Ôn tập học kì I toán 10

ÔN TẬP HỌC KÌ I NĂM HỌC 2010 – 2011
PHẦN I: ĐẠI SỐ
A. Lý Thuyết
1) Tập hợp và các phép toán trên tập hợp .
2) Tập xác định, sự biến thiên, tính chẵn lẻ của hàm số .
3) Hàm số y = ax + b và y = ax
2
+ bx + c : Sự biến thiên và đồ thị của hàm số,
xác định hàm số thỏa điều kiện cho trước.
4) Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn, hệ PT bậc nhất 2 ẩn.
CÁC DẠNG BÀI TẬP
B B ài tập
CHƯƠNG I. TẬP HỢP. MỆNH ĐỀ
Bài 1. Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; A \ B ; B \ A , biết rằng
a) A = (2, + ∞) ; B = [−1, 3]
b) A = (−∞, 4] ; B = (1, +∞)
c) A = {x ∈ R / −1 ≤ x ≤ 5}B = {x ∈ R / 2 < x ≤ 8}
Bài 2. Cho 2 khoảng A=(a;a+1) và B= (1;4).
a) Tìm a để A∪B là một khoảng .
b) Tìm a để
A B
∩ = ∅
Bài 3. Cho A,B,C là các tập hợp chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
3
2
x
y

x
=
+
b)
1y x= +
c)
2
1
x
y
x
−
=
−

d)
5
( 1) 3
x
y
x x
+
=
− −
e)
3
6
x
y
x

−
=
−
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau
a)
3
4 3y x x= +
b)
2
3y x x= + +
c)
4
2 7y x x= + +
d)
2
9
x
y
x
=
−
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)
3 2y x= −
b)
2 5y x= − +
c)
1 2y x x= + + +
Bài 7. Xác định a, b để đồ thị hàm số y=ax+b
a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3)

b) Đi qua C(4, −3) và song song với đường thẳng
2
1
3
y x= − +
c) Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2
d) Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đường thẳng y = −
2
1
x + 5
Bài 8. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị ham số sau
a)
2
4 3y x x= − +
b) y = −x
2
+ 2x − 3 c) y = x
2
+ 2x
Bài 9. Cho hàm số
2
( 1) 2 1 ( )y mx m x m m= + − − + ∈ ¡
(1)
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m = −
b) Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng
1y x= −
c) Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số (1) khi m thay đổi
Bài 10. Xác định parabol y = ax
2

+bx+1 biết parabol đó:
a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(-2;11)
b) Có đỉnh I(1;0)
c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2
d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0.
Bài 11. Tìm Parabol y = ax
2
- 4x + c, biết rằng Parabol
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)
b) Có đỉnh I(-2; -2)
c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1)
d) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0)
Bài 12. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x
2
- 4x + 3 .
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số.
b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng d : y = x - 1.
Bài 13. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x
2
+ bx + c .
a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi b = 4, c = 3
b) Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1.
Bài 14. Cho parabol (P): y = ax
2
+ bx + c (
0a
≠
).
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a.

Bài 15. Cho parabol (P): y = ax
2
+ bx + c (
0a ≠
).
a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(1;2) và có đỉnh S(2; 3).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a.
Bài 16. Cho hàm số
2
2 3y x x= − − +
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2
2 3 1 0x x m+ − − − =
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2
2 0x x m+ + =
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 17. Giải các phương trình sau
1)
− + = + −3 1 3x x x
2)
2 2 1x x− = − +

3)
1 2 1x x x− = −
4)
2
3 5 7 3 14x x x+ − = +

5)
4 2x + =
6)
1x −
(x
2
− x − 6) = 0
+
=
2
3x 1 4
7/
x-1 x-1

+ +
=
2
x 3 4
8/ x+4
x+4
x
Bài 18. Giải các phương trình sau
1)
−
− + =
− −
2 2 2
1
2 2
x

x
x x
2) 1 +
3x
1
−
=
3x
x27
−
−
3)
2 1 2
2 ( 2)
x
x x x x
−
− =
+ −
Bài 19. Giải các phương trình sau
1)
2 1 3x x+ = −
2) |2x − 2| = x
2
− 5x + 6
3) |x + 3| = 2x + 1 4) |x − 2| = 3x
2
− x − 2
Bài 20. Giải các phương trình sau:
1)

2
5 10 3x x x+ − = −
2) x −
5x2 −
= 4
3)
3 2
3 4 1 1x x x x+ − + = −
4)
2
5 5x x+ + =
5)
3
2 1 1x x− = − −
6)
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − =
Bài 21. Giải và biện luận các phương trình sau
1) 2mx + 3 = m − x 2) (m − 1)(x + 2) + 1 = m
2

3) (m
2
+ m)x = m
2
− 1 4) (m
2
– 4)x = m + 2
Bài 22. Giải các phương trình sau
a.

2 3 5
3 3
x y
x y
+ =


+ = −

b.
2 2 2
2 2 2
x y
x y

+ =


− =



c.
7 4
41
3 3
3 5
11
5 2


+ =




− = −


x y
x y
d)
1
2 2
3 2 2 5
x y z
x y x
x y z
+ − =


− + = −


+ + =

Bài 23. Giải và biện luận theo m phương trình :
a)
2 4
2
1

mx m
x
− +
=
+
b)
4 2
3
5
m
m
x
−
= +
−
c)
1 2 3mx x m+ = − −
.
d)
2
2
1 ( 1)
1 1 1
mx m m x
x x x
− +
+ =
− + −
e)
2

( 1) 7 12 0m x x− + − =
Bài 24. Cho phương trình x
2
− 2(m − 1)x + m
2
− 3m = 0.Tìm m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm
c) Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
d) Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại
e) Có hai nghiệm thoả 3(x
1
+x
2
)=- 4 x
1
x
2
f) Có hai nghiệm thoả x
1
=3x
2
Bài 25. Giải hệ phương trình:
a)
2 2
2 5
2 2 5
x y
x y xy
+ =



+ − =

b)
2 2
2 2 5
2 7
x y xy
x y

+ − =

+ =

c)
2 2
5
8
xy x y
x y x y
+ + =


+ + + =

d)
2 2
4
13
x y

x y xy
+ =


+ + =

PHẦN II: HÌNH HỌC
A) LÝ THUYẾT:
I. Chương I: Véc tơ
1) Một số khái niệm
+ Vectơ là một đoạn thẳng có hướng
+ Hai véc tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+ Ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương.
+ Hai véc tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
+ Hai véc tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài
+ Véc tơ – không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
2) Tổng và hiệu của hai véc tơ:
+ Cho 3 điểm A,B,C tùy ý .
Ta có: Quy tắc ba điểm:
AB
uuur
+
BC
uuur

=
AC
uuur
. Quy tắc trừ :
AB
uuur
–
AC
uuur
=
CB
uuur

+Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
+
AD
uuur
=
AC
uuur
.
+ I là trung điểm của đoạn thẳng AB
IA IB O⇔ + =
uur uur ur
.
+ G là trọng tâm của ∆ ABC
GA GB GC O⇔ + + =
uuur uuur uuur ur

.
3) Tính chất của véc tơ với một số:
+ Trung điểm của đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB
2MA MB MI⇒ + =
uuur uuur uuur
, ∀ M.
+ G là trọng tâm của ∆ ABC
3MA MB MC MG⇔ + + =
uuur uuur uuuur uuuur
.
+ Điều kiện để hai véc tơ cùng phương:
a
r
và
b
r
(
0b ≠
r
) cùng phương ⇔ tồn tại một số k:
a kb=
r r
.
4) Hệ toạ độ:
+ Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của véc tơ trong mặt phẳng.
Cho: A(x
A
; y
A
), B(x

B
; y
B
). Ta có:
AB
uuur
= (x
B
- x
A
; y
B
- y
A
).
+ Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng: Cho A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
). Khi đó toạ độ trung điểm
I(x
I
; y
I
) của đoạn thẳng AB là:
;

2 2
A B A B
I I
x x y y
x y
+ +
= =
+ Toạ độ trọng tâm của tam giác: Cho A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
), C(x
C
; y
C
). Khi đó toạ độ
trọng tâm G(x
G
; y
G
) của tam giác ABC là:
;
3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y

x y
+ + + +
= =
II. Chương II: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng.
1) Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0
0
đến 180
0
. (xem lại sgk)
Chú ý: 1.
2 2
sin cos 1
α α
+ =
với
0 0
0 180
α
≤ ≤
2.
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =
với
0 0

0 180
α
≤ ≤
;
0
90
α
≠
3.
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
với
0 0
0 180
α
< <

4.
α
là góc nhọn thì GTLG của
α
đều dương.
α
là góc tù thì chỉ có

sin
α
dương
còn các GTLG khác của
α
là âm
2) Tích vô hướng của hai véc tơ.
+ Định nghĩa:
a
r
và
b
r
≠
0
r
, ta có:
. . . os(a, )a b a b c b=
r r r r r r
+ Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: cho
a
r
= (a
1
; a
2
),
b
r
= (b

1
; b
2
)
Khí đó :
.a b
r r
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
* Chú ý :
a
r
= (a
1
; a
2
),
b
r
= (b
1
; b
2
) khác

0
r
a
r
⊥
b
r
⇔ a
1
b
1
+ a
2
b
2
= 0
+ Độ dài của véc tơ: Cho
a
r
= (a
1
; a
2
). Khi đó:
2 2
1 2
a a a= +
r
+ Góc giữa hai véc tơ:
a

r
= (a
1
; a
2
),
b
r
= (b
1
; b
2
)
cos (
,a b
r r
) =
.
.
a b
a b
r r
r r
=
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
. .
a b a b
a a b b

+
+ +
+ Khoảng cách giữa hai điểm:
Cho A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
). Khi đó: AB =
2 2
( ) ( )
B A B A
x x y y− + −
B) CÁC VÍ DỤ:
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 1), C(2 ; 5)
a) Tìm toạ độ các véc tơ
AB
uuur
,
BC
uuur
,
CA
uuur
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AC và toạ độ trọng tâm G của ∆ABC
c) Tìm toạ độ điểm D để tức giác ABCD là hình bình hành.
Giải:

a) Ta có :
AB
uuur
= (-3 ; -2);
BC
uuur
= (4 ; 4);
CA
uuur
= (-1 ; -2)
b) Giả sử I (x
I
; y
I
) . Ta có : x
I
=
3
2 2
A C
x x+
=
; y
I
=
4
2
A C
y y+
=

Vậy I (
3
2
; 4)
+ Giả sử G (x
G
; y
G
). Ta có : x
G
=
1
3 3
A B C
x x x+ +
=
; y
G
=
9
3 3
A B C
y y y+ +
=

Vậy G (
1
3
; 3)
c) Giả sử D (x

D
; y
D
) . Để tức giác ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
=
DC
uuur
Ta có :
AB
uuur
= (-3 ; -2) ;
DC
uuur
= (2 – x
D
; 5 - y
D
)
Khi đó :
AB
uuur
=
DC
uuur
⇒
2 3
5 2
D

D
x
y
− = −


− = −

⇒
5
7
D
D
x
y
=


=

Vậy D (5 ; 7)
2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-1 ; 5), B(2 ; 3), C(5 ; 2)
a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b) Tìm toạ độ của véc tơ
3 2x AB AC= −
r uuur uuur
.
Giải:
a) Ta có :
AB

uuur
= (3 ; -2);
AC
uuur
= (6 ; -3)
Xét tỉ số
3
6
≠
3
2
−
−
⇒
AB
uuur
không cùng phương với
AC
uuur
Vậy 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Ta có :
x
r
= 3
AB
uuur
- 2
AC
uuur
= (3.3 - 2.6 ; 3(-2) - 2(-3)) = (-3 ; 0)

3) Cho
a
r
= (1 ; -1),
b
r
= (2 ; 1). Hãy phân tích véc tơ
c
r
= (4 ; -1) theo 2 véc tơ
a
r
và
b
r
Giải:
Giả sử
c
r
= k
a
r
+ h
b
r
= (k + 2h ; - k + h)
Ta có :
2 4
1
k h

k h
+ =


− + = −

⇒
2
1
k
h
=


=

Vậy
c
r
= 2
a
r
+
b
r
4) Cho góc x, với cosx =
1
2
. Tính giá trị của biểu thức:
P = 3sin

2
x - cos
2
x
Giải:
Ta có : sin
2
x + cos
2
x = 1 ⇒ sin
2
x = 1 - cos
2
x
Khi đó : P = 3(1 - cos
2
x) - cos
2
x = 3 - 4cos
2
x
Mà cosx =
1
2
⇒ P = 3 - 4(
1
2
)
2
= 3 - 1 = 2

5) Cho
∆
đều ABC có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng
.AB AC
uuur uuur
,
.AC CB
uuur uuur
Giải:
Ta có :
.AB AC
uuur uuur
=
.AB AC
uuur uuur
.cos(
,AB AC
uuur uuur
) = a .a.cos 60
0
=
1
2
a
2

.AC CB
uuur uuur
= a.a.cos 120
0

=
1
2
−
a
2
6) Trên mặt phẳng Oxy, tính góc giữa hai véc tơ
a
r
, và
b
r
trong các trường hợp sau:
a)
a
r
= (2 ; -3) ,
b
r
= (6 ; 4) b)
a
r
= (3 ; 2) ,
b
r
= (5 ; -1)
C) BÀI TẬP:
Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các véc tơ
AB
uuur

+
BC
uuur
và
AB
uuur
-
BC
uuur
.
Bài 2. Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S bất kỳ. Chứng minh rằng

MP
uuur
+
NQ
uuur
+
RS
uuur
=
MS
uuur
+
NP
uuur
+
RQ
uuur
Bài 3. Cho tứ giác MNPQ gọi G

1
là trọng tâm tam giác MNP, trên G
1
Q lấy điểm G sao
cho
1 1
4G G G Q=
uuuur uuuur
Chứng minh:
a)
0=+++ GQGPGNGM
.
b) O là điểm tùy ý, chứng minh rằng
4OM ON OP OQ OG+ + + =
uuuur uuur uuur uuur uuur
c) Gọi G
2
; G
3
; G
4
lần lượt là trọng tâm của tam giácNPQ, PQM, QMN .Chứng
minh 4 đường thẳng QG
1
;MG
2
; NG
3
; PG
4

đồng qui tại G.
Bài 4. Chứng minh rằng
AB
uuur
=
CD
uuur
⇔ trung điểm của đoạn thẳng AD và BC trùng nhau
Bài 5. Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm K sao cho 3
KA
uuur
+ 2
KB
uuur
=
O
ur
Bài 6. Cho
U
ur
=
1
2
i
r
- 5
j
r
,
V

ur
= m
i
r
- 4
j
r
. Tìm m để
U
ur
và
V
ur
cùng phương.
Bài 7. Cho
a
r
= (3 ; 2) ,
b
r
= (4 ; -5) ,
c
r
= (-6 ; 1)
a) Tìm toạ độ của véc tơ
U
ur
= 3
a
r

+ 2
b
r
- 4
c
r
b) Tìm toạ độ véc tơ
x
r
+
a
r
=
b
r
-
c
r
c) Tìm các số k và h sao cho
c
r
= k
a
r
+ h
b
r
Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-5 ; -2) , B(-5 ; 3) , C(3 ; 3)