sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015 2016 thcs phan đình giót

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.82 KB, 37 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỤC LỤC

Tên đề mục Trang

MỤC LỤC 1

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 2

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 4

PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4

1. Những nội dung lí luận liên quan 4

2. Thực trạng vấn đề 4

3. Các biện pháp tiến hành 5

3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng
đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.1a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp 5

3.1b. Chỉnh hợp 6

3.1c. Hoán vị 7

3.1d. Tổ hợp 9

3.1e. Một số dạng bài tập 10

3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học 
làm trung tâm.

3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình
giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập.

4. Kết quả thực hiện 33

Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị 34

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
1) THCS: trung học cơ sở

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PHẦN THỨ NHẤT

ĐẶT VẤN ĐỀ

Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về đại số tổ hợp (chỉnh hợp,
hốn vị, tổ hợp,... tơi thấy hệ thống bài tập SGK, SBT do Bộ giáo dục – Đào tạo ấn
hành còn đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này. Bởi trên
thực tế bài tập về đại số tổ hợp rất đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp)
và là một loại tốn khó của Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học
sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn các dạng bài
tập, các ví dụ ...Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu.
Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để

giải từng dạng bài tập.

Chính vì nhìn thấy tầm quan trọng của việc khải thác có hệ thống các đơn vị
kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận
tình của tập thể giáo viên dạy bộ mơn Tốn trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu
suy nghĩ khai thác và đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng bài tập

áp dụng đại số tổ hợp trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 6” trong dạy

học.

PHẦN THỨ HAI

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1. Những nội dung lý luận liên quan

1.1.Cơ sở lý luận:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vận
dụng hiệu quả cao hơn.

1.2. Cơ sở thực tiễn:

Trong chương trình tốn THCS và THPT thì đại số tổ hợp vẫn ln là một đề
tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán về đại số tổ hợp thường xuyên có mặt
tại các kì thi. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các khối lớp ở THCS. Đây là
một dạng bài tập tương đối khó và chỉ áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi. Vì
vậy, qua quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tơi đã tích luỹ được một số
kinh nghiệm với mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi, đặc biệt là học sinh
lớp 6 làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho mình một số vấn đề cơ

bản và một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp.

2. Thực trạng vấn đề

Trong chương trình bộ mơn tốn cấp THCS nhiều bài tập, đặc biệt là các bài
thi đối với học sinh giỏi có liên quan rất nhiều đến đại số tổ hợp, nhưng thời lượng
chương trình dành cho học sinh vận dụng khơng nhiều. Các dạng toán áp dụng đại
số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu các
dạng tốn này. Ngồi ra tài liệu chun sâu về việc áp dụng đại số tổ hợp trong giải
tốn chưa nhiều, cịn rất thiếu và chưa có hệ thống. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu
và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh
dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp và
tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp

trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 6” giúp cho việc dạy và học, bồi

dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao.
3. Các biện pháp tiến hành

3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối
tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể.

3.1.a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp:

3.1.a1. Quy tắc nhân:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

chọn (với m1;m2;. . .;mk∈ N❑

¿ . Khi đó có tất cả: m1m2...mk cách chọn để thực hiện
hành động H.

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C, biết rằng từ A đến C có 3 đường đi và từ C

đến B có 2 đường đi. Như vậy có 3.2 = 6 đường đi từ A đến B

3.1.a2. Quy tắc cộng:

Một hành động H được tiến hành gồm k hành động H1, H2, ...,Hk độc lập

nhau và mỗi hành động Hi có mi cách chọn. Khi đó hành động H sẽ có m1 + m2 +

m3 + ....+mk cách chọn.

Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C và D. Biết rằng từ A đến C có 3 đường đi, từ C

đến B có 2 đường đi, từ A đến D có hai đường đi và từ D đến B có 4 đường đi. Hỏi
có bao nhiêu đường đi từ A đến B, biết rằng giữa C và D khơng có đường đi.

Bài giải:
Từ A đến B qua C có: 3.2 = 6 đường đi
Từ A đến B qua D có : 2.4 = 8 đường đi
Vậy từ A đến B có tất cả: 6 + 8 = 14
đường đi

3.1.a3. Chỉnh hợp lặp:

a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ. Một dãy có độ dài m các phần
tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự
nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ: các dãy: (a, a, d); (b, d, d); (d, a, b);....; là các chỉnh hợp lặp chập 3 của 4

phần tử của tập hợp {a, b, c, d}
b) Định lí: Fnm=nm

3.1.b. Chỉnh hợp:

3.1.b1. Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) lấy ra k phần tử 
(1 ≤ k ≤ n) và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử.

3.1.b2. Cơng thức: Tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

Ta có n cách chọn phần tử đứng đầu, có n – 1 cách chọn phần tử thứ hai, có
n – 2 cách chọn phần tử thứ ba,..., có n – (k – 1) cách chọn phần tử đúng thứ k. Do
đó chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

Ank= n !

(n −k )!=n(n− 1)(n− 2). ..(n − k +1)
3.1.b3. Tính chất:

Nếu k = 1 thì An1= n!
(n −1)!=n
Nếu k = n thì Ann= n !

(n −n)!=n !

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ khác nhau, lập bởi ba chữ

số trong năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Bài giải:
Các số phải đếm có dạng: abc

Có 5 cách chọn chữ số a (là 1, 2, 3, 4, 5)

Với mỗi cách chọn a, có 4 cách chọn b (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a)

Với mỗi cách chọn ab , có 3 cách chọn c (là 1, 2, 3, 4, 5 nhưng khác a và
b)

Vậy có tất cả: 5.4.3 = 60 (số phải đếm)

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách xếp thứ tự nhất, nhì, ba trong sáu đội bóng thi đấu?

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Với mỗi cách trên, có 5 cách xếp đội đứng thứ nhì

Với mỗi cách xếp nhất, nhì, có 4 cách xếp đội đứng thứ ba
Vậy số cách xếp phải tìm là: 6.5.4 = 120 cách xếp.

3.1.c. Hoán vị:

3.1.c1. Định nghĩa: Mỗi cách sắp đặt các phần tử của tập hợp A gồm n phần
tử

(n ≥ 1) theo một thứ tự nhất định gọi là một hốn vị của n phần tử.
Kí hiệu: số hốn vị của n phần tử là: Pn

3.1.c2. Cơng thức: Tính số hốn vị của n phần tử:

Số hốn vị của n phần tử cũng là số chỉnh hợp chập n của n phần tử. Do đó
số hốn vị của n phần tử bằng tích của n thừa số.

Pn = n! = 1.2.3...(n – 2).(n – 1) .n

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách gọi tên tam giác có ba đỉnh là A, B, C?

Bài giải:

Có 3 cách chọn đỉnh đầu tiên (là A, B, C)

Với mỗi cách chọn trên, có 2 cách chọn đỉnh thứ hai.
Với mỗi cách chọn 2 đỉnh trên, có 1 cách chọn đỉnh thứ ba
Vậy có tất cả: 3.2.1 = 6 cách gọi tên

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách giao hốn các thừa số của tích abcd?

Bài giải:
Có 4 cách chọn số đứng đầu (a)

Với mỗi cách chọn a, có 3 cách chọn thừa số thứ hai b

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 2 cách chọn thừa số thứ ba c
Với mỗi cách chọn 3 thừa số trên, có 1 cách chọn thừa số thứ tư d
Vậy có tất cả: 4.3.2.1 = 24 (cách giao hoán)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) Trên một ghế dài b) Chung quanh một bàn tròn
Bài giải:

a) 5 người ngồi trên một ghế dài chính là hốn vị của 5
Nên có tất cả: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 cách xếp

b) Khác với ngồi trên một ghế dài, người đầu tiên ngồi quanh bàn trịn có thể
ngồi ở vị trí nào cũng được. Cịn lại 4 người , có 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp chỗ.

Vậy tất cả có 24 cách xếp chỗ.
3.1.d. Tổ hợp:

3.1.d1. Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập hợp con của A
gồm k phần tử (0 ≤ k ≤ n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu: tổ hợp chập k của n phần tử là: Cnk

3.1.d2. Cơng thức: Tính số tổ hợp chập k của n phần tử

Trước hết ta đếm số các nhóm có k phần tử trong n phần tử đã cho, nếu các
phần tử được xếp theo thứ tự, đó chính là chỉnh hợp chập k của n phần tử

n(n – 1)(n – 2)...(n – k + 1)

Do yêu cầu k phần tử được xếp theo thứ tự nên mỗi nhóm đã được tính k! lần
Vậy số tỏ hợp chập k của n phần tử là:

Cnk

= n !
k ! (n − k)!=

n(n− 1)(n− 2). ..(n − k +1)

k !

Đặc biệt, số tổ hợp chập 2 của n phần tử là: n(n – 1) : 2
Số tổ hợp chập 3 của n phần tử là: n(n – 1)(n – 2) : 6
3.1.d3. Tính chất:

a C¿n0=Cnn=1 b¿Cnk=Cnn − k¿c¿Cnk=Cn −1k +Cn − 1k − 1 d¿Cnk=n− k +1
k . Cn

k −1

(1 ≤ k ≤ n)¿

Ví dụ 1: Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu là hai điểm trong năm điểm đã cho?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Qua một điểm ta nối được 4 đoạn thẳng với 4 đoạn thẳng cịn lại. Có tất cả 5
điểm nên kẻ được: 4.5 = 20 (đoạn thẳng)

Do mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần nên số đoạn thẳng là 20 : 2 = 10

Ví dụ 2: Cho 9 điểm trên mặt phẳng, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng.

Có bao nhiêu tam giác mà đỉnh là ba trong chín điểm ấy?
Bài giải:

Có 9 cách chọn đỉnh thứ nhất

Với mỗi đỉnh trên, có 8 cách chọn đỉnh thứ hai

Với mỗi cách chọn hai đỉnh trên, có 7 cách chọn đỉnh thứ ba
Do mỗi tam giác đã được tính 3! lần nên số tam giác có được là:

9. 8 . 7
3! =84

Ví dụ 3: Có m đường thẳng đứng và n đường thẳng nằm ngang đôi một cắt nhau.

Chúng tạo thành bao nhiêu hình chữ nhật? (Hình vng cũng là một hình chữ nhật)
Bài giải:

Số cặp đường thẳng đứng là số tổ hợp chập 2 của m phần tử và bằng:
m(m−1)2

Số cặp đường thẳng nằm ngang là số tổ hợp chập 2 của n phần tử và bằng:
n(n −1)2

Mỗi cặp đường thẳng đứng và một cặp đường thẳng nằm ngang cắt nhau tạo
thành một hình chữ nhật

Vậy có tất cả: mn(m−1)(n −1)4 hình chữ nhật

Ví dụ 4: Trong số 4 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán, lập ra một nhóm

gồm 7 học sinh, trong đó có ít nhất 2 học sinh giỏi Văn. Hỏi có bao nhiêu cách lập
nhóm?

Bài giải:

Số cách chọn 2 trong 4 học sinh giỏi Văn là số tổ hợp chập 2 của 4 phần tử

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Chọn xong 2 học sinh trên, còn 2 học sinh giỏi Văn và 9 học sinh giỏi Toán,
cần chọn 5 người trong số 11 học sinh, đó là số tổ hợp chập 5 của 11 phần tử và
bằng: 11.10 . 9 .8 . 75 ! =462

Vậy có tất cả: 6. 462 = 2772 (cách lập nhóm)
3.1.e. Một số dạng bài tập

3.1.e1. Áp dụng đại số tổ hợp trong số học:

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến phép đếm, tính số phần tử của tập hợp.

Phương pháp giải: Xác định đúng dạng bài tập nói về chỉnh hợp, hốn vị hay

tổ hợp để áp dụng cơng thức và tính tốn phù hợp.

Bài tốn 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: abcde (Trong đó a, b, c, d, e là các số tự nhiên)
Vì số đó chia hết cho 10 nên có 1 cách chọn e là e = 0

Vì a là chữ số hàng chục nghìn nên a có 9 cách chọn (a có thể từ 1 đến 9)
Với mỗi cách chọn a, e ta có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng phải
khác a, e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a,b,e)

Với mỗi cách chọn các số trên, có 6 cách chọn d (d có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a, b, c, e)

Vậy tất cả có: 9.8.7.6.1 = 3024 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài tốn 2: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau

Bài giải:

Gọi số cần tìm là: x=abcd (Với a, b, c, d là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên d có 5 cách chọn ( d∈{1,3,5,7,9} )

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Với mỗi cách chọn 2 số trên, có 8 cách chọn b (b có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a,d)

Với mỗi cách chọn 3 số trên, có 7 cách chọn c (c có thể từ 0 đến 9 nhưng
phải khác a,b,d)

Vậy có tất cả: 5.8.8.7 = 2240 số cần tìm (theo quy tắc nhân)

Bài tốn 3: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9?

Bài giải:

Gọi số cần tìm là x=abc deg (với a, b, c, d, e, g là các số tự nhiên)

Vì x là số lẻ nên có 5 cách chọn g ( g∈{1,3,5,7,9} )

Các số b, c, d, e mỗi chữ số đều có 10 cách chọn (từ 0 đến 9)

Lấy tổng các chữ số T = b + c + d + e + g chia cho 9. Nếu T chia cho 9 được
dư là 0, 1, 2, ...,8 thì a chọn tương ứng là 9, 8, 7, ..., 1, ta sẽ có x chia hết cho 9

Vậy có tất cả: 5.104 = 50000 số lẻ gồm 6 chữ số và chia hết cho 9

Bài tốn 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của

mỗi số là một số lẻ?

Bài giải:

Xét một số tự nhiên gồm 4 chữ số: abcd (Với a, b, c, d là các Số tự nhiên)

Nếu a + b + c + d là một số chẵn thì lấy một số e∈{1,3,5,7,9} để được tổng a + b +

c + d + e là số lẻ. Khi đó có 5 cách chọn e

Nếu a + b + c + d là số lẻ thì lấy e∈{0,2,4,6,8} để được tổng a + b + c + d + e là số

lẻ. Khi đó e cũng có 5 cách chọn

Do đó số abcd có 9.10.10.10 = 9. 103 cách chọn

Vậy có tất cả: 5.9.103 = 45000 số thỏa mãn đề bài
Bài tốn 6: Có bao nhiêu số có 6 chữ số mà:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
b) Chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau?

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài giải:

a) Số cách chọn 4 chữ số ở giữa là chỉnh hợp lặp chập 4 của 10 phần tử
Nên ta có F104 = 104 cách chọn

Vậy có 9.104 = 90000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và cuối giống nhau.

b) Tương tự có F106 − F105 =9 .105 số có 6 chữ số.

Vậy có 9.105 – 9.104 = 810.000 số có 6 chữ số mà chữ số đầu và chữ số cuối khác

nhau.

c) Tương tự có: F102 − F101 =90 số có hai chữ số. Do đó có 90 cách chọn hai
chữ số đầu và cuối giống nhau

Vậy có F2

10 = 100 cách chọn hai chữ số ở giữa.

Vậy có tất cả: 90.100 = 9000 số thỏa mãn

*Tổng quát: Với n > 2m > 2 (với n, m là số tự nhiên) thì có: (F10m− F101 )F10n −2 m số
có n chữ số mà số có m chữ số đầu và số có m chữ số cuối giống nhau.

Bài tốn 7: Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 5000 gồm 4 chữ số khác nhau?

Bài giải:
Giả sử x=a1a2a3a4 là số cần tìm

Nếu a1 là số lẻ thì a1 có 3 cách chọn ( a1 có thể là 5,7,9), a4 có 5 cách chọn (a4 có

thể là 0, 2, 4, 6, 8), a2 có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn.

Vậy có tất cả: 3.5.8.7 = 840 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số lẻ

Nếu a1 là số chẵn thì a1 có hai cách chọn (a1 có thể là 6,8), a4 có 4 cách chọn, a2

có 8 cách chọn và a3 có 7 cách chọn.

Vậy có: 2.4.8.7 = 448 số chẵn có 4 chữ số bắt đầu bằng chữ số chẵn
Vậy tổng cộng có: 840 + 448 = 1288 số thoả mãn đề bài

Bài tốn 8: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được lập từ các số: 0, 1, 2, 3, 4,

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Có P6 = 6! số có 6 chữ số lấy từ các chữ số đã cho kể cả các số có chữ số 0

đứng đầu. Với chữ số 0 đứng đầu ta có: P5 = 5! số.

Vậy có tất cả: 6! – 5! = 600 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1,
2, 3, 4, 5.

Số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Với số tận cùng là 0 ta
có 5! số. Với số có tận cùng là 5 ta có: 5! – 4! số.

Vậy tất cả có: 5! + (5! – 4!) = 216 số thỏa mãn đề bài.

Bài tốn 9:

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và
đơi một khác nhau?

b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?
Bài giải:

a) Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 là một hoán
vị của 5 phần tử. Vậy có tất cả: P5 = 5! = 120 số.

b) Ta thấy: 5 + 9 = 6 + 8 = 7 + 7 = 14, nên ứng với mỗi số n của hốn vị trên
ta có thể ghép một và chỉ một số n’ sao cho:

n + n’ = 14(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 155554

(Chẳng hạn: 65897 + 89657 = 155554)

Vậy tổng cần tìm là: S = (120 : 2).155554 = 9333240

Bài toán 10: Xét những số gồm 9 chữ số trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số

cịn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

b) Các chữ số được xếp tùy ý.
Bài giải:

a) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau ta xem như một phần tử. Mỗi số có 9 chữ
số như thế là một hoán vị của 5 phần tử.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Xem năm số 1 là khác nhau thì ta có 9! Số, nhưng có 5! Số trùng nhau (là

hoán vị của 5 chữ số 1)

Vậy có tất cả: 9! : 5! = 3024 số thỏa mãn đề bài.

Bài toán 11: Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4

chữ số khác nhau và không chia hết cho 5?
Bài giải:

Số có 4 chữ số khác nhau có dạng: a1a2a3a4
Có 3 cách chọn a4 ( a4 có thể là 1, 3, 7)

Có A43 cách chọn a1a2a3 kể cả a1 = 0

Với a1 = 0, có A32 cách chọn a2a3

Vậy tất cả có: 3.( A43 - A32 ) = 54 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số

gồm 5 chữ số đơi một khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
Bài giải:

Số có 5 chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là A75 số, kể cả chữ số
0 nằm ở vị trí đầu tiên. Với chữ số 0 nằm ở vị trí đầu tiên có A64 số. Vậy có:

A75 - A64 số có 5 chữ số khác nhau lập từ các số đã cho.

Tương tự, số có 5 chữ số khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (trừ số
5 ra) là: A65 - A54

Vậy tất cả có: A75 - A64 -( A65 - A54 ) = 1560

Bài toán 13: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho, hỏi:

a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đơi một?

b) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 5?
c) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9?

Bài giải:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Với a4 = 2 (hoặc a4 = 4) có A53 - A42 cách chọn a1a2a3
Vậy có: A53 + 2( A53 - A42 ) = 156 số thỏa mãn

b) Số cần tìm có dạng: a1a2a3 (với a3∈{0,5} )
Với a3 = 0 có A52 cách chọn a1a2

Với a3 = 5 có A52 - A41 cách chọn a1a2

Vậy có: A52 + ( A52 - A41 ) = 36 số thỏa mãn đề bài

c) abc⋮9⇔ a+b+c ⋮9;{a , b , c} có thể là {0, 4, 5}; {1; 3; 5} hoặc {2, 3, 4}

Khi {a, b, c} là {0, 4, 5} thì các số cần tìm là: 405; 504; 450; 540 (có 4 số)
Khi {a, b, c} là {1; 3; 5} hoặc {2; 3; 4} thì có 3! = 6 số

Vậy tổng cộng có 4 + 6 + 6 = 16 số thỏa mãn đề bài

Bài toán 14: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, ..., 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6

chữ số khác nhau từ các số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài giải:

Số có 6 chữ số lấy từ 8 chữ số đã cho là chỉnh hợp chập 8 của 6 phần tử (kể
cả các số có chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên): A86

Với chữ số 0 đứng đầu ta có: A75 số

Vậy có: A86 - A75 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho

Tương tự, có A76− A65 số có 6 chữ số khác nhau lấy từ 8 chữ số đã cho và
khơng có chữ số 4

Vậy tổng cộng có:

A86− A75− A76+A65=8 !
2 !−

7 !
2!−

7 !
1 !+

6 !

1!=13320 số.

Bài tốn 15: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 10n mà tổng các chữ số bằng 3?

Bài giải:

Các số tự nhiên này có nhiều nhất là n chữ số
Có Cn1 số tự nhiên chỉ chứa một chữ số 3

Có An2 số tự nhiên chỉ chứa chữ số 1 và 2

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Vậy số các số tự nhiên cần tìm là:

Cn1 + An2 + Cn3 =

n(n+1)(n+2)

Bài tốn 16: Có bao nhiêu số có n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho

mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó.
Bài giải:

Ta dùng phương pháp gián tiếp: Xác định xem có bao nhiêu số có n chữ số,
trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3 sao cho các chữ số chỉ là 1 hoặc 2 trong ba chữ số
đã cho.

Số các số có n chữ số, trong đó có mặt một trong ba chữ số 1, 2, 3 là 3 (đó là
các số: 11.. . .1

⏟

n

;22 .. .. 2

⏟

n

;33 .. .. 3

⏟

n )

Trong ba số 1, 2, 3 có C32 tập hợp gồm 2 chữ số. Với hai số 1, 2 chẳng hạn,
có 2n – 2 số có n chữ số trong đó các chữ số chỉ là 1, 2 và mỗi chữ số có mặt

ít nhất 1 lần bằng số chỉnh hợp lặp Fn2=2n trừ 2 số 11.. . .1

⏟

n

;22 .. .. 2

⏟

n

Vậy số các số gồm n chữ số chỉ có mặt hai trong ba chữ số 1, 2, 3 là C32(2n− 2)
. Do đó có: 3n−C32(2n− 2)−3=3n−3(2n−2)−3=3n− 3. 2n+3 số thỏa mãn đề bài

Bài tốn 17:

a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau (chữ số đầu tiên
phải khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng khơng có mặt chữ số 1?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng
hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số cịn lại có mặt đúng một lần?

Bài giải:

a) Đưa chữ số 0 vào vị trí cuối có 5 cách chọn.

Đưa 5 chữ số trong 8 chữ số (trừ chữ số 0 và 1) có: A85 cách
Vậy tổng cộng có: 5. A85 = 33600 cách

b) Đưa hai chữ số 2 vào bảy vị trí có: C72 cách
Đưa ba chữ số 3 vào năm vị trí cịn lại có: C53 cách

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ta cịn phải loại trừ những số có chữ số 0 đứng đầu, trường hợp này có:
C62 . C34 .7 số

Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: C72 . C53 . A82 - C62 . C34 .7 = 11340
số.

Bài toán 18: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu số gồm

10 chữ số được lấy từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ
số khác có mặt đúng một lần.

Bài giải:

Cách 1: (dùng hoán vị lặp)

Số các số thỏa mãn yêu cầu bài tốn, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu là: 3 !8!
Với chữ số 0 đứng đầu ta được: 7 !3 ! số

Vậy tổng cộng có: 3 !8! - 7 !3 ! = 544320 số thỏa mãn đề bài

Cách 2: (dùng tổ hợp)

Số tự nhiên gồm 10 chữ số có dạng: a1a2.. .. a10
Số cách chọn 3 vị trí trong 10 vị trí là: C103

Đặt số 6 vào 3 vị trí vừa chọn, sau đó đặt các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 vào 7
vị trí cịn lại ta có: C103 .7! số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu. Với chữ số 0
đứng đầu, ta có C103 .6! số.

Vậy tổng cộng có: C103 .7! - C103 .6! = 544320 số.

Bài tốn 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có đúng một chữ số 5?

Bài giải:
Ta xét ba trường hợp:

a) Số phải đếm có dạng: 5 ab

Chữ số a có 9 cách chọn (từ số 0 đến số 9 nhưng khác 5), chữ số b cũng có 9
cách chọn (từ số 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 9.9 = 81 số.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chữ số a có 8 cách chọn (từ 1 đến 9 nhưng khác 5), chữ số b có 9 cách chọn
(từ 0 đến 9 nhưng khác 5). Vậy tất cả có: 8.9 = 72 số.

c) Số phải đếm có dạng: ab 5 . Tương tự trường hợp b, 
trường hợp này có: 72 số.

Vậy tổng cộng có: 81 + 72 + 72 = 225 số thỏa mãn đề bài.

Bài tốn 20: Có bao nhiêu số chứa ít nhất một chữ số 1 trong các số tự nhiên:

a) Có ba chữ số b) Từ 1 đến 999
Bài giải:

a) Ta đếm các số tự nhiên có ba chữ số rồi bớt đi các số có ba chữ số khơng
chứa chữ số 1.

Số có ba chữ số là: 100, 101, ..., 999, có 900 số. Trong các số trên, số khơng
chứa chữ số 1 có dạng: abc trong đó a có 8 cách chọn (từ 2 đến 9), b có 9 cách
chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1), c có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1). Vậy
có: 8.9.9 = 648 số.

Do đó tất cả có: 900 – 648 = 252 số thỏa mãn đề bài.

b) Ta thêm chữ số 0 vào dãy 1, 2, ..., 999 thành dãy mới: 000, 001, ..., 999 để
đếm được dễ dàng.

Trước hết ta đếm các số không chứa chữ số 1 của dãy này: đó là các số có
dạng abc .

Trong đó mỗi chữ số a, b, c đều có 9 cách chọn (từ 0 đến 9 nhưng khác 1),
tất cả có: 9.9.9 = 729 số. Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 không chứa chữ số 1 có:
729 – 1 = 728 số.

Vậy số lượng các số từ 1 đến 999 có chứa chữ số 1 là: 999 – 728 = 271 số.
Bài tập tự luyện:

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có đúng một chữ số

5? (Đáp Số: 873 số).

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số trong đó có ít nhất hai chữ số giống

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 3: Cho năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng các chữ số trên:

a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, trong đó các chữ số khác
nhau? Tính tổng các chữ số được lập.

b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?

c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó hai chữ số kề
nhau phải khác nhau.

d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số, các chữ số khác nhau,
trong đó có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn?

(Đáp số: a) 399960 b) 48 c) 1280 d) 72)

Bài 4: Cho năm chữ số: 0, 1, 2, 3, 4. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên:

a) Có năm chữ số, gồm cả 5 chữ số ấy
b) Có bốn chữ số, các chữ số khác nhau?
c) Có ba chữ số, các chữ số khác nhau?

d) Có ba chữ số, các chữ số có thể giống nhau?

(Đáp số: a)96 số b)96 số c)48 số d)100 số)

Bài 5: Cho 5 chữ số 0,1, 3, 5, 6. Từ các chữ số trên, lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm năm chữ số khác nhau thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Không chia hết cho 2

b) Chia hết cho 2
c) Chia hết cho 5

(Đáp số: a) 54 số b) 42 số ).

Bài 6: a) Dùng các chữ số 1, 2, 7, viết được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số

sao cho các chữ số 2 và 7 có mặt một lần, cịn chữ số 1 có mặt ba lần?

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng

số đó chia hết cho 9? (Đáp số: 16 số).

Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số, gồm năm chữ số 1 và sáu chữ số 2

sao cho đọc xuôi và đọc ngược đều giống nhau? (Đáp số: 10 số cần tìm).

Bài 9: Cho 8 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao

nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
(Đáp số: 1260 số).

Bài 10: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy

3 miếng trong 5 miếng bìa này đặt lần lượt cách nhau từ trái sang phải để được các
số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm ba chữ số và trong
đó có bao nhiêu số chẵn.

(Đáp số: 48 số và 30 số chẵn).

Bài 11: Có bao nhiêu số có 5 chữ số:

a) Bắt đầu bằng số 3?

b) Không bắt đầu bằng số 5?
c) Bắt đầu bằng số 54?

(Đáp số: a) 104 b) 105 – 2.104 c) 103).

Bài 12:Với 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong

đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có
mặt đúng 1 lần? (Đáp số: 3360 số).

Bài 13: Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số,

trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, cịn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần ?
(Đáp số: 7.7.6.5.4 = 5880).

Bài 14: Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số,

trong đó có mặt đủ ba chữ số trên? (Đáp số: 150 số).

Bài 15: Dùng các chữ số 0, 1, 2, ..., 9 để viết các số tự nhiên x gồm 5 chữ số khác

nhau đôi một, chữ số đầu tiên khác 0.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

(Đáp số: a¿A105 − A9944 b¿5( A94− A83) )

Bài 16: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi

một khác nhau, trong đó:

a) Phải có mặt chữ số 2? b) Phải có mặt hai chữ số 1 và 6?
(Đáp số: a¿A65−5 ! b¿A65− 2. 2! ).

Bài 17: Tìm các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số

khác nhau? (Đáp số: 3000 số).

Bài 18: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đơi một trong đó có đúng có 3

chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn? (Đáp số: 64800 số).

Bài 19: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng

sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (Đáp số: C5
9 ).

Bài 20: Cho 4 chữ số a, b, c và số 0 (a, b, c khác nhau và khác 0). Với cùng cả 4

chữ số này, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số. (Đáp số: 18 số).

Dạng 2: Một số bài toán suy luận logic:

Các bài tốn suy luận thường khơng địi hỏi nhiều về kĩ năng tính tốn, để
giải chúng khơng cần trang bị nhiều kiến thức toán học. Điều cần thiết là phải có

phương pháp suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí, đơi khi cần cả sự thơng minh
sáng tạo.

Ngồi các bài tốn sử dụng các phương pháp tính ngược từ cuối, bằng sơ đồ
ven (Nâng cao và phát triển toán 6), phương pháp phản chứng và ngun lí
Dirichlet. Người ta cịn dùng nhiều phương pháp khác để giải các bài toán suy luận.
Dưới đây tôi chỉ đề cập đến một số dạng bài tập có nội dung thực tế để sử
dụng cho đội tuyển học sinh giỏi Toán 6

Bài toán 1: Trong một bảng đấu loại bóng đá, có bốn đội thi đấu vòng tròn một

lượt: đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, đội thua được 0 điểm. Tổng số
điểm của bốn đội khi kết thúc vòng đấu bảng là 16 điểm. Tính số trận hịa.

Bài giải:

Số trận đấu trong vòng đấu bảng là: 4.3:2 = 6 trận

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Tổng số điểm của hai đội trong trận có thắng – thua là 3 + 0 = 3 điểm
Giả sử khơng có trận hịa thì tổng số điểm của các đội là: 3.6 = 18 điểm
Dôi ra: 18 – 16 = 12 điểm

Tổng số điểm trong một trận hịa ít hơn tổng số điểm trong trận có thắng –
thua là: 3 – 2 = 1 điểm

Số trận hòa là: 2 : 1 = 2 trận

Lưu ý: bài toán thuộc loại giả thiết tạm.

Bài toán 2: Một số học sinh dự thi học sinh giỏi toán

Nếu xếp 25 học sinh một phịng thi thì thừa 5 học sinh chưa có chỗ. Nếu xếp 28
học sinh một phịng thì thừa 1 phịng. Tính số học sinh dự thi?

Bài giải:

Nếu xếp 28 học sinh một phịng thì thừa 1 phịng, tức là thiếu 28 học sinh
Số học sinh chênh lệch trong hai trường hợp xếp phòng là:

5 + 28 = 33 học sinh

Số học sinh chênh lệch ở mỗi phòng trong hai trường hợp là:
28 – 25 = 3 học sinh

Số phòng thi là: 33 : 3 = 11 phòng

Số học sinh là: 25.11 + 5 = 280 học sinh

Lưu ý: bài tốn trên thuộc loại tìm số khi biết hai hiệu số

Bài toán 3: Một câu lạc bộ lúc đầu có một thành viên, sau một tháng thì thành viên

đó phải tìm thêm 2 thành viên mới . Cứ như vậy mỗi thành viên (cả cũ lẫn mới) sau
một tháng phải tìm được thêm hai thành viên mới. Nếu kế hoạch phát triển hội viên
như trên được thực hiện thì số thành viên của câu lạc bộ đó là bao nhiêu?

a) Sau 6 tháng b) Sau 12 tháng

Bài giải:

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

b) Sau 12 tháng, số thành viên của câu lạc bộ là:
312 = 36.36 = 729.729 = 531441 (người).

Bài tốn 4: Trong một cuộc thi có 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 10 điểm ,

còn sai thì bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 50 điểm. Hỏi bạn đó đã trả lời
đúng mấy câu?

Bài giải:

Giả sử bạn học sinh đó trả lời đúng cả 20 câu. Như vậy, tổng số điểm bạn ấy
đạt được là 10.20 = 200 điểm

Nhưng trên thực tế chỉ được 50 điểm nghĩa là còn thiếu:
200 – 50 = 150 điểm

Sở dĩ hụt đi 150 điểm vì trong số 20 câu có một số câu bạn ấy trả lời sai.
Giữa một câu trả lời đúng và một câu trả lời sai chênh lệch là:

10 + 15 = 25 điểm

Do đó, số câu trả lời sai là: 150 : 25 = 6 câu
Số câu trả lời đúng là: 20 – 6 = 14 câu
Bài tập tự luyện:

Bài 1: Một cửa hàng có sáu hịm hàng có khối lượng 316kg, 327 kg, 336kg, 338kg,

349kg, 351 kg. Trong một ngày, cửa hàng đã bán năm hịm, trong đó khối lượng
hàng bán buổi sáng gấp đúng bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều. Hỏi hòm
còn lại là hòm nào?

Bài 2: Trong một cuộc hội thảo, mỗi người tham dự đều biết ít nhất một trong ba

ngoại ngữ Anh, Pháp, Nga. Có 21 người biết tiếng Anh, 19 người biết tiếng Pháp,
17 người biết tiếng Nga, 13 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 12 người biết cả
tiếng Anh và tiếng nga, 11 người biết cả tiếng Nga và tiếng Pháp, 10 người biết cả
ba thứ tiếng. Tính số người tham dự hội thảo.

Bài 3: Một lớp học có 90% thích bóng đá, 60% thích bóng chuyền. Hỏi có ít nhất

bao nhiêu phần trăm học sinh của lớp thích cả hai mơn?

Bài 4: Có 7 bi đỏ, 5 bi xanh để trong hộp. Khơng nhìn vào hộp, lấy ra ít nhất bao

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Gợi ý + đáp án:

Bài 1: Chú ý rằng tổng số lượng 6 hòm là số chia cho 5 dư 2, số hàng đã bán là số

chia hết cho 5, nên hịm cịn lại có khối lượng là số chia hết cho 5 dư 2, đó là hòm
327 kg.

Bài 2: 31 người

Bài 3: Gọi số phần trăm học sinh thích cả hai mơn là x. Số phần trăm học sinh thích

ít nhất một trong hai mơn là: 90 + 60 – x hay 150 – x
Ta có: 150 – x ≤ 100

Do đó x ≥ 50. Vậy có ít nhất 50% số học sinh thích cả hai mơn (chú ý rằng có thể
có học sinh khơng thích mơn nào).

Bài 4: Lập luận thử các trường hợp có thể lấy đến 9 viên bị vẫn không thỏa mãn

yêu cầu, cịn lấy 10 viên bi thì chắc chắn đạt yêu cầu.

3.1.e2. Áp dụng đại số tổ hợp trong hình học: Tìm số phần tử của tập hợp (Số
điểm, số cạnh, số đường thẳng, số đoạn thẳng ...)

Để đếm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng, trong nhiều trường hợp ta
không thể đếm trực tiếp mà phải dùng lập luận.

Bài tốn 1: a) Cho 100 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua

hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

b) Cũng hỏi như câu a nếu trong 100 điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng.
Bài giải:

a) Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ
được 99 đường thẳng. Làm như vậy với 100 điểm, ta được 99.100 đường thẳng.
Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có 99.100:2 = 4950
đường thẳng.

Chú ý: tổng quát, nếu có n điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng
thì số đường thẳng có là: n.(n – 1) : 2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng, nếu ba điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1
đường thẳng). Vậy có tất cả: 4950 = 2 = 4948 đường thẳng.

Bài tốn 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng

có thể bằng bao nhiêu?

Bài giải:
Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H.1a)
Trường hợp 2: Có đúng ba đường thẳng đồng quy:

Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.1b)

Khơng có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm (H.1c)
Trường hợp 3: Không có ba đường thẳng nào đồng quy:

Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm ( H.2a)

Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.2b)
Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm (H.2c)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài toán 3: Cho n điểm (n ≥ 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các

đoạn thẳng.

a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó khơng có ba điểm nào
thẳng hàng?

b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm đó
thẳng hàng

c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng?

Bài giải:

a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ
được n – 1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n – 1) đoạn thẳng. Như
mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n ( n – 1) : 2 đoạn thẳng.

b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, như số đoạn thẳng phải đếm
vẫn không thay đổi, do đó vẫn có n.(n – 1):2 đoạn thẳng.

c) Ta có: n.(n – 1) : 2 = 1770. Suy ra: n = 60.
Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho 10 điểm trên mặt phẳng, khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 2: Có n điểm trên mặt phẳng. Kẻ các đoạn thẳng nối hai trong n điểm ấy. Có tất

cả 91 đoạn thẳng. Tính số n.

Bài 3: Vẽ n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trên hình vẽ?
Bài 4: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 153 góc. Tính n
Bài 5: Có bao nhiêu cách gọi tên hình vng ABCD?
Bài 6: Cho hình vng kích thước 4x4. Trên hình vẽ:

a) Có bao nhiêu hình chữ nhật (kể cả hình vng).
b) Có bao nhiêu hình vng.

Bài 7: Có 12 điểm trên mặt phẳng trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Hai

điểm bất kì nào cũng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác
có đỉnh là 3 trong 12 điểm nói trên?

Bài 8: Cho góc xAy (khác góc bẹt). Trên tia Ax lấy 6 điểm khác A, trên tia Ay lấy

5 điểm khác A. Trong 12 điểm nói trên kể cả điểm A hai điểm nào cũng được nối
với nhau thành một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12
điểm ấy.

Bài 9: Cho 100 điểm trong đó có đúng bốn điểm thẳng hàng, ngồi ra khơng có ba

điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao
nhiêu đường thẳng.

Bài 10: Cho n điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta

vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n.
Gợi ý + đáp số:

Bài 1: có 10.9:2 = 45 (đường thẳng).

Bài 2: Ta có: n(n-1): 2 = 91 nên n(n – 1) = 91.2= 182

Mà 182 = 2.7.13 = 13.14
Vậy n = 14

Bài 3: Có n ( n – 1): 2 góc

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Với mỗi cách trên, có hai cách gọi tên ba đỉnh còn lại (chẳng hạn nếu A là
đỉnh đầu tiên thì có hai cách gọi tên ba đỉnh cịn lại là BCD hoặc DCB.

Vậy có tất cả: 4.2 = 8 cách.

Bài 6: a) Có 100 hình chữ nhất

b) Hình vng cạnh 1 có 16 hình, cạnh 2 có 9 hình, cạnh 3 có 4 hình, cạnh 4
có 1 hình.

Vậy tất cả có: 30 hình.

Bài 7: Số tam giác là: 12.11.10 : 3! = 220.

Bài 8: Số cách chọn 3 trong 12 điểm là: 12.11.10 : 3! = 220. Số bộ 3 điểm thẳng

hàng trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 7.6.5 : 3! = 35. Số bộ 3 điểm thẳng hàng trong 6
điểm thuộc tia Ay là: 6.5.4 : 3! = 20.

Vậy có tất cả: 220 – 35 – 20 = 165 tam giác.

Bài 9: có 4945 đường thẳng.

Bài 10: Ta có: n.(n – 1) : 2 = 105 suy ra n = 15.

3.1.e3. Áp dụng đại số tổ hợp giải các bài tốn có nội dung thực tế:

Bài tốn 1: Có một số con mèo chui vào chuồng bồ câu. Người ta đếm trong

chuồng bồ câu thấy tổng cộng có 34 cái đầu và 80 cái chân. Tính số mèo.
Bài giải:

Giả sử mỗi con mèo vào chuồng đều dấu đi 2 chân
Khi đó có: 34 . 2 = 68 chân

Số chân mèo bị dấu đi là 80 – 68 = 12 chân
Số mèo có là: 12 : 2 = 6 con

Bài tốn 2: Một ơ tơ có 8 chỗ kể cả chỗ của người lái xe. Có bao nhiêu cách xếp

chỗ 8 người trên xe, biết rằng trong đó có hai người biết lái xe.
Bài giải:

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Do đó có 2.5040 = 10080 cách xếp

Bài tốn 3: Có hai cặp bạn ngồi trên một ghế băng có bốn chỗ để chụp ảnh. Có bao

nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người cùng cặp phải ngồi cạnh nhau.
Bài giải:

Có 4 cách xếp vị trí số 1

Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 2
Ứng với mỗi cách, có 2 cách xếp ở vị trí số 3.
Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 4.
Vậy có tất cả: 4.1.2.1 = 8 cách xếp

Bài tốn 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi trên một ghế dài

sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau?
Bài giải:

Cách 1: Bốn cặp vị trí mà hai bạn A và B ngồi cạnh nhau là (1; 2); (2, 3); (3, 4);
(4,5)

Ứng với mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp A và B, có 3! Cách xếp ba bạn cịn
lại, nên có 2.3! = 12 cách xếp.

Vậy có tất cả: 4.12 = 48 cách xếp năm người mà A và B ngồi cạnh nhau.
Cách 2: Khơng xét A và B thì ba người cịn lại có 3! Cách xếp chỗ trên ghế dài

Khi A và B ngồi vào ghế và ngồi cạnh nhau, họ ngồi vào một trong bốn chỗ
trống (mỗi chỗ trống ghi bởi một mũi tên ở hình vẽ dưới đây) mỗi chỗ trống có 2
cách xếp A và B

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài tốn 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi chung quanh

một bàn tròn sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau?
Bài giải:

Không xét A và B thì ba người cịn lại có 2! Cách xếp chỗ quanh bàn tròn.
Khi A và B ngồi vào bàn cạnh nhau, họ ngồi vào một trong ba chỗ trống.
Mỗi chỗ trống có 2 cách xếp A và B

Vậy có tất cả: 2.3.2 = 12 cách xếp

Bài tốn 6: Một nhóm 5 bạn gồm ba nam và hai nữ xếp thành một hàng ngang để

chụp ảnh, sao cho hai bạn nữ khơng đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp?

Bài giải:

Cách 1: Số cách xếp năm bạn thành hàng ngang là 5! = 120 cách

Ta xét xem có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn mà hai bạn nữ đứng cạnh
nhau.

Có bốn cập vị trí mà hai bạn nữ đứng cạnh nhau

Ứng với mỗi vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn, có 3! Cách xếp ba bạn cịn lại
nên có:

2.3! = 12 cách xếp
Vậy có 4.12 = 48 cách xếp

Do đó số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là:
120 – 48 = 72 cách xếp.

Cách 2: Có 6 cặp vị trí mà hai bạn nữ khơng đứng cạnh nhau là (1,3); (1,4); (1, 5);

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Trong mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn nữ, có 3! Cách xếp ba bạn
nam nên có:

2.3! = 12 cách xếp

Vậy số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là:
6.12 = 72 cách xếp.

Bài tốn 7: Bạn Thúy có 6 tấm ảnh khác nhau. Thúy muốn chọn ba tấm ảnh đem

tặng bạn. Thúy có bao nhiêu cách chọn?

Bài giải:

Số cách chọn là số tổ hợp chập 3 của 6 phần tử
Vậy có tất cả: 6.5.4 : 3! = 20 cách chọn.

Bài tốn 8: Một tổ có 10 người. Có bao nhiêu cách lập nhóm ba người để làm

nhiệm vụ trực nhật?

Bài giải:

Số cách lập nhóm là số tổ hợp chập 3 của 10 phần tử
Vậy có tất cả: 10.9.8 : 3! = 120 cách chọn

Bài toán 9: Một tổ học sinh có 5 nam, 3 nữ. Có bao nhiêu cách lập nhóm 5 người

gồm 3 nam, 2 nữ?

Bài giải:

Số cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn nam là: 5.4.3 : 3! = 10 cách chọn
Số cách chọn 2 bạn nữ trong 3 bạn nữ là 3

Vậy có tất cả: 10.3 = 30 cách chọn.

Bài tốn 10: Tâm có 5 tờ tiền mệnh giá 2000 đồng và 4 tờ tiền mệnh giá 5000

đồng. Tâm có bao nhiêu cách khác nhau để trả tiền bằng cách dùng một hoặc cả hai
loại tiền trên?

Bài giải:

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Loại đi cách chọn 0 tờ tiền 2000 đồng và 0 tờ tiền 5000 đồng nên có tất cả
30 -1 = 29 cách chọn.

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Có chín đội bóng tham dự một giải bóng đá, mỗi đội phải đấu hai trận với

mỗi đội khác (ở sân nhà và ở sân khách). Có tất cả bao nhiêu trận đấu?

Bài 2: Có hai viên bi đỏ giống nhau và 8 viên bi xanh giống nhau. Có bao nhiêu

cách xếp thành một hàng gồm cả 10 viên bi ấy?

Bài 3: Ở một bến cảng có 15 con tàu, mỗi con tàu có 3 cột buồm hoặc 5 cột buồm,

tổng cộng có 68 cột buồm. Hỏi có bao nhiêu con tàu có 5 cột buồm?

Bài 4: Đội tuyển của một trường tham dự một cuộc thi đấu được chia đều thành 6

nhóm, mỗi học sinh dự thi đạt 8 điểm hoặc 10 điểm. Tổng số điểm của cả đội là
160 điểm. Tính số học sinh đạt điểm 10?

Bài 5: Có 64 bạn tham gia giải bóng bàn theo thể thức đấu loại trực tiếp. Những

người được chọn ở mỗi vịng chia thành từng nhóm hai người, hai người trong
nhóm đấu với nhau một trận để chọn lấy một người. Tìm số trận đấu ở:

a) Vòng 1 b) Vòng 5

Gợi ý + đáp án:

Bài 1: có tất cả: 9.8 = 72 (trận đấu)

Bài 2: Chỉ cần xem có bao nhiêu cách xếp 2 bi đỏ ở 10 vị trí, đó là tổ hợp chập 2

của 10 phần tử.

(Đáp số: có 45 cách xếp).

Bài 3: có 8 con tàu có 5 cột buồm

Bài 4: Giải bằng phương pháp giả thiết tạm, tìm được số học sinh đạt điểm 10 là 8

học sinh

Bài 5: a)Vịng 1 có: 64 : 2 = 32 trận b)Vòng 5 có: 64 : 25 = 2 trận

3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học làm trung 
tâm.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

cực sáng tạo, độc lập chủ động trong q trình tìm tịi và chiếm lĩnh tri thức mới.
Trong mỗi buổi ôn tập phải làm sao cho các em học sinh có cơ hội làm việc thật
nhiều, tự tìm ra những dạng bài và tìm cách giải các dạng bài đó, nên giảm bớt vị
trí cơng việc của người giáo viên trên lớp – giáo viên chỉ đóng vai trị như một
người “trọng tài” chốt lại những kiến thức mà các em vừa khám phá ra, tránh tình
trạng dạy học áp đặt “Thầy giảng cịn trị chỉ biết lắng nghe và làm theo” sẽ làm
cho các em thụ động trong q trình tiếp thu bài, khơng khắc sâu được kiến thức
cho học sinh.

3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong q trình giảng
dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập.

Với mỗi bài giải đúng hoặc các em có cách giải hay, tìm ra dạng bài tập mới
tôi thường khen và tặng điểm các em tự tin và tạo hứng thú trong buổi học. Với
những học sinh cịn chưa hiểu hoặc chưa tích cực tôi chú ý giảng kỹ hơn với riêng
em và động viên để em cố gắng hơn. Với các nhóm hồn thành tốt nhiệm vụ tơi
ln có phần q nhỏ để khuyến khích các em trong các hoạt động tiếp theo.

4. Kết quả thực hiện

Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả
trong việc giải các bài toán có liên quan và các bài tốn thuộc dạng này. Phần đơng
các em đều có hứng thú giải các bài tập nếu như bài tập có phương pháp giải hoặc
vận dụng các phương pháp giải của một loại toán khác và giải.

Đối với học sinh đại trà thì việc học của các em chỉ dừng lại ở phạm
vi sách giáo khoa, sách bài tập chính khóa. Cịn đối với dạng tốn này thì các em
học sinh khá, giỏi không những áp dụng được vào cấp học mà các em cịn vận dụng
vào tốn THPT rất nhiều, phục vụ cho các cấp học cao hơn.

Kết quả: Qua thời gian tham gia giảng dạy và thử nghiệm sáng kiến
kinh nghiệm của mình tơi đã đạt được một số kết quả nhất định.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Số H/S Giỏi Khá Trung Bình Yếu

Lần 1 28 8 = 28,6% 10 = 35,7% 9 = 28,6 % 2 = 7,1%

Lần 2 28 8 = 28,6 % 12 = 42,6% 7 = 25 % 1 = 3,6%

Lần 3 28 10 = 35,7% 13 = 46,4% 5 = 17,6% 0

PHẦN THỨ BA

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1. Kết luận:

Là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tôi nhận thấy bản
thân phải thường xuyên tìm hiểu, tích lũy kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy là
những bài toán hay, sáng tạo trong việc dạy và học nhằm phát huy tính tích cực ,
chủ động, u thích học tốn của học sinh. Đặc biệt là sự vận dụng linh hoạt của
học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi các khối, lớp. Từ việc nghiên cứu lý luận và
qua thực tiễn giảng dạy làm việc với học sinh khá, giỏi và học sinh đại trà tôi nhận
thấy việc hệ thống các các dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp rất hữu ích đối với
cả người dạy và người học. Từ đó giúp giáo viên có được hệ thống phương pháp và
giúp các em học sinh dễ dàng nghiên cứu học tập dạng toán này.

2.Kiến nghị:

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

tơi hồn thiện đề tài, từ đó có thể áp dụng rộng rãi trong công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi mơn Tốn.

Tơi xin trân trọng cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Vũ Hữu Bình: Nâng cao và phát triển Tốn 7 – NXB Giáo dục Việt Nam

2. Vũ Hữu Bình – Tơn Thân – Đỗ Quang Thiều: Tốn bồi dưỡng học sinh lớp

6 – NXB giáo dục Việt Nam

3. Vũ Hữu Bình – Nguyễn Tam Sơn: Tài liệu chun Tốn THCS Toán 6 – Số
học – NXB Giáo dục Việt Nam.

4. Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chun Tốn THCS Tốn 6 –
hình học – NXB giáo dục Việt Nam.

5. Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 7 – đại
số – NXB giáo dục Việt Nam.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36></div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>