Bài tập BDHSG Hình phần I

BDHSG Hình học 9
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập hình học
Phần I.
Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AD//BC). Gọi M và N tơng ứng là trung điểm của đáy BC và
AD. Trên AB kéo dài về phía A lấy điểm P bất kỳ, PN cắt BD tại Q.
Chứng minh rằng MN là phân giác của góc PMQ.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 1,
00
60

,105

==
BA
. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = 1.
Từ E kẻ ED//AB (D

AC).
Chứng minh rằng:
3
411
22
=+
ACAD
Bài 3. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Gọi R và R lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp
các tam giác BAD và ABC.
Chứng minh rằng:
222
4
'

11
aRR
=+
Bài 4. Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC kẻ tia Cx //AB và tia Cy sao cho tia Cx
nằm ở phần trong góc Bcy. Một đờng thẳng bất kỳ qua B cắt Cx, Cy lần lợt tại D và E. Gọi F là
giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng EF luôn đi quan 1 điểm cố định.
Bài 5. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. C là một điểm bất kỳ thuộc nửa đờng tròn. Trên tia
đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = 2.CA. Nối BD cắt đờng tròn ở F. Đờng thẳng vuông góc
với BD tại D cắt tiếp tuyến tại A của nửa đờng tròn ở E.
Chứng minh tam giác CED cân.
Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Đờng tròn đờng kính CD và đờng tròn tâm A cắt nhau tại M (M
không trùng D).
Chứng minh rằng đờng thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7. Cho điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn (O; R). Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn tại B
và C.
Xác định vị trí của d để tổng AB + AC nhỏ nhất.
Bài 8. Cho đờng thẳng d và (O, R) không giao nhau. A là điểm chuyển động trên d. Vẽ tiếp
tuyến AB, AE của đờng tròn (O) (B và E là các tiếp điểm).
a, Chứng minh rằng BE luôn đi qua 1 điểm cố định.
b, C là một điểm trên đoạn OA sao cho AC =
4
1
OA. Đờng thẳng vuông góc với OA vẽ
từ C cắt AB tại D. Xác định vị trí của A sao cho AD.AB nhỏ nhất.
Bài 9. Cho hình vuông ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R. M là một điểm tùy ý trên đ-
ờng tròn.
a, Chứng minh rằng MA
4
+ MB
4

+ MC
4
+ MD
4
= 24R
4
.
b, Chứng minh MA . MB . MC . MD < 6R
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Trung Bình THCS Cao Xuân Huy Diễn Châu
BDHSG Hình học 9
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 10. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên 2 cạnh AB và AD lần lợt lấy 2 điểm di động E và F
sao cho: AE + EF + FA = 2a.
a, Chứng minh rằng đờng thẳng EF luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định.
b, Tìm vị trí của EF sao cho S
CEF
lớn nhất.
Bài 11. Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đờng
tròn.
Từ một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ 2 với nửa đờng tròn cắt Ax, By lần l-
ợt tại C và D.
a, Xác định vị trí của M để 3.AC + BD nhỏ nhất.
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của S = S
ACM
+ S
BDM.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Trung Bình THCS Cao Xuân Huy Diễn Châu

BDHSG Hình học 9
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Một số bài toán về yếu tố cố định Toán quỹ tích
Bài 1. Cho đờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn. B là điểm chuyển động trên
đờng tròn. Qua O dựng đờng thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại M, cắt tiếp tuyến Bx tại D.
Chứng minh rằng khi B thay đổi trên đờng tròn thì D luôn thuộc một đờng cố định.
Bài 2. Cho đờng tròn (O;R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn. Cát tuyến d qua A cắt đờng
tròn (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của đờng tròn (O) cắt nhau tại D. Tìm quỹ tích điểm D.
Bài 3. Cho điểm A chuyển động trên cung lớn BC cố định của (O; R). Tìm tập hợp trọng tâm G
của tam giác ABC.
Bài 4. Cho đờng tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với (O).
Đờng thẳng d quay quanh A cắt (O) tại 2 điểm C và D. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác
BCD.
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A cố định nội tiếp đờng tròn (O;R). Điểm M di động trên cạnh
BC. Gọi D là tâm đờng tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, E là tâm đờng tròn đi qua M và
tiếp xúc với AC tại C. Gọi I là trung điểm của DE
Tìm quỹ tích điểm I
Bài 6. Cho đờng tròn (O), điểm A cố định trên đờng tròn. Trên tiếp tuyến tại A lấy điểm B cố
định. Gọi (O) là đờng tròn tiếp xúc với AB tại B có bán kính thay đổi. Gọi I là trung điểm của
dây chung CD của hai đờng tròn trên.
Chứng minh rằng điểm I luôn thuộc một đờng cố định.
Bài 7. Cho đờng tròn tâm O cố định ngoại tiếp tam giác ABC, trong đó A cố định, cạnh BC thay
đổi thỏa mãn BH.CH = 3.AH
2
(H là hình chiếu của A trên BC). Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng M luôn thuộc một đờng cố định.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phạm Trung Bình THCS Cao Xuân Huy Diễn Châu