Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán năm học 2019-2020 – Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nam (Đề chính thức)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
-----------ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 - 2020
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
---------------------

Câu I (2,0 điểm).
1) Giải phương trình x 2 − 5 x + 4 = 0
3 x − y = 3
2) Giải hệ phương trình: 
2 x + y = 7
Câu II (2,0 ñiểm).
1) Rút gọn biếu thức: A =

4
5 −1

− 3 45 +

(

)

5 −1

2

 1
1  3+ x
2) Cho biểu thức: B = 
, (với x > 0; x ≠ 9 ).
−
.
x
3− x 3+ x 

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x ñể B >

1
.
2

Câu III (1.5 ñiểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P ) có phương trình y =

1 2
x và đường thẳng ( d ) có phương
2

trình y = − mx + 3 − m (với m là tham số).
1) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol ( P ) , biết ñiểm M có hồnh độ bằng 4.
2) Chứng minh đường thẳng ( d ) luôn cắt parabol ( P ) tại hai ñiểm phân biệt. Gọi x1 , x2 lần lượt là hồnh độ
của hai điểm A, B . Tìm m để x12 + x22 = 2 x1 x2 + 20 .
Câu IV (4.0 điểm).
1) Cho nửa đường trịn ( O; R ) đường kính AB . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trịn

( O; R )

( O; R )

vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa ñường trịn đó. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường trịn
(với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến của nửa đường trịn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D .

a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O .
c) Chứng minh AC .BD = R 2 .
b) Kẻ MN ⊥ AB,( N ∈ AB ) ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung điểm của MN .
2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy r = 4 cm, ñộ dài ñường sinh l = 5 cm.
Câu V (0,5 ñiểm).
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn ñiều kiện abc = 1
Chứng minh

1
1
1
+
+
≤ 1.
2+a 2+b 2+c

Trang 1/5 - WordToan


Hướng dẫn giải
Câu I (2,0 điểm).
1) Giải phương trình x 2 − 5 x + 4 = 0
Lời giải
Ta có a + b + c = 1 + ( −5) + 4 = 0 ⇒ x1 = 1; x2 = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4} .
3 x − y = 3
2) Giải hệ phương trình: 
2 x + y = 7
Lời giải
3x − y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2
⇔
⇔
⇔
⇒ ( x; y ) = ( 2;3) .
Ta có 
2 x + y = 7
2 x + y = 7
4 + y = 7
y = 3
Câu II (2,0 ñiểm).
1) Rút gọn biếu thức: A =

4
5 −1

(

− 3 45 +

)

5 −1

2

Lời giải
Ta có A =

4
5 −1

− 3 45 +

(

)

5 −1

2

=

4

(

) −9

5 +1
5 −1

5+

5 −1

= 5 + 1 − 9 5 + 5 − 1 = −7 5 .
 1
1  3+ x
2) Cho biểu thức: B = 
, (với x > 0; x ≠ 9 ).
−
.
x
3− x 3+ x 

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x ñể B >

1
.
2

Lời giải

(
)(

)
)

 1

1  3+ x 3+ x − 3− x 3+ x
Ta có B = 
−
=
.
.
x
x
3− x 3+ x
 3− x 3+ x 

(

=

2 x

(3 − x )(3 + x )

B>

⇔

.

3+ x
x

=

2

3− x

.

(

)

4− 3− x
1
2
1
2
1
⇔
> ⇔
− >0⇔
>0
2
3− x 2
3− x 2
2 3− x

(

1+ x

(

2 3− x

)

)

> 0; (*)

Vì 1 + x > 0 nên (*) ⇔ 3 − x > 0 ⇔
Vì x ∈ ℤ ⇒ x ∈ {1; 2;3; 4;5;6;7;8} .

Trang 2/5 – Diễn ñàn giáo viên Toán

x <3⇔0< x<9


Câu III (1.5 ñiểm).
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho parabol ( P ) có phương trình y =

1 2
x và đường thẳng ( d ) có phương
2

trình y = − mx + 3 − m (với m là tham số).
1) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol ( P ) , biết điểm M có hồnh độ bằng 4.
Lời giải
1
Vì M ∈ ( P ) ⇒ y = .4 2 = 8 ⇒ M ( 4;8 ) .
2

2) Chứng minh đường thẳng ( d ) ln cắt parabol ( P ) tại hai ñiểm phân biệt. Gọi x1 , x2 lần lượt là hồnh độ
của hai điểm A, B . Tìm m để x12 + x22 = 2 x1 x2 + 20 .
Lời giải
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( d ) và ( P ) là

1 2
x = − mx + 3 − m
2

⇔ x 2 + 2 mx + 2 m − 6 = 0

Ta có ∆ = ( −m ) − ( 2m − 6 ) = m2 − 2m + 6 = ( m − 1) + 5 > 0, ∀m
2

2

Suy ra ñường thẳng ( d ) luôn cắt parabol ( P ) tại hai ñiểm phân biệt.
 x + x2 = − 2 m
Ta có hệ thức Vi-ét  1
 x1 .x2 = 2m − 6

Yêu cầu x12 + x22 = 2 x1 x2 + 20 ⇔ x12 + x22 + 2 x1 x2 = 4 x1 x2 + 20

⇔ ( x1 + x2 ) = 4 x1 x2 + 20 ⇔ ( −2m ) = 4 ( 2m − 6 ) + 20
2

2

⇔ 4m2 − 8m + 4 = 0 ⇔ 4 ( m − 1) = 0 ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1( thoa − man ) .

2

Vậy m = 1 .
Câu IV (4.0 ñiểm).
1) Cho nửa đường trịn ( O; R ) đường kính AB . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa ñường tròn

( O; R )
( O; R )

vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn đó. Gọi M là một điểm bất kì trên nửa đường trịn
(với M khác A , M khác B ), tiếp tuyến của nửa ñường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại C và D .

a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O .
c) Chứng minh AC.BD = R 2 .
b) Kẻ MN ⊥ AB,( N ∈ AB ) ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung ñiểm của MN .
2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy r = 4 cm, độ dài đường sinh l = 5 cm.
Lời giải

Trang 3/5 - WordToan


a) Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp.

OAC = 90
OA ⊥ AC
⇒
Theo tính chất tiếp tuyến ta có 
OM ⊥ CM
OMC = 90

Xét tứ giác ACMO có tổng hai góc ở vị trí đối nhau OAC + OMC = 90 + 90 = 180
Suy ra tứ giác ACMO nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác COD vuông tại O .
Tương tự ý a) ta cũng chứng minh ñược tứ giác BDMO nội tiếp.
Ta có AMB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) suy ra tam giác ABM vng tại B .
Suy ra OAM + OBM = 90
Lại có OAM = MCO (cùng chắn cung MO của đường trịn ngoại tiếp tứ giác ACMO )

ODM = OBM (cùng chắn cung MO của đường trịn ngoại tiếp tứ giác BDMO )
DCO + ODC = MCO + ODM = OAM + OBM = 90 ⇒ ∆ COD vuông tại O .
c) Chứng minh AC .BD = R 2 .
 AC = MC
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có 
 BD = MD
Tam giác COD vng tại O có đường cao OM
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có MC .MD = OM 2 ⇔ AC .BD = R 2 ⇒ ðpcm.
d) Kẻ MN ⊥ AB,( N ∈ AB ) ; BC cắt MN tại I . Chứng minh I là trung ñiểm của MN .
Kẻ BM cắt Ax tại E.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CO là đường phân giác trong của tam giác cân ACM. Suy ra OC
vừa phân giác vừa là ñường cao của tam giác ACM.
Suy ra OC ⊥ AM , mà EB ⊥ AM ⇒ OC // EB .
Lại có O là trung điểm của AB suy ra OC là đường trung bình tam giác ABE.
Suy ra C là trung điểm của AE.
Ta có AE // MN (vì cùng vng góc với AB).
Áp dụng hệ quả định lý Ta Lét vào tam giác ABE ta có
Trang 4/5 – Diễn ñàn giáo viên Toán

BA
AE
=

BN NM


Áp dụng hệ quả ñịnh lý Ta Lét vào tam giác ABC ta có
⇒

BA AC
=
BN
NI

AE
AC BA
AE
AC
AE NM
=
=
⇒
=
⇒
=
= 2 ⇒ I là trung điểm của MN .
NM
NI
BN
NM
NI
AC
NI

2) Tính thể tích của một hình nón có bán kính đáy r = 4 cm, độ dài đường sinh l = 5 cm.

Ta có AH = r = 4cm; AO = l = 5cm ⇒ OH = AO2 − AH2 = 9 = 3cm

( )

1
Thể tích hình nón là V = .OH.π .r 2 = 16π cm3 .
3

Câu V (0,5 ñiểm).
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn ñiều kiện abc = 1
Chứng minh

1
1
1
+
+
≤ 1.
2+a 2+b 2+c

Lời giải
Bất ñẳng thức cần chứng minh

1
1
1
+

+
≤1
2+a 2+b 2+c

⇔ ( b + 2 )( c + 2 ) + ( a + 2 )( c + 2 ) + ( a + 2 )( b + 2 ) ≤ ( a + 2 )( b + 2 )( c + 2 )
⇔ ab + bc + ca + 4 ( a + b + c ) + 12 ≤ abc + 2 ( ab + bc + ca ) + 4 ( a + b + c ) + 8
⇔ ab + bc + ca + 4 ( a + b + c ) + 12 ≤ 1 + 2 ( ab + bc + ca ) + 4 ( a + b + c ) + 8
⇔ ab + bc + ca ≥ 3

Thật vậy áp dụng bất ñẳng thức CauChy cho 3 số dương ta có ⇔ ab + bc + ca ≥ 3 3 ( abc ) ≥ 3 .
2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 .
Hoàn tất chứng minh.

Trang 5/5 - WordToan