Đáp án đề thi đại học Khối D năm 2004
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.94 KB, 4 trang )
1
Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm
..................... đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
...........................................
Đề chính thức
Môn:
Toán,
Khối D
(Đáp án - thang điểm có 4 trang)
Câu
ý
Nội dung Điểm
I
2,0
1
Khảo sát hàm số (1,0 điểm)
1962
23
++== xxxym
.
a) Tập xác định:
R
.
b) Sự biến thiên:
22
y ' 3x 12x 9 3(x 4x 3)=+= +;
y' 0 x 1, x 3== =
.
0,25
y
CĐ
= y(1) = 5 , y
CT
= y(3) =1.
y'' = 6x 12
= 0
x = 2 y = 3. Đồ thị hàm
số lồi trên khoảng
(;2),
lõm trên khoảng
);2( +
và có điểm uốn là
)3;2(U
.
0,25
Bảng biến thiên:
x
1 3
+
y' + 0
0 +
y 5
+
1
0,25
c) Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1).
0,25
2
Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số ...(1,0 điểm)
y = x
3
3mx
2
+ 9x + 1 (1); y' = 3x
2
6mx + 9; y'' = 6x
6m .
y"= 0
x = m y =
2m
3
+
9m + 1.
0,25
y" đổi dấu từ âm sang dơng khi đi qua x = m, nên điểm uốn của đồ thị hàm số
(1) là I( m;
2m
3
+ 9m +1).
0,25
I thuộc đờng thẳng y = x + 1
2m
3
+ 9m + 1 = m + 1
0,25
2m(4
m
2
) = 0
m = 0 hoặc
2=m
.
0,25
2
II
2,0
1
Giải phơng trình (1,0 điểm)
( 2cosx
1) (2sinx + cosx) = sin2x
sinx
( 2cosx
1) (sinx + cosx) = 0.
0,25
2cosx
1= 0
cosx =
1
xk2,k
23
=+ Z
.
0,25
sinx + cosx = 0
tgx =
1
xk,k
4
= + Z
.
0,25
Vậy phơng trình có nghiệm là:
xk2
3
= +
và
xk,k
4
= + Z
.
0,25
2
Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (1,0 điểm)
Đặt: u =
x,v y,u 0,v 0.=
Hệ đã cho trở thành:
33
uv1
uv13m
+=
+=
(*)
0,25
uv1
uv m
+=
=
u, v là hai nghiệm của phơng trình: t
2
t + m = 0 (**).
0,25
Hệ đã cho có nghiệm (x; y)
Hệ (*) có nghiệm u
0, v
0
Phơng trình
(**) có hai nghiệm t không âm. 0,25
14m 0
1
S10 0 m .
4
Pm0
=
=
=
0,25
III
3,0
1
Tính toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC và tìm m... (1,0 điểm)
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
ABC ABC
GG
xxx yyy
m
x1;y
333
++ ++
====
. Vậy G(1;
m
3
).
0,25
Tam giác ABC vuông góc tại G
GA.GB 0=
JJJG JJJG
.
0,25
mm
GA( 2; ), GB(3; )
33
JJJG JJJG
.
0,25
GA.GB 0=
JJJG JJJG
2
m
60
9
+ =
m36=
.
0,25
2
Tính khoảng cách giữa B
1
C và AC
1
,... (1,0 điểm)
a) Từ giả thiết suy ra:
11
C ( 0; 1; b ), B C ( a ; 1; b )=
JJJJG
11
AC ( a; 1; b), AB ( 2a; 0; b)= =
JJJJGJJJJG
0,25
3
()
111
11
22
11
BC, AC AB
ab
dBC,AC
ab
BC, AC
==
+
JJJJGJJJJGJJJJG
JJJJG JJJJG
.
0,25
b) áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
11
22
ab ab 1 1 a b
d(B C;AC ) ab 2
2
2ab 2 2
ab
+
===
+
.
0,25
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.
Vậy khoảng cách giữa B
1
C và AC
1
lớn nhất bằng
2
khi a = b = 2.
0,25
3
Viết phơng trình mặt cầu (1,0 điểm)
I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm
I
(P) và IA = IB = IC .
Ta có: IA
2
= (x
2)
2
+ y
2
+ ( z
1)
2
;
IB
2
= (x
1)
2
+ y
2
+ z
2
;
IC
2
= (x
1)
2
+ (y
1)
2
+ ( z
1)
2
.
0,25
Suy ra hệ phơng trình:
=
=
=++
22
22
02
ICIB
IBIA
zyx
=+
=+
=++
1
2
2
zy
zx
zyx
0,25
.0;1 === yzx
0,25
== 1IAR
Phơng trình mặt cầu là ( x
1)
2
+ y
2
+ ( z
1)
2
=1.
0,25
IV
2,0
1
Tính tích phân (1,0 điểm)
I =
3
2
2
ln(x x) dx
. Đặt
2
2
2x 1
du dx
uln(x x)
xx
dv dx
vx
=
=
=
=
.
0,25
33
3
2
2
22
2x 1 1
Ixln(x x) dx3ln62ln2 2 dx
x1 x1
= =+
0,25
()
3
2
3ln6 2ln2 2x ln x 1=+
.
0,25
I = 3ln6
2ln2
2
ln2 = 3ln3
2.
0,25
2
Tìm số hạng không chứa x... (1, 0 điểm)
Ta có:
()
7k
7
7k
k
33
7
44
k0
11
xCx
xx
=
+=
0,25
7k
k287k
77
kk
3
412
77
k0 k0
Cx x Cx
==
==
.
0,25
Số hạng không chứa x là số hạng tơng ứng với k
(k Z, 0 k 7)
thoả mãn:
40
12
728
==
k
k
.
0,25
Số hạng không chứa x cần tìm là
4
7
C35=
.
0,25
4
V
Chứng minh phơng trình có nghiệm duy nhất
1,0
x
5
x
2
2x
1 = 0 (1) .
(1)
x
5
= ( x + 1)
2
0
x
0
(x + 1)
2
1
x
5
1
x
1.
0,25
Với x
1: Xét hàm số
52
f(x) x x 2x 1=
. Khi đó f(x) là hàm số liên tục
với mọi x
1.
Ta có:
f(1) =
3 < 0, f(2) = 23 > 0. Suy ra f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( 1; 2). (2)
0,25
f '( x) =
4444
5x 2x 2 (2x 2x) (2x 2) x= + +
.
344
2x(x 1) 2(x 1) x 0, x 1=++>
.
0,25
Suy ra f(x) đồng biến trên [ 1; +
) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra phơng trình đã cho có đúng một nghiệm. 0,25
