chuyen de he thuc vi et

nguyen thi nhung THCS SON TAY
Chuyên đề
hệ thức Viét và ứng dụng
A. Mục tiêu:
- Học sinh nắm chắc hệ thức Viét.
Biết vận dụng hệ thức Viét để:
+ Tính giá trị biểu thức giữa 2 nghiệm.
+ Xét dấu các nghiệm.
+ Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc và tham số
+ Lập một phơng trình bậc 2 khi biết hai nghiệm của nó
B. Phần chuẩn bị
- Giáo viên: Giáo án và các tài liệu tham khảo nh:
+ Toán nâng cao và các chuyên đề 9.
+ Toán nâng cao và phát triển 9
+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9.
+ SGK, SBT, các dạng toán 9.
- Học sinh: Ôn lại hệ thức Viét.
+ Các tài liệu tham khảo.
C. Nội dung
I. Lý thuyết:
1. Hệ thức Viét: Nếu x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thì S = x
1
+ x
2

= -
a
b
P = x
1
. x
2
=
a
c
2. ứng dụng:
* Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Muốn tìm 2 số biết tổng của chúng bằng s, tích của chúng bằng p, ta chỉ cần
giải phơng trình
x
2
- sx + p = 0
Nếu s
2
4p thì phơng trình có 2 nghiệm, đó là 2 số cần tìm
1
nguyen thi nhung THCS SON TAY
Nếu s
2
< 4p thì phơng trình vô nghiệm, không tồn tại 2 số mà tổng
bằng s tích bằng p.
* Xét dấu các nghiệp của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (1)
Điều kiện để phơng trình (1)

- Có 2 nghiệm trái dấu là p < 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu là: 0 và p > 0
- Có 2 nghiệm cùng dơng là: 0; p > 0; s > 0
- Có 2 nghiệm cùng âm là: 0; p > 0; s < 0
II. Ví dụ minh hoạ:
1. Dạng 1: Tính trí trị của 1 hệ thức giữa các nghiệm của phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
* Phơng pháp giải:
Vận dụng các phép biến đổi, để đa biểu thức cần tính giá trị về một biểu thức
bằng nó nhng chỉ chứa tổng và tích các nghiệm.
a. Ví dụ 1: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 (a 0; c 0). Cho biết x
1
, x
2
là
2 nghiệm. Tính theo a, b, c giá trị của các biểu thức sau:
+)
2
2
2
1
xx
+
+)
3
2

3
1
xx
+
+ (x
1
- x
2
)
2
+) x
1
- x
2
+
2
2
2
1
xx

* Giải:
+)
2
2
2
2
2
21
2

21
2
2
2
1
2
2.22)(
a
acb
a
c
a
b
a
c
a
b
xxxxxx

==







=+=+

+)

2
212
2
1
3
2
2
212
2
1
3
1
3
2
3
1
33333 xxxxxxxxxxxx
=+++=+
=
( )
).(3
2121
3
21
xxxxxx
++
=
3
3
23

3
3
33
..3
a
babc
a
bc
a
b
a
b
a
c
a
b

=+

=









+)

( ) ( )
2
2
2
2
22
4
44
12121
a
acb
a
c
a
b
xxxxxx

=







==
+) x
1
- x
2

=


( )
=
2
21
xx

a
acb
a
acb

=

2
2
2
4

2. Dạng 2: Xác định dấu các nghiệm.
2
nguyen thi nhung THCS SON TAY
Phơng pháp giải: Vận dụng điều kiện về dấu các nghiệp của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0
Ví dụ: Cho phơng trình với tham số m
mx
2

- 2 (m + 1) x + (m - a) = 0 (1)
a. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b. Tìm hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
* Giải:
a. +) m = 0 phơng trình (1) có dạng - 2x - 4 = 0, có nghiệm x = - 2
+) m 0 thì phơng trình (1) là phơng trình bậc 2.
= (m + 1)
2
- m (m - 4) = 6m + 1
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0, tức là m
6
1

KL: Với m
6
1

thì (1) có nghiệm
b. Theo hệ thức Viét ta có s =
m
m
p
m
m 4
;
)1(2

=
+
ĐK để (1) có 2 nghiệm trái dấu là:

P < 0
400
4
<<<

m
m
m
Khi đó, do 0 < m < 4 nên s > 0, do đó nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
3. Dang 3: Tìm hệ thức liên hệ 2 nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc vào tham số.
* Giải:
+ Bớc 1: Theo thớc Viét viết các hệ thức của s và p theo tham số
+ Bớc 2: Dùng quy tắc cộng hoặc quy tắc thế để thử tham số.
+ Ví dụ: Cho phơng trình
(k - 1 ) x
2
- 2kx + k - 4 = 0
Gọi x
1
x
2
là các nghiệm của phơng trình, lập 1 hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc và k.
* Giải
- Để phơng trình đã có nghiệm x
1

x
2
thì:
3
nguyen thi nhung THCS SON TAY
k 1 k 1 k 1 k 1
0 k
2
- (k - 1) (h - 4) 0 sk - 4 0 k
5
4
- Theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
=
1
2

k
k
(1)
x
1
+ x
2
=
1
4

k
k
(2)
Rút k từ (1) ta có k =
2
21
21
+
+
xx
xx
Rút k từ (2) ta có k =
1
4
21
21
+
+
xx
xx
Suy ra
2
21
21
+
+
xx
xx

=
1
4
21
21
+
+
xx
xx
Nay (x
1
+ x
2
) (x
1
x
2
- 1) = (x
1
x
2
- 4) (x
1
+ x
2
- 2)
Suy ra 3 (x
1
+ x
2

) + 2 x
1
x
2
- 8 = 0
4. Dạng 4: Lập phơng trình bậc hai khi biết các nghiệm
* Phơng pháp giải: Để lập 1 phơng trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm của nó là
x
1
, x
2
ta làm theo 2 bớc.
Bớc 1: Tính s = x
1
+ x
2
; p = x
1
. x
2
+) Nếu s
2
4p thì sẽ lập đợc 1 phơng trình bậc có nghiệm là x
1
, x
2
;
+) Nếu s
2
4p thì không lập 1 phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là x

1
+ x
2
Bớc 2: Phơng trình cần lập là:
x
2
- 5x + p = 0
Ví dụ: Cho phơng trình
x
2
- 5x 1 = 0
Nghiệm giải phơng trình (1), hãy lập 1 phơng trình bậc hai có các nghiệm là
luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm của phơng trình (1)
* Giải:
Ta thấy phơng trình (1) có nghiệm
Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình đã chọn
4
nguyen thi nhung THCS SON TAY
Ta có: x
1
+ x
2
= - 5; x
1
. x
2

= - 1
Gọi y
1
, y
2
là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta đợc
y
1
+ y
2
=
;
4
2
4
1
xx
+
y
1
y
2
=
;
4
2
4
1
xx
+

Ta có:
272252)(
21
2212
2
2
1
=+=+=+
xxxxxx
Do đó: y
1
+ y
2
=
2722729)(
2
2
2
1
22
2
2
1
4
2
4
1
==++=+
xxxxxx
y

1
+ y
2
= (x
1
x
2
)
4
= (-1)
4
= 1
Phơng trình phải lập có tổng các nghiệm bằng 272 và tích cac snghiệm bằng
1 nên có dạng
y
2
- 72 + y + 1 = 0
III. Bài tâp vận dụng:
Bài 1: Cho phơng trình 2x
2
- 3x + 1 = 0
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình, không giải phơng trình, hãy tính
giá trị của các biểu thức sau:
a) A =
21
11

xx
+
B =
2
2
1
1
1
1
x
x
x
x

+

C =
2
2
2
1
xx
+
D =
11
1
2
2
1
+

+
+
x
x
x
x
Bài 2: Cho phơng trình x
2
+ (2m - 1) x - m = 0
a. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để
A =
21
2
2
2
1
6 xxxx
+
có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: cho phơng trình x
2
- mx + m - 1 = a
a. CMR phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1

, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình. Tìm gia stri nhỏ nhất và lớn nhất
của phơng trình.
P =
)1(2
32
21
2
2
2
1
21
+++
+
xxxx
xx
Bài 4: Xác định tham số m sao cho phơng trình
a. 2x
2
- 3 (m + 1x) + m
2
- m - 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b. mx
2
- 2 (m + 2) x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu
c. 3m x
2
+ 2 (2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm
5