Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2005 - 2006 của Doãn Hoài Nam

Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.
Phần A: Lý do chọn chuyên đề
Hệ phơng trình đối xứng là dạng toán hay trong chơng trình Toán của bậc học Phổ thông.
Để giải quyết tốt đợc bài toán dạng này, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức Toán. Điều đó
giúp cho học sinh biết huy động các kĩ năng Toán vào việc giải một bài toán cụ thể và còn rèn
luyện cho học sinh kỹ năng về t duy. Tính cần cù trong học tập, biết vận dụng các kiến thức đã
học vào việc giải quyết một bài toán cụ thể.
Chính vì lí do đó, nên tôi đã su tầm và dạy cho học sinh chuyên đề:
Hệ phơng trình đối xứng
Phần b: những nội dung cụ thể
I. Hệ phơng trình đối xứng loại I:
Phần 1- Định nghĩa: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng
- Phơng trình n ẩn x
1
, x
2
, ..., x
n
gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x
i
bởi x
j
; x
j
bởi x
i
thì phơng trình
không thay đổi.
- Khi đó phơng trình luôn biểu diễn đợc dới dạng:
x
1

+ x
2
+ ... + x
n
x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ ... + x
1
x
n
+ x
2
x
1
+ x
2
x
3
+ ... + x
n-1
x
n
...............................
x

1
x
2
... x
n
- Hệ phơng trình đối xứng loại I là hệ mà trong đó gồm các phơng trình đối xứng.
- Với học sinh phổ thông ta đa vào hệ đối xứng loại I với 2 ẩn số, với học sinh chuyên ta nên đa
vào hệ đối xứng loại I với 3 ẩn số.
- Để giải đợc hệ phơng trình đối xứng loại I ta phải có định lý Viet.
*) Nếu đa thức F(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+... a
n
, a
0
0, a
i
P có nghiệm trên P là c
1
, ..., c
n
thì

1
1 2 n
0
2
1 2 1 3 1 n 2 1 2 3 n-1 n
0
n
n
1 1 n
0
-a
c + c + ... + c =
a
a
c c + c c + ... + c c + c c + c c + ... + c c =
a
...............................
a
c c ... c =(-1) .
a
phần 2 - Hệ ph ơng trình đối xứng loại I, 2 ẩn:
A. Lý thuyết:

1.Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 2 (lớp 10).
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì
1 2
1 2
-b
S = x + x =
a
c
P = x .x =
a







Ngợc lại nếu 2 số x
1
, x
2
có
1 2
1 2

x + x = S
x .x = P



thì x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình
X
2
- SX + P = 0.
2.Định nghĩa: Hệ gồm 2 phơng trình đối xứng gọi là hệ đối xứng loại I, 2 ẩn.
========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
1
Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.
Một phơng trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu đổi vị trí hai ẩn thì phơng trình không đổi
VD:
2 2
x + y + xy = 2
x + xy + y = 4



3.Cách giải:
+ Biểu diễn từng phơng trình của hệ qua x+y và xy
+ Đặt S = x+y, P = xy, ta có hệ mới chứa ẩn S, P. Giải nó tìm S, P.
+ Với mỗi cặp S, P ta có x, y là nghiệm của phơng trình X

2
- SX + P = 0.
+ Tuỳ theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận hệ ẩn S, P và phơng trình
X
2
- SX + P = 0. để có kết luận cho bài toán.
4.Bài tập:
Loại 1: Giải hệ đơn thuần
VD1: Giải hệ
2 2
x + y + xy = 2
x + xy + y = 4



(I)
Giải: (I)
2
(x + y) + xy = 2
(x + y) - xy = 4




Đặt S = x+y, P = xy ta có
2
S + P = 2
S - P = 4

2
S + P = 2
S + S - 6 = 0




S + P = 2
S=2
S=-3









S = 2
P = 0
S = - 3
P = 5

Với S = 2, P = 0 có x, y là nghiệm của phơng trình X
2
- 2X = 0
X = 0
X = 2



{(x;y)} = {(0;2); (2;0)}
Với S = -3, P = 5 có x, y là nghiệm của phơng trình X
2
+ 3X +5 = 0 vô nghiệm
Vậy hệ có tập nghiệm {(x;y)} = {(0;2); (2;0)}.
Loại 2: Đối xứng giữa các biểu thức của ẩn
VD2: Giải hệ
2
x (x + 2)(2x + y) = 9
x + 4x + y = 6



(II)

Giải: (II)
2
x (x + 2)(2x + y) = 9
(x + 2x) + (2x + y) = 6




2
2x + y = 3
x + 2x = 3



Giải ra đợc nghiệm của hệ {(x;y)} = {(1;1); (-3;9)}.
VD3: Giải hệ
5 5
x + y = 4
xy = - 2



Giải:
5 5
5 5
x + y = 4
x y = - 32

========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
2
Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.
Vậy x
5
, y
5
là nghiệm của phơng trình X
2
- 4X -32 = 0
X = 8
X = - 4



Vậy
5
5
5
5
x = 8
y = - 4
x = - 4
y = 8

5
5
5
5
x = 8
y = - 4
x = - 4
y = 8

Chú ý: Với hệ có dạng
n n
x + y = a (1)
xy = b (2)



+ Nâng hai vế của (2) lên luỹ thừa n và coi x
n
, y
n
nh nghiệm của phơng trình
X
2
- aX + b
n
= 0.
+ Giải và biện luận phơng trình bậc hai, sau đó lấy căn bậc n của nghiệm thu đợc.
VD4: Giải hệ

2 2 2
2 2
x + xy + y = 19(x - y)
x - xy + y = 7(x - y)





(1)
Giải : Đặt -y= t ta đợc hệ

2 2 2
2 2
x + t - xt = 19(x + t)
x + t + xt = 7(x + t)





(2)
Đăt S= x+t ,P= xt ta có
2 2
2
S - 3P = 19S
S - P = 7S

(3)
Giải (3) ta đợc S = 0, P = 0 và S = 1 và P = -6
Từ đó suy ra nghiệm của (2) .
(1) có nghiệm (x; y) là (0; 0), (3; 2) ,(-2; -3).
VD 5: Giải hệ:
2 2
3 3
3
3
2(x + y) = 3( x y + xy )
x + y = 6





(1)
Giải: Đặt
3
3
x = u ; y = v ta có hệ
2
3 3 2
2(u + v ) =3(u v + uv )
u + v = 6

(2)
Hệ (2) là hệ đối xứng đối với u,v. Giải (2) tìm u, v từ đó suy ra nghiệm của (1).
Loại 3: Giải và biện luận hệ theo tham số .
VD6: Giải và biện luận hệ:
x y
+ = m
y x
x + y = 8





Giải: ĐK: x, y 0. Khi đó hệ trên tơng đơng với:
2 2
x + y
= m
xy
x + y = 8





========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
3
Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.

2
(x + y) - 2xy
= m
xy
x + y = 8






64 = (m + 2)xy
x + y = 8




Với m = -2: Hệ vô nghiệm
Với m

-2: Hệ tơng đơng với
64
xy =
m+2
x + y = 8

(*)
Ta có (*) có nghiệm khác 0 khi 64 - 4.
64 m-2
0 0
m+2 m+2

Vậy với m =2 thì hệ là
x + y = 8
x = y = 4.
xy = 16




với m >2 hoặc m < -2 thì hệ có hai nghiệm .
với -2 < m < 2 thì hệ vô nghiệm.
VD7: Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm
2
2 2
(x + y) = 4
x + y = 2(m + 1)





Giải: Đặt xy= P ,x+y = S hệ trở thành
2
2

S = 2
P = - m + 1
S - 2P = 2(m + 1)
S = - 2
S = 4
P = 1 - m


















Vậy (x;y) là nghiệm của:
2
2
X - 2X + 1 - m = 0
X - 2X + 1 - m = 0

2
2
(X - 1) = m
(X + 1) = m





Để hệ có đúng hai nghiệm thì m=0 khi đó 2 nghiệm là {(x;y)} = {(1;1); (-1;-1)}.
Loại 4: Một số bài toán giải bằng cách đa về hệ.
VD1: Giải hệ phơng trình:
3 3
3
x + 1 - x =
2
(ĐHSP-91)
Giải: Đặt
3
3
x = u
1-x = v

. Vậy ta có hệ :
3 3
3
u + v =
2
u + v = 1






2
3
u + v =
2
(u + v) (u + v) - 3uv = 1








3
u + v =
2
19
u.v =

36







u, v là nghiệm của phơng trình
2
3 19
X - X + = 0
2 36
========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
4
Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.

6 + 5
u =
8
6 - 5
u =
8

3
3
6 + 5
u = ( )
8
6 - 5
u = ( )
8






Vậy phơng trình có 2 nghiệm {x} = {
3 3
6 + 5 6 - 5
( ) ; ( )
8 8
}.
VD2: Cho x, y, z thoả mãn:
x + y + z = 5
xy + yz + xz = 8



(I)
CMR:
7

1 x
3

.
Giải: (I)
y + z = 5 - x
x(y + z) + yz = 8



Đặt y + z = S; yz = P y, z là ngiệm của phơng trình X
2
- SX + P = 0
S
2
- 4P 0
Từ hệ có
2
S = 5 - x
S = 5 - x
Sx + P = 8
P = x - 5x + 8






Vậy (5-x)
2

-4(x
2
-5x+8)
7
0 1
3
x
Do vai trò của x,y,z là nh nhau nên ta có
7 7
1 y ,1 z
3 3

.
B. Bài tập:
I) Giải hệ phơng trình:
1)
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y

+ =


+ = +


(ĐHAN -97)
2)
2 2

4 2 2 4
5
13
x y
x x y y

+ =


+ =


(ĐHNT-98)
3)
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


4)
2 2
4
2 8 2
x y

x y xy

+ =


+ + =


5)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y

+ + + =

+ + =

========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
5
Trờng THPT Yên Lạc - Năm học 2005 - 2006.
6)
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49

x y
xy
x y
x y

+ + =




+ + =


(ĐHNT_99)
7)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

+ + + =

+ + + =


(ĐHAN-99)
8)
7
1
78
x y
y x
x y
x xy y xy

+ = +



+ =

(ĐH HH-99)
9)
( ) ( )
2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
+ =

+ + =


10)
6 6
3 3
x + y = 1
x - 3x = y - 3y





11)
4 4
6 6
1
1
x y
x y

+ =


+ =


II. giải Hệ phơng trình có tham số:

1. Giải và biện luận:
a)
2 2 2
4x y
x y m
+ =


+ =

(QHQT-99)
b)
4 4 4
x y m
x y m

+ =


+ =


(129-III)
c)
1
2 5
2
2
2
x y

x y
x y
m
x y

+ + =




+

=



(ĐHT-96)
========================================================
Doãn Hoài Nam - Chuyên đề: Hệ phơng trình đối xứng
6