Ứng dụng đường tròn lượng giác trong các bài toán vật lí

GV Trần Huy Dũng ® Trường THPT Thống Nhất B
ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ
1) Sự tương tự giữa một dao động điều hòa và một chuyển động tròn đều.
Một dao động điều hòa có dạng có thể được điểu diễn tương với một chuyển
động tròn đều có:
- Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao động: R = A
- Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với chiều dương trục ox một góc
- Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng
Bên cạnh cách biểu diễn trên, ta cần chú ý thêm:
- Thới gian để chất điểm quay hết một vòng (360
0
) là một chu kỳ T
- Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ
2) Các ứng dụng:
2.1 Ứng dụng để viết phươn trình dao động điều hòa.
Ví dụ: Một lò xo có độ cứng K = 50 N/m đặt nằm ngang, một đầu cố định vào tường, đầu còn lại
gắn vật khối lượng m = 500g. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng x = cm và truyền cho vật một
vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
Bài giải
Tần số góc của dao động điều hòa:
ω = = 10 rad/s
Biên độ dao động của vật được tính bởi công thức:
A
2
= x
2
+ v
2
/ω
2

= 3 + 1 = 4
→ A = 2 (cm)
Tam giác vuông OxA có cos = /2 → = 60
0
.
Có hai vị trí trên đuờng tròn, mà ở đó đều có vị trí x = cm.
Page 1
GV Trần Huy Dũng ® Trường THPT Thống Nhất B
Trên hình tròn thì vị trí B có = - 60
0
= - π/6 tương ứng với trường hợp (1) vật dao động đi theo
chiều dương, còn vị trí A có = 60
0
= π/6 ứng với trường hợp (2) vật dao động đang đi theo chiều âm.
Như vậy vị trí B là phù hợp với yêu cầu của đề bài.
Vậy ta chọn = - π/6
và nghiệm của bài toán x = 2 cos (10t - π/6) (cm).
Các bài toán áp dụng:
1) Một lò xo độ cứng K = 50 N/m treo thẳng đứng, đầu trên cố định vào tường, đầu dưới gắn vật m
=0,5 kg khi đó lò xo giãn ra một đoạn Δl . Đưa vật về vị trí ban đầu lúc lò xo chưa bị giãn rồi thả cho vật
dao động. Chọn chiều dương từ trên xuống. Viết phương trình dao động của vật.
hd: Δl = mg/K = 10 cm = A. ptdđ: x = 10 cos(10t + π)
2) Lò xo có chiều dài ban đầu là 30 cm,. Khi treo vật m thì lò xo dài 40cm. Truyền cho vật khi đang
nằm cân bằng một vận tốc 40cm/s hướng thẳng lên. Chọn chiều dương hướng xuống. Viết phương trình
dao động của vật. Lấy g = 10m/s
2
hd: ω = = 10 rad/s, tại VTCB v = ω A → A = 4cm. ptdđ: x = 4 cos(10t + π/2) (cm)
2.2 Ứng dụng để tính khoảng thời gian.
Ví dụ 1: Vật dao động điều hòa với phương trình . Tính:
a) Thời gian vật đi từ VTCB đến A/2

b) Thời gian vật đi từ biên đến – A/2 đến A/2 theo chiều dương.
c) Tính vận tốc trung bình của vật trong câu a
Bài giải
a) Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên đường tròn từ A đến B
được một góc 30
0
(bạn đọc tự tính) như hình vẽ bên.
Page 2
GV Trần Huy Dũng ® Trường THPT Thống Nhất B
Nhận thấy: Vật quay một vòng 360
0
hết một chu kỳ T
Vậy khi vật quay 30
0
hết khỏng thời gian t
Dùng quy tắc tam suất ta tính được

b) Khi vật đi từ vị trí – A/2 đến A/2, tương ứng với vật chuyển động trên đường tròn từ A đến B
được một góc π/6 + π/6 = 90
0
(bạn đọc tự tính) như hình vẽ bên.
Nhận thấy: Vật quay một vòng 360
0
hết một chu kỳ T
Vậy khi vật quay 90
0
hết khỏng thời gian t
Dùng quy tắc tam suất ta tính được
c) Vận tốc trung bình của vật: V
tb

=

Ví dụ 2: Một bóng đèn ống được nối vào nguồn điện xoay chiều u = 120
2
cos100
π
t(V). Biết
rằng đèn chỉ sáng nếu hiệu điện thế hai cực U
≥
60
2
V. Thời gian đèn sáng trong 1s là:
a) 1/3s b) 1s c) 2/3s d) 3/4s
Bài giải
Hình vẽ dưới đây mô tà những vùng (tô đậm) mà ở đó U
≥
60
2
V khi đó đèn sáng. Vùng còn lại
do U < U
≥
60
2
V nên đèn tắt. Mỗi vùng sáng ứng với một góc quay 120
0
. Hai vùng sáng có tổng góc
quay là 240
0
.
Chu kỳ của dòng điện : T = 1/60 s

Page 3
GV Trần Huy Dũng ® Trường THPT Thống Nhất B
Thời gian sáng của đèn trong 1 chu kỳ là:
Nhận thấy: Vật quay một vòng 360
0
hết một chu kỳ T
Vậy khi vật quay 240
0
hết khỏng thời gian t
Dùng quy tắc tam suất ta tính được s
Thời gian sáng của đèn trong 1s là: Ta lý luận như sau, 1 chu kỳ có thời gian 1/60s
Dùng quy tắc tam suất ta thấy như vậy trong 1s sẽ có 60 chu kỳ
Một chu kỳ đèn sáng 1/90s. Vậy 60 chu kỳ thì đèn sáng 60/90 = 2/3 s
Các bài toán áp dụng:
1) Một đèn ống mắc vào mạng điện xoay chiều 200V-50Hz. Hiệu điện thế để đèn sáng khi hiệu
điện thế tức thời giữa hai đầu đèn là 100
2
V. Xác định khoảng thời gian đèn sáng trong một chu kỳ của
dòng điện.
A. 1/75 s B. 1/150 s C. 1/300 s D. 1/100 s
hd: Mạng 220V, đây là U hiệu dụng. Như vậy U
0
= 220
2
V
2) Lập biểu thức tính thời gian từ lúc vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo chiều âm cho tới vị
trí - A/2. Biết vật đã đổi chiều chuyển động một lần.
ĐS: t = 5T/12 (T là chu kỳ dao động)
3)Lập biểu thức tính tốc độ trung bình từ lúc vật chuyển động qua vị trí cân bằng theo chiều âm cho
tới vị trí + A/2. Biết vật đã đổi chiều chuyển động một lần.

ĐS: V
tb
= 30A/7T
2.3 Ứng dụng để tính quãng đường vật đi được.
Ví dụ: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4 cos(2πt + π/3). Tính quãng đường mà vật
đi được trong thời gian 3,75s.
Bài giải.
Page 4
GV Trần Huy Dũng ® Trường THPT Thống Nhất B
Dễ dàng nhận thấy, trong thời gian 1 chu kỳ T vật dao động đi được quãng đường 4A
Chu kỳ dao động của vật: T = 1s (bạn đọc tự tính)
Khoảng thời gian 3,75s = 3 chu kỳ T + 0,75s
+ Quãng đường vật đi được trong 3s = quãng đường vật đi trong 3 chu kỳ = 3 × 4A = 48
+ Quãng đường vật đi được trong 0,75s được xác định theo hình vẽ dưới đây:
S
0,75s
= AO + OB + BO + OC = AO + 4 + 4 + OC = 10 + 2
3
cm
trong đó OA = 4. sin 30
0
= 2 cm và OC = 4 . sin 60
0
= 2
3
cm
Vậy tổng quãng đường mà vật đi được: S = 58 +
2
3
cm = 61,6 cm

Bài tập áp dụng:
1) Vật dao động theo phương trình x = 5cos(2πt + π/6) (cm). Tính quãng đường mà vật đi được
trong 20,75s.
2) Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình : x = 6sin(4πt + π/6 )cm. Quãng
đường vật đi được từ thời điểm t
1
= 5/24 s đến thời điểm t
2
= 74/24 s là :
a) s = 103,5cm. b) s = 69cm. c) s = 138cm. d) s = 34,5cm.
3) Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = A cosωt(cm).
a) Hãy xác định quãng đường dài nhất mà vật có thể đi được trong khoảng thời gian t = T/3 (trong
đó T là chu kỳ dao động của vật).
b) Hãy xác định quãng đường ngắn nhất mà vật có thể đi được trong khoảng thời gian t = T/3 (trong
đó T là chu kỳ dao động của vật).
đs: a) S = A
3
;
b) S = A
4) Có hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Tại thời điểm t vật 1 đang ở vị trí có li độ x
= A/2 và đang chuyển động ngược chiều dương, trong khi đó vật 2 đang chuyển động theo chiều dương tại
vị trí có li độ x = A
3
/2
. Hãy xác định độ lệch pha của vật 2 so với vật 1.
đs: Δφ = π/2 rad
Page 5