De thi hsg toan9 QH

Phßng Gi¸o dôc cÈm ph¶
Trêng THCS quang hanh
§Ò thi kiÓm tra chÊt lîng häc sinh giái
N¨m häc 2010-2011
M«n: To¸n - líp 9
Thêi gian: 150 phót ( kh«ng tÝnh thêi gian giao ®Ò)

§iÓm b»ng sè §iÓm b»ng ch÷ Gi¸m kh¶o sè 1 Gi¸m kh¶o sè 2 Sè ph¸ch
Bài 1. (5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
( ) ( )
( )
( )
2
2
12
111111
xx
xxxxx
P
−+
−−−++−+
=
.
2) Cho
2
=+++
dcba
. Chứng minh rằng
1
2222

≥+++
dcba
.
Bài 2. (5 điểm)
1) Giải hệ phương trình





=++
=++
=++
9
4
1
xzxz
zyzy
yxyx
.
2) Tìm tất cả các số thực
201121
,...,, xxx
thoả mãn
( )
....
2
1
20112011...33221
2011321

2
2011
2
3
2
2
2
1
xxxxxxxx
++++=−++−+−+−
Bài 3. (4 điểm)
1) Cho
2009200832
22...2221
++++++=
A
. Chứng minh rằng A chia hết cho 31.
2) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho
1
34
++
nn
là số chính phương.
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC), nội tiếp trong đường tròn (O). M là điểm bất kì
trên dây cung BC. Qua M vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với AB tại B; qua M vẽ
đường tròn tâm E tiếp xúc với AC tại C. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường
tròn (D) và (E).
1) Chứng minh rằng N thuộc đường tròn (O).
2) Chứng minh rằng tích AM.AN không đổi, khi M thay đổi trên dây cung BC.

3) Khi M thay đổi trên dây cung BC thì trung điểm I của đoạn thẳng DE chạy trên
đường nào?
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI
Bài 1:
1)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
.2
1111
12
121111
12
1111
2
2
22
2
33
2
=
−−+−++
=

−+
−+−−+−+
=
−+






−−+−+
=
x
xxxx
xx
xxxx
xx
xxx
P
2) Do
2
=+++
dcba
nên
( )
2
22222222
++++−+++=+++
dcbadcbadcba
11

2
1
2
1
2
1
2
1
2222
≥+






−+






−+







−+






−=
dcba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
1
==== dcba
Bài 2:
1) Ta thấy hệ
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
















=++
=++
=++
⇔
=+++
=+++
=+++
⇔
=++
=++
=++
1011
511
211
101
51
21
9
4
1
xz
zy
yx
xzxz
yzzy
xyyx
zxxz

yzzy
xyyx
(*)
Do đó
( )( )( )
[ ]
2
2
10111
=+++
zyx
, xảy ra hai khả năng:
• Nếu
( )( )( )
10111
=+++
zyx
, kết hợp với (*) có










=
=

=
⇔
=+
=+
=+
4
0
1
51
11
21
z
y
x
z
y
x
• Nếu
( )( )( )
[ ]
10111
2
−=+++ zyx
, kết hợp với (*) có











−=
−=
−=
⇔
−=+
−=+
−=+
6
2
3
51
11
21
z
y
x
z
y
x
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là
( )
4;0;1
và
( )
6;2;3
−−−

.
2) Áp dụng bất đẳng thức
2
22
ba
ab
+
≤
, đẳng thức xảy ra khi
ba
=
, ta có
i
i
i
x
ixi
ixi
2
1
2
.
22
2
=
−+
≤−
với mọi
2011,...,2,1
=

i
.
Do đó
( )
2011321
2
2011
2
3
2
2
2
1
...
2
1
20112011...33221 xxxxxxxx
++++≤−++−+−+−
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( ) ( )
2011,...,2,1,...,,
201121
=
xxx
.
Bài 3:
1) Ta có
( ) ( )
...2222222221
98765432

++++++++++=
A

( )
31.2...31.23122222
2005520092008200720062005
+++=+++++
Vậy A chia hết cho 31.
2/ Đặt
1
34
++=
nnB
.
• Nếu
1
=
n
thì
3
=
B
, nên B không là số chính phương.
• Nếu
2
=
n
thì
25
=

B
, nên B là số chính phương.
• Nếu
2
≥
n
. Ta có
( ) ( )
2
22
2
234
2424444 nnnnnnnB
+<−++=++=
(Do
04
2
<−
n
khi
2
>
n
).
( )
2
2232434
22484444444
−+>−−+++>++=
nnnnnnnnnB

.
Do đó
( ) ( )
.2422
2
2
2
2
nnBnn
+<<−+
Vì B là số chính phương nên 4B cũng là số chính phương. Suy ra
( ) ( )
.032312444124
3
2
234
2
2
=++⇔++=++⇔−+=
nnnnnnnnB
Phương trình này vô
nghiệm. Vậy
2
=
n
.