Ôn thi ĐHTX cơ lượng tử

CƠ HỌC LƯỠNG TỬ
1/. Hàm sóng:
* Giả thuyết Đơbrơi: “Mỗi hạt vi mô gắn liền với 1 sóng- sóng vật chất” (t/c lưỡng tính: sóng-hạt)→ giải thích
các hiện tượng v.lý vi mô.
⇒ Mô tả hạt vi mô bằng 1 hàm sóng phức
( , )r t
ψ
r
.
* Tiên đề 1: Trạng thái của hạt vi mô ở thời điểm t,vị trí
r
r
được mô tả bằng 1 hàm phức gọi là hàm sóng.
* Ý nghĩa vật lý của ψ: đại lượng
2
*
( )R
ψ ψ ψ
≡ ∈
tỉ lệ với xác suất tìm thấy hạt thại vị trí
r
r
vào thời điểm t.
2
( , ) ( , ) ( )dP r t r t dV dV dxdydz
ψ
⇔ = =
r r
⇒CHLT mang tính xác suất thống kê.
* Mật độ xác suất:
2

( , ) ( , )r t r t
ρ ψ
≡ →
r r
mật độ tìm thấy hạt tại 1 đ.vị V.
* Chuẩn hóa hàm sóng:
2
P dV dV
ρ ψ
= =
∫ ∫
: xác suất tìm thấy hạt trong V.
( , ) 1
V
r t dV
ψ
+∞
−∞
=
∫
r
; ψ: đã chuẩn hóa.
2/. Các toán tử tuyến tính,tự liên hợp(hecmitic)
2.1/. Toán tử tuyến tính,tự liên hợp:
* Toán tử: phép toán khi t.d lên 1 hàm → hàm khác
^
u vΑ =
.
* Toán tử tuyến tính:
^

L
tuyến tính nếu
^ ^
( ( )) ( ( ))
n n n n
n n
L c u x c Lu x∑ = ∑
* Toán tử liên hợp(hecmitic):
^
L
tự l.hợp nếu
^
^ ^
* * * *
( ) ( )u LvdV v Lu dV v L u dV
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
= =
∫ ∫ ∫
* Các t/c của toán tử Hecmitic:
Cho
^
L
là toán tử Hecmitic & pt trị riêng:
^
L
u
n
= L
n

.u
n
- Các trị riêng L
n
là số thực.
- Các hàm riêng u
n
là trực giao và chuẩn hóa ⇔
*
0
1
n n mn
khi n m
u u dV
khi n m
δ
+∞
−∞
=
 /
= =

=

∫
.
- Các hàm riêng u
n
là 1 hệ hàm đủ:
;

n n
n
c u
ψ ψ
⇔ ∀ = ∑
2.2/ Ứng dụng toán tử trong cơ học lượng tử:
* Tiên đề 2: Trong cơ học lượng tử mỗi đại lượng vật lý A được mô tả bằng 1 toán tử tuyến tính Hecmitic
^
A
sao
cho các giá trị đo được của A≡ các trị riêng A
n
của
^
A
.
* Dạng của một số toán tử cơ bản:
+ Ng.lí tương ứng: Các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý trong CHLT cùng thõa mãn những hệ thức có
dạng giống như những hệ thức giữa các đại lượng vật lý.
+ Toán tử tọa độ:
^
^ ^ ^
^
{ ; ; }
( ) ( ) ( )
r r r hay x x y y z z
V r V r V r
→ = = = =
⇒ → =
r r r

r r r
+ Toán tử xung lượng:

.
( )
P m v
p i i j k
x y z
=
∂ ∂ ∂
→ = ∇ ∇ = + +
∂ ∂ ∂
ur r
ur ur ur r r r
h

Trang 1
Hay:
^ ^ ^
; ;
x y z
p i p i p i
x y z
∂ ∂ ∂
= − = − = −
∂ ∂ ∂
h h h
+ Toán tử moment xung lượng:

^

^ ^ ^
.
. ( ); ( ); ( ); ( )
x y z
L r p
L r p i r L i y z L i z x L i x y
z y x z y x
=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
→ = = − ∇ = − − = − − = − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ur rur
ur rur ruur
h h h h
+ Toán tử năng lượng(Hamilton):

^
2 2
2
^ ^
2
2
1
( , ) ( , )
2 2 2 2
p p
E mv V V r t H V V r t
m m m
= + = + ⇔ = + = − ∇ +
ur ur

r ur r
h
3/. Các tiên đề trong cơ học lượng tử:
3.1/CHLT thừa nhận 5 tiên đề:
* Tiên đề 1: Trạng thái của hạt được mô tả bằng 1 sóng phức:
( , )r t
ψ
r
→ CHLT mang tính xác suất thống kê bất
định.
* Tiên đề 2: Mỗi đại lượng vật lý A được mô tả bằng 1 toán tử tuyến tính tự liên hợp sao cho các giá trị khả dĩ
của A ≡ các giá trị riêng A
n
.
* Tiên đề 3: Nếu đại lượng vật lý A có giá trị A
n
khi đó thì trạng thái của hạt lúc đó sẽ mô tả bởi hàm riêng u
n
: ψ
= u
n
.
* Tiên đề 4: Nếu trạng thái của hạt được cho bởi hàm ψ bất kỳ( ≠ u
n
) thì đại lượng A sẽ nhận giá trị A
n
với 1 xác
suất P = /c
n
/

2
(c
n
: hệ số khai triển ;
*
&
n n n n
n
c u C u dV
ψ ψ
+∞
−∞
= =
∑
∫
)
* Tiên đề 5: Hàm sóng
( , )r t
ψ
r
mô tả hạt thõa mãn phương trình(Srodingo):
2
^ ^
2
2 2 2
2
2 2 2
( , )
( , ); ( , )
2

( )
r t
i H r t voi H V r t
t m
x y z
ψ
ψ
∂
= = − ∇ +
∂
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
r
r ur r
h
h
ur
3.2/Các giá trị trung bình:
+ Vì đo đại lượng vật lý A → {A
1
,A
2
,…,A
n
}(tính bất định) → tính trung bình.
+ Định nghĩa:
^
*
A A dV

ψ ψ
=
∫
→ giá trị trung bình của A trong trạng thái ψ đã chuẩn hóa.
Hay:
^
*
2
A dV
A
dV
ψ ψ
ψ
=
∫
∫
( khi ψ chưa chuẩn hóa)
⇒
*
( ) ( ) ( )A Rhay A A∈ =
*
( ) ( ) ( )A Rhay A A∈ =
* Giá trị trung bình của bình phương độ lệch
Xét đại lượng vật lý A → g.t trung bình
A
⇒ độ lệch:
^ ^
A A A A A A∆ ≡ − → ∆ = −
⇒ (∆A)
2

gọi là bình phương độ lệch ⇒ toán tử tương ứng
^
2
( )A∆
^
2 * 2
( ) ( )A A dV
ψ ψ
⇒ ∆ ≡ ∆
∫
→ giá trị trung bình của bình phương độ lệch.
( )
2
0A∆ ≥
: mô tả sự sai biệt giữa giá trị trung bình
A
và giá trị đo được A.
Chứng minh rằng:
2 2 2
( ) ( )A A A∆ = −
.
Khi
2
( )A∆
=0 ⇒ A=
A
: có giá trị xác định ⇒ ψ ≡ u
n
: hàm riêng của
^

A
.
4. /Xác suất của phép đo & việc đo đồng thời các đại lượng vật lý:
4.1/Xác suất của phép đo:
* Từ biểu thức
A
⇒ tính xác suất
2
n n
p c=
để A = A
n
trong trạng thái ψ bất kỳ
Trang 2
Vì {u
n
}hệ hàm đủ →
n n
n
C U
ψ
=
∑
^ ^
* * *
^
* *
* * *
,
, ,

2
( ) ( )
Mà : .
( )( )
m m n n
m n
n n n
m m n n
m n
m n n m n m n n m n
m n m n
n n
n
A A dV c u A c u dV
Au A u
A c u c u dV
c c A u u dV c c A
A c A
ψ ψ
δ
⇒ = =
=
⇒ =
= =
=
∑ ∑
∫ ∫
∑ ∑
∫
∑ ∑

∫
∑
Trong đó:
2
n n
p c=
- xác suất phép đo A với.
*
n n
c u dV
ψ
=
∫
Điều kiện:
1
n
n
p =
∑
Hay:
2
1
n
n
c =
∑
4.2/Việc đo đồng thời các đại lượng vật lý:
* Cơ học lượng tử: 1 số đại lượng vật lý ko thể đồng thời xác định (không
2 2
( ) 0;( ) 0A B∃ ∆ = ∆ =

⇒Xét 2 đại
lượng vật lý A & B →
2 2
( ) ( ) 0A B∆ ∆ ≠
.
Tìm đk để A; B đồng thời xác định (đk: [
µ
µ
;A B
] = 0 ) thì ψ = u
A
= u
B
⇔
µ
µ
;A B
có chung hàm riêng.
* Đ.lý: đk cần và đủ để
µ
µ
;A B
có chung hàm riêng là: [
µ
µ
;A B
] = 0 hay
µ µ µ µ
AB BA=
.

Ngược lại nếu
¶
µ
[ ; ] 0A B ¹ Þ
A,B không đồng thời xác định.
4.3/Hệ thức bất định:
Xét các đại lượng A,B ko đồng thời xác định:
µ µ
µ
2 2
( ) ,( ) 0& , 0A B A B iC
é ù
Þ D D ¹ º ¹
ê ú
ë û
Xét
µ µ
2
( ) ( ) 0I A i B dV
a a y
= -D D³
ò
Trong đó:
µ µ
¶
*
,A A A A R
a
= - =D D Î
µ µ µ µ

*
( ) [( ) ][( ) ] 0I A i B A i B dV
a a y a y
= - -Þ D D D D ³
ò
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
* *
*
* *
*
* 2 2 2
* 2 2 2
* 2 2 2
2 * 2 * * 2
( ) .( ) 0
[( )( ) ] 0
{ ( ) ( ) } 0
{ ( ) [ , ] ( ) } 0
{ ( ) ( ) ( ) } 0
( ) ( )
A i B A i B dV

A i B A i B dV
A i A B i B A B dV
A i A B B dV
A i iC B dV
A dV C dV B dV
a y a y
y a a y
y a a a y
y a a y
y a a y
a y y a y y y y
= - +D DD D³
= + -D DD D³
= - + +D DD DD D³
= - +D DD D³
= - +D D³
= + +D D³
ò
ò
ò
ò
ò
ò ò ò
2 2 2
2 2 2
0
( ) ( ) 0
( ) 4( ) .( ) 0
A C B
C A B

a a
= + +D D³
-Þ D D £
hay:
2
2 2
( )
( ) .( )
4
C
A B∆ ∆ ≥
: hệ thức bất định tổng quát.
* Hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lượng:
Trang 3
µ µ
¶ ¶
2
2 2
, à [ , ]
( ) .( )
4
x x
x
A x B p v x p i
x p
=º º
Þ D D ³
$ $
h
h

µ µ ¶ ¶
2
2 2
, à [ , ]
( ) .( )
4
y y
y
A y B p v y p i
y p
=º º
Þ D D ³
$ $
h
h
µ µ
¶ ¶
2
2 2
, à [ , ]
( ) .( )
4
z z
z
A z B p v z p i
z p
=º º
Þ D D ³
$ $
h

h
Đây là hệ thức bất định Heisanberiy
* Nguyên lí bất định: khi
2
( )x∆
giảm (tọa độ càng xác định)
2
( )
x
p→ ∆
tăng (xung lượng càng bất định), và ngược
lại ⇔ ko thể x.đ đồng thời tọa độ và xung lượng,⇔ ko thể x.đ quỹ đạo của hạt.
⇒ Nguyên lí: Trong CHLT ko có k.n quỹ đạo.
5/. Giếng thế vuông góc,1 chiều sâu vô hạn:
* Cho hạt c.động trong thế V:
0 0
( )
0&
khi x a
V x
khi x x a
≤ ≤

=

∞ < >

(giếng thế)
* Tìm E,ψ của hạt?
* Giải pt Schodinger dừng:

µ
Khi 0H E x a
y y
= ££
Với:
µ
2 2
2
d
H
m dx
=- ×
h
2 2 2
2 2 2
2
0
2
d d mE
E
m dx dx
y
y y
- × = + =Þ Þ
h
h
Đặt:
2
2 2
2 2

2
0
mE d
K K
dx
ψ
ψ
= ⇒ + =
h
có nghiệm: ψ(x) = Asin(kx+α)
Đk biên ψ(0) = 0 & ψ(a) = 0.
⇒ 0 = Asinα ⇒ α = 0
0 = Asinkα ⇒ ka = nπ ⇒k = nπ/a ≡ k
n
⇒ ψ
n
(x) = Asinnπx/a.
* Chuẩn hóa hàm sóng:
2
2 2
0
1 ( sin ) 1
a
n
n
dx A x dx
a
π
ψ
+∞

−∞
= ⇒ =
∫ ∫
2 2
0
sin 1
a
n
A xdx
a
π
⇒ =
∫
Hay:
2
0
1 2
(1 cos ) 1
2
a
n
A x dx
a
π
− =
∫
2
0 0
2
2

( sin ) 1
2
2
( ) 1
2
a a
x a n
A x
n a
a
A A
a
π
⇔ − =
⇔ = ⇒ =
2
( ) sin
n
n
x x
a a
π
ψ
⇒ =
với:
2
2
2
1,2,3...;
mE

n K= =
h
2 2 2 2 2
2
2 2
n
K n
E E
m ma
π
⇒ = = ≡
h h
gián đoạn
Trang 4
*Vớ d:
Cho:
0
2 2
&
2 2
a a
khi x
V
a a
khi x x
ỡ
ù
- ÊÊ
ù
ù

=
ớ
ù
Ơ < - >
ù
ù
ợ
2 2 2
2
2
sin ( ) ;
2 2
n n
n a n
x E
a a ma



= + =


h
Cho:
0
( )
&
khi a x a
V x
khi x a x a

=

> <


2 2 2
2
1
cos( ) 1,3,5,7,...
2
( )
1
sin( ) 2,4,6,...
2
8
n
n
n
x khi n
a a
x
n
x khi n
a a
n
E
ma

=


=


=


=
h
6/. Pt liờn tc trong CHLT:
* Pt liờn tc:
0j
t


+ =

urr
: pt liờn tc (: mt ;
j
r
: mt dũng) biu din 1 nh lut bo ton:
Tỡm pt liờn tc t pt Schodinger.
T

à
i H
t
y
y
ả
=
ả
h
à à à
ả
à
* * *
* *
* * *
1 i i
H H H
t i t
i i
H H
t t
y y
y y y y y y
y y
y y y y y
ả ả
= =- =-ị đ
ả ả
ả ả
= =đ

ả ả
h h h
h h
Cng 2 pt :
à
ả
*
* * * *
( )
i
H H
t t
y y
y y y y y y
ả ả
+ =- +ị
ả ả h

à
ả
* * *
*
( ) 0
( )
i
H H
t
y y y y
y y
ả

+ + =
ả h
Ta cú:
à à
2 2
2 2
*
* * * *
2 2
H H V V
m m
y y y y y y y y
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
- = - + - - +ẹ ẹ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ur ur
h h
( )
( )
( )
( )
( )

2
2 2
* * * *
2 2
2 2
* * 2 * *
* * *
2
2 2
0
2
V V
m
m m
i
t m
y y y y y y y y
y y y y y y y y
y y y y y y
=- + - +ẹ ẹ
=- - =- -ẹ ẹ ẹẹ ẹ
ả
+ - =đ ẹ ẹ ẹ
ả
ur ur
h
ur ur ur ur
h h
ur ur ur
h

t:
*


: mt xỏc sut
Trang 5
( )
* *
2
i
j
m

=
r ur ur
h
( )
* *
2
i
j
m

=
r ur ur
h
: mt dũng xỏc sut.
0
P
j

t

+ =

urr
: pt liờn tc trong CHLT.
* í ngha vt lý: l bo ton xỏc sut: Xỏc sut ton phn tỡm thy ht trong ton ko gian l ko ph thuc thi
gian.Hay: l bo ton s ht: s ht l ko i.
S chun húa hm súng l ko i theo thi gian.
7/. Trng thỏi dng trong CHLT:
* Trng thỏi dng l trng thỏi cú E = E
n
xỏc nh(ko thay i theo t)
* Xột ht chuyn ng trong th :
( )
V V r t= ẽ
r
à
( )
2
2
2
H v r t
m
=- +ị ẹ ẽ
ur r
h
Gii pt:
( )
à

( ) ( )
,
, ,
r t
i H r t r t
t
y
y y
ả
= ị
ả
r
r r
h
Phng phỏp tớch phõn.
Gi thuyt:
( ) ( )
( )
,r t r f t
y j
=
r r
( )
à
( )
à
( )
à
(
)

à
à
( ) ( )
( ) ( )
1
, .
,
i
Et
df
df H
dt
i f H f i H f i const E
t dt f f
df
i
t
dt
i E f t Ae
f
r t A r e
H
E H r E r
j
j j j j
j j
j
y j
j
j j

j
-
ả
= = = =ị ị ị
ả
ỡ
ù
ù
-
ù
ù
= =ị
ù
ù
ù
=ị ị
ớ
ù
ù
ù
ù
= =ị
ù
ù
ù
ợ
h
h h h
h
h

r r
r r
Trong ú:
( )
r
j
r
tha món pt:
à
( ) ( )
:H r E r pt Schodingerdung
j j
=
r r
Hay:
( ) ( )
2
2
2
V r E r
m
j j
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
- + =ẹ
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ
ur r r
h
Gi:
à
( )
,
n n n n n
H E r E
j j j
= ị
r
( ) ( )
,
n
i
E t
n n n
r t A r e


=
h
r r
: hm súng ca trng thỏi dng cú n.lng E=E
n
.
* Tớnh cht ca trng thỏi dng:

- Mt xỏc sut ko ph thuc t;
n

2

2
* * *
. .1
n n
i i
E t E t
n n n n n n n n
A e A e A t



= = =
ữ ữ

h h
- Mt dũng xỏc sut
j t
r
.
( )
( )
* * * * * *
2 2 2
* * * *
2 2

2 2
n n n n
i i i i
E t E t E t E t
n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
i i
j A e A e A e A e
m m
i i
j A A A
m m
y y y y j j j j
j y j j j j j j
- -
ộ ự
ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ờ ỳ
ữ ữ ữ ữ
= - = -ẹ ẹ ẹ ẹ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ờ ỳ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ
ờ ỳ

ở ỷ
ộ ự
= - = -ẹ ẹ ẹ ẹ
ờ ỳ
ở ỷ
h h h h
r ur ur ur ur
h h
r ur ur ur ur
h h
( )
n
tẽ
Nu:
à
A t A tẽ ị ẽ
Trang 6
8/. Pt c.ng ca toỏn t(o hm toỏn t theo t)v thi gian chuyn ng?
8.1/Phng trỡnh chuyn ng:
* i lng vt lý A
?
dA
dt
đ
$
* nh ngha:
ả
dA dA
dt dt
=

sao cho
( )
dA d
A
dt dt
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
*
à
( )
à
( )
à
( )
* * *
d d
A A dV A A dV A dV
dt dt t
y y y y y y
ả
= = =ị

ả
ũ ũ ũ
Hay:
( )
à
à
à
*
* *
d A
A A A dV
dt t t t
y y
y y y y
ổ ử
ả ả ả
ữ
ỗ
ữ
ỗ
= + +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ả ả ả
ố ứ
ũ
S dng:

à
ả
*
* *
&
i i
H H
t t
y y
y y
ả ả
=- =
ả ảh h
( )
ả
à
à
à
à
* * * *
d i A i
A H A dV dV A H dV
dt t
y y y y y y
ổ ử ổ ử
ả
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + -ị
ữ ữ

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ả
ũ ũ ũ
h h

à
( )
ả
( )
à
à
à
* * * *
i A i
A H dV dV AH dV
t
y y y y y y
ả
= + -
ả
ũ ũ ũ
h h
Xột:
à
( )
ả
( )

à
à
( )
à
à
( )
* * * *
A H dV H A dV H A dV
y y y y y y
= =
ũ ũ ũ
( )
à
à
( )
à
à
à
( )
* * *
d i A i
A H A dV dV AH dV
dt t
y y y y y y
ả
= + -ị
ả
ũ ũ ũ
h h

à
à
à à
à
( )
*
A i
H A AH dV
t
y y
ộ ự
ả
ờ ỳ
= + -
ờ ỳ
ả
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
h
à
à
à
ả
à
à
à
ả
à
à

à
*
* *
( , )
( , ) ,
dA A i
H A dV
dt t
dA A i dA A i
dV H A dV H A
dt t dt t
y y
y y y y
ổ ử
ả
ữ
ỗ
ộ ự
ữ
= +
ỗ
ữ
ờ ỳ
ỗ
ở ỷ
ữ
ỗ
ả
ố ứ
ổ ử

ả ả
ữ
ỗ
ộ ự ộ ự
ữ
ỗ
+ = + ị
ữ
ờ ỳ ờ ỳ
ỗ
ữ
ở ỷ ở ỷ
ữ
ỗ
ả ả
ố ứ
ũ
ũ ũ
h
h h
8.2/Tớch phõn chuyn ng:
* nh ngha: i lng vt lý A tớch phõn chuyn ng nu:
ả
à
à
à
0 , 0
dA A i
hay H A
dt t

ả
ộ ự
= + =
ờ ỳ
ở ỷ
ả h
* nh lý: nu
à à
à
à
à
& , 0 : , 0
A
A t A H A tpcd viA t
t
ả
ộ ự
= =ẽ ị ẽ ị
ờ ỳ
ở ỷ
ả
v
à
à
à
à
à
, 0 , 0 :
A i
A H H A A tpcd

t
ả
ộ ự ộ ự
= + =ị ị
ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ
ả h
* T/c: Cho A
à
à
, 0A H
ộ ự
= ị
ờ ỳ
ở ỷ
cú dng hm riờng: tớch phõn chuyn ng
à
0
d A
A t
dt
=ị ẽ
; xs : A=A
n
l:
2
n n
P c t= ẽ
Trong ú :
( ) ( ) ( )

( )
( )
,
n n
i i
E t E t
n n n n n n n n
n n n n
c r t c r e c e r c t r
y y j j j
- -
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= = = =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ồ ồ ồ ồ
h h
r r r r
vi :
( )
n
i
E t

n n
c t c e
-
=
h
2 2
* *
.
n n
i i
E t E t
n n n n n n n
P c c c c e c e c t
-
= = = =ị ẽ
h h
9/. Toỏn t moment xung lng qu o:
* Biu thc:
à
. .L r p i r
ổ ử
ữ
ỗ
= = - ẹ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ur r ur r ur

$ $ $
h

Trang 7
ả
à
à
ả
à
à
à
à
à
x z y
y x z
z y x
L yP zP i y z
z y
Hay L zP xP i z x
x z
L xP yP i x y
y x
ỡ
ổ ử
ù
ả ả
ữ
ù
ỗ
= - = - - ữ

ù ỗ
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ả ả
ố ứ
ù
ù
ù
ù
ổ ử
ả ả
ù
ữ
ỗ
= - = - -
ữ
ớ
ỗ
ữ
ỗ
ù
ố ứ
ả ả
ù
ù
ù
ổ ử

ù
ả ả
ữ
ỗ
ù
= - =- - ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ữ
ù
ỗ
ả ả
ố ứ
ù
ợ
h
h
h

V:
ả
ả
ả
à
2
2 2 2
x y z
L L L L= + +

ur
: toỏn t bỡnh phng moment xung lng.
* Cỏc h thc giao hoỏn:
ả
ả
à
ả
à
ả
à
ả
ả
ả
ả
ả
ả
à
ả
2 2 2
, ; , ; , 0,&: , , , 0
x y z y z x z x y x y z
L L i L L L i L L L i L L L L L L L
ộ ự ộ ự ộ ự
ộ ự ộ ự ộ ự
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ
= = = = = =ạ
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ ở ỷ
ở ỷ ở ỷ ở ỷ

ur ur ur
h h h
ị
mụ t moment xung lng qu o chn:
à
ả
2
,
z
L L
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ur
* Biu thc trong ta cu: (r,,)
x = rsincos ; y = rsinsin ; z = rcos ; vi: 0 r< ; 0 ; 0 2.
ị

ả
ả
à
sin cot cos
cos cot sin

x
y
z
L i g
L i g
L i
f q f
q f
f q f
q f
f
ổ ử
ả ả
ữ
ỗ
= +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ả ả
ố ứ
ổ ử
ả ả
ữ
ỗ
= - +
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ả ả
ố ứ
ả
=-
ả
h
h
h
V
ả
2
2
2 2 2
,
2 2
1 1
sin
sin sin
L
q f
q
q q q q f
ổ ử
ổ ử
ả ả ả
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
=- =- +ẹ
ữỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ả ả ả
ố ứ
uuuur
ur
h h
* Cỏc tr riờng & hm riờng ca
à
ả
2
&
z
L L
ur
:
+ Pt tr riờng ca
à
z
L

:
à
1
&
2
im
z z z
L L L m e
f
y y y
p
= = =ị h
; vi
0, 1, 2, 3,...m =
(s lng t t).
+ Pt tr riờng ca
ả
2
L
ur
:
ả
( ) ( )
2 2 2
2
1 ; ,
lm
L L L l l
q f
= = + =Ă Ă ị Ă Ă

ur ur ur
h
: hm cu
Vi l = 1,2,3,: s lng t qu o.
( )
1
, ( )( ). ( ) ( )( )
2
im
lm
H H e



= =
.
10/. Chuyn ng trong trng xuyờn tõm:
* /n: Trng xuyờn tõm l trng th cú th nng ch ph thuc khong cỏch t tõm lc n im kho sỏt : V
= V(r)
ị
Kho sỏt ht trong trng xuyờn tõm.

Gii
à
2
2
, ? : ( ) ( ) ( )
2
H E E hay V r r E r
m

y y y y y
ộ ự
ờ ỳ
= - - + =ị ẹ
ờ ỳ
ở ỷ
ur ur ur
h
: trong h ta cu.
* Ta cu:
( )
( )
à
2
2
, , ;
2
r r H V
m
y y q f
= = - +ẹ
r ur
h
vi:
ả
2
2 2 2
2 2
,
2 2 2 2 2

1 1 1
;
L
r r
r r r r r r r r
q f
ổ ử ổ ử
ả ả ả ả
ữ ữ
ỗ ỗ
= + = -ẹ ẹ ẹ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ả ả ả ả
ur
ur ur ur
h
Trang 8
* Nhn xột: vỡ
2
,L
ur
à
à
à
ả
2 2

, 0 & , 0 , , :
z z
H L H L E L L
ộ ự
ộ ự
ờ ỳ
= = ị
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ
ur ur
ng thi xỏc nh.
Trng thỏi ca ht trong rng xuyờn tõm c mụ t bng hm súng c x. bi E
n
,
2
,L
ur
L
z
hay bi n,l,m.

nlm
(r,,) = R
nl
(r)
( , )
lm

; trong ú R
nl
: hm xuyờn tõm; Y
lm
: hm cu.
* Cỏc s lng t: cú 3 s lng t:
+ S n = 1,2,3,4, E = E
n
: x. nng lng giỏn on.(n: s lng t chớnh)
+ S l: s lng t qu o: l = 0,1,2,3,
2
2
( 1)L l l= +
ur
h

+ S lng t t m = 0,1, 2,, l
z
L m= h
.
* S suy bin: ng vi 1 mc E
n
cú th cú nhiu hm súng
nlm
thừa món pt:
à
nlm n nlm n
H E E
y y

= ị
: mc suy bin & bc suy bin (s hm
nlm
ng vi 1 mc E
n
):
( )
1
2
0
2 1
n
l
g l n
=
=
= + =

.
11/. Spin & hm súng cú ht Spin.
11.1/Spin:
* i vi ht vi mụ,ngoi m,e cũn cú 1 c trng mi spin(S), l 1 thuc tớnh ca ht vi mụ. spin S c mụ t
bng toỏn t Spin
$
?S =
ur
* Toỏn t Spin:
ả
ả
à

( )
, ,
x y z
S S S S
ur
$
c xỏc nh bi:
ả
ả
à
ả
à
ả
ả
ả
ả
ả
ả ả ả
2
2 2 2
, ; , ; , &
x y z y z x z x y x y z
S S i S S S i S S S i S S S S S
ộ ự ộ ự ộ ự
= = = = + +
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ ở ỷ
ur
h h h
Tr riờng ca S

z
,
ả
2
S
ur
.
à
, ,
s s
z s m z s m
S S
c c
=
vi:
.
z s
S m= h
ả
2 2
, ,
s s
s m s m
S S
c c
=
ur ur
vi:
( )
2

2
1S s s= +
ur
h
Trong ú: S = 0,1/2,1,3/2,: s lng t spin; ; m
s
= 0,1/2, 1,, s v
,
:
s
s m

hm spin.
Chng minh rng:
ả
ả
ả
ả
à
ả
2 2 2
, , , 0
x y z
S S S S S S
ộ ự ộ ự ộ ự
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ
= = =
ờ ỳ ờ ỳ ờ ỳ
ở ỷ ở ỷ ở ỷ
ur ur ur

chn
à
ả
2
,
z
S S
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ur
: mụ t hm spin.
11.2/Spin ca in t:
Ht e
-
cú s = ẵ m
s
= 1/2
ả
ả
à
, ,
x y z

S S Sị
cú dng ma trn 2x2.
ả
ả
ả
0 1 0 1 0
; ;
1 0 0 0 1
2 2 2
x y x
i
S S S
i
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= ữ = ữ = ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
-
ố ứ ố ứ ố ứ
h h h
ả
ả
ả
ả

à
ả
; ;
2 2 2
x x y y z z
S S S
s s s
= = =ị
h h h
vi:
ả
ả
ả
0 1 0 1 0
; ;
1 0 0 0 1
x y z
i
i
s s s
ổ ử ổ ử ổ ử
-
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= ữ = ữ = ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ

-
ố ứ ố ứ ố ứ
Cỏc ma trn pauli.
Chng minh rng:
ả
ả
ả
ả
ả
ả
ả
ả
ả
ả
ả
{ }
ả
ả
{ }
ả
ả
{ }
, 2 ; , 2 ; , 2 ;
, , , 0
x y z y z x z x y
x y y z z x
i i i
s s s s s s s s s
s s s s s s
ộ ự ộ ự

ộ ự
= = =
ờ ỳ ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ ở ỷ
= = =
11.3/Hm súng ca ht cú Spin.
* Khi cha cú S
( )
,r t

=
r
Khi xột n S
( ) ( ) ( )
, , , , ;
z i s
r t r t s rt m

=
r r ur
h
Bin s spin:
z s
s m

= = h
: giỏn on.
* Gn ỳng trong a s trng hp:

( ) ( )
( )
, , ,
s
r t r t


r r
Trong ú:
( )
,r t

r
hm ta ,
( )
s

hm spin
à
i H
t
j
j
ả
=
ả
h
( )
s

thừa món 2 pt:
ả
( )
ả
( )
{
( ) ( )
2 2
1
,
, , ,
s
z s
s
s
S s s
ms s m
S m
m s
r t r t
c c
c c
y s j c
= +
=
=-
=ị
ồ
h
h

r r

Trang 9
Þ
Có 2s +1 thành phần
Đk chuẩn hóa:
( )
2
, 1
s
s
ms
m s
r t dV
y
=-
=
å
ò
r
12/. Hệ hạt đồng nhất:
* Hệ hạt đồng nhất nếu:
+ Có đặc trưng m,e,s,…, giống nhau.
+ Có biểu hiện như nhau trong cùng đk.
Vd: hệ e
-
,hệ γ,hệ n,p.
* Ng.lí ko phân biệt: ko thể phân biệt được các hạt đồng nhất trong CHLT.
* Trạng thái đ/x và phản đ/x: từ ng.lí ko phân biệt đó → hàm sóng của hệ hạt đồng nhất hoặc hàm chẵn(đ/x) hoặc
hàm lẽ(phản đ/x).

Hàm đ/x khi ψ(i
0
,…,i,j,…) = ψ(1,2,…,j,i,…); phản đ/x khi ψ(i
0
,…,i,j,…) = - ψ(1,2,…,j,i,…) ↔ hàm sóng của hệ
hạt phải có tính chẵn lẽ xác định.
* Tính đ/x của hàm sóng của hệ hạt đồng nhất ≈ loại hạt.
Pauli c/m rằng:
+ Hệ các hạt có s nguyên(s = 1,2,3,…,boson) thì hệ là hàm đ/x: ψ
s
.
+ Hệ các hạt có s bán nguyên(s = ½,3/2,5/2,…) bằng Fermion thì hàm là phản đ/x ψ
a
.
* Biểu thức của ψ
s;
ψ
a.
Xét hệ N hạt đồng nhất → ψ(1,2,…,N); với
( )
,
i i
i r
σ
≡
ur
thõa mãn pt:
µ
H E
y y

=
Hay:
2
2
2
i i
i
V E
m
ψ ψ
 
− ∇ + =
 ÷
 
∑
uur
h
.
a/Đối với hệ N=2.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2 2 1 2 2 1
1
2
q q
s
q q q q
ψ ψ ψ ψ ψ
⇒ = + 

 

⇒
Hệ 2 Bonson,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2 2 1 2 2 1
1
2
q q
a
q q q q
ψ ψ ψ ψ ψ
= − 
 
⇒
Hệ 2 Fermion
(Các hàm ψ
1
(q
1
); ψ
2
(q
2
)…hàm sóng 1 hạt).
b/Đối với hệ N hạt:
* Hệ N Boson:
( )

[ ]
( ) ( )
1 2
1 2
1
2
1 2
1 2
, ...
! !...
...
!
n
s n n n n
n n
N N
q q q
N
ψ ψ ψ ψ
 
=
 ÷
 
∑
N
i
: số Boson thuộc trạng thái n
i
(n
i

= n
i
,l
i
.m
i
) &
1
i
i
N N
=
=
∑
.
[ ]
1 2
, ...n n
∑
: Tổng lấy theo tất cả hoán vị khả dĩ giữa các trạng thái hoán vị.
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1,2
q q q q q q
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= +
∑
.

* Hệ N Fermion:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
1 2
1 2
1 2
... ...
... ...
1
!
... ...
N N N
n n n n
n n n n
A
n n n N
q q q
q q q
N
q q q
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ
 
 ÷
 ÷

→ =
 ÷
 ÷
 ÷
 
M M M
* Nhận xét: n
i
: chỉ số trạng thái – đánh số hàng; q
i
: chỉ số hạt – đánh số cột.
* Ng.lí loại trừ Pauli: Đối với hệ Fermion thì không thể có 2 hạt thuộc cùng trạng thái(vì sẽ có 2 cột – 2 hàng
giống nhau).
BÀI TẬP:
Trang 10