Maø : M(x;y) (P) : y ax y n = a(x m) y =

I

′− + ⇔ ′ ′ ′ ∈ ′ − +

′ − + ⇔ − + +

∆ − ≠ ∆ ∆

2 2

a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n

2 2 2

Vậy : Ảnh của (P) qua phép tịnh tiến T là (P ) : y = a(x m)_u n y = ax 2amx am n .
15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . _u

Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = −

⇒ ₋

− −

ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( )_u u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)
chọn u = (1; 3) .

16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Biết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v_u _v
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?

Giaûi

A( 5;2) − ITu→ B I Tv→ −C( 1;0) . Ta coù : AB u,BC v= = ⇒AC AB BC u v (4; 2)= + = + = −

− − −

u→  →v

17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tịnh tiến T rồi T ._u _v

T T

HD : Gỉa sử : A(x;y)_I B_I  ′ ′ = = ⇒ ₌ ₊ _{= + =}

′ ′

 _{− =}  ₌

′ ₊ ⇔ ′= ⇔_ ⇔_ ⇒ ′

′− = ′=

 

′ ′

C(x ;y ) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)

x 1 1 x 2

Do đó : K =T_{u v}(K) KK (1;5) K (2;7) .

y 2 5 y 7

Tương tự : M (4;4) , N (3;2) .

∆ − − ∆

′
≠

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

′ ′ ′

→ − →

′ ′

 _{+ = −}  _{= −}

′ ′

= − = = ⇔ ⇔ ⇒ ₋

′− = ′=

 

′

− + + =

u u

Giaûi

T T

A(3;0) G( 1;3) G (x ;y )

x 1 4 x 5

Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6).

y 3 3 y 6

2 2

19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(

I I

+ − + + =

′

′ ′ ′

− −

′

2 2

C ) : x y 10x 4y 25 0.

Có hay không phép tịnh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .

HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .

Ta thaáy : R = ′

− ∈∆ − −

R = 2 nên có phép tịnh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C ) .

20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?

Giaûi

= = − ⇒ ₌ ₋

′ ′

 _{− =}  _{= −}

′ ′

→ = ⇔ ⇔

′− = − = +′

 

′ ′ ′ ′

∈∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔

i

i

i

u

Vì OABC là hình bình hành nên : BC AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)_u

T x x 2 x x 2

B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u

y y 1 y y 1

B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;

I

′

∈∆ − −

∆

y ) : 2x y 10 = 0

21 Cho ABC . Gọi A ,B ,C lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I_{1 1 1} _{1 2 3} _{1 2 3}
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường trò

∆ = ∆

→ → →

⇒_∆ _1AB2 _→∆

n nội tiếp của ba tam giác AB C ,_{1 1}
BC A , và CA B . Chứng minh rằng : O O O_{1 1} _{1 1} _{1 2 3} I I I ._{1 2 3}

HD :

Xét phép tịnh tiến : T₁ biến A C,C₁ B,B₁ A .₁
AB

2

T

AB C_{1 1} C BA ;O₁ ₁

I I I

I → →

⇒ ₌ ⇒ ₌

= =

1_AB 1_AB

2 2

T T

O ;I I .

1 2 1 2

O O_{1 2} I I_{1 2} O O_{1 2} I I ._{1 2}

Lý luận tương tự : Xét các phép tịnh tiến T₁ ,T₁ suy ra :

BC CA

2 2

O O_{2 3} I I vaø O O_{2 3} _{3 1} I₃

I I

⇒ ₌ ₌ ⇒_∆ _{= ∆}

I₁ O O_{2 3} I I ,O O_{2 3 3 1} I I_{3 1} O O O_{1 2 3} I I I (c.c.c)._{1 2 3}

= = = =

→BC ⇔ = =

22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 .
Tính độ dài các cạnh BC và DA .

HD :

T

Xeùt : A_I M AM BC.Ta có : ABCM là hình bình hành và BCM 30 (vì B 150 )=

= − + + = ⇒ ₌

∆

= + − = + − =

⇒

⇒_∆

o

Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .

Định lý hàm cos trong MCD :

3

2 2 2 2 2

MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36

2
MD = 6cm .

1

Ta coù : MD = CD và MC = MD 3 MDC là tam giác
2

⇒_∆ ⇒ ₌ ₌

= = = ⇒_∆

đều
MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

⊥ ⇒ ⇒ ₌6 3 ⇒ ₌

Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm

2
Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm

<b>Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ sách của chúng tôi để lĩnh hội </b>

<b>được tất cả những kiến thức và Phương pháp mới nhất. Bộ sách là sự kết hợp </b>

<b>độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video. </b>

<b>TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT-2019 </b>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605 </b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b> /><b>8</b>

<b>Xem thêm nhiều sách tại: </b>

<b> /><b>Hổ trợ giải đáp: </b>

<b></b>

<b>Xem video giới thiệu bộ sách và các tính năng tại: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i><b>Vấn đề 3 </b></i><b>: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC </b>

<b>A . KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

<i><b>1/ ĐN1:Điểm M</b></i>′<i>gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM</i>′
Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . Đường thẳng a gọi là trục đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mo ′

′ ′

= ⇔ = −

a o o o

ãi điểm M thành điểm M đối xứng
với M qua đường thẳng a .

Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Khi đĩ :

i Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động ) ∈ _a =
iM a thì Đ (M) M∉ _a = ′⇔a là đường trung trực của MM′

i Đ (M) M thì Đ (M ) M_a = ′ _a ′ =

i Ñ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H ._a = ′ _a ′ = ′

⇔ =

i
i

d

ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H .

Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng của nó .

Chú ý : Một hình có thể khơng có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .
<b>2/ Biểu thức tọa độ: </b>M(x;y)_I→M Đ (M) (x ;y )′= _d = ′ ′

′ ′

  ₋

≡  _′ ≡  _′

−

 

x = x x = x

ª d Ox : _{y = y} ª d Oy : _{y = y}
<b>3/ ĐL: Phép đối xứng trục là một phép dời hình. </b>

i

1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứng .

2. Đường thẳng thành đường thẳng .

3.

HQ :

→ →

Tia thaønh tia .

4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
6. Đường trịn thành đường

I I

′ ′
→

tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )

7. Góc thành góc bằng nó . I

a
PP : Tìm ảnh M = Ñ (M)
1. (d) M , d a

2. H = d a

3. H laø trung điểm của MM M ?
′

•

∋ ⊥

∩

′→ ′
′

∆ ∆

∆

∈ ∆ ≠

′

′ ′ ′ ′

∆ ∋ ∆ → ∆

a

a

ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( )
TH1: ( ) // (a)

1. Laáy A,B ( ) : A B

2. Tìm ảnh A = Đ (A)
3. A , // (a)

∆

∆ ∩

∈∆ ≠

′

∆ ≡ a

TH2 : // a
1. Tìm K = a

2. Laáy P : P K .Tìm Q = Đ (P)
3. (KQ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

∈ ∆

∆

′ ∆

′ ′

∀ ∈ ∆ = ≥

′ ⇔ ′ ∩ ∆

min

min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)

Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )

2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )

∆

∀ ∈ ∆ ≥

⇔ ∩ ∆

min

Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB

Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
<b> B . BÀI TẬP </b>

′ ′′

→ÑOx − →ÑOy − −

1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .

HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)

2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ

I I

′ ′′

→ − → − −

′ ′′

− − → →

′ ′′

− → →

Ñ_Oy _Ñ_Ox

Ñ_a Ñ_b

Ñ_a Ñ_b

ng qua Ox .

HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)

3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M .

HD : M( 1;2) M (5;2)

I I

I I

I I −

−

′′ → ′ ′ ′ → ′′ ′′ ′′
′

 ₌ ₋

′

→ 

′ =


Đ_a Đ_b

Đ_a Đ_b

tđ(m;y) tđ(

M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).

Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y ).

x 2m x

HD : M(x;y) M

y y

I I_{− −} → ′′ ′′= −

′′ = − −


−

′ ′

− ∩ → − → − −

−

2m x; n)

x 2m x

M

y 2n y

5 Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 .

HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H laø trung điểm của MM M ( 3; 2)

6 Cho ñieåm M( 4; ⇒ ′ _{= −}

′

∆ − − ∆ ∆

−
≠
i

a
a

1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1;4)
7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .

HD :

4 1

Vì

1 − ⇒∆ → = ∆ ∩ → −

′ ′

− ∈ ∆ → ∋ ⊥ → + − = → → = =

′ ′

∆ ≡ −

i
i

a

caét a K a K( 2;1)

1

M( 1;5) d M, a d : x y 4 0 H(1/ 2;7 / 2) : tđiểm của MM M Đ (M) (2;2)

KM : x 4y + 6 = 0

∩ −

′

≡ ∈ − −

′

≡ +

i

i

i
a

a

a

8 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + 3 = 0 .
HD : a Ox = K( 3;0) .

3 9

M O(0;0) Ox : M = Ñ (M) = ( ; ) .

5 5

b KM : 3x + 4y 9 = 0 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

∩
≡ ∈

∆ → ∆ − =
⊥

∩ ∆ → →

≡ −
i
i
i
i
i

HD : a Ox = K(3;0) .
P O(0;0) Ox .
+ Qua O(0;0)

: 3x y 0

+ a

3 9 3 9

E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) .

10 10 5 5

b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .

1 −
∩ →
∈ ⇒ ₋
i
i
Ox
Ox

0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)

P(0;1) a Q = Ñ (P) = (0; 1)
i b KQ : x 3y 3 = 0 .≡ − −

′
∆ − − − ∆ ∆
∆
′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ → ∈ ∆ ⇒_{∆ ≡}
′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ → ∈∆ ⇒_{∆ ∆ ∆ ∋}
a
11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a

Cách 1 : Tìm A,B A ,B A B

Cách 2 : Tìm A A / / , A

′
∈∆ → = = −
′ ′ ′ ′
∆ ∋ ∆ ∆⇒_∆ ₋ _{− =}
′

+ − = −
′ − + =
i
i
a
2 2
a
2 2

Giải : A(0;1) A Đ (A) (2; 3)

A , / / : x 2y 8 0

12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Đ [(C)]
HD : (C ) : (x 3) y 1 .

∆ −

∆ ∆

∆ = _Ox ∆

13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. ABC cân ở B B. ABC có 1 trục đối xứng

C. ABC Ñ ( ABC) D. Trọng tâm : G = Đ (G)_Oy
HD : Choïn D

− ∆ − + + =

∆ −

′

2 2

14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .

Giải : Gọi M , ∆′ ′ ∆

 ₋
′ 
⊥

⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ ₊
i
i

( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)

a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a

+ (d) (a) (d) : 2x y + m = 0 . Vì (d) M( 3;2) m = 4 (d): 2x y+4 = 0

′
′
′ _′

′
′

= +

′
∩ ⇒ ₋ ⇒ _⇔ 
 ₌ ₊


− = − +
  _{= −}
′
⇔ _ ⇔ _ ⇒ _{− −}
= −

 ₌ ₊

′
∆
≠ ⇒ _∆
−
i

H M M

H M M

M _M

M
M

1

x (x x )

2
+ H = (d ) (a) H ( 2;0 ) H là tru n g đ ie åm c u ûa M ,M H

1

y (y y )

2
1

2 ( 3 x ) _x ₁

2

₁ _y ₂ M ( 1; 2 )

0 (2 y )

2
b ) T ìm ản h ( ) :

1 3

V ì ( ) c aét (a

1 2 ⇒ ∆ ∩

 ₋

⇒ _ _⇔

−


) K = ( ) (a)

x + 3 y 8 = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

≠ ⇒ ₋ ₋
 ₋

⊥

i
i
i
a

Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Làm tương tự như câu a) )
Qua P( 1;3)

Gọi đường thẳng (b) :

a
⊥ → + ∋ − ⇒ ₋ ⇒ _{+ −}
∩ ⇒ ⇒ _⇔
 
= + = − +
 
 
⇔  ⇔ ⇔
 ₌ ₊  ₌ ₊
 
 

E P Q Q

E P Q Q

+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b) : 2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E laø trung điểm của P,Q

1 1

x (x x ) 0 ( 1 x ) _x

2 2

E

1 1

y (y y ) 1 (3 y )

2 2
 ₌
 _⇒
−

= −

 ₋ ₋
′ ′
∆ ≡ _ ⇒ _∆ ₌ _⇔ _{− − =}
= − − = −

i
i
Q
Q
1
Q(1; 1)
y 1

Qua K(2;2) x 2 y 2

+ ( ) (KQ) : ( ) : 3x y 4 0

1 3

VTCP : KQ ( 1; 3) (1;3)

{

{

−
′
′ ′
→ _′ →
= = =
−
+
i i
i i

Đ_a Đ_a

c) + Tìm ảnh của tâm I( 3;2) như câu a) .

Tâm I Tâm I

+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): _{R 2} (C ) : _{R R 2}.Tìm I I
+ Tâm I( 3;2)

Vậy : (C) BK :

I I

{

_
′ − − = −
′
→ 
₊ _′

′
→ + + − =

Ña _a
2 2
2 2
+ Tâm I = Đ [I( 3; 2)] ( ; )

(C ) _{5 5}

R = 2 _{BK : R = R = 2}

2 2

(C ) : (x ) (y ) 4

5 5
I
− ∆ − + − =
∆ −
−
2 2

15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng ( ) : 3x + 2y 6 = 0, đường tròn (C) : (x+1) (y 2) 9.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + 1 = 0 .

HD :

a) M(3; 5) I→ ′− − + + = − −

∆ ∩ →
′
∈ ∆ ≠ − ⇒ _{∆ ≡} ₋ _{+ =}

−
Ña
a

33 1 9 13

M ( ; ),(d): x 2y 7 0,tđiểm H( ; )

5 5 5 5

4 15

b) + K= (a) K( ; )

7 7

+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Ñ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 0
c) + I(1; 2) Ña→ −I (′ 9 8; ) , R = R = 3 ′ ⇒(C ) : (x + )′ 9 2_{+ −}(y 8)2₌9

5 5 5 5

I
− ∆ − + − + + =
∆
′
 ₌
′
→  _′
= −


2 2
ÑOx

16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng qua Ox .

x x

HD : Ta coù : M(x;y) M (

y y
′
 ₌
⇒  _{′ = −}

′
− →
i ÑOx
x x

1) (2)

y y

Thay vaøo (2) : M(2; 3) M (2;3)

′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ ⇔ − − ⇔ ∈ ∆ − −
′ ′ ′ ′
∈ + − + + = ⇔ + − − + =

′ ′ ′ ′ ′ ′
⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =
i

i 2 2 2 2

2 2 2 2

M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 .

M(x;y) (C) : x y 2x 4y 2 0 x y 2x 4y 2 0

(x 1) (y 2) 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 3
−
′ ′
 ₌  ₌
′
→ _ ⇒_
′= − = − ′
 
′ ′ ′ ′ ′
∈ − ⇔ − − ⇔ + ⇔
Ox
ÑOx

17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (
I

′ ′ ∈ ′ +

′

→ÑOy +

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

+ − −
′ ′
 _{= −}  _{= −}
′
→  _′ ⇒ _′
= =
 
′ ′ ′ ′ ′
∈ + − − ⇔ − + − − ⇔ +
2 2
Oy
ÑOy

2 2 2 2 2

18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y 5 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (C) : x y 4y 5 = 0 ( x ) y 4(y ) 5 = 0 x

I
− −
′ ′ ′ ′
⇔ ∈ + − −
′
→ + − −
2
2 2

ÑOy 2 2

y 4y 5 = 0

M (x ;y ) (C ) : x y 4y 5 = 0
Vaäy : (C)_I (C ) : x y 4y 5 = 0

− − ∆ − + + − − +

−

2 2

a

a

19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .

b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Đ .

′ ′
∆ ∆ =
+ ≠
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
→ = − − ⇒ ₌
′
⇒
a a
2 2
Đa

c) Tìm aûnh : ( ) = Ñ ( ),(C ) Ñ (C) .
Giải

a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0

Goïi M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM (x x;y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn

x

I
′ ′
′ + +

 _{− =}  _{= +}
′
⇒ _{∀ ∈} _∈
 
′− = ′= +
 
′ ′
+ + + + + +
⇔ + + = ⇔ + + =
−
⇔ + = − ⇔ =
ℝ
2 2

x x y y

x At _{x x At ( t ) . Gọi I là trung điểm của MM nên I(} _; _{) (a)}

y y Bt y y Bt 2 2

x x y y x x At y y Bt

A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0

2 2 2 2

2(Ax + By + C)

(A B )t 2(Ax + By + C) t

A +

′ ′
⇒_ _{= −} _{= −}
 ₊ ₊
 _{− −} 
′= − ′= − + +
 
 
⇔
 
− −
 _′_{= +}  _′₌ ₊ ₋
 
 
′
− → −
2 2

2 2 2 2

Ña

B

2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)

x x ;y y

A B A B

4(2x y 3) 3 4 12

x x x x y

5 5 5 5

Áp dụng kết quả trên ta có :

2(2x y 3) 4 3 6

y y y y y

5 5 5 5

4 7

b) M(4; 1) M ( ;

5
I
′
∆ → ∆ + − =
′
→ − + − =
Ña

Ñ_a ₂ ₂

)

5

c) : 3x y 17 0

d) (C) (C ) : (x 1) (y 4) 2

I
I

20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y 7 = 0 và ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm phép đối xứng qua

trục biến ( ) thaønh ( ) .∆ ∆′ ∆ − + ∆′ − −

Giải

1 5

Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính

5 1

là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .

− _′ _′
≠ ⇒ _∆ _∆ _∆ _∆
−
′
∆ ∆
1
2

1 2

x y 5 0 (a )
| x 5y 7 | | 5x y 13|

Từ đó suy ra (a) :

x y 1 0 (a )

1 25 25 + 1

Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ) : x y 1 0
 _{+ − =}
− + ₌ − − _⇔
 _{− − =}
+ 
∆ + − = ∆ − − =
a
21 Qua phép đối xứng trục Đ :

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

∈
∈

− 2+ − 2=
HD :

1. Tam giác có 1 đỉnh trục a , hai đỉnh còn lại đối xứng qua trục a .
2. Đường trịn có tâm a .

22 Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x 1) (y 2) 4 qua phép đối xứng trục Oy.

′

→ + + − =

′ ′ ′

∆ ∆

′

− −

2 2

PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y 2) 4

23 Hai ABC và A B C cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .

Bieát A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Haõy ′ ′

′ ′ −

tìm toạ độ các đỉnh A , B và C .

ÑS : A (1;5), B (4;6) và C( 3;1)

24 Xét các hình vng , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .

i

i
ĐS :

Hình vng có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .

Ngũ giác đều co
i

ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .

′
∆

′

d

25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đối xứng trục Đ . Khẳng định
nào sau đây sai ?

A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .
′

′ ≡
′

′ _d ′∈

B. B là trung điểm cạnh AC .

C. Nếu AB = AC thì B C .
D. Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B = Đ (B) thì B AC .

′ ′ ⇒ ′

′ ′ ⇒ ′_≡

i

i

i

A đúng . Vì AB < AC mà AB = AB nên AB < AC B ở trên cạnh AC .
1

B sai . Vì giả thiết bài tốn không đủ khẳng định AB = AC.
2
C đúng . Vì AB = AB mà AB = AC nên AB = AC B C .

′ ′ ′

→ →
i

a b

Đ_a Đ_b

D đúng . Vì Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC=2AB mà AB =AB nên AC=2AB .
26 Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Xét 2 phép đối xứng trục Đ và Đ :

A_I B_I C

∈
∆
∆

. Khẳng định nào sau đây không sai ?
A. A,B,C đường tròn (O, R = OC) .

B. Tứ giác OABC nội tiếp .

C. ABC cân ở B
D. ABC vuông ở B

⇒

⇒ ⇒ ⇒ _∈

i

i

1 2

HD : A. Khơng sai . Vì d là trung trực của AB OA = OB , d là trung trực
của BC OB = OC OA = OB = OC A,B,C đường tròn (O, R = OC) .
Các câu B,C,D có thể sai .

∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .
∆



⇒_ ⇒ ₌ ₌ ⇒_∆



HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
AB = AC

AB AB BC ABC đều .

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

∆ = ∆

= = = =

o

o o o o o o o

28 Cho ABC có A 110 . Tính B và C để ABC
có trục đối xứng .

A. B = 50 vaø C 20 B. B = 45 vaø C 25 C. B = 40 vaø C 30 D. B = C 35

o o

o o o _o

HD : Chọn D . Vì : ABC có trục đối xứng khi ABC cân hoặc đều
Vì A 110 90 ABC cân tại A , khi đó :

180 A 180 110

B C 35

2 2

∆ ∆

= > ⇒_∆

− −

= = = =

29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?

A. Hình chữ nhật B. Hình vng C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn B. Vì : Hình vng có 4 trục đối xứng .

30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?

A. Hình chữ nhật B. Hình vng C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .

∆ ∆

31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?

A. Hình thoi B. Hình vng C. đều D. vuông cân .
∆

ĐS : Chọn C. Vì : đều có 3 trục đối xứng .

32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?

A. Hình vng B. Hình thoi C. Hình trịn D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn C. Vì : Hình trịn có vơ số trục đối xứng .

33 Trong các hình sau , hình nào khơng có trục đối xứng ?

A. Hình bình hành B. đều C. cân D. Hình thoi .∆ ∆
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành khơng có trục đối xứng .

34 Cho hai hình vuô ′ ′ ′

′ ′ ′
′ ′

∩

ng ABCD và AB C D có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .

Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thànhø AB C D .
HD : Gỉa sử : BC B C = E .

′ = ′=
′


′ ′

⇒_∆ _∆ ⇒_ ⇒ _→

′


ĐAE
Ta có : AB = AB , B B 90 ,AE chung .

EB = EB

ABE = AB F B B

bieát AB = AB I

′


′

⇒ _→



′


′

′ ′ = = −

′ ′ ′ ′

⇒ __→ ⇒ _→

ĐAE

Đ_A Đ_AE

EC = EC

Mặt khác : C C

AC = AC = a 2

BAB
Ngồi ra : AD = AD và D AE DAE 90

2

D D ABCD AB C D

I

I I

35 Gọi H là trực tâm ABC . CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có
đường tròn ngoại tiếp bằng nhau .∆

⊥ ⇒

⇒_∆ ⇒

→ →

1 2

1 1 1 2

Đ_BC Đ_BC

HD :

Ta có : A = C (cùng chắn cung BK )

A = C (góc có cạnh tương ứng ) C = C
CHK cân K đối xứng với H qua BC .
Xét phép đối xứng trục BC .

Ta coù : K _I H ; B _I B ; →

∆ → ∆

ÑBC
ÑBC

C C

Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC
I

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

∆
∆

′

∆ a

36 Cho ABC và đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng khơng đi qua B,C .
a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ .

b) Gọi G là trọng tâm ABC , Xác định G là ảnh của G qua phép đối xứng Đ_a.
a

a
a

a
Giải

a) Vì a là trục của phép đối xứng Đ nên :

A a A Ñ (A) .

B,C a nên Đ : B B ,C C sao cho a là trung trực của BB ,CC
b) Vì G a nên Đ : G G sao cho a là trung trực

∈ ⇒ ₌

′ ′ ′ ′

∉ → →

′

∉ →

i

i I I

I cuûa GG .′

′
→
′

∀ ∈

37 Cho đường thẳng a và hai điểm A,B nằm cùng phía đối với a . Tìm trên đường
thẳng a điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất .

Giải : Xét phép đối xứng Đ : A_a A .

M a thì MA = MA . Ta c I ′ ≥ ′

′

ó : MA + MB = MA + MB A B
Để MA + MB ngắn nhất thì chọn M,A,B thẳng hàng

Vậy : M là giao điểm của a và A B .

∆

38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy và M là một điểm bên trong góc đó . Hãy
tìm điểm A trên Ox và điểm B trên Oy sao cho MBA có chu vi nhỏ nhất .
Giải

Gọi N = Đ_Ox(M) và P = Đ_Ox(M) . Khi
≥
≥

đó : AM=AN , BM=BP
Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP

( đường gấp khúc đường thẳng )

MinCVi = NP Khi A,B lần lượt là giao điểm của NP với Ox,Oy .
∆

∆

39 Cho ABC cân tại A với đường cao AH . Biết A và H cố định . Tìm tập hợp
điểm C trong mỗi trường hợp sau :

a) B di động trên đường thẳng .
b) B di động trên đường trị

′ ′

∈∆ ∈ ∆ ∆ ∆

′
∆

n tâm I, bán kính R .
Giải

a) Vì : C = Đ_AH(B) , mà B nên C với = Đ_AH( )
Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng

b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của
đường tròn (I) qua Đ_AH .

<i><b>Vấn đề 4 </b></i><b>: PHÉP ĐỐI XỨNG TẤM </b>

<b>A.KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

′

1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua I.
Phép đối xứng qua một điểm còn gọi là phép đối tâm .

Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn giản là tâm đối xứng .
Kí hiệu : Đ (M) M_I = ′⇔IM′= −IM .

′

≡ ≡

′ ′

≠ = ⇔

⇔ =

i
i
i

Nếu M I thì M I

Nếu M I thì M Đ (M)_I I là trung trực của MM .
ĐN :Điểm I là tâm đối xứng của hình H Đ (H) H._I
Chú ý : Một hình có thể khơng có tâm đối xứng .

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

′ ′ ′

→ = =

′

 ₋




′ = −


I
Ñ

2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) và phép đối xứng tâm I : M(x;y)_{o o} M Đ (M) (x ;y ) thì _I
x = 2x_o x

y 2y_o y

3 Tính chất :

1. Phép đối xứng tâm bảo tồn khoảng cách giư

I

õa hai điểm bất kì .
2. Biến một tia thành tia .

3. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
4. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

5. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
6. Biến một góc thành góc có

→ →

số đo bằng nó .

7. Biến tam giác thành tam giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
′ ′

→

8. Đường trịn thành đường trịn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I_I I , R = R )
<b> B . BÀI TẬP </b>

′

− ⇒

1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I :

1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1)
′

− ⇒ ₋

2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3)
3) C(2;4) , I(3;1) ⇒C (4; 2) ′ ₋

{

{

Giaûi :

x 1 3 x 4

a) Gỉa sử : A Đ (A)_I IA IA (x 1;y 2) ( 3;1) _{y 2} ₁ _{y 1} A (4;1)

Cách : Dùng biểu thức toạ độ

′− = ′=

′= ⇔ = − ⇔ ′− ′− = − − ⇔ ⇔ ⇒ ′

′− = − ′=
≠

′

∆ + + = − ⇒ _∆ ₊ _{− =}

∆

2 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I :

1) ( ) : x 2y 5 0,I(2; 1) ( ) : x 2y 5 0

2) ( ) − − = ⇒ _∆′ ₋ _{+ =}

∆ + − = −

: x 2y 3 0,I(1;0) ( ) : x 2y 1 0
3) ( ) : 3x 2y 1 0,I(2; 3) ⇒( ) : 3x 2y 1 0_∆′ ₊ _{+ =}

′ ′ ′

∆ ∆ ∆ ∆ → ∆

′ ′ ′ ′

∈∆ ∈∆ ⇒

Giaûi

PP : Có 3 cách

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

Cách 2 : Xác định dạng // , rồi dùng cơng thức tính khoảng cách d( ; ) .
Cách 3 : Lấy bất kỳ A,B , rồi tìm ảnh A ,B ∆ ≡ ′ ′

′ ′

 _{= −}  _{= −}

′

→ _ ⇒_

′= − − = − − ′

 

I

A B

Ñ x 4 x x 4 x

1) Cách 1: Ta có : M(x;y) M

y 2 y y 2 y

I

′ ′ ′ ′

∈∆ ⇔ + + = ⇔ − + − − + = ⇔ + − =

′ ′ ′ ′

⇔ ∈∆ + − =

′

∆ → ∆ + − =

′ ′

∆ ∆ ⇒_∆ _∆

I

Vì M(x;y) x 2y 5 0 (4 x ) 2( 2 y ) 5 0 x 2y 5 0

M (x ;y ) : x 2y 5 0
Ñ

Vaäy : ( ) ( ) : x 2y 5 0

Cách 2 : Gọi = Đ ( )I _I song song ⇒_∆′ _≠

 ₌

′

∆ ∆ ⇔ = ⇔ = − ⇔ _{= −}



+ +

: x + 2y + m = 0 (m 5) .

|5| | m | m 5 (loại)

Theo đề : d(I; ) = d(I; ) 5 | m |

m 5

2 2 2 2

1 2 1 2

→ ∆′ + − =

′ ′ ′ ′ ′

− − − ∈∆⇒ ₋ ⇒_{∆ ≡} ₊ _{− =}

( ) : x 2y 5 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

′

+ − = ⇒ ₋ ₊ ₌

3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I :

2 2 2 2

1) (C) : x (y 2) 1,E(2;1) (C ) : (x 4) y 1
2

2) (C) : x + + + = ⇒ ′ ₊ ₋ ₋ ₊ ₌

− + →

2 2 2

y 4x 2y 0,F(1;0) (C ) : x y 8x 2y 12 0
đ / nghiã hay biểu thức toạ độ

2

3) (P) : y = 2x x 3 , taâm O(0;0) . ′ − − −

′ ′

E→ = =

2
(P ) : y = 2x x 3

HD :1) Co ù2 cách giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ .
Đ

Cách 2 : Tìm tâm I I ,R R (đa õcho) .
2) Tương tự .

4 Cho hai điểm A và B .Cho biết phép biến đổi M thàn
I

′ ′

h M sao cho AMBM là một hình bình hành .

 _′

 ₌

′ ⇔

′
=


′= + ′= +

= −
′

⇒ ₌

HD :

MA BM
Neáu AMBM là hình bình hành

MB AM
Vì : MM MA AM MA MB (1)

Gọi I là trung điểm của AB . Ta coù : IA IB

Từ (1) MM MI+ + + ⇒ ′₌

′ ′

⇔ = ⇔ =

IA MI IB MM 2MI

MI IM M Đ (M) ._I

5 Cho ba đường trịn bằng nhau (I ;R),(I ;R),(I ;R) từng đôi tiếp₁ ₂ ₃
xúc nhau tại A,B,C . Gỉa sử M là một điểm trên

→A B→ C→ →I1

(I ;R) , ngoài ra : ₁
Đ

Ñ

Ñ Ñ

M_I N ; N_I P ; P_I Q . CMR : M_I Q .

•

→A →A ⇒ _→A _⇔ _{= −}

HD :

Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại A , nên : ₁ ₂

Ñ Ñ Ñ

M_I N ;I₁_I I ₂ MI₁_I NI₂ MI₁ NI (1)₂

•

→ → ⇒ __→ _⇔ _{= −}

•

→ → ⇒ _ _→

B B B

C C C

Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại B , nên : ₂ ₃

Ñ Ñ Ñ

N P ;I₂ I ₃ NI₂ PI₃ NI₂ PI (2)₃

Do (I ;R) tiếp xúc với (I ;R) tại C , nên : ₃ ₁

Ñ Ñ Ñ

P Q ;I₃ I ₁ PI₃

I I I

I I I  ⇔ = −

= − ⇔ =

∆

1

QI₁ PI₃ QI (3)₁
Từ (1),(2),(3) suy ra : MI₁ QI₁ M Đ (Q) ._I

5 Cho ABC là tam giác vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Vẽ phía

{

}

ngồi tam giác hai hình vng ABDE và ACFG .

a) Chứng minh tập hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ùmột trục đối xứng .
b) Gọi K là trung điểm của EG . Chứng minh K ở trên đường thẳn

∩

⊥ ⊥

g AH .
c) Gọi P = DE FG . Chứng minh P ở trên đường thẳng AH .

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

= =

• → → → →

→

DF DF DF DF

DF
HD :

a) Do : BAD 45 và CAF 45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng .

Đ Đ Đ Đ

Ta coù : A A ; D D ; F F ; C G ;

Ñ

B E (Tính chất hình vuông ).
Vaäy : Taäp

l l l l

l

{

}

∆ ∆ =

= ∆

hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ù trục đối xứng chính là đường thẳng DAF .
b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG nên BAC AEG.

Nhưng : BCA AGE ( 2 đối xứng = )

AGE A (do KAG cân tại K) . Suy ra : A= ₂ ∆ ₁=A ₂ ⇒K,A,H thẳng hàng ⇒K ở trên AH .
c) Tứ giác AFPG là một hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng . (Hơn nữa K là trung điểm của AP )
Vậy : P ở trên PH .

• ∆ ∆




• _ ⇒_∆ _{= ∆} ⇒ ₌ ⇒ ₌




⊥ ⇒ _⊥

d) Do EDC = DBP neân DC = BP .
DC = BP

Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB nhöng hai góc này có cặp

BC = AP

caïnh : BC AP cặp cạnh còn lại : DC BP.

Lyù lua ⊥

∆ ∆

än tương tự , ta có : BF CP.

e) Ta có : BCP . Các đường thẳng AH, CD và BF chính là ba đường cao của BCP nên đồng qui .

=
2AB

6 Cho hai điểm A và B và gọi Đ và Đ lần lượt là hai phép đối xứng tâm A và B ._A _B

a) CMR : Đ_B Đ_A T .

b) Xác định Đ_A Đ ._B

HD : a) Gọi M là một điểm bất kỳ , ta có :

M→ ′ = ′

′→ ′′ = ′′ ′′ ∀

A
B

Ñ _{M : MA AM}

Ñ

M M : MB BM . Nghóa là : M = Đ_B Đ (M), M (1)_A
I

I

′′

→

′′= ′+ ′ ′′

′= ′ ′′= ′

′′= + ′ = + ′ +

=

B A

Ñ Ñ

Ta chứng minh : M M :

Biết : MM MM M M

Mà : MM 2MA và M M 2M B

Vậy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB

Vì : MA

I

′ + ′ = ′′= ⇔ ′′= ∀

2AB

AM neân MA M A 0 . Suy ra : MM 2AB M T (M), M (2)

=
= 2AB

2 BA
Từ (1) và (2) , suy ra : Đ_B Đ_A T .
b) Chứng minh tương tự : Đ_A Đ_B T .

7 Chứng minh rằng nếu hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với nhau thì
(H) có tâm đối xứng .

HD : Dùng hình thoi

Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với nhau

= =

∈

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

∩ =
=

+ =

= × =

Gọi O = a b , ta có : OM = OM và MOM₁ ₁ 2AOM ₁
OM = OM vaø M OM₁ ₂ ₁ ₂ 2M OB ₁
Suy ra : OM = OM vaø MOM₂ ₁ M OM₁ ₂ 2(AOM +M OB)₁ ₁
hay MOM₁ 2 90 180

Vaäy : O la

= ∀ ∈ ∈ ⇔

ø trung điểm của M và M . ₂

Do đó : M₂ Đ (M), M (H),M_O ₂ (H) O là tâm đối xứng của (H) .

∆ = ∆

= = = =

→N

8 Cho ABC có AM và CN là các trung tuyến . CMR : Nếu BAM BCN = 30 thì ABC đều .
HD :

Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtrịn tâm O, bkính R=AC và MON 2NAM 60 .
Đ

Xeùt : A I ⇒ _→ _∈ _∈

→ ⇒ _→ _∈ _∈

 ₌ ₌



⇒_∆



=


+ = + = =

N

M M

Đ

B (O) (O ) thì B (O ) vì A (O) .₁ ₁

Đ Đ

C B (O) (O ) thì B (O ) vì C (O) .₂ ₂

OO₁ OO₂ 2R

Khi đó , ta có : OO O là tam giác đều ._{1 2}

MON 60

Vì O B O B R R 2R O O nên B là trun₁ ₂ _{1 2}
I

I I

∆ ∆ ∆

∆ ∆

≃

g điểm O O ._{1 2}
Suy ra : ABC OO O (Vì cùng đồng dạng với BMN) ._{1 2}
Vì OO O là tam giác đều nên ABC là tam giác đều ._{1 2}

<b>Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ sách của chúng tôi để lĩnh hội </b>

<b>được tất cả những kiến thức và Phương pháp mới nhất. Bộ sách là sự kết hợp </b>

<b>độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605 </b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b> /><b>8</b>

<b>Xem thêm nhiều sách tại: </b>

<b> /><b>Hổ trợ giải đáp: </b>

<b></b>

<b>Xem video giới thiệu bộ sách và các tính năng tại: </b>

<b> />

<i><b>Vấn đề 5 </b></i><b>: PHÉP QUAY </b>

<b>A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

ϕ

′ ′ ′ ϕ

1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác . Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M sao cho OM = OM và (OM;OM ) = được gọi là phép quay tâm O với

ϕ

ϕ

i
i

Phép quay hồn tồn xác định khi biết tâm và góc quay
Kí hiệu : Q ._O

goùc quay .

≡

π ≡ ∀ ∈

π ≡ ∀ ∈

i ℤ

i ℤ

i

Chú ý : Chiều dương của phép quay chiều dương của đường tròn lựơng giác .
2k

Q phép đồng nhất , k
(2k+1)

Q phép đối xứng tâm I , k
2 Tính chất :

ĐL : Phép quay
i

là một phép dời hình .
HQ :

1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương
ứng .

2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

ϕ

→ →

′ ′
(O ; )→

Q Q

5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
Q

6. Đường trịn thành đường trịn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R

I I

I = R )

7. Góc thành góc bằng nó .
<b> B. BÀI TẬP </b>

ϕ
ϕ
 _α
α 
α

′ ′
(O ; )→

/

1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) . Tìm M = Q_{(O ; )}(M) .
HD :

x = rcos

Gọi M(x;y) . Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = thì M

y = rsin

Q _/ _/

Vì : M_I M . Gọi M (x ;y ) thì đo α ϕ

′ α ϕ α ϕ − α ϕ = ϕ − ϕ

′ α ϕ α ϕ + α ϕ = ϕ + ϕ

′ ϕ − ϕ

′ ϕ + ϕ

/ /

ä daøi OM = r vaø (Ox;OM ) = + .
Ta coù :

x = rcos( + ) = acos .cos asin .sin x cos ysin .
y = rsin( + ) = asin .cos acos .sin xsin y cos .

x = x cos ysin
/

Vaäy : M

y = xsin y cos




−ϕ
ϕ
−ϕ
′′
 _{ϕ +} _ϕ
→ 
′′ − ϕ + ϕ

′
 ₋ ₋ _{ϕ −} ₋ _ϕ

→ 
′ − − ϕ + − ϕ

 →

(O ; )
(I ; )

o o
(I ; )

o o
Đặc bieät :

Q _// _{x = x cos} _ysin

M M

y = xsin y cos

Q _/ _{x x = (x x )cos}_o _o _{(y y )sin}_o

M M

y y = (x x )sin (y y )cos

I(x ;y ) _o _o _o

Q
M

I(x ;y )
I

I

I   ′′− − ϕ − − ϕ

′′ − − − ϕ + − ϕ



x x = (x x )cos (y y )sin

// o o o

M

y y = (x x )sin_o _o (y y )cos_o

−
→(O ; 45 )

2 Trong mpOxy cho pheùp quay Q . Tìm ảnh của :
(O;45 )

2 2

a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C) : (x 1) + y = 4
Q

/ / /

Giải . Gọi : M(x;y) _I M (x ;y ) . Ta coù : OM = 2 2, (Ox; OM) α
 _′
 _α ₌ _α ₋ _α ₌ ₋

′
 _α ₌ _α ₊ _α ₌ ₊

=
x = rcos( +45 ) r cos .cos45 rsin .sin 45 x.cos45 y.sin 45
/

Thì M

y = rsin( +45 ) rsin .cos45 r cos .sin 45 y.cos45 x.sin 45

′ −

⇒ _
 _′ ₊

2 2

x = x y

/ ₂ ₂

M

2 2

y = x y

2 2
→


′
→
 
′
 _
′
→ − −

i _i
i _i

(O ; 45 )

(O ; 45 )
(O ; 45 )

Q

/

a) A(2;2) A (0 ;2 2)

Q _/

Tâm I(1;0) _{Tâm I ?}

b) Vì (C) : _{Bk : R = 2} (C ) :

Bk : R = R = 2

Q ₂ ₂ ₂ ₂

/ 2 2

I(1;0) I ( ; ) . Vaäy : (C ) : (x ) + (y ) =

2 2 2 2

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>


′ −


 _′ ₊

1 3

x = x y

2 2

3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : . Hỏi f là phép gì ?

3 1

y = x y

2 2
 _π _π
′ −

′ ′ ′
→ _ ⇒ _π
π π
 _′ ₊

Giaûi

x = x cos ysin

3 3

Ta có f : M(x;y) M (x ;y ) với f là phép quay Q

(O; )

y = xsin y cos ₃

3 3

I

4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phép đối xứng tâm I(1; 2). b) Phép quay Q .

(O;90 )
Giải

a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) thì biểu thức _I

∆ −

−

′ ′ ′ tọa độ M x 2 x_y _{4 y} x 2 x_y _{4 y}

Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 0 2(2 x ) ( 4 y ) 1 0 2x y 9 0

M (x ;y ) ( ) : 2x y 9 0

′ ′
 _{= −}  _{= −}
′ _′ ⇔ _′
= − − = − −
 
′ ′ ′ ′
∈ ∆ − ⇔ − − − − + = ⇔ − + + =
′ ′ ′ ′
⇔ ∈ ∆ − − =
I
(O;90 )
Đ

Vậy : ( ) ( ) : 2x y 9 0

Q

b) Caùch 1 : Goïi M(x;y) M (x ;y ) . Ñaët (Ox ; OM) = , OM = r ,
Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r .

x = rcos
Khi đó : M _y

′
∆ → ∆ − − =
′ ′ ′
→ α

′ α ′=
α
I
I
(O;90 )
(
Q

x r cos( 90 ) rsin y x y

M

= rsin _{y rsin(} _{90 ) rcos} _x y x

Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + 1 = 0 x 2y + 1 = 0 M (x ;y ) ( ) : x 2y 1 0
Q

Vaäy : ( )

 _′ _′

 ₌ _{α +} _{= −} _{α = −}  ₌
′
→ ⇒
   _′
α = −
 _ _{′ =} _{α +} ₌ _{α =} 
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ − − ⇔ + ⇔ ∈ ∆ + + =
∆

I

I→ ∆O;90 ) ( ) : x 2y 1 0′ + + =

′ ′
• ∈ ∆ → − ∈ ∆
−
′ ′
• − ∈ ∆ → ∈ ∆
′ ′ ′
• ∆ → ∆ ≡ + + =
(O;90 )
(O;90 )
(O;90 )
Q

Caùch 2 : Laáy : M(0;1) ( ) M ( 1;0) ( )

Q

1 1

N( ;0) ( ) N (0; ) ( )

2 2

Q

( ) ( ) M N : x 2y 1 0
I

I
I
′ ′
• ∆ → ∆ ⇒ _{∆ ⊥ ∆} _∆ ₌ ⇒ _∆_′_{= −}
′ ′
• ∈ ∆ → ∈ ∆
′


′ ′
• ∆ _ ⇒ _∆
−

i
i
(O;90 )
(O;90 )
Q ₁

Caùch 3 : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số góc : k 2 k

2
Q

M(0;1) ( ) M (1;0) ( )

Qua M (1;0)
( ) : _{hsg ; k =} 1 ( )

2

I

I

+ + =

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

′
5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) . Hãy tìm toạ độ điểm A là ảnh

o
của A qua phép quay tâm O góc 90 .
HD :

Gọi B(3;0),C(0;4) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,

′ ′ ′

′ ′ − ′ −

Oy . Phép
o

quay tâm O góc 90 biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC A B .
Khi đó : C (0;3),B ( 4;0). Suy ra : A ( 4;3).

−

 ₌ ₌

= − = ⇒ 

= ⇒ _⊥


⇒

6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Tìm phép quay Q biến điểm A( 1;5)
thành điểm B(5;1) .

OA OB 26

HD : Ta có : OA ( 1;5) và OB (5;1)

OA.OB 0 OA OB

B = Q

(O ; 90 )(A) .

⇒ ₌ ⇒ _⇔ _⇔ ₋

= ⇒ ₊ ₌ _{+ =}

7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M(4;1) . Tìm N = Q (M) .
(O ; 90 )
HD :

Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 0 4x+y = 0 y= 4x (1)

(O ; 90 )

2 2

Do : OM ON x y 16 1 17 (2) .

Giải (1) và − −

= −

(2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1;4) .

Thử lại : Điều kiện (OM;ON) 90 ta thấy N( 1;4) thoả mãn .
−

∈ ∈ =

−

 ₌ _>

+ = ⇒



= =



8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) . Tìm B = Q (A) .
(O ; 45 )

HD : Phép quay Q biến điểm A Oy thành điểm B đt : y x,ta có :

(O ; 45 )

x_B y_B 0 ₂ ₂

. Maø OB = x_B y_B 3 x

OA OB 3 = ⇒

− +

→
o

3 _B( 3 _; 3 _).

B ₂ ₂ ₂

4 3 3 3 4 3

b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q (A) B ( ; )

(O;60 ) 2 2

′

− + − =

′ ′

= − ⇒ ₊ _{+ −} ₌

′

− + − =

2 2

9 Cho đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 4 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 90 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ) : (x 2) (y 3) 4 .
(O ; 90 )

2 2

10 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2 3) 5 . Tìm (C ) =

′ ′

= − ⇒ ₊ _{+ −} ₌

Q (C) .

(O ; 60 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ) : (x 2) (y 2 3) 5 .
(O ; 60 )

′

− + − =

′ ′

= − + ⇒ _{− +} _{+ − −} ₌

2 2

11 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2) 3 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 45 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I (1 2;1 2) (C ) : (x 1 2) (y 1 2) 3 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

−

∈

12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) và đường thẳng (d) : x + y 2 = 0.
Tìm ảnh của A và (d) qua phép quay Q .

(O ; 90 )
HD :

Ta có : A(2;0) Ox . Gọi B = Q (

(O ; 90 ) ∈

− ∈

−

⇒ ₊ _{= ⇔} ₊

−

A) thì B Oy và OA = OB .
Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y 2 = 0 nên A,B (d) .

Do B = Q (A) và tương tự Q (A) = C( 2;0)

(O ; 90 ) (O ; 90 )

x y x y

neân Q (d) = BC (BC) : 1

(O ; 90 ) x_C y_C 2 2= ⇔ − + =1 x y 2 0

− − ∆ ⇒ _∆ _{+ − =}

+ − ∆

′ ′

∩ ∩ → −

⇒ _∆ ₋

13 Cho (d) : x 3y 1 = 0 . Tìm = Q (d) . ( ) : 3x y 1 0
(O ; 90 )

14 Cho (d) : 2x y 2 = 0 . Tìm = Q (d) .
(O ; 60 )

1 3

aûnh

HD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A ( ; ),B ( 3;1)

2 2
( ) : ( 3 2)x (2 3 1)y 4 0− + + =

∆

15 Cho tam giác đều ABC có tâm O và phép quay Q .
(O;120 )
a) Xác định ảnh của các đỉnh A,B,C .

b) Tìm ảnh của ABC qua pheùp quay Q

(O;120 )

= = = → → →

∆ → ∆

Giải

a) Vì OA = OB = OC và AOC BOC COA 120 nên Q : A B,B C,C A

(O;120 )

b) Q : ABC ABC

(O;120 )

I I I

16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O .
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay Q .

(A ; 90 )
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay Q

(O ; 90 )

HD : a) Gọi E = Q (C) thì AE=AC va

(A ; 90 ) ø CAE 90 neân AEC

vuông cân đỉnh A , có đường cao AD . Do đó : D là trung điểm của EC .

b) Ta coù : Q (B) C vaø Q (B) C Q (BC) CD.

(O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 )

= ∆

= = ⇒ ₌

∆

′

= =

17 Cho hình vuông ABCD tâm O . M là trung điểm của AB , N là trung điểm
của OA . Tìm ảnh của AMN qua phép quay Q .

(O;90 )

HD : Q (A) D , Q (M) M là trung điểm cuûa A

(O;90 ) (O;90 )

′ ′ ′

= ∆ = ∆

D .

Q (N) N là trung điểm của OD . Do đó : Q ( AMN) DM N

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

∆

18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác đều ABCDEF , O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó . Tìm ảnh của
OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O

= = =

= = =

OE

OE _{(O;60 )}

(O;60 ) (O;60 ) (O;60 )

OE OE OE

, góc 60 và phép
tịnh tiến T .

HD :

Gọi F = T Q . Xét :

Q (O) O,Q (A) B,Q (B) C .

T (O) E,T (B) O,T (C) D

Vaäy : F(O) = E , F(A) = O , F(B) = D ⇒F( OAB) = EOD_∆ _∆

∆

19 Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương , O là tâm đường trịn ngoại tiếp của nó . I là
trung điểm của AB .

a) Tìm ảnh của AIF qua pheùp quay Q .
(O ; 120 )

b) Tìm ả ∆

∆ = ∆

nh của AOF qua pheùp quay Q .

(E ; 60 )
HD :

a) Q biến F,A,B lần lượt thành B,C,D , trung điểm I
(O ; 120 )

thành trung điểm J của CD nên Q ( AIF) CJB .
(O ; 120 )

b) Q bieán

(E ; 60 ) A,O,F lần lượt thành C,D,O .

15 Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự trên thẳng hàng . Vẽ cùng một phía dựng hai tam giác đều ABE và

BCF . Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE . Chứng minh rằng : BMN là tam giác đều .
HD :

Xeùt pheùp quay Q_{(B; 60 )}.Ta coù : Q_{(B; 60 )}(A) E , Q_{(B; 60 )}(F) C
Q_{(B; 60 )}(AF) EC .

Do M là trung điểm của AF , N là trung điểm của EC , nên :
Q_{(B; 60 )}(M) N BM

= =

− − −

⇒ ₌

−

= ⇒

− = BN và MBN 60= ⇒∆BMN là tam giác đều .

∆

21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC . Điểm A chạy trên nửa đường trịn đó .
Dựng về phía ngồi của ABC hình vng ABEF . Chứng minh rằng : E chạy

trên nửa đ

′
ường cố định .

HD : Gọi E = Q (A) . Khi A chạy trên nửa đường tròn (O) ,
(B;90 )

E sẽ chạy trên nửa đường tròn (O ) = Q [(O)] .
(B;90 )
∆

∆

′
∆

22 Cho đường (O;R) và đường thẳng khơng cắt đường trịn . Hãy
dựng ảnh của ( ) qua phép quay Q .

(O ; 30 )
Giaûi

Từ O hạ đường vng góc OH với . Dựng điểm H sao cho

(OH ′ ′ ′

′
∆

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

∆

∆ ⇒ ₌ ₌

23 Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d , M là điểm
di động trên d . Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN đều .
Giải : OMN đều OM ON và NOM 60 . Vì vậy khi M chạ

′
′′

−
i

i

y trên d thì :
N chạy trên d là ảnh của d qua phép quay Q .

(O;60 )
N chạy trên d là ảnh của d qua pheùp quay Q

(O; 60 )
′

′ ′ ′ ′

24 Cho hai đường tròn (O) và (O ) bằng nhau và cắt nhau ở A và B .
Từ điểm I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB và NB cắt
(O ) tại M và N . Chứng minh đường thẳng ′

′ ϕ ′

′ ′ ′ ′ ′

M N luoân luôn đi qua một
điểm cố định.

Giải

Xét phép quay tâm A , goùc quay (AO; AO ) = biến (O) thành (O ) .
Vì MM và NN qua B neân (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) .
Qua pheùp quay Q : MI

ϕ

′ ′

→ →

′ ′
→

′ ′

′ _ϕ

(A; )

M , N N và do đó
Q

MN M N

Đường thẳng MN qua điểm cố định I nên đường thẳng M N qua
điểm cố định I là ảnh của I qua Q(A; )

I
I

∆

−
∆

=

25 Cho hai hình vuông ABCD và BEFG

a) Tìm ảnh của ABG trong phép quay Q .
(B; 90 )
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AG và CE .
Chứng minh BMN vuông cân .

Giải

BA BC
a) Vì

(BA;

  ₌

 

 

= − = −

 

 

⇒ _→ _→ ⇒ _∆ _{→ ∆}

− −

→ ⇒ _→ ⇒ ₌ ₋

− −

⇒_∆

BG BE
vaø

BC) 90 (BG;BE) 90

Q : A C,G E Q : ABG CBE

(B; 90 ) (B; 90 )

b) Q : AG CE Q : M N BM BN vaø (BM;BN) = 90

(B; 90 ) (B; 90 )

BMN vuông cân taïi B .

I I

I
∆

∩ ∆

26 Cho ABC . Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF . Gọi M là trung điểm của BC
và giả sử AM FE = H . Chứng minh : AH là đường cao của AEF .

⇒
HD :

Xét phép quay Q : Kéo dài FA một đoạn AD = AF .
(A;90 )

Vì AF = AC AC = AD nên suy ra : Q biến B , C lần lượt thành E , D
(A;90 )

Đ/nghó
nên gọi trung điểm K của DE thì K= Q (M)

(A;90 ) → ⊥

∆

⊥ ⇒ _∆

a MA AK (1) .
Trong DEF , vì AK là đường trung bình nên AK // FE (2)

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

27 Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều
dương . Các đường chéo cắt nhau tại I. Trên cạnh BC lấy BJ = 1 . Xác định
phép biến đổi AI thành BJ .

HD = = ⇒ ₌ ₌

⇒ _∩

⇒

AB 2

: Ta có : AI= 1 AI BJ . Lại coù : (AI,BJ) 45 .

2 2

BJ = Q (AI) . Tâm O = ttrực của AB cung chứa góc 45 đi
(O;45 )

qua A,B BJ = Q (AI)

(O;45 )
∆

28 [CB-1.18] Cho ABC . Dựng về phía ngồi của tam giác các hình vng BCIJ,ACMN,ABEF

và gọi O,P,Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng .

a) Gọi D là trung điểm của AB . Chư ∆

⊥

⇒ _⊥

ùng minh rằng : DOP vuông cân tại D .
b) Chứng minh rằng : AO PQ và AO = PQ .

HD :

a) Vì : AI = Q (MB) MB = AI vaø MB AI .

(C;90 )

Mặt khác : DP 1 BM , DO

2 AI

⇒DP = và DO ⊥ ⇒∆DOP vuông cân tại D .
→(D;90 ) →(D;90 ) ⇒ ₌ _⊥
b) Từ câu a) suy ra :

Q Q

O _I P,A _I Q OA và PQ.

∆

29 Cho ABC có các đỉnh kí hiệu theo hướng âm . Dựng
về phía ngồi tam giác đó các hình vng ABDE và BCKF .
Gọi P là trung điểm của AC , H là điểm đối xứng của D qua B ,
M là tr

⊥




ung điểm của đoạn FH .

a) Xác định ảnh ủa hai vectơ BA và BP trong phép quay Q .
(B;90 )
b) Chứng minh rằng : DF BP và DF = 2BP .

HD :

BA = BH (cùng bằng BD)
a) Ta coù :

(BA;BH) = 90




⇒ ₌ ⇒ ₌

= = ⇒ ₌

= =

90 90

H Q_B (A) BH Q_B (BA)

90 90 90

Vì : Q_B (A) H,Q_B (C) F Q_B (AC) HF .

90 90

Mà : F là trung điểm của AC , Q_B (F) M là trung điểm của HF . Do đó : Q_B (BP) BM

= ⇒ ₌ _⊥

∆ ⊥

.
90

b) Vì : Q_B (BP) BM BP BM,BP BM .

1 1

Mà : BM = DF và BM // DF (Đường trung bình của HDF ). Do đó : BP = DF , DF BP .

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

30 Cho tứ giác lồi ABCD . Về phía ngồi tứ giác dựng các tam giác đều ABM , CDP . Về phía trong
tứ giác, dựng hai tam giác đều BCN và ADK . Chứng minh : MNPK là hình bình hành .

H → →

⇒ _{→} ⇒ ₌

→ →

⇒ _{→} ⇒ ₌

(B;90 )

(D;90 )
60

D : Xeùt pheùp quay Q_B : M A , N C

Q

MN AC MN AC (1)

60

Xeùt pheùp quay Q_D : P C , K A

Q

PK CA PK CA (2)

Từ (1) , (2) suy ra : MN = PK .
Lí luận , tươ

I I

I

I I

I

⇒

ng tự : MK = PN MKNP là hình bình hành .
∆

∩ = → →

⇒

(B;60 ) (B;60 )
31 Cho ABC . Về phía ngồi tam giác , dựng ba tam giác đều
BCA ,ACB ,ABC . Chứng minh rằng : AA ,BB ,CC đồng quy .₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁
HD :

Q Q

Gỉa sử AA₁ CC₁ I . Xét : A₁ C,A C₁

A A₁

I I

I→ ⇒ ₌ ⇒ ₌

= ⇒_∆

(B;60 )
Q

CC₁ (A A;CC ) 60₁ ₁ AJC₁ 60 (1)
Lấy trên CC điểm E sao cho : IE = IA . Vì EIA 60₁ EIA đều .

→ → →

⇒

(A;60 ) (A;60 ) (A;60 )

Q Q Q

Xeùt : B C ,I₁ E , B₁ C

Vì : C ,B,C thẳng hàng nên B,I,B thẳng hàng ₁ ₁
AA ,BB ,CC đồng quy .₁ ₁ ₁

I I I

32 Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối tâm các hình vng dựng
trên các cạnh của một hình bình hành về phía ngồi , hợp thành
một hình vng .

HD : Gọi I ,I ,I ,I là tâm của_{1 2 3 4}

→ ∆ = ∆

⇒ ₌ ₌ ₌ ⇒ _⊥

(I;90 )→ ⇒ ₌ _⊥

hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA .
Dùng phép quay Q(I;90 ) : B C . Vì I BA₁ I CD₃

CI₃ BI vaø DCI₁ ₃ ABI₁ 45 . Maø DC // AB CI₃ BI₁
Q

Vaäy : I₃ I₁ I I_{2 1} I I vaø I I_{2 3} _{2 1} I I ._{2 3}
Lý luận tương t

I

I

ự , ta có : I I I I là một hình vng ._{1 2 3 4}

<i><b>Vấn đề 6 </b></i><b>: HAI HÌNH BẰNG NHAU </b>

<b>A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

′ ′ ′ ∆ ∆ ′ ′ ′

1 ĐL : Nếu ABC và A B C là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến ABC thành A B C .
2 Tính chất :

1. Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình .

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

∆ ∆

1 Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E,F,H,I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
AB,CD,BC,EF. Hãy tìm một phép dời hình biến AEI thành FCH .

HD :

Thực hiện liên tiếp phép tịnh tie

→ → → ⇒ _∆ _{= ∆}

án theo AE và phép đối xứng qua đường thẳng IH

T_AE: A_I E,E_I B,I_I H T_AE( AEI) EBH

→ → → ⇒ _∆ _{= ∆}

∆ = ∆

∆ = ∆ ⇒_∆ _{= ∆}

Ñ_IH: E F,B C,H H Ñ ( EBH)_IH FCH

Ñ_IH: T_AE( AEI) FCH

Do đó : Đ_IH T_AE( AEI) FCH AEI FCH

I I I

2 Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi O là tâm đối xứng của nó ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG . Chứng minh rằng : Hai hình thang AJOE và GJFC bằng nhau .
HD :

Phép tịnh tiến theo AO biến A,I,O,E lần lượt thành O,J,C,F . Phép đối
xứng qua trục của OG biến O,J,C,F lần lượt thành G,J,F,C.

Từ đó suy ra phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai
phép biến hình trên sẽ biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC .
Do đó hai hình thang ấy bằng nhau .

−

3 [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) và đường thẳng (d) : 2x y = 0 . Tìm ảnh của (d) qua phép
dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay Q và phép tịnh tiến

(O;90 ) T .u

′ ′′

→ →

′= ∈ = ∈ ′

′⊥ ⇒ ′ ₊ _{+ =} _≠ ′ ⇒ ′

(O;90 ) u

Q _T

HD : PP : d d d

Goïi d Q (d) . Vì tâm O d nên Q (O) O d .

(O;90 ) (O;90 )

Mặt khác : d d d : x 2y C 0 (C 0) mà d qua O nên C = 0 d : x + 2y = 0
Cách khác : Chọn

I I

′ ′

∈ → ∈

 _′  _′  _′

 ₌ _{α +}  ₌ _α ₋ _α  ₌ ₋

′ = =

′ ′ ′

 ₌ _{α +}  ₌ _α ₊ _α  ₌ ₊

  

=

(O;90 )
Q

M(1;2) d M d .

x OM cos( 90 ) x OM cos cos90 OMsin sin 90 x x cos90 ysin 90

Ta coù : M

y OMsin( 90 ) y OMsin cos90 OM cos sin 90 y y cos90 xsin 90

I

 _′ _ _′

 ₌ ₋ _{= −}

′

= ⇒ ₋

 

′ =


′

 ₌ ₊



′′= ′ ⇒ ′′ ′⇒ ′′ ₊ _{+ =}

′ ′

 _{= +}  ₌

′= ⇔ ′ ⇔ ⇔ ⇔ ′

′= + ′=

 

′′∋ ′⇒ _{+ + =}

x 1cos90 2sin 90 x 2 _{M ( 2;1)}

y 1
y 2 cos90 1sin 90

Goïi d T (d )_u d // d d : x 2y C 0 .

x x 3 x 3

Goïi O T (O)_u OO = u O (3;1) .

y y 1 y 1

Vì d O 3 2 C 0⇒ _{= −} ⇒ ′′ ₊ _{− =}

′

= + − =

C 5 d : x 2y 5 0

Vaäy :T Q_u (d) (d ) : x 2y 5 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

+ − + − =
−

2 2

4 Tìm ảnh của đường trịn (C) : x y 2x 4y 4 0 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
tịnh tiến theo u = (3; 1) và phép Đ_Oy .

ÑS : (C ) : (x + 4)′ 2+ +(y 3)2=9

+ − − + =

2 2

5 Tìm ảnh của đường trịn (C) : x y 6x 2y 6 0 có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
quay Q và phép Đ_Ox .

(O;90 )

HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = 2 . Khi đó :

(C) : I(3;1) → ′ ′ − → ′′ ′′ − −

′′

⇒ _{+ +} ₌

(O;90 ) _Ox

Q _Ñ

, R = 2 (C ) : I ( 1;3) , R = 2 (C ) : I ( 1; 3) , R = 2

2 2

(C ) :(x + 1) (y 3) 4

I I

− − −

′ ′ ′

−
∆

6 [CB-P23] Trong mpOxy cho caùc điểm A( 3;2),B( 4;5) và C( 1;3).

a) Chứng minh rằng : Các điểm A (2;3),B (5;4) và C (3;1) theo thứ tự là ảnh của A,B và C qua Q .
(O; 90 )
b) Gọi A B C l_{1 1 1} à ảnh của ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép ∆

∆
−

−

(O;

Q và phép đối xứng Đ_Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của A B C ._{1 1 1}
(O; 90 )

HD :

a) Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A trên Ox,Oy thì
M( 3;0),N(0;2).

Q
Khi đó : Hình chữ nhật OMANI −

−

′ ′ ′

→

′ ′

′

−

′ ′

− −

′ ′

→ ⇔ ∆

90 )

(O; 90 )

hcnhật OM A N
với M (0;3),N (2;0).

Do đó : A (2;3) = Q (A) .
(O; 90 )

Ttự : B (5;4) = Q (B),C (3;1) = Q (C) .

(O; 90 ) (O; 90 )

Q

Cách khác : Gỉa sử A_I A AOA vuông c

′ ′ =

ân tại O .

Điều đó đúng vì : OA = OA = 13, OA.OA 0 . Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh .

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ∆ = ∆

−

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

 ₌ _′₌


⇒ ₋ ₋ ₋



= _′= −


=

= − −

= − − ⇔ = − −

1

1

x_A x_A 2

Khi đó : A (2; 3).Ttự : B (5; 4),C (3; 1).₁ ₁ ₁

y_A y_A 3

2
7 Trong mpOxy , cho hai parabol : (P ) : y 2x ,₁

2

(P ) : y 2x₂ 4x 1. Khaúng định nào sau đây sai ?

2 2

A) y 2x 4x 1 y 2(x 1) 3

B)

−

Tịnh tiến sang trái 1 đơn vị rồi xuống dưới 3 đơn vị ta được (P ).₂
C) (P ) và (P ) bằng nhau .₁ ₂

D) Phép tịnh tiến theo u = (1; 3) biến (P ) thành (P ) .₁ ₂
ÑS : B)

8 Trong mpOxy , −

∆ ∆

∆ →∆

∆ ∆

(O;90 )

cho 4 điểm A(2;0),B(4;4),C(0;2) và D( 4;4) .
Khẳng định nào sau đây sai ?

A) Các OAC, OBD là các tam giác vuông cân .
Q

B) Phép quay : OAB OCD .

C) OAB vaø OCD là hai hìI nh bằng nhau .

D) Tồn tại một phép tịnh tiến biến A thành B và C thaønh D .
ÑS : D)

′

∆ − −

′ ′

9 Trong mpOxy cho ABC với A( 3;0),B(0;3),C(2;4) . Phép biến hình f biến A thành A ( ;3) , B
thành B (2;6),C thành C (4;7) . Khẳng định nào sau đây đúng ?

− 3
A) f là phép quay Q . B) f là phép đối xứng tâm I( 1; ) .

(O;90 ) 2

C) f là phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;3) . D) f là phép đối xứng trục .

ÑS : C)

<b>Để học những phần còn lại vui lịng mua trọn bộ sách của chúng tơi để lĩnh hội </b>

<b>được tất cả những kiến thức và Phương pháp mới nhất. Bộ sách là sự kết hợp </b>

<b>độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605 </b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b> /><b>8</b>

<b>Xem thêm nhiều sách tại: </b>

<b> /><b>Hổ trợ giải đáp: </b>

<b></b>

<b>Xem video giới thiệu bộ sách và các tính năng tại: </b>

<b> />

<i><b>Vấn đề 7 </b></i><b>: PHÉP VỊ TỰ </b>

≠

′ ′ =

1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k 0 . Phép vị tự tâm I tỉ số k .
k

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

′

 ₋



′ ′ ′

→ = = 

′ −


k

I

k
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) và phép vị tự V ._{o o} _I

x = kx+ (1 k)x

V _k _o

M(x;y) M V (M) (x ;y ) thì _I

y = ky+ (1 k)yo
I

′= ′= ′ ′ ′ ′

3 Tính chất :

k k

1. M V (M), N V (N) thì M N = kMN , M N = |k|.MN_I _I

2. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứng .
3. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
4. Biến một tia thành tia .

5. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên |k| .
6. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó .

7. Đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = |k|.R .′

8. Biến góc thành góc bằng nó .
<b>B . BÀI TẬP </b>

≠

−

1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I , tỉ số k 0 :

a) A(1;2) , I(3; 1) , k = 2 . → ′ −
′

− − − = − → −

A ( 1;5)
b) B(2; 3),I( 1; 2),k 3 . B ( 10;1)

1

c) C(8;3), I(2;1) , k = .

2 → ′

′ ′

− − ≡ − → − − −

C (5;2)

2 1 1

d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ 3 P (1; ),Q ( ; )

3 3 3 ′ −

′
 _{− = −}

′ ′ ′ ′ ′ ′

→ ⇔ = ⇔ − + = − ⇔

′ + =

′

 _{= −}

′

⇔_ ⇒ ₋

′ =


(I;2)

2 4

,R ( ; )

3 3

V _{x 3} ₄

HD : a) Goïi : A(1;2) A (x ;y ) IA 2IA (x 3;y 1) 2( 2;3)

y 1 6

x 1

A ( 1;5) .
y 5

I

− −

2 Cho ba điểm A(0;3),B(2; 1),C( 1;5) . Tồn tại hay không tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến
B thành C ?

HD : Gỉa sử tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thà
_{− =}

→ ⇔ = ⇔ ⇔ = −

= −


→
−

−
(A;k)

nh C .

V _{1 k(2)} ₁

Khi đó : B C AC kAB k

2 k( 4) 2

Vậy : Tồn tại phép vị tự V ₁ : B C .

(A; )

2

3 Cho ba điểm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) . Tồn tại hay không tồn ta
I

I

→ ⇔(A;k) =

ïi một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến
B thành C ?

HD : Gỉa sử tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C .
V

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

∆

−

′

→ →

4 Cho OMN . Dựng ảnh của M,N qua phép vị tự tâm O , tỉ số k trong mỗi trường hợp sau :

1 3

a) k = 3 b) k = c) k =

2 4

Giaûi

3

a) Phép vị tự V : M_O _I M , N_I ′ ′= ′=

→ → ∆

− _→ _→ _{= −}

N thì ta có OM 3OM,ON 3ON
1/2

b) Phép vị tự V_O : M H , N K thì HK là đường trung bình của OMN .
3

3/4

c) Phép vị tự V_O : M P , N Q thì ta có OP OM,OQ

4

I I

I I = −3 ON ₄

5 Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O . Dựng :
a) Ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = 2 .

b) Ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị t −

′ ′

→ =

′ ′

→ =

′ ′

→ =

′
→

1
ự tâm O , tỉ số k = .

2
Giải

2

a) Gọi V : A_O A thì OA 2OA

B B thì OB 2OB
C C thì OC 2OC
D D thì O

I
I
I

I ′ =

′ ′ ′ ′

⇒ _→

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− _→ _{= −}

→ = −

▱ ▱

D 2OC
2

V : ABCDM_O A B C D .

Ta veõ : AB// A B ,BC// B C ,CD // C D ,DA // D A
1

1/2

b) Gọi V_O : A P thì OP OA

2
1
B Q thì OQ OB

2

I
I
I

→ = −

→ = −

−

⇒ ▱ _→▱

1

C R thì OR OC

2
1
D S thì OS OD

2
1/2

V_O : ABCDM PQRS .

Ta veõ : AB// PQ,BC// QR,CD // RS,DA // SP .
I

I

∆ ∆ ∈

6 Cho ABC có AB = 4, AC = 6 , AD là phân giác trong của A của ABC (D BC) . Với giá trị nào
của k thì phép vị tự tâm D , tỉ số k biến B thành C .

HD :

Theo tính chất của phân gi

−
= − = − = − ⇒ _{= −} ⇒ _{}( D; 3/2 )_→

ác trong của A , ta coù :
V

DB AB 4 2 _DC 3_DB _B _{C .}

AC 6 3 2

DC

Do DB và DC ngược hướng .

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

′ ′
∆

′ ′ ′ ′ _{′ ′}=

7 Cho ABC vuông ở A và AB = 6, AC = 8 . Phép vị tự V ₃ biến B thành B ,C thành C .
(A; )

2
Khẳng định nào sau đây sai ?

9

A) BB C C là hình thang . B) B C = 12 . C) S_{AB C} S_ABC . D) Chu v

4 ∆ ∆ ′ ′

′ ′ →

′ ′ = + =

(A;3/2)

2

i ( ABC) = Chu vi( AB C ) .
3

HD :

V

A) đúng vì B C BC .

3 3 ₂ ₂

B) sai vì : B C = BC AB AC 15

2 2

′ ′

′ ′ = = =

′ ′
=

1_{.AB .AC} 3_{.AB. .AC}3

S_{AB C} ₂ ₂ ₂ 9

C) đúng vì : .

1

S_ABC _.AB.AC AB.AC 4

2

Chu vi AB C 3

D) đúng vì :

Chu vi ABC 2

∆

∆

8 Cho ABC có hai đỉnh là B và C cố định , còn đỉnh A di động trên đường tròn (O) cho trước .
Tìm tập hợp các trọng tâm của ABC .

∆ =1

HD : Gọi I là trung điểm của BC . Ta có I cố định . Nếu G là trọng tâm của ABC thì IG IA .
3
1/3

Vậy G là ảnh của A qua phép vị tự V_I .

Tập hợp điểm A là đường tròn (O) nên tập hợp G là đường tròn (O ) , đó chính là ảnh của đường trịn
1/3

(O) qua phép vị tự V_I .

9 Trong mpOxy , cho điểm A( 1;2) và đường thẳng d

′

− đi qua A có hệ số góc bằng 1 . Gọi B là đường

thẳng di động trên d . Gọi C là điểm sao cho tứ giác OABC là hình bình hành .Tìm phương trình tập
hợp :

a) Các tâm đối xứng I của hình bình hành .
b) Các trọng tâm G các tam giác ABC .

 ₋

→ − = + ⇔ = +




′ −

′ − +

i
i
HD :
a)

Qua A( 1;2)

(AB): (AB) : y 2 1(x 1) y x 3

Hsg : k = 1

1

Vậy B chạy trên d thì I chạy trên d // d và đi qua trung điểm M( ;1) của đoạn OA .
2

3
Vaäy d : x y = 0 .

2

b) Ta = ⇒ ₌ ′′ ₋ ₌₌

′′

⇒ _{− +}

2 _2/3 2 4 _2/3

có : OG OB G V_O (B) . Vậy G chạy trên đt d // d và qua điểm N( ; ) V_O (A).

3 3 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

′

− − − → − +

10 Tìm ảnh của các đường thẳng d qua phép vị tự tâm I , tỉ số k :
2

a) d : 3x y 5 = 0 ,V(O; ) d : 9x 3y 1

3 =

′

+ − → + − =

+ − − −

0 0
b) d : 2x y 4 = 0 ,V(O;3) d : 2x y 12 0

c) d : 2x y 4 = 0 ,V(I; 2) với I( 1;2) → ′ + + =

′

+ − − → + − =

d : 2x y 8 0

d) d : x 2y 4 = 0 ,V(I;2) với I(2; 1) d : x 2y 8 0

11 Tìm ảnh của các đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I , tỉ số k : (Có 2 cách giải )

2 2

a) (C) : (x 1)− + +(y 2) = 5 ,V(O; 2) − →(C) : (x 2)+ 2 (y 4) = 202

2 2 2 2

b) (C) : (x 1) (y 1) = 4 ,V(O; 2) (C) : (x 2) (y 2) = 16

2 2

c) (C) : (x 3) (y 1) = 5 ,V(I; 2) với I(1;2)

+ −

− + − → − + −

− + + − (C) : (x 3)2 (y 8) = 202

12 Tìm phép vị tự biến d thành d :
x y

a) d : 1,d : 2x y 6 0,V(O;k)
2 4

→ + + −

′
′

− = − − = k = .2

3
HD : d : 2x y 4 0 // d : 2x y 6 0 . Laáy A(2;0) d,B(3;0) d .

3
Vì : phép vị tự V(O;k) : A B OB kOA . Vì : OA= (2;0),OB (3;0) OB OA

2

→

′ ′

− − = − − = ∈ ∈

→ ⇔ = = ⇒ ₌

I

3 3

V(O; ) V(O; )

2 2

Vaäy : A B d d

Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng cùng nằm trên một đường thẳng . Để đơn giản ta chọn
chúng cùng nằm trên Ox hoặc Oy

′

→ ⇒ _{→}

I I

.

+ + = − + − = − −

− = =

→

2 2 2 2

b) (C ) : (x 4)₁ y 2 ; (C ) : (x 2)₂ (y 3) 8 V(I; 2),I( 2;1)
HD :

(C ) có tâm I ( 4;0),R₁ ₁ ₁ 2 , (C ) có tâm I (2;3),R₂ ₂ ₂ 2 2
V(I;k)

Gỉa sử :(C )_{1 I} (C ) thì :₂

= ⇔ = = ⇔ = ±

=

− − − = − − − − ⇒ ₋

− − = − − − ⇒ ₋ ₋

i

i

R2

R₂ | k | R₁ | k | 2 k 2

R1
II₂ kII thì ₁

k = 2 . Gọi I(x ;y ) thì (2 x ;3 y )_{o o} _o _o 2( 4 x ; y )_o _o I( 2;1)
k = 2 . Gọi I(x ;y ) thì (2 x ;3 y ) 2( 4 x ; y )_{o o} _o _o _o _o I( 10; 3)

Vậy có 2 phép vị tự biến (C )₁ →(C ) là V(I; 2) với I( 2;1) hoặc V(I;2) với I( 10; 3)₂ − − − −

− 2+ − 2 − 2+ − 2

13 Trong mpOxy , cho 2 đường tròn (C ) : (x 1)₁ (y 3) = 1 và (C ) : (x 4)₂ (y 3) = 4 .
a) Xác định toạ độ tâm vị tự ngồi của hai đường trịn đó .

b) Viết phương trình các tiếp tuyến c

= =

=

hung ngồi của hai đường trịn đó .
HD : (C ) có tâm I (1;3) , bk : R₁ ₁ ₁ 1 ; (C ) có tâm I (4;3) , bk : R₂ ₂ ₂ 2 .

a) Gọi I là tâm vị tự ngoài của (C ) và (C ) , ta có : II₁ ₂ ₂ kII với₁ k = R2 = =2 2⇒I( 2;3)₋

R₁ 1

∆ ⇒_{∆ −} _⇔ _{− + +} ₌

∆

∆ ⇔ ∆ = ⇔ = ± ⇒

b) Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn là tiếp tuyến từ I đến (C ).₁
Gọi đt đi qua I và có hệ số góc k :y 3 = k(x+2) ky y 3 2k 0 .

1
tiếp xúc (C )₁ d(I ; ) R₁ ₁ k

2 2

 ₋ _{+ +} ₌



∆ + − + =



: 2.x 4y 12 3 2 0
1

: 2.x 4y 12 3 2 0
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

′
=

14 Cho đường trịn (O,R) đường kính AB . Một đường trịn (O ) tiếp xúc với (O,R) và đoạn AB tại
C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) tại I . Chứng minh rằng : AI BI .

HD :

C là tâm v ′

′

∈ ∈

′ ′

′

′

→ →

′

⇒ ⇒ _⊥

ị tự của 2 đường tròn (O) và (O ) .
D (O ), I (O) và ba điểm C,D,I thẳng hàng .
Gọi R là bán kính của đường trịn (O ) , khi đó :

R
R

V_C : O O ,I D

OI // O D OI AB (V

I I

′ ⊥

⇒ ⇒ ₌

ì O D AB)
I là trung điểm của AB AI BI .

′ ′ ′

′ ′

15 Cho hai đường tròn (O,R) và (O , R ) tiếp xúc trong tại A (R > R ) .
Đường kính qua A cắt (O,R) tại B và cắt (O , R ) tại C . Một đường

thẳng di động qua A cắt (O, R) tại M và ca ′ ′ ∩

∆ ∼∆ =

ét (O , R ) tại N . Tìm quỹ tích của I = BN CM .
HD :

IC CN

Ta có : BM // CN . Hai BMI NCI . Do đó :

IM BM

∆ ∆ =

′ ′ ′

⇒ ₌ ₌ ₌ ⇒ ₌

′

+ +

′

=

′ ′ ₊ _′

⇒ ₌ ⇒ ₌ ⇒ _{→}

′ ′

+ +

ω

∼ AC CN

Hai ACN ABM . Do đó :

AB BM

IC AC 2R R IC R

IM AB 2R R IM IC R R

R

V(C;k )

CI R _CI R _CM _{M :} _{R R} _I

CM R R R R

Vậy : Tập hợp các điểm I là đường tròn ( ) vị tự của đường

I
′
=

′
+
R
tròn (O,R) trong phép vị tự V(C ;k ) .

R R
∆

′ ′ ′

∆

16 Cho ABC . Gọi I , J . M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và IJ . Đường tròn ngoại tiếp tâm O
của AIJ , cắt AO tại A . Gọi M là chân đường vng góc hạ từ A xuống BC

′ . Chứng minh rằng : A ,

M , M thẳng hàng .

= =

∆ →∆

′ ′

→ → ⇒ _⊥ ⇒ _⊥

′ ′

≡ ⇒

HD :

Goïi M là trung điểm BC .Ta có : AB 2AI và AC 2AJ₁
V(A;2)

Từ đó : AIJ ABC . Khi đó :

V_(A;2): O A ,M M ₁ OM IJ A M₁ BC .

Như thế : M₁ M A,M,M thẳng hàng ( vì A,M

I I

,M thẳng haøng )₁

∆

∆

17 Cho ABC . Gọi A ,B ,C tương ứng là trung điểm của BC,CA,_{1 1 1}

AB. Kẻ A x,B y,C z lần lượt song song với các đường phân giác trong₁ ₁ ₁
của các góc A,B,C của ABC . Chứng minh : A x,B y,C z₁ ₁ _{1 đồng quy.}

− ∆

∆

→ → →

→ = − ⇒

HD :

1

Xét phép vị tự tâm G , tỉ số . G là trọng tâm ABC ,
2

I là tâm đường trịn nợi tiếp ABC .

Ta coù : AJ A x , BI₁ B y , CI₁ C z ,₁

GI 1

I J ( ) A x,B y,C z đồng quy tạ₁ ₁ ₁

GJ 2

I I I

I i J .

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

≠

18 Cho hai đường tròn (O ,R ) và (O ,R ) ngoài nhau_{1 1} _{2 2}
R₁ R . Một đường trịn (O) thay đổi tiếp xúc ngồi ₂
với (O ) tại A và tiếp xúc ngoài với (O ) tại B . Chứng₁ ₂
minh rằng : Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm
cố định .

HD :

A là tâm vị tự biến (O ) thành (O) : AO và AO ngược hướng .₁ ₁
B là tâm vị tự biến (O) thành (O ) : AO và AO ngược hướng .₂ ₁
Kéo dài AB cắt (O ) tại C : AO và₂ CO ngược hướng .₂
Vậy : AO và CO ngược hướng . Như vậy AC hay cũng là₁ ₂
AB phải đi qua tâm I à tâm vị tự ngoài của (O ) và (O ) .₁ ₂

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ ∆

′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′⊥

19 Cho ABC . Người ta muốn định ba điểm A ,B ,C lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho A B C
đều và A B CA , B C AB và C A BC .

1. Gọi E,F,K lần lượt là chân các đường cao

′ ′ ′

′ ′ ′ =

′ ′ ′
∆

phát xuất từ A,B,C .

2/3 2/3 2/3

Đặt : C = V_B (A),A = V_B (E),B = V_B (F).
2
2/3

a) Nghiệm lại rằng : A = V_B (E) và B C CK .
3
b) Suy ra rằng : A B C đều .

2. Chứng minh rằng trực ∆ ∆ ′ ′ ′

∆ ∆

′

taâm H của ABC cũng là trọng tâm của A B C .
HD :

a 3

Trong ABC đều các đướng cao : AE = BF = CK = .(a là cạnh của ABC)
2

và E,F,K lần lượt là trung điểm các cạnh .

1. a) Vì A = V ⇔ ′= ⇔ + ′= ⇔ ′= ′

′ ⇔ ′= ⇔ + ′= ⇔ ′= − = ⇔ ′

2 2 1 2

2/3_(E) _BA _BE _{BC CA} _{( BC)} _CA _{CB . Vaäy : A = V}2/3_{(E) .}

B ₃ _{3 2} ₃ B

2 2 1 2

2/3 2/3

Vì C = V_B (A) BC BA BA AC BA AC BA AK B = V_A (C).

3 3 3 3

′ ′ ′ ′

→ → ⇒ ₌

2/3 2/3

A A

V V 2

Vaäy : C B , K C B C CK .

3

I I

′ ′

 _⊥



′ ′ = ⇒ 

′ ′


i

i

B C // CK cuøng AB
2

b) Ta coù : B C CK ₂ _{a 3}

3 B C = CK =

3 3

′ ′=2 ′ ′=2
Tương tự : C A AE và A B BF .

3 3

′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′ ′ ′ ′ ′ a 3⇒_∆ ′ ′ ′

Vậy : B C AB,C A BC,A B AC và B C =C A = A B = A B C đều .

3
∆

′ ′ ′

= = ⇒ ₋ ₌ ₋ _⇔ ₌

′ ′

2. Trực tâm H của ABC cũng là trọng tâm của tam giác đó , nên :

2 2 2 2

BH BF. Maø : BC BA BH BC (BF BA) C H AF .

3 3 3 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

<i><b>Vấn đề 8 </b></i><b>: PHÉP ĐỒNG DẠNG </b>

<b>A. KIẾN THỨC CƠ BẢN </b>

′

′ ′ ′

1 ĐN : Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M , N và ảnh M ,
N là ảnh của chúng , ta có M N = k.MN .

2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) đều là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép
dời hình D.

3 Hệ quả : (Tính chất ) Phép đồng dạng :

1. Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) .
2. Biến đường thẳng thành đường thẳng .

3. Biến tia thành tia .

4. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên k ( k là tỉ số đồn
′

g dạng ) .
5. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó ( tỉ số k).

6. Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = k.R .
7. Biến góc thành góc bằng nó .

4

⇔ ∃ →

Hai hình đồng dạng :

ĐN : Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng biến hình này thành hình kia .
F

H đồng dạng G F đồng dạng : H_I G
<b>B.BÀI TẬP </b>

∉
1 Cho điểm M

a) Dựng ảnh của phép đồng dạng F là hợp thành của phép đối xứng trục Đ và phép vị tự V tâm O ,_a
với O a , tỉ số k = 2 .

b) Dựng ảnh của phép đồng dạng F là −

ϕ

→ →

∈ ≡

∉

2

a O

hợp thành của phép vị tự V tâm O , tỉ số k = 3 và phép quay
tâm I với góc quay = 90 .

Giải

Đ V

a) Goïi : M M₁ M₂

M (a) thì M₁ M và M là trung ñieåm OM₂
M (a) v

I I

≠

∉ ≡

i
i

i
i

à O M thì :₁
a là trung trực đoạn MM1
M là trung điểm đoạn OM ₁ ₂
M (a) và O M thì :₁

a là trung trực đoạn MM1
M là trung điểm đoạn OM ₁ ₂

b) Goï →− →

= − =

3 90

O I

V Q

i M M₁ M . Khi đó : ₂

OM₁ 3OM , IM = IM vaø (IM ;IM) 90₁ ₁

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

∆

∆ ∆

2 Cho ABC có đường cao AH . H ở trên đoạn BC . Biết AH = 4 , HB = 2 , HC = 8 . Phép đồng dạng F
biến HBA thành HAC . F được hợp thành bởi hai phép biến hình nào dưới đây ?

A) Phép đối xứng tâm H và phép vị tự tâm H tỉ số k = .1
2
B) Phép tịnh tiến theo BA và phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 .
C) Phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 và phép quay tâm H , góc (H

ϕ ϕ → →

∆

B;HA) .
D) Phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 và phép đối xứng trục .

HD :
2

Phép V và Q(H; ) với = (HB;HA) : B_H A, A C
Vậy : F là phép đồng dạng hợp thành bởi V và Q biến HB

I I

∆
A thaønh HAC .

+ =

∆ ∆ ∆

3 Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IA 2IB 0 và gọi G là
trọng tâm của ABD . F là phép đồng dạng biến AGI thành COD . F được hợp thành

−

bởi hai phép
biến hình nào sau đây ?

A) Phép tịnh tiến theo GO và phép vị tự V(B; 1) .
1
B) Phép đối xứng tâm G và phép vị tự V(B; ).

2
3

C) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng

2 taâm O .

2

D) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng tâm G .
3

<b> </b>

∆ =

=
→ 

i

i

i

i

2/3

O
A

HD :

3
Vì G là trọng tâm ABD nên AO AG

2
3

Theo giả thiết , ta coù : AB AJ .
2

Phép đối xứng tâm O , biến A thành C và B thành D ( O là bất biến )
Đ

V

A_I A_I → i → → i → →

2/3 2/3

O O

A Ñ A Ñ

V V

C . G _I O _I O . I _I B _I D .

⇒_∆ _{→ ∆} _{→ ∆}O

3

V(A; ) _Ñ

2

AGI AOB COD

Phép đồng dạng F

<b> </b>

<b> </b>
<b>. . . .. . . . HẾT . . . . . . .. </b>

<b>Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ sách của chúng tôi để lĩnh hội </b>

<b>được tất cả những kiến thức và Phương pháp mới nhất. Bộ sách là sự kết hợp </b>

<b>độc đáo của: Sách truyền thống- CASIO- Video. </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

<b>Bộ phận bán hàng: </b>

<b>0918.972.605 </b>

<b>Đặt mua tại: </b>

<b> />

<b> /><b>8</b>

<b>Xem thêm nhiều sách tại: </b>

<b> /><b>Hổ trợ giải đáp: </b>

<b></b>

<b>Xem video giới thiệu bộ sách và các tính năng tại: </b>

</div>

<!--links-->