Tài liệu tự ôn thi ĐH - CĐ

Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình
Và hệ bất phơng trình đại số
Đ1. Hệ phơng trình phơng trình đại số
Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp
1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại
3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia
và ngợc lại
4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trờng hợp, sau đó đặt x = ty
5) Một số hệ phơng trình khác
Các ví dụ
Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình



=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2

a
x y
x y a

+ =



+ = +


Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ phơng trình

=+
=+
222
6 ayx
ayx

a) Giải hệ khi a = 2
b) Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ
5) Cho hệ phơng trình





+=+
+=+
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6) Giải hệ phơng trình:

=+
=+
22
22
xy
yx

7) Giải hệ phơng trình:





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m = 6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
1
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Ví dụ 2. Giải hệ phơng trình:

+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1
TH2 chú ý: x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải hệ phơng trình:





=+
=+

358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x. y

Đs: (1, 3) và (3/2, 2)
Ví dụ 4. Giải hệ phơng trình:





=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : - 1 x, y 1 hàm số:
( )
tttf 3
3
=
trên [-1;1] áp dụng vào phơng trình (1)
Ví dụ 5. CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx

; xét
23
2)( xxxf
=
, lập BBT suy ra KQ
Ví dụ 6. Giải hệ phơng trình:





=+
=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Ví dụ 7.





=+
=+
)1(
)1(
2
2

xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ

a = 8
Ví dụ 8. Giải hệ phơng trình:





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD: Rút ra
y
yy
y
x
+=
+
=
55
2

; Cô si
52
5
+=
y
y
x
;
20
2

x
theo (1)


20
2

x
suy ra x, y
2
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Ví dụ 9.





++=+
=

2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung

(1;1) (3/2;1/2)
Ví dụ 10.





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: Từ (1) đặt
2,1
+=+=
yvxu
đợc hệ dối xứng với u, -v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)

=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2)





+=+
+=+
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)

=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4)





++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx
yxyx
HD: tách thành nhân tử

4 nghiệm
5)

+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)





=
=
19
2.)(
33
2
yx
yyx
Đặt t = x/y Hệ pt có 2 nghiệm
7)

=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y
8)
2 2 2 2
2 (1)
4
x y x y
x y x y

+ =


+ + =


HD: Đổi biến theo v, u từ phơng trình (1)
3
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
9)

=+
=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
HD: Đặt x = 1/z thay vào đợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)
10)





+=
=
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x = y V xy = - 1
CM
02

4
=++
xx
vô nghiệm bằng cách tách hàm số

kq: 3 nghiệm
11)





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
12)





=+
=+
3

3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế
13)





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y
x
HD nhân 2 vế của (1) với
xy
Đ2. Phơng trình và bất phơng trình phơng trình đại số
Một số dạng phơng trình và bất phơng trình thờng gặp
1) Bất phơng trình bậc hai

Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Phơng pháp hàm số
4
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
2) Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

( )
2 2
0
( 0)
A B A B
A B
A B B
A B
A B B A B B
< <
>

>

<

< < < >
3) Phơng trình, bất phơng trình chứa căn thức
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm m để
mxxxx
++++
)64)(3)(1(
2

nghiệm đúng với mọi x
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m - 2
Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm





=+++
+
2)1(2
2
ayxxy
yx
HD:
2 2
2 (1)
( 1) ( 2) 1 (2)
x y
x y a
+
+ = +



TH1: a + 1 0 Hệ vô nghiệm
TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đờng tròn còn (1) là miền gạch chéo: a - 1/2
Ví dụ 3. Giải các phơng trình, bất phơng trình sau
1)
014168

2
++
xxx
2)
xxx 2114
=+
: x = 0
3)
510932)2(2
22
==+
xxxxx
4)
211
22
=++
xxxx
HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22

xxxx
KD 2002
Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm

+
++
012
0910
2
2
mxx
xx
ĐS: m4
Ví dụ 5. Giải bất phơng trình
2212
>+
xxx
HD + / Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
+ / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK
Ví dụ 6. Giải bất phơng trình:
7
2
1
2
2
3
3
+<+
x
x
x
x
HD Đặt
2,

2
1
+=
t
x
xt
, AD BĐT cô si suy ra ĐK
Ví dụ 7. Giải bất phơng trình:
4
)11(
2
2
>
++
x
x
x
HD: + / Xét 2 trờng hợp chú y DK x> = - 1
+ / Trong trờng hợp x 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Ví dụ 8. Cho phơng trình:
mxxxx
++=+
99
2
. Tìm m để phơng trình có nghiệm
HD: + / Bình phơng 2 vế chú ý ĐK
+ / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t
+ / Sử dụng BBT suy ra KQ
Ví dụ 9. Giải bất phơng trình (KA 2004) :
3

7
3
3
)16(2
2


>+


x
x
x
x
x
Bài tập áp dụng
5
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
1)



=+
++
0
12
22
ayx
xyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.

ĐS a = - 1 và a = 3
2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm:
mxx
+
41624

3)
16212244
2
+=++
xxxx
4)
12312
+++
xxx
5)
1212)1(2
22
=+
xxxxx
HD: Đặt
12
2
+=
xxt
, coi là phơng trình bậc hai ẩn t
6)
2
2)2()1( xxxxx
=++

7)
2
3
1)2(12
+
=++
x
xxxx
8) Cho phơng trình:
mxxxx
=++++
444
a) Giải phơng trình khi m = 6
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
9)
1
1
251
2
<


x
xx
10)
023243
2
=+++
xxx
11) Tìm a để với mọi x:

32)2()(
2
+=
axxxf
ĐS a 4 ; a 0
Chuyên đề 3: Lợng giác
Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi lợng giác
6
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Một số dạng phơng trình cơ bản
Phơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lợng giác
Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin
2
x + b. sinx. cosx + c. cos
2
x + d = 0
Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx:
a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x = 0

a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x + m = 0
Phơng trình đối xứng với sinx, cosx : a(sinxcosx) + b. sinx. cosx + c = 0
Phơng trình đối xứng với tgx, cotgx
Phơng trình đối xứng với sin
2n
x, cos
2n
x
Các ví dụ
Ví dụ 1.
2.cos 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
HD: đặt ĐK x =

/3 + k.

Ví dụ 2.
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=






++






+ xxx

HD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21

=++


ĐS 3 họ nghiệm
Ví dụ 3.
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
=+
x
x
x
x
HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm
Ví dụ 4.
3 3
sin .sin 3 cos .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x x x
x x

+

=

+
ữ ữ

HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = -

/6 + k

Ví dụ 5.
3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x + + =

HD: Biến đổi theo sin và cos đợc
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
=++
xxxx
ĐS x =

/3 + k

Ví dụ 6.
3.tan 6sin 2sin( )
2
tan 2sin 6sin( )
2
y
x y x
y
x y x

+ =




= +


HD: nhân (1) với (2) rút gọn
2 2
tan 4sin
2
y
y=
đặt
2
tan
2
y
t

=
ữ

; t = 0,
3t =
Ví dụ 7.
xxxxxx cos13sin.
2

1
sin.4cos2sin.3cos
++=
HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dụ 8.
2
1
5cos4cos3cos2coscos
=++++
xxxxx
HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet trờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
cos cos 2 .. cos
sin sin 2 .. sin
T x x nx
T x x nx
= + + +


= + + +

thực hiện rút gọn bằng cách trên
Ví dụ 9.
2 2
tan .sin 2.sin 3(cos 2 sin .cos )x x x x x x = +
HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2)
Ví dụ 10.
2
9
sin

cos
2
log 4.log
. 2 4
x
x



ữ

=
HD:
4
)(sinlog
2log
.2.log2
2
sin
sin
sin
=
x
x
x
x
Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ
Phơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn.
7

Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN:
xx
xx
y
24
24
cos2sin.3
sin4cos.3
+
+
=
HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạn

M = 8/5 m = 4/3
Ví dụ 2. Cho phơng trình:
tgxxmx
+=
1cos.2cos
2
1) Giải phơng trình khi m = 1
2) Tìm m để phơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]
HD: t = tgx,
0; 3t



; Lập BBT f(t)

ĐS:






+
1;31)31(m

Ví dụ 3. : Tìm GTLN, GTNN:
xxy 2cossin.2
48
+=
HD: t = cos2x, - 1t1 tìm Max, Min trên 1 đoạn
( )
33,
)1(80
==
tttf

ĐS:M = 3, m = 1/27
Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN:
1cos.sinsincos
44
+++=
xxxxy
Ví dụ 5. Cho phơng trình:
02sin24cos)cos.(sin2

44
=++++
mxxxx
Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2] ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ 6. Cho phơng trình
3cos2sin
1cossin2
+
++
=
xx
xx
a
1) Giải phơng trình khi a = 1/3
2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
HD: Đa về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 ĐS [ -1/2, 2]
Ví dụ 7. Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, ) :






+=
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22

xx
x
Bài tập áp dụng
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos
=
xxxxxx
2)
2cos.3sincos.3sin
=+++
xxxx
3)
2 2
5 3
3sin (3 ) 2sin .cos 5sin 0
2 2 2
x x x x



+ + + + =
ữ ữ ữ

4)
x
x
x

x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2
+=
5)
2
1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
x
x

+ =
HD: Chú ý ĐK

ĐS: x = -

/4 + k

/2
6)
2
cos2 cos (2.tan 1) 2x x x+ =
7)
03cos2cos84cos3

26
=++
xx
8)
1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
=

+







x
x
x
x

9)
02cos2sincossin1 =++++ xxxx
Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )

0;2

của phơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
+=






+
+
+
x
x
xx
x
KA 2002
2) Giải phơng trình
2
4
4
(2 sin 2 )sin 3
1 tan
cos
x x

x
x

+ =
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
( )
0;2

của phơng trình
2
cot 2 tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
+ =
KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
[ ]
0;14
của phơng trình
cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x + =
KB 2003
8
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
5) Xác định m để phơng trình
( )
4 4
2 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m+ + + =
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

0;
2




(DB 2002)
6) Giải phơng trình
4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x
+
=
(DB 2002)
7) Giải phơng trình
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x

+ = +
ữ

(DB 2002)
8) Cho phơng trình

2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
x x
a
x x
+ +
=
+
a) Giải phơng trình (2) khi
1
3
a =
b) Tìm a để phơng trình có nghiệm
9) Giải phơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
=
(DB 2002)
10) Giải phơng trình
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x

x
= +
+
(KA 2003)
11) Giải phơng trình
( )
3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x + + =
(DBKA 2003)
12) Giải phơng trình
( )
2
cos 2 cos 2 tan 1 2x x x= =
(DBKA 2003)
13) Giải phơng trình
6 2
3cos 4 8cos 2cos 3 0x x x + + =
(DBKB 2003)
14) Giải phơng trình
( )
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x

ữ

=

(DBKB 2003)
15) Giải phơng trình
2 2 2
sin .tan cos 0
2 4 2
x x
x


=
ữ ữ

(KD 2003)
16) Giải phơng trình
( )
( )
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin
x x
x
x x

= +
+

(DBKD 2003)
17) Giải phơng trình
2sin 4
cot tan
sin 2
x
x x
x
= +
(DBKD 2003)
18) Giải phơng trình
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x =
(KB 2004)
19) Giải phơng trình
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x + =
(KB 2004)
Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit
Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình Mũ lôgarit
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số phơng trình cơ bản.
Khi giải phơng trình về logarit chú ĐK.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho phơng trình:
0121loglog
2
3

2
3
=++
mxx
9
Tài liệu dùng cho ôn thi đại học
1) Giải phơng trình khi m = 2
2) Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc
[ ]
3
3;1
HD: m [0;2]
Ví dụ 2.



=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
đs (4, 4)
Ví dụ 3.
)4(log)1(log
4
1

)3(log
2
1
2
8
4
2
xxx
=++
HD: ĐK x>0 Và x1; ĐS x = 2,
332
=
x
Ví dụ 4.
xxxx
3535
log.loglog.log
+=
HD: Đổi cơ số ĐS: x = 1 và x = 15
Ví dụ 5.





++=+
=
633
)(39
22

3log)(log
22
xyyx
xy
xy
Ví dụ 6.
x
x
=
+
)1(log
3
2
HD: ĐK x> - 1 TH1: - 1<x 0 phơng trình vn
TH2: x>0, đặt y = log
3
(x + 1) Suy ra
1
3
1
3
2
=






+

yy
Ví dụ 7.
32
2
2
23
1
log xx
x
x
=








+
HD: VP 1 với x>0, BBT VT 1 ; Côsi trong lôgagrit

ĐS x = 1
Ví dụ 8.

=
+
+
=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0, 1) (2, 4)
Ví dụ 9. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) :
( )
3log3loglog
2
4
2
2
1
2

2
=+
xmxx
HD: t > = 5;
31
1
31
1,0
2
2
<





=

+
>
m
t
m
m
mm
Ví dụ 10.

=+
=
322
loglog
yx
xy
yxy

HD ĐK x, y>0 và khác 1; BĐ (1) đợc
TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm
TH2:
2
1
y
x
=
thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1
10