ĐỀ THI HỌC KÌ 1 LỚP 10 (10/11)

SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN
TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN
ĐỀ THI HỌC KỲ I (Năm học : 2010-2011)
Môn thi : Toán 10
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (8điểm)
Câu 1 :(1 điểm)Cho A =
[ ]
2;3
−

(
]
2;4B = −
. Tìm
, ,A B A B∩ ∪
Câu 2:(3,0điểm)
a. (1,5điểm) Xác định trục đối xứng, toạ độ đỉnh S, các giao điểm với trục tung và
trục hoành của parabol (P):
2
5 6y x x= − +
. Vẽ parabol (P).
b. (1,5điểm) Xác định
, a b
của phương trình đường thẳng d:
y ax b= +
, biết d đi
qua
( 1;3), (1;2)M N−
.
Câu 2 : (2 điểm)

a. Cho phương trình
2 2
2 3 0x mx m+ − = . Tìm m để phương trình có một nghiệm
bằng 1. Tính nghiệm còn lại.
b. Giải phương trình
2 3 1x x+ = +
Câu 3:(1điểm) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác
ABCD. Chứng minh rằng:

2AC BD BC AD MN
+ = + =
r r
r r r

Câu 4 : (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1; 3); B(2; 6); C(0; 3)
a. Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b. Tìm trọng tâm G của
ABC∆
.
II. PHẦN RIÊNG (2điểm)
(Học sinh chọn 1 trong 2 phần sau)
Câu 5.a: (phần 1)
1.(1,0điểm) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh
( )
2 2
2a b a b+ ≤ +
2.(1,0điểm) Cho
2
2 2
sin sin cos

cot 2.
sin cos
TÝnh E
α α α
α
α α
+
= =
−
Câu 5.b: (phần 2)
1.(1,0điểm) Cho
, a b
là 2 số dương. Chứng minh rằng:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
2.(1,0điểm) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
sin sin( )A B C= +
----------------------Hết------------------------
AĐỀ
ĐÁP ÁN MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
---------------------------
Bản hướng dẫn này có 4 trang
PHẦN I:(8,0 điểm) Phần chung cho tất cả các thí sinh.
Câu Gợi ý nội dung trả lời Điểm
1
2.a

(
]
2;2
−=∩
BA
[ ]
4;3
−=∪
BA
Parabol (P):
2
5 6y x x= − +
Xác định trục đối xứng, toạ độ đỉnh, giao của (P) và Ox và Oy.
* Trục đối xứng:
5
2 2
b
x x
a
= − ⇒ =
* Toạ độ đỉnh
5 1
; ;
2 4 2 4
b
S S
a a
∆
   
− − ⇒ −

 ÷  ÷
   
• Giao của (P) và Oy:
0 6x y= ⇒ =
.
( ) (0;6)P Oy A∩ =
• Giao của (P) và Ox:
2
2
5 6 0
3
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

. Vậy (P) giao Ox là
(2;0), (3;0)B C
.
Vẽ parabol (P):
GV lưu ý: HS có thể không trình bày công thức, nếu đúng thì cho đủ điểm
1đ
1,5đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ
0,5đ
x
y
ȱ
O
ȱ
5
ȱ
2
ȱ
3
ȱ
2
ȱ
6
ȱ
S
ȱ
A
1
2.b
Xác định hệ số a, b của phương trình đường thẳng d :
y ax b= +
• Do d đi qua
( 1;3)M −
nên:
3 (1)a b− + =
• Mặt khác do d qua
(1;2)N

nên:
2 (2)a b+ =
Giải hệ phương trình tạo bởi (1) và (2):

1
2
2
3 5
2
a
a b
a b
b

= −

+ =


⇔
 
− + =


=


1,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
2
2.a

2.b
PT có một nghiệm
2
1 1 2 3 0x m m= ⇔ + − =
1
1
3
m
m
=


⇔

= −


Ta có
2 2
1 2 2
3 3x x m x m= − ⇔ = −
+ Với
2
1 3m x= ⇒ = −
+Với
2

1 1
3 3
m x= − ⇒ = −
2 2
1 0
(2 3) ( 1)
x
PT
x x
+ ≥

⇔

+ = +

1
1
2 3 1
2
2
2 3 1
3
hoÆc
x
x
x x
x x
x x
≥ −


≥ −

 
⇔ ⇔
+ = +

 
= − = −

 
+ = − −














−=
−=
−≥
⇔









−−=+
+=+
−≥
3
4
2
1
132
132
1
x
x
x
xx
xx
x
Vậy : Phương trình vô nghiệm
2đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3
Chứng minh: 2 (1)MN AC BD BC AD= + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
Chúng minh: (2)AC BD BC AD+ = +
uuur uuur uuur uuur
1đ
0.25đ

( ) ( )
( )
(2)

0 (2)
VT AC BD AB BC BA AD
AB BA BC AD
BC AD BC AD VP
= + = + + +
= + + +
= + + = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
r
Chứng minh: 2 (3)AC BD MN+ =
uuur uuur uuuur
Ta có:
( ) ( )

( ) ( )
(1)
2
0 0 2 2 (3)
VT AC BD AM MN NC BM MN ND
AM BM NC ND MN
MN MN VP
= + = + + + + +
= + + + +
= + + = =
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuur uuur uuuur
uuuur uuuur
r r
( Do M, N lần lượt là các trung điểm của AB, CD nên:
0 ; 0AM BM NC ND+ = + =
uuuur uuuur uuur uuur
r r
)
0.25đ
0,25đ
0,25đ
4
4.1
4.2
(3;3); (1;0)AB AC= =
uuur uuur
, kh«ng cïng ph­¬ AB AC ng⇒
uuur uuur
⇒

A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là đỉnh của một tam giác
1
3 3
4
3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
+ +

= =



+ +

= =


1 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
V.a
1

Phần dành riêng cho các thí sinh
Vì a, b > 0 nên
( )
2 2
2a b a b+ ≤ +
( )
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 2 2a b a b a ab b a b⇔ + ≤ + ⇔ + + ≤ +
2 2 2
2 0 ( ) 0: ®ónga ab b a b⇔ − + ≥ ⇔ − ≥
2,0đ
1,0đ
0,25đ
0,75đ
2
Vì
cot 2 sin 0
α α
= ⇒ ≠
. Chia tử và mẫu cho
2
sin
α
2
1 cot
1 cot 1 2
1 cot
E
α
α

α
+
= = − = −
−
1,0đ
0,25đ
0,75đ
V.b
1
Chứng minh:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với a, b là các số dương
1,0đ
ȱ
N
ȱ
M
ȱ
D
ȱ
C
ȱ
B
ȱ
A
Cách 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương.
* Ta có:

( )
( )
+
+ ≥ ⇔ ≥
+ +
⇔ + ≥
⇔ + + ≥
⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ >
2
2 2
2
2 2
1 1 4 4
4
2 4
2 0 0 §óng víi mäi , 0
a b
a b a b ab a b
a b ab
a ab b ab
a ab b a b a b
Dấu “
=
” xảy ra khi
a b=

Cách 2: Dùng BĐT Cauchy
* Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
+ ≥ =
1 1 1 2

2
a b ab
ab
(1)
Mặt khác ta có:
+
≤ ⇔ ≥
+
1 2
2
a b
ab
a b
ab
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
Dấu “
=
” xảy ra khi
a b=
(đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ
0,25đ
2
Chứng minh:
( )
= +sin sinA B C
Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên:
( )
+ + = ⇔ = − +
0 0
180 180A B C A B C
Do đó:
( )
( )
( )
= − + = +
0
sin sin 180 sinA B C B C
(Do
( )
α α
− =
0
sin 180 sin
)
1,0đ
0,5đ
0,5đ