ĐỀ ĐÁP ÁN THI HSG TOÁN 9 CẤP HUYỆN 2010 - 2011

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Phần 1-Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một
phương án đúng. Hãy chọn phương án đúng (viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án được
lựa chọn).
Câu 1. Biểu thức
7 4 3 7 4 3− + +
có giá trị là:
A.
4
B.
2 3−
C.
0
D.
3
2
−
Câu 2. Biểu thức
2
1 2x
x
−
xác định khi:
A.
1
x

2
≥
B.
1
x và x 0
2
≤ ≠
C.
1
x
2
≤
D.
1
x và x 0
2
≥ ≠
Câu 3. Cho hàm số
( )
y 2m 1 x 0,5= + −
. Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song
với đường thẳng
y 3x= −
khi và chỉ khi
A.
m 2≠ −
B.
m 1≠
C.
3

m
2
≠ −
D.
1
m
2
≠ −
Câu 4. Cho tam giác đều cạnh bằng 3 cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp có độ dài bằng
A.
3 3
cm
2
B.
2 cm
C.
3 cm
D.
3
cm
2
Phần 2-Tự luận. (18 điểm)
Câu 1. (1 điểm).Thực hiện phép tính:
1 1 3 +1
+ :
17
2 5 - 3 2 5 + 3
 
 ÷
 

Câu 2. (2 điểm).
Cho biểu thức
( )
x 3 x 2 x x 1 1
P : x 0 và x 1
x 1
x x 2 x 1 x 1
 
+ + +
 
= − + > ≠
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ − + −
 
 

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
1 x 1
1
P 8
+
− ≥
Câu 3 (5 điểm). Giải các phương trình:
a)
x 1 2 x 6+ + − =
b)

2 2
4x 3x 1 x 1 7x 1+ − − = +
Câu 4. (8 điểm). Cho (O; R), dây cung
AB R 2=
. Các tiếp tuyến tại A và tại B với đường tròn cắt
nhau tại M. Từ điểm P thuộc đoạn thẳng AM (P không trùng với A và M), vẽ tiếp tuyến PC với đường
tròn (C là tiếp điểm). Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PC với BM.
a) Chứng minh tứ giác MAOB là hình vuông.
b) Chứng minh chu vi tam giác MPQ bằng nửa chu vi hình vuông MAOB. Tính
·
POQ
.
c) Xác định vị trí của các điểm P, Q để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất, khi đó chứng minh
tam giác MPQ có diện tích lớn nhất.
Câu 5. (2 điểm). Cho
x 0; y 0; x y 2> > + ≤
.
a) Chứng minh rằng
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 3
A 2xy
xy
x y
= + +
+

ĐỀ CHÍNH THỨC
-----------Hết----------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giám thị1: . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Giám thị2: . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
TRỰC NINH
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 2010-2011
Môn: TOÁN LỚP 9
Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)
Câu 1 2 3 4
Đáp án A B A C
Phần II. Tự luận
Đáp án Điểm
Câu 1. (1 điểm). Thực hiện phép tính.
1 1 3 +1
+ :
17
2 5 - 3 2 5 + 3
 
 ÷
 
( ) ( )
2 5 3 2 5 3 17
.
3 1
2 5 3 2 5 3
+ + −
=
+

− +
0,5
( ) ( )
( )
2 2
4 5 3 1
4 5 17 4 5 17
. . 2 15 2 5
17 3 1
3 1 3 1
2 5 3
−
= = = = −
−
+ +
−
0,5
Câu 2. (2 điểm).
a) Rút gọn P (1 điểm).
( )
x 3 x 2 x x 1 1
P : x 0 và x 1
x 1
x x 2 x 1 x 1
 
+ + +
 
= − + > ≠
 ÷
 ÷

 ÷
−
+ − + −
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 x x 1
x 1 x 1
:
x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 
+ + +
− + +
 
= −
 
+ − + − + −
 
0,25
( ) ( )
x 1 x 2 x
:
x 1 x 1
x 1 x 1
 
+
= −

 ÷
 ÷
− −
+ −
 
0,25
( ) ( )
x 1 x 1
1
x 1 2 x
+ −
= ×
−
0,25
x 1
2 x
+
=
0,25
b)
( )
1 x 1 2 x x 1
1 1 0 x 0; x 1
P 8 8
x 1
+ +
− ≥ ⇔ − − ≥ > ≠
+
0,25
( )

16 x x 2 x 1 8 x 8
0
8 x 1
− − − − −
⇔ ≥
+
0,25
6 x x 9 0⇔ − − ≥
( vì
( )
8 x 1 0+ >
với mọi
x 0; x 1> ≠
)
( )
2
x 6 x 9 0 x 3 0 x 3 0 x 9⇔ − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − = ⇔ =
0,25
2
x = 9 thỏa mãn điều kiện. Vậy x = 9 là giá trị cần tìm. 0,25
Câu 3. (5 điểm) Giải các phương trình:
a. x 1 2 x 6+ + − = (1)
Điều kiện
x 1 0
1 x 2
2 x 0
+ ≥

⇔ − ≤ ≤


− ≥

(*) 0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 x 1 2 x 2 x 1 2 x 6 2 x 1 2 x 3⇔ + + − + + − = ⇔ + − =
0,5
( )
2
4 x x 2 9⇔ − + + =
0,5
2
2 2
9 1 1 1
x x 2 x x 0 x 0 x
4 4 2 2
 
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
 ÷
 
0,5
1
x
2
=
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
x
2
=
0,25

b)
2 2
4x 3x 1 x 1 7x 1+ − − = +
(1)
Điều kiện
x 1
≥
0,25
2 2 2 2 2
(1) 7x 1 4x 3x 1 x 1 0 3x 1 4x 3x 1 4x x 1 0⇔ + − + + − = ⇔ + − + + + − =
0,5
(
)
2
2
3x 1 2x x 1 0⇔ + − + − = 0,5
Ta có
(
)
2
2
3x 1 2x 0+ − ≥ với mọi x .
x 1 0− ≥
với mọi x
(
)
2
2
3x 1 2x x 1 0⇒ + − + − ≥
0,5

Dấu bằng xảy ra
2 2 2
2
3x 1 4x x 1
3x 1 2x 0
x 1
x 1 x 1
x 1 0

 
+ = =

+ − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
  
= =
− =

 

1
x = 1 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 0,25
Câu 4 (8 điểm).
M
P
Q
C
A
B
O

a) Chứng minh MAOB là hình vuông (1,5 điểm)
OA R
OB R AOB
AB R 2

=

= ⇒ ∆


=

vuông tại O 0,5
Chứng minh MAOB là hình chữ nhật 0,5
Chứng minh MAOB là hình vuông 0,5
b) Chứng minh chu vi tam giác MPQ bằng nửa chu vi hình vuông MAOB (2
điểm)
Chứng minh QC = OB; PC = PA 0,5
Chu vi tam giác MPQ
MPQ
P MP PC CQ QM MP PA QB QM= + + + = + + +
0,5
3
= MA + MB 0,5
MAOB
1
P
2
=
0,5

Tính
·
POQ
(1,5 điểm)
Chứng minh
·
·
1
QOC BOC
2
=
0,5
Chứng minh
·
·
1
COP AOC
2
=
0,5
·
·
·
0 0
1 1
QOC COP AOB .90 45
2 2
⇒ + = = =
0,5
c) Xác định vị trí của các điểm P, Q để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất, khi đó

chứng minh tam giác MPQ có diện tích lớn nhất. ( 3 điểm).
Đặt MQ = m; MP = n; PQ = x.
Theo câu b có m + n + x = 2R
m n 2R x⇒ + = −
.
Ta cần tìm GTNN của x.
Chứng minh bất đẳng thức
( )
( )
2
2 2
2 m n m n+ ≥ +
0,5
Ta có
( )
( )
2
2
2R
2x 2R x x 2 2R x x 2 1 2R x
1 2
≥ − ⇒ ≥ − ⇒ + ≥ ⇒ ≥
+
0,5
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
m n QM PM= = =
0,5
Khi đó các điểm O, C, M thẳng hàng.
OQ là tia phân giác của
·

BOM
.
OP là tia phân giác của
·
AOM
0,5
OPQ AOBQP PQM OAPQB MAOB
1
S S ; S S S
2
= + =
không đổi.
Tam giác OPQ có chiều cao OC = R không đổi
0,5
PQ nhỏ nhất khi và chỉ khi
OPQ
S
nhỏ nhất suy ra
AOPQB
S
nhỏ nhất 0,25
Suy ra diện tích tam giác MPQ lớn nhất. 0,25
Câu 5. (2 điểm).
a) Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
1 1 4 x y 4
x y 4xy x y 0
x y x y xy x y
+

+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − ≥
+ +
luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
0,5
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 3
A 2xy
xy
x y
= + +
+
2 2
1 1 2 1
A 2xy
2xy xy 2xy
x y
 
 
= + + + +
 ÷
 ÷
+
 
 
0,5
Áp dụng câu a ta có
( )
2 2 2 2 2 2

1 1 4 4 4
1
2xy
x y x y 2xy 2
x y
+ ≥ = ≥ =
+ + +
+
( vì
x y 2+ ≤
). Đẳng thức xảy ra
2 2
x y 2xy
x y 1
x y 2

+ =
⇔ ⇔ = =

+ =

0,25
4
Chứng minh được
2 2
2xy 2 2xy. 4
xy xy
+ ≥ =
. Đẳng thức xảy ra
2 2

2
2xy x y 1
xy
⇔ = ⇔ =
0,25
Chứng minh
( )
( )
2
2 2
1 2 2 1
x y 4xy
2xy 2
2
x y
+ ≥ ⇒ ≥ ≥ =
+
.
Đẳng thức xảy ra
x y⇔ =
0,25
Vậy
1 11
A 1 4
2 2
≥ + + =
. Đẳng thức xảy ra
2 2
x y 1
x y 1

x y 1
= =

⇔ ⇔ = =

=

vậy min A =
11
x y 1
2
⇔ = =
0,25
Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức trong chương
trình thì Hội đồng chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho
không làm thay đổi tổng điểm của câu (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này.

--------------------HẾT-----------------------
5