Đề, đáp án KS HSG Toán 8 lần 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC</b>
<b>TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU</b>

<b>ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP 8 LẦN 1</b>
<b>NĂM HỌC 2020 – 2021</b>

<b>MƠN: TỐN</b>

Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

<b>Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: </b>

a) 4
x  4

b) x4_{+ 2020x}2_{+ 2019x + 2020.}

<i><b>Câu 2 : (1.5 điểm) Cho a – b = 5 và a.b = 2. Tính : </b></i>

a ) A = a3_{– b}3

b) B = 3(a4_{+ b}4_{) + 2(a}5_{– b}5₎

<b>Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để:</b>

a ) A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tố.}

b ) B= n5_{-n+2 là số chính phương. (}<i>n N n</i> ; 2₎

<b>Câu 4: (1 điểm)</b>

a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
3










 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>c</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>a</i>

<b> b)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :</b>

x = 2

1
1

<i>a</i>
<i>a a</i>



  ; y = 2
1
1

<i>b</i>
<i>b b</i>


 

<b>Câu 5: (1,5 điểm)</b>

a)Tính tổng: S = 31_{– 2}1_{+ 3}2_{– 2}2_{+ 3}3_{– 2}3_{+ … + 3}2019_{– 2}2019.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2_{+ y}2 _{+ 4xy - 2y - 16x + 2015}

<i><b>Câu 6 : (2,5 điểm) Cho hình vng ABCD. Qua A vẽ hai đường thẳng vng góc </b></i>

với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.

a) Chứng minh <i>Δ</i> _{AQR và} <i>Δ</i> _{APS là các tam giác cân.}

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS. Chứng minh tứ giác
AMHN là hình chữ nhật.

c) Chứng minh P là trực tâm <i>Δ</i> _SQR.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC </b>
<b>TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU</b>

<b>HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 8 .</b>
<b> NĂM HỌC 2020 - 2021</b>

<b>Câu</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>Câu 1</b>

(1,5đ)

a )x4 _{+ 4 = (x}4 _{+ 4x}2 _{+ 4) - 4x}2 _{= ( x}2₊₂₎2_{- (2x)}2
= (x2 _{+ 2 + 2x)(x}2 _{+ 2 - 2x)}

<b>0,5</b>

b) x4_{+ 2020x}2_{+ 2019x + 2020 =}



 



4 2

x  x  2020x 2020x 2020 _0.5

=













2 2

x x 1 x x 1 2020 x x 1

=



 



2 2

x x 1 x  x 2020 _0,5

<b>Câu 2</b>

(1.5đ)

a) A = (a – b)(a2_{+ ab + b}2_{) = 5[(a – b)}2_{+ 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155} _0,5
b)

a4_{+ b}4_{= (a}2_{+ b}2₎2_{– 2a}2_b2 _{= [(a – b)}2_{+ 2ab]}2_{– 2a}2_b2
= (25 + 2.2)2_{– 2.2}2

= 833
a5_{– b}5_{= (a}2_{+ b}2_)(a3_{– b}3_{) + a}2_b3_{– a}3_b2

= [(a – b)2_{+ 2ab] . (a – b)(a}2_{+ ab + b}2_{) + a}2_b2_{(b – a)}
= [(a – b)2_{+ 2ab] . (a – b) [(a – b)}2_{+ 3ab] + a}2_b2_{(b – a)}
= (25 + 4) . 5. (25 + 6) – 4.5

=4475

<b>Vậy B = 3. 833 + 2 . 4475 = 11449</b>

0.25

0,5
0,25

<b>Câu 3</b>

(2đ)

a) p = n3_{- n}2<b>_{+ n - 1= (n}</b>2 _{+ 1)(n - 1)} _0.25
+)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài

+)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 _{+ 1)(2 - 1) = 5}

+)Nếu n > 3 khơng thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là
1; n – 1> 1 và n2_{+ 1 > n – 1> 1}

0.5
<b>- Vậy n = 2 thìp = n</b>3_{- n}2_{+ n - 1 là số nguyên tố} _0.25
b) B=n5_-n+2=n(n4_{-1)+2=n(n+1)(n-1)(n}2₊₁₎₊₂

=n(n-1)(n+1)





<i>n</i>2  4



5



_{+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2} 0.5
mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)_{5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp)}

và 5 n(n-1)(n+1)_{5 Vậy B chia 5 dư 2} 0.25
Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B khơng phải số chính phương

Vậy khơng có giá trị nào của n để B là số chính phương 0.25

<b>Câu 4</b>

(1đ)

a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a= 2 ; 2 ; 2

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>c</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>z</i>

<i>y</i> 






;

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

=>A= 
















)
(
)
(
)
(
2
1
2
2
2 <i>y</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>

Từ đó suy ra A 2(2 2 2)
1





hay A3 0.25

b)Ta có x,y > 0 và

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

<i>a a</i> <i>a</i>

<i>a</i>

<i>x</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i>

 

         



 

 

Vì a> b > 0 nên 2 2
1 1

<i>a</i> <i>b</i> _và

1 1

<i>a</i><i>b</i> _{. Vậy x < y.}

0,5

<b>Câu 5</b>

(1,5 đ) . _{a)S = 3}1_{– 2}1_{+ 3}2_{– 2}2_{+ 3}3_{– 2}3_{+ … + 3}2019_{– 2}2019.
= (31_{+ 3}2_{+ 3}3_{+ … + 3}2019_{) – (2}1_{+ 2}2_{+ 2}3_{+ …+ 2}2019₎

Đặt A = 31_{+ 3}2_{+ 3}3_{+ … + 3}2019_{, B = 2}1_{+ 2}2_{+ 2}3_{+ …+ 2}2019
 A = 31<b> + 32 + 33 + … + 32018 + 32019</b>

<b> 3A = 32_{+ 3}3_{+ 3}4_{+ … + 3}2019</b>_{+ 3}2020
⇒ 3A – A = 32020 - 31

⇒ A =

32020−3
2

 B = 21<b> + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019</b>
<b> 2B = 22_{+ 2}3_{+ 2}4_{+ … + 2}2019</b>_{+ 2}2020

⇒ 2B – B = 22020 - 21
⇒ B = 22020 – 2

Vậy S =

32020−3
2 −

(

2

2020₋₂

₎

=3

2020

−22021+1
2

b )A = 13x2_{+ y}2 _{+ 4xy - 2y - 16x + 2015}
= y2_{+ 4xy - 2y + 13x}2_{- 16x + 2015}

= y2_{+ 2y(2x - 1) + (2x -1)}2_{+ 9x}2_{- 12 x + 2015}
= (y + 2x - 1)2_{+ (3x - 2)}2_{+ 2010}

Chứng tỏ A  2010, dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi (x = 3
2

; y = 3
1


)
Vậy min A = 2010 khi (x = 3

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Vẽ đúng hình, cân đối đẹp.

a) <i>Δ</i> _{ADQ =} <i>Δ</i> _{ABR vì chúng là hai tam giác vng (2 góc có cạnh}
t.ư vng góc) và DA = BD (cạnh hình vng). Suy ra AQ=AR, nên

<i>Δ</i> _{AQR là tam giác vng cân. Chứng minh tương tự ta có:}
<i>Δ</i> _{ABP =} <i>Δ</i> _ADS

do đó AP =AS và <i>Δ</i> _{APS là tam giác cân tại A.} _0,5

b) AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và
APS nên AN ¿ _{SP và AM} ¿ _RQ.

Mặt khác : <i>PAN</i> <i>PAM</i> _{= 45}0 _{nên góc MAN vng. Vậy tứ giác AHMN}

có ba góc vng, nên nó là hình chữ nhật.

c) Theo giả thiết: QA ¿ _{RS, RC} ¿ _{SQ nên QA và RC là hai đường}

cao của <i>Δ</i> _{SQR. Vậy P là trực tâm của} <i>Δ</i> _SQR.

d) Xét tam giác vng cân AQR có MA là trung tuyến nên AM =
1
2
QR

⇒ MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.

Chứng minh tương tự cho tam giác vng cân ASP và tam giác vng
SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C. Hay MN là trung

trực của AC

e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C. Nói cách
khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm
trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.

<i><b>Chú ý:</b></i>

- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Học sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì khơng chấm bài hình.

0,5

0,5

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>

<!--links-->