Chuyên đề hệ thức Vi - Et

Trờng THCS Cảnh Dơng ôn thi vào THPT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Toán nâng cao
ứng dụng định lí vi- ét

I. LP PHNG TRèNH BC HAI
1. Lp phng trỡnh bc hai khi bit hai nghim
1 2
;x x
Vớ d : Cho
1
3x =
;
2
2x =
lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn
Theo h thc VI-ẫT ta cú
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =


= =

vy
1 2
;x x

l nghim ca phng trỡnh cú dng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x + = + =
Bi tp ỏp dng:
1. x
1
= 8 và x
2
= -3
2. x
1
= 3a và x
2
= a
3. x
1
= 36 và x
2
= -104
4. x
1
=
1 2+
và x
2
=
1 2
2. Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim tho món biu thc cha hai nghim ca mt phng
trỡnh cho trc:
V ớ d: Cho phng trỡnh :

2
3 2 0x x + =
cú 2 nghim phõn bit
1 2
;x x
. Khụng gii phng trỡnh trờn, hóy
lp phng trỡnh bc 2 cú n l y tho món :
1 2
1
1
y x
x
= +
v
2 1
2
1
y x
x
= +
Theo h th c VI- ẫT ta c ú:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x

+
= + = + + + = + + + = + + = + =
ữ

1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vy phng trỡnh cn lp cú dng:
2
0y Sy P + =
hay
2 2
9 9
0 2 9 9 0
2 2
y y y y + = + =
Bi tp ỏp dng:
1/ Cho phng trỡnh
2
3 5 6 0x x+ =
cú 2 nghim phõn bit
1 2
;x x
. Khụng gii phng trỡnh, Hóy lp

phng trỡnh bc hai cú cỏc nghim
1 1
2
1
y x
x
= +
v
2 2
1
1
y x
x
= +
(ỏp s:
2
5 1
0
6 2
y y+ =
hay
2
6 5 3 0y y+ =
)
2/ Cho phng trỡnh :
2
5 1 0x x =
cú 2 nghim
1 2
;x x

. Hóy lp phng trỡnh bc 2 cú n y tho món
4
1 1
y x=
v
4
2 2
y x=
(cú nghim l lu tha bc 4 ca cỏc nghim ca phng trỡnh ó cho).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi.
1
Trêng THCS C¶n h D ¬ng «n thi vµo THPT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(Đáp số :
2
727 1 0y y− + =
)
3/ Cho phương trình bậc hai:
2 2
2 0x x m− − =
có các nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình bậc hai có
các nghiệm
1 2
;y y
sao cho :
a)

1 1
3y x
= −
và
2 2
3y x= −
b)
1 1
2 1y x
= −
và
2 2
2 1y x= −
(Đáp số a)
2 2
4 3 0y y m− + − =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =
)
II. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
2
0x Sx P− + =
(§iều kiện để có hai số đó là S
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =

−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
−
3 và ab =
−
4 n ên a, b là nghiệm của phương trình :
2
3 4 0x x+ − =
giải phương trình trên ta được
1
1x =
và
2
4x = −
Vậy nếu a = 1 thì b =
−
4
nếu a =
−
4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1. S = 3 và P = 2
2. S =
−
3 và P = 6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x

2

−
y
2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a
2
+ b
2
= 41
2. a
−
b = 5 và ab = 36
3. a
2
+ b
2
= 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích
của a v à b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2

a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c =
−
b ta có : a + c = 5 và a.c =
−
36
Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :
1

2
2
4
5 36 0
9
x
x x
x
= −

− − = ⇔

=

Do đó nếu a =
−
4 thì c = 9 nên b =
−
9
nếu a = 9 thì c =
−
4 nên b = 4
Cách 2: Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + =
( )
2
2
13

13
13
a b
a b
a b
+ = −

⇒ + = ⇒

+ =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biªn so¹n: §ång §øc Lîi.
2
Trờng THCS Cản h D ơng ôn thi vào THPT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*) Vi
13a b
+ =
v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

+ + =

=

Vy a =
4
thỡ b =
9
*) Vi
13a b+ =
v ab = 36, nờn a, b l nghim ca phng trỡnh :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

+ =

=

Vy a = 9 thỡ b = 4
3) ó bit ab = 30, do ú cn tỡm a + b:
T : a

2
+ b
2
= 61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab + = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ =



+ =

*) Nu
11a b+ =
v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh:
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x

=

+ + =

=

Vy nu a =
5

thỡ b =
6

; nu a =
6

thỡ b =
5

*) Nu
11a b
+ =
v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh :
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x

x
=

+ =

=

Vy nu a = 5 thỡ b = 6 ; nu a = 6 thỡ b = 5.
III. TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM
i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l các em phi bit bin i biu thc nghim ó
cho v biu thc cú cha tng nghim
1 2
x x+
v tớch nghim
1 2
x x
ỏp dng h thc VI-ẫT ri tớnh giỏ
tr ca biu thc
1.Ph ơng pháp: Bin i biu thc lm xut hin : (
1 2
x x+
) v
1 2
x x

Dạng 1.
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + = +
Dạng 2.

( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
3x x x x x x x x x x x x x x

+ = + + = + +

Dạng 3 .
( )
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x

+ = + = + = +

Dạng 4.
5 5
1 2
x x+
=
)(.))((
21
2
2
2
1

2
2
2
1
3
2
3
1
xxxxxxxx
+++


1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Dạng 5.
1 2
?x x =
Ta bit
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x = + = +
Dạng 6.
2 2
1 2
x x

( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= +
=
( )
).(4)(
2121
2
21
xxxxxx
++
Dạng 7.
3 3
1 2
x x
=
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
x x x x x x x x x x x x

+ + = +

=.
Dạng 8.
4 4

1 2
x x
=
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+
=
Dạng 9.
6 6
1 2
x x+
=
( ) ( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x+ = + +
= ..
Dạng 1 0 .
6 6
1 2
x x
[ ]
...)(.)()()()(
2
2
2
2
2
2

1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
2
3
2
1
=++==
xxxxxxxx
Dạng 11 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi.
3
Trờng THCS Cản h D ơng ôn thi vào THPT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng13 .
1 2
1 1
1 1x x
+

2. Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim
a) Cho phng trỡnh :

2
8 15 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh
1.
2 2
1 2
x x+
(34) 2.
1 2
1 1
x x
+
8
15

ữ

3.
1 2
2 1
x x
x x
+
34
15

ữ

4.
( )

2
1 2
x x+
(46)
b) Cho phng trỡnh :
2
8 72 64 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
9
8

ữ

2.
2 2
1 2
x x+
(65)
c) Cho phng trỡnh :
2
14 29 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1

x x
+
14
29

ữ

2.
2 2
1 2
x x+
(138)
d) Cho phng trỡnh :
2
2 3 1 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
(3) 2.
1 2
1 2
1 1x x
x x

+
(1)
3.

2 2
1 2
x x+
(1) 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +
5
6

ữ

e) Cho phng trỡnh
2
4 3 8 0x x + =
cú 2 nghim x
1
; x
2
, khụng gii phng trỡnh, tớnh
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q

5 5
x x x x
x x x x
+ +
=
+
HD:
( )
2 2 2
2
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3
2
2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + +
= = = =
+


+

IV. TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI
NGHIM NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S
lm cỏc bi toỏn loi ny, các em lm ln lt theo cỏc bc sau:
1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x
1
v x
2
(thng l a 0 v 0)
2- p dng h thc VI-ẫT:
a
c
xx
a
b
xx
=

=+
2121
.;
3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau ú ng nht cỏc v
ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham s.Đó chính là h thc liờn h gia cỏc
nghim x
1
v x
2
không phụ thuộc vào tham số m.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Biên soạn: Đồng Đức Lợi.
4
Trờng THCS Cản h D ơng ôn thi vào THPT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vớ d 1 : Cho phng trỡnh :
( )
2
1 2 4 0m x mx m + =
(1) cú 2 nghim
1 2
;x x
. Lp h thc liờn h
gia
1 2
;x x
sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx
1
;x
2
nên ta không biện luận bớc 1)
Giải:
B ớc2 : Theo h th c VI- ẫT ta cú :
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)

1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m

+ = + = +







= =



B ớc2 : Rỳt m t (1) ta cú :
1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + =
+

(3)
Rỳt m t (2) ta cú :
1 2
1 2
3 3
1 1
1 1
x x m
m x x
= =

(4)
B ớc 3 : ng nht cỏc v ca (3) v (4) ta cú:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= = + + + =
+
Vớ d 2: Gi
1 2
;x x
l nghim ca phng trỡnh :
( )
2
1 2 4 0m x mx m + =

. Chng minh rng biu thc
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + +
khụng ph thuc giỏ tr ca m.
Theo h thc VI- ẫT ta c ú :
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

+ =






=

ĐK:(
101

mm
) ;Thay vo A ta c ú:
( )
1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
+
= + + = + = = =

Vy A = 0 vi mi
1m

. Do ú biu thc A khụng ph thuc vo m
Bi tp ỏp dng:
1. Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m + + =
. Hóy lp h thc liờn h gia
1 2
;x x
sao cho

1 2
;x x
c
lp i vi m.
Hng dn:
B1: D thy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m = + = + = + >
. Do ú phng trỡnh ó cho luụn
cú 2 nghim phõn bit x
1
v x
2

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biên soạn: Đồng Đức Lợi.
5
1