Các phương pháp tính tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

Phạm Thị Hồng Quyền

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2013


Mục lục
Mở đầu

3

1 Kiến thức cơ bản của tích phân
1.1 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các tính chất của nguyên hàm . . . . .
1.2 Định nghĩa và các tính chất liên quan của tích
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Các tính chất của tích phân . . . . . .
1.2.3 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . .
1.3 Các lớp hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . .

. . .
. . .
. . .
phân
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 Các phương pháp tính tích phân
2.1 Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần . . . .
2.2 Một số phương pháp tính tích phân dưới dạng hiển .
2.2.1 Tích phân của hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tích phân của hàm vơ tỉ . . . . . . . . . . .

2.2.3 Tích phân của hàm lượng giác . . . . . . . . .
2.3 Một số phương pháp tính tích phân đặc biệt . . . . .
2.3.1 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . . . . .
2.3.2 Tích phân đối với các hàm đặc trưng đặc biệt
2.3.3 Tích phân đối với hàm tuần hoàn . . . . . . .
2.3.4 Sử dụng các hệ thức truy hồi . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

3 Một số ứng dụng của tích phân
3.1 Một số ứng dụng của tích phân trong đại số và giải tích . . . . . . . .
3.1.1 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh đẳng thức . . . . . .
3.1.2 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh bất đẳng thức . . .
3.1.3 Ứng dụng của tích phân trong các bài toán cực trị . . . . . . .
3.1.4 Ứng dụng của tích phân vào phương trình, bất phương trình .
3.1.5 Ứng dụng tích phân trong tính giới hạn của dãy số . . . . . .
3.1.6 Ứng dụng tích phân trong xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số
3.2 Một số ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
7
8
9
10
11

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

13
13
15
15
22
27
35
35
40
44
48

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

53
53
53
56
60

63
70
71
74
74
77


3.3

3.2.3 Tính thể tích của một vật thể . .
Một số ứng dụng của tích phân trong đời
3.3.1 Tính cơng và nhiệt lương . . . . .
3.3.2 Tính mơ men quay và khối tâm .

Kết luận

. . .
sống
. . .
. . .

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

82
90
90
93
99

Tài liệu tham khảo

100

2


MỞ ĐẦU
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích tốn học. Các
học sinh năm cuối của bậc trung học phổ thông và các sinh viên năm thứ
nhất của bậc đại học thường gặp một số khó khăn trong việc học và ứng
dụng của chuyên đề này. Những người mới làm quen với tích phân thường
chưa hiểu cặn kẽ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết đặc
biệt là khâu vận dụng các kiến thức vào giải các bài tốn trong thực tế.
Ngồi ra trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Tốn sinh
viên tồn quốc thì các bài tốn liên quan đến tích phân cũng hay đề cập
đến và được xem như một dạng khó. Chính vì thế mà tích phân có vị trí
rất đặc biệt trong tốn học.
Để các em học sinh, sinh viên và bạn đọc mỗi khi giải các bài tốn về
tích phân khơng phải lúng túng khi đưa ra phương pháp giải thì tơi đã
chọn cho mình luận văn với đề tài "các phương pháp tính tích phân và
ứng dụng" nhằm phần nào giúp đỡ được người học định hình được cách

giải một số bài tốn một cách nhanh nhất.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương đề
cập đến các vấn đề sau:
Chương I. Kiến thức cơ bản của tích phân.
Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn
nhắc lại định nghĩa nguyên hàm, tích phân, một số định lý và đặc biệt
khai thác một số tính chất của lớp hàm cần tính tích phân, cơng thức
Newton-Leibniz, các lớp hàm khả tích, định lý về giá trị trung bình.
Chương II. Các phương pháp tính tích phân.
Ở chương này luận văn đề cập đến các phương pháp tính tích phân, từ
các phương pháp đó vận dụng vào giải một số ví dụ minh họa. Ngồi ra
ở chương này đã khai thác triệt để các lớp hàm đặc biệt để đưa các tích
phân tính tốn phức tạp, cồng kềnh về các tích phân tính tốn đơn giản.
Chương III. Ứng dụng của tích phân.
Chương này được chia ra thành ba phần: ứng dụng của tích phân trong
3


đại số và giải tích, ứng dụng của tích phân trong hình học, ứng dụng của
tích phân trong đời sống.

4


Lời cảm ơn
Tơi xin được bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn
Mậu người đã tận tình hướng dẫn tơi trong suốt q trình tơi thực hiện
đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương pháp toán
sơ cấp; Ban chủ nhiệm khoa Tốn-tin; Phịng sau Đại học trường Đại học

Khoa học Tự nhiên; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT
Nguyễn Thái Học, thành phố Vĩnh Yên, tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình đã ln động viên tơi trong suốt
q trình học tập và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả luận văn

Phạm Thị Hồng Quyền

5


Chương 1
Kiến thức cơ bản của tích phân
1.1
1.1.1

Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm
Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 (xem [5]). Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kì
U (một đoạn, mơt khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong tập
số thực).
Hàm khả vi F trên U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất
kỳ đó nếu F (x) = f (x) với mọi x ∈ U .
Định lý 1.1 (xem [5]). Nếu trong khoảng bất kỳ U hàm f có ngun hàm
thì nó có vơ số ngun hàm và các ngun hàm của f trong U xác định
sai khác nhau một hằng số cộng.
Chứng minh

Giả sử F là nguyên hàm của f trên U và C là một hằng số tùy ý. Khi
đó (F (x) + C) = f (x) và F + C cũng là nguyên hàm của f .
Nếu F và G là hai nguyên hàm của hàm f trên U và đặt H = F − G,
thì H (x) = F (x) − G (x) = f (x) − f (x) = 0 với mọi x ∈ U , ta suy ra H
là một hằng số C hay F = G + C.
Định nghĩa 1.2 (xem [5]). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f
trên khoảng bất kỳ U được gọi là tích phân khơng xác định của hàm f
trên U và ký hiệu là

f (x)dx.

Giả sử F là nguyên hàm của hàm f trên U theo định lý (1.1), ta có

f (x)dx = F (x) + C, C là hằng số tùy ý.

6


1.1.2

Các tính chất của nguyên hàm

Từ định nghĩa của nguyên hàm ta có thể trực tiếp suy ra các tính chất
sau đây.

f (x)dx = f (x)dx.

Tính chất 1.1. d
Tính chất 1.2.

df (x) = f (x) + C, C là hằng số tùy ý.

Tính chất 1.3. Với α, β là hai số thực bất kỳ,

αf (x) + βg(x) dx = α
Tính chất 1.4. Nếu

f (x)dx + β

g(x)dx.

f (t)dt = F (t) + C thì

1
f (ax + b)dx = F (ax + b) + C với a = 0.
a

1.2
1.2.1

Định nghĩa và các tính chất liên quan của tích
phân
Định nghĩa

Định nghĩa 1.3 (xem [5]). Giả sử hàm y = f (x) xác định trên đoạn [a, b].
Ta chia đoạn [a, b] thành n phần bởi các điểm chia xo = a < x1 < x2 <
· · · < xn = b. Ta gọi đó là phép phân hoạch P .
Trên mỗi đoạn [xi , xi+1 ]; i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ta lấy một điểm ξi tùy
ý. Ta nói phép chọn điểm ξi nói trên là phép chọn C .
Kí hiệu ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . n − 1 và lập tổng

n

Sn =

∆xi f (ξi ).

(1.1)

n=1
n

Khi ấy, nếu tồn tại

lim

max ∆xi →0 n=1

∆xi f (ξi ) không phụ thuộc vào phép

phân hoạch P và phép chọn C thì giá trị của giới hạn đó được gọi là tích
b

phân xác định của hàm số f (x) trên [a, b] và được kí hiệu là

f (x)dx.
a

Hàm số f (x) được gọi là khả tích trên [a, b] theo Riemann.
Xuất phát trực tiếp từ định nghĩa tích phân xác định, dễ dàng suy ra
được một số tính chất cơ bản của nó.

7


1.2.2

Các tính chất của tích phân

Ta xét các các đẳng thức sinh bởi tích phân.
Tính chất 1.5. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] và mọi hằng số
b

b

cf (x)dx = c

c ta có
a

f (x)dx.
a

Tính chất 1.6. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] ta có
a

b

f (x)dx = −
a

f (x)dx.

b

Tính chất 1.7. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] ta có
a

f (x)dx = 0.
a

Tính chất 1.8. Giả sử f (x) và g(x) khả tích trên đoạn [a, b], với ∀α, β ∈ R
ta có
b

b

[α.f (x) + β.g(x)]dx = α
a

b

f (x)dx + β
a

f (x)dx.
a

Tính chất 1.9. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] và ∀c ∈ [a, b]
ta có
b

c

f (x)dx =
a

b

f (x)dx +
a

f (x)dx.
c

Nhận xét 1.1. Với giả thiết f (x) khả tích trên [a, b] ta có
b

b

f (x)dx =
a

f (t)dt.
a

Tiếp theo, ta xét một số dạng bất đẳng thức tích phân cơ bản.
Tính chất 1.10. Giả sử hàmf (x) khả tích trên đoạn [a, b] khi đó
b

Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì

f (x)dx ≥ 0.

a

8


b

Hơn nữa nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b] và a < b thì

f (x)dx > 0.
a

Tính chất 1.11. Nếu f (x) và g(x) là các hàm khả tích trên [a, b] và
b

f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] (a ≤ b) thì

b

f (x)dx ≤
a

g(x)dx.
a
b

Hơn nữa nếu f (x) < g(x) ∀x ∈ [a, b] (a < b) thì

b

f (x)dx <
a

g(x)dx.
a

Tính chất 1.12. Nếu f (x) là hàm khả tích trên đoạn [a, b] (a ≤ b) thì
b

|f (x)| cũng khả tích trên đoạn đó và

b

|f (x)|dx.

f (x)dx ≤
a

a

Việc nghiên cứu tích phân của một hàm số trên một đoạn nào đấy trước
tiên ta cần kiểm tra điều kiện khả tích của nó.

1.2.3

Cơng thức Newton-Leibniz

Việc tính tích phân xác định theo định nghĩa gặp những khó khăn nhiều
khi khơng vượt nổi vì các tích phân của các hàm số rất cồng kềnh không
dễ biến đổi để đưa về dạng thuận tiện cho việc tìm giới hạn. Cống hiến vĩ

đại của Newton - Leibniz trong vấn đề này là đã đề ra được phương pháp
tính tích phân của một hàm số dựa vào nguyên hàm của nó.
Định lý 1.2 (Định lý Newton-Leibniz- xem [5]). Cho hàm số f (x) liên
tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F (x) là một ngun hàm của nó thế thì
b

f (x)dx = F (b) − F (a).

(1.2)

a

Chứng minh.
Ta chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ bởi các điểm a = x0 < x1 <
x2 < · · · < xn = b. Trên mỗi đoạn [xi−1 , xi ] với i = 1, 2, . . . n theo định lý
Lagrange tồn tại một ξi sao cho

F (xi ) − F (xi−1 ) = F (ξi )(xi − xi−1 ) = ∆xi F (ξi ) = ∆xi f (ξi ).

9


Cho i nhận lần lượt các giá trị tự nhiên từ 1 đến n và lấy tổng của n
đẳng thức đó ta được
n

F (b) − F (a) =

∆xi f (ξi ).

(1.3)

i=1

Vế trái là hằng số với mọi n vế phải là một tổng tích phân của hàm số
f (x) trên [a, b].
b

Cho n → ∞ và max ∆xi → 0 thì vế phải có giới hạn là

f (x)dx. Vậy
a

b

n

F (b) − F (a) =

lim

max ∆xi →0

f (x)dx.

∆xi f (ξi ) =
i=1

(1.4)

a

Cơng thức (1.4) được gọi là cơng thức Newton-Leibniz. Nó không phụ
thuộc vào việc chọn nguyên hàm của hàm số f (x) vì nếu G(x) là nguyên
hàm của f (x) thì ta có G(x) = F (x) + C, với C là một hằng số nào đó.
Khi ấy

G(b) − G(a) = (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a).
Trong thực hành ta viết
b
b

f (x)dx = F (x)

= F (b) − F (a).

a
a

1.3

Các lớp hàm khả tích

Định lý 1.3 (xem [5]). Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích
trên đoạn đó.
Định lý 1.4 (xem [5]). Nếu hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và chỉ có một
số hữu hạn điểm gián đoạn trong [a, b] thì khả tích trong đoạn đó.
Định lý 1.5 (xem [5]). Hàm f đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b] thì
khả tích trên đoạn đó.

10


1.4

Các định lý về giá trị trung bình

Định lý 1.6 (xem [5]). Nếu f : [a, b] → R là một hàm khả tích và
M = sup f (x) trên đoạn [a, b], m = inf f (x) trên đoạn [a, b] thì tồn tại
b

một số µ: m ≤ µ ≤ M sao cho

f (x)dx = µ(b − a).
a

Chứng minh. Ta có m ≤ µ ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Khi đó, theo tính chất
b

b

mdx ≤

của tích phân
a

b

f (x)dx ≤
a

M dx
a

b

hay m(b − a) ≤

f (x)dx ≤ M (b − a).
a
b

1
Chọn µ =
b−a

b

f (x)dx thì m ≤ µ ≤ M và
a

f (x)dx = µ(b − a).
a

Hệ quả 1.1. Nếu f : [a, b] → R là một hàm liên tục thì tồn tại một số
b

c ∈ [a, b] sao cho

f (x)dx = f (c)(b − a).

a

Chứng minh. Vì f liên tục trên đoạn [a, b] nên nó khả tích trên đoạn đó
b

theo định lý (1.6) tồn tại một số µ : m ≤ µ ≤ M và

f (x)dx = µ(b − a).
a

Trong đó M = sup f (x) trên đoạn [a, b], m = inf f (x) trên đoạn [a, b].
Theo định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục trên một đoạn thì với
m ≤ µ ≤ M sẽ tồn tại một số c ∈ [a, b] sao cho f (c) = µ.
b

f (x)dx = f (c)(b − a), với c ∈ [a, b].

Vậy
a

Định lý 1.7 (Định lý trung bình mở rộng - xem [5]). Giả sử f và g là các
hàm khả tích trong đoạn [a, b] sao cho
a) m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] và m, M ∈ R.
b) g(x) khơng đổi dấu trên [a, b].
b

Khi đó tồn tại một số µ ∈ [m, M ] để cho

f (x)g(x)dx = µ
a

11

b

g(x)dx.
a


Chứng minh. Khơng giảm tính tổng qt ta xem a ≤ b và g(x) ≥ 0 với
mọi x ∈ [a, b]. Khi đó từ bất đẳng thức m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] suy ra
mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x), ∀x ∈ [a, b]. Do đó
b

b

g(x)dx ≤

m
a

b

f (x)g(x)dx ≤ M
a

g(x)dx.
a

b

g(x)dx = 0, thì ta có thể lấy µ là một giá trị tùy ý trong đoạn

Nếu
a

[m, M ].
b

g(x)dx = 0, khi đó theo tính chất của dấu bất đẳng thức của tính

Nếu
a

b

f (x)g(x)dx

b

g(x)dx > 0, ta chọn µ= a

chất (1.10) thì

, thì m ≤ µ ≤ M

b

a

g(x)dx
a
b

b

f (x)g(x)dx = µ

và có đẳng thức cần chứng minh
a

g(x)dx.
a

Các trường hợp khác chứng minh tương tự.
Hệ quả 1.2. Giả sử f là hàm liên tục, g là hàm khả tích trong [a, b].
Hơn nữa nếu g khơng đổi dấu trong đoạn [a, b], thì sẽ tồn tại một điểm
b

c ∈ [a, b] sao cho

b

f (x)g(x)dx = f (c)
a

g(x)dx.
a

Thật vậy đặt m = inf f (x), M = sup f (x) khi đó theo định lý trung

[a,b]

[a,b]

bình mở rộng tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho
b

b

f (x)g(x)dx = µ
a

g(x)dx.
a

Vì f liên tục trên [a, b] nên tồn tại c ∈ [a, b] sao cho µ = f (c). Đó chính
là điều phải chứng minh.
12


Chương 2
Các phương pháp tính tích phân
2.1

Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần

A.Phương pháp đổi biến
b

Giả sử I =

f (x)dx trong đó f là một hàm liên tục trong [a, b]. Giả
a

sử tồn tại một hàm số ϕ : [α, β] → [a, b] sao cho:
a) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b và khi t biến thiên trong đoạn [α, β] thì x = ϕ(t)
biến thiên liên tục từ a đến b.
b) Tồn tại đạo hàm ϕ (t) liên tục trên đoạn [α, β]. Khi đó ta có cơng
thức
β

b

I=

f (x)dx =
a

f (ϕ(t))ϕ (t)dt.

(2.1)

α

Đó là cơng thức đổi biến trong tích phân.
Chứng minh. Giả sử F là một nguyên hàm của f trong đoạn [a, b], tức
là F (x) = f (x).
Đặt Φ(t) = F [ϕ(t)] thì Φ(t) là nguyên hàm của hàm f [ϕ(t)]ϕ (t), vì

Φ (t) =

dF dx
.
= F [ϕ(t)]ϕ (t) = f [ϕ(t)]ϕ (t).
dx dt

Theo công thức Newton-Leibniz ta có
β

f (ϕ(t))ϕ (t)dt = Φ(β) − Φ(α) = F [ϕ(β)] − F [ϕ(α)]
α
b

= F (b) − F (a) =

f (x)dx.
a

13


Đó là điều phải chứng minh.
Từ đó ta trình bày phương pháp đổi biến để tính tích phân
b

I=

f (x)dx.
a

Ta thực hiện theo các bước sau đây.
Bước
hợp.
Bước
Bước
Bước

1 : Chọn x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích
2 : Lấy vi phân dx = ϕ (t)dt.
3 : Tích cận α, β tương ứng theo a, b.
4 : Biểu thị f (x)dx theo t và dt (giả sử f (x)dx = g(t)dt).
β

g(t)dt.

Bước 5 : Khi đó I =
α

B. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u và v là các hàm khả vi liên tục trong đoạn [a, b]. Khi đó ta có

[u(x).v(x)] = u (x).v(x) + u(x).v (x).
Do đó

u(x).v (x) = [u(x).v(x)] − u (x).v(x)
nên

b

b

[u(x).v(x)] dx −

u(x).v (x)dx =
a

b

a

u (x).v(x)dx
a

b
b

= u(x).v(x) −

u (x).v(x)dx.

a
a

Vậy ta có cơng thức tích phân từng phần của tích phân xác định
b

b
b

uv dx = uv −

u vdx.

(2.2)

a
a

a

b

Từ đó ta trình bày phương pháp tính tích phân từng phần I =

f (x)dx.
a

Ta thực hiện theo các bước sau đây.
14


Bước 1 : Biến đổi tích phân ban đầu về dạng
b

I=

b

f (x)dx =
a

f1 (x)f2 (x)dx.
a

Bước 2 : Đặt u = f1 (x) suy ra du và dv = f2 (x)dx suy ra v
Bước 3 : Khi đó
b

b

I = uv −

u vdx.

a
a

Chú ý 2.1. Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích
phân chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau.
1. Lựa chọn cách đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
b

u vdx được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.

2. Tích phân
a

2.2
2.2.1

Một số phương pháp tính tích phân dưới dạng
hiển
Tích phân của hàm hữu tỉ

Để xác định các tích phân cuả hàm số hữu tỷ ta cần lựa chọn linh hoạt
một trong các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp tam thức bậc hai.
2. Phương pháp phân tích.
3. Phương pháp đổi biến.
4. Phương pháp tích phân từng phần.
Sau đây chúng ta cùng đi xem xét từng phương pháp.
Bài toán 2.1. Phương pháp tam thức bậc hai đối với hàm hữu tỉ.
Phương pháp chung. Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính
tắc và dùng các cơng thức sau:
1
xdx
=
ln |x2 ± a| + C.
(1)
1.
2
x ±a 2
dx
1
x−a
2.
=
ln
+ C. Với a = 0 (2)
x 2 − a2

2a x + a
1

xdx
.
x4 + 4x2 + 3

Ví dụ 2.1. Tính tích phân I =
0

15


Lời giải. Ta có
1

1

xdx
=
x4 + 4x2 + 3

I=
0

1

xdx
1
=

(x2 + 2)2 − 1 2
0

d(x2 + 2)
(x2 + 2)2 − 1

0

1 x2 + 2 − 1
= ln 2
4 x +2+1

1

=
0

1 3
ln .
4 2

Bài tốn 2.2. Phương pháp phân tích đối với hàm hữu tỉ.
Phương pháp chung. Chúng ta đã biết phương pháp phân tích thực
chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây để
P (x)
ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc. Trong mục
phân tích
Q(x)
này chúng ta cũng đi xét đường lối chung để giải một vài dạng tổng quát.
x2 dx

với a = 0.
Dạng 1 : Tính tích phân bất định I =
(ax + b)α
Phương pháp chung. Sử dụng đồng nhất thức:

1 2 2
1
1
2
.a
x
=
[(ax
+
b)
−
b]
=
(ax + b)2 − 2b(ax + b) + b2 .
2
2
2
a
a
a
Ta được
x2
1 (ax + b)2 − 2b(ax + b) + b2
= 2.
(ax + b)α

a
(ax + b)α
1
2b
b2
1
−
+
.
= 2
a (ax + b)α−2 (ax + b)α−1 (ax + b)α
x2 =

Khi đó

1
I= 2
a
1
= 3
a

dx
−
(ax + b)α−2

2bdx
+
(ax + b)α−1

d(ax + b)
−
(ax + b)α−2

2bd(ax + b)
+
(ax + b)α−1
3

Ví dụ 2.2. Tính tích phân I =

b2 dx
(ax + b)α
b2 d(ax + b)
.
(ax + b)α

x2
dx.
(1 − x)39

2

Lời giải. Ta viết
3

I =
2

3

x2
dx =
(1 − x)39

3

1
dx −
(1 − x)37
2

2

1
2
1
=
−
+
36(1 − x)36 37(1 − x)37 38(1 − x)38
16

3

2
dx +
(1 − x)38
3
2

1
dx
(1 − x)39
2


1
2
1
1
2
1
−
+
−
+
+
36(−2)36 37(−2)37 38(−2)38
36 37 38
1
1
2737
1 3107
2737
1 1
+
+
−
= 36 .

−
.
= 36
2 36 37 152
25308 2 50616 25308
dx
Dạng 2 : Tính tích phân bất định In =
với a = 0 và
(ax2 + bx + c)n
n nguyên dương.
Phương pháp chung. Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1 : Nếu n = 1. Ta xét ba khả năng của ∆ = b2 − 4ac.
Khả năng 1 : Nếu ∆ > 0 khi đó
1
1
1
1
1
=
=
−
.
(ax2 + bx + c) a(x − x1 )(x − x2 )
a(x1 − x2 ) x − x1 x − x2
Do đó
1
1
1
1
x − x1

I=
−
dx =
. ln
+ C.
a(x1 − x2 ) x − x1 x − x2
a(x1 − x2 )
x − x2
1
1
=
.
Khả năng 2 : Nếu ∆ = 0 khi đó
(ax2 + bx + c) a(x − x0 )2
1
Do đó I = −
+ C.
a(x − x0 )
Khả năng 3 : Nếu ∆ < 0 khi đó thực hiện phép biến đổi x = tan t với
π π
t ∈ (− , ).
2 2
b
Trường hợp 2 : Nếu n > 1. Bằng phép biến đổi t = x + , ta được
2a
1
dt
In = n
. Tính tích phân này bằng phương pháp tích phân
a

(t2 + k)n
từng phần.
=

1

dx
.
x2 − x − 2

Ví dụ 2.3. Tính tích phân I =
0

Lời giải. Biến đổi

1
1
1
1
=
−
.
x2 − x − 2 3 x − 2 x + 1
Khi đó
1

1
I=
3

1
1
1
−
dx =
ln |x − 2| − ln |x + 1|
x−2 x+1
3

1

=
0

1 1
ln .
3 4

0

Dạng 3 :Tính tích phân bất định In =
nguyên dương.
17

(λx + µ)dx
với a = 0 và n
(ax2 + bx + c)n


λ

λb
(2ax + b) + µ − .
2a
2a
λb
dx
λ
(2ax + b)dx
+ (µ − )
.
Khi đó In =
2a (ax2 + bx + c)n
2a
(ax2 + bx + c)n
λ
(2ax + b)dx
a) Với Jn =
.
2a (ax2 + bx + c)n
λ
λ
(2ax + b)dx
=
ln |ax2 + bx +
• Nếu n = 1, ta được J1 =
2
2a (ax + bx + c)
2a
c| + C.
• Nếu n > 1, ta được

Phương pháp chung. Phân tích λx + µ =

Jn =

λ
2a

λ
1
(2ax + b)dx
=
−
.
+ C.
(ax2 + bx + c)n
2a(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1

b) Với Kn =

(ax2

dx
. Ta đã biết cách xác định trong dạng 2.
+ bx + c)n
3

Ví dụ 2.4. Tính tích phân I =

x3
dx.

x2 + 2x + 1

0

Lời giải. Biến đổi

x3
3x + 2
3
1
=
x
−
2
+
=
x
−
2
+
−
.
x2 + 2x + 1
x2 + 2x + 1
x + 1 (x + 1)2
Khi đó

3

x−2+

I=

3
9
1
−
dx
=
3
ln
4
−
.
x + 1 (x + 1)2
4

0

Chú ý 2.2. Tuy nhiên trong trường hợp tam thức ax2 + bx + c có ∆ > 0
(ta được hai nghiệm x1 , x2 ) chúng ta thực hiện phép phân tích:

1
A
B
(λx + µ)
=
−
.
2

(ax + bx + c) a x − x1 x − x2
Dạng 4 : Tính tích phân bất định I =

(a1 x2 + b1 x + c1 )dx
với
(x − α)(ax2 + bx + c)

a = 0.
Phương pháp chung. Ta xét ba khả năng của ∆ = b2 − 4ac.
Khả năng 1 : Nếu ∆ > 0 khi đó ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). Khi đó
a1 x2 + b1 x + c1
A
B
C
=
+
+
. Do đó
ta phân tích
2
(x − α)(ax + bx + c) x − α x − x1 x − x2
18


B
C
A
+
+
dx = A. ln |x − α| + B. ln |x − x1 | +

x − α x − x1 x − x2
C. ln |x − x2 | + D.
Khả năng 2 : Nếu ∆ = 0 khi đó ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 .
a1 x2 + b1 x + c1
A
B
C
Ta phân tích
=
+
+
.
(x − α)(ax2 + bx + c) x − α x − x0 (x − x0 )2
B
C
A
+
+
dx
Do đó I =
x − α x − x0 (x − x0 )2
I =

= A. ln |x − α| + B. ln |x − x0 | −

C
+ D.
x − x0

Khả năng 3 : Nếu ∆ < 0 khi đó ta phân tích

a1 x2 + b1 x + c1
A
B(2ax + b)
C
=
+
+
.
(x − α)(ax2 + bx + c) x − α ax2 + bx + c ax2 + bx + c
A
B(2ax + b)
C
+ 2
+ 2
dx
Do đó I =
x − α ax + bx + c ax + bx + c
dx
= A. ln |x − α| + B. ln |ax2 + bx + c| + C.
.
2
ax + bx + c
dx
Trong đó
được xác định bằng cách đổi biến x = tan t
ax2 + bx + c
π π
với t ∈ − ,
.
2 2

P (x)dx
với a = 0 và bậc của P (x) > 2.
Tổng quát: I =
(x − α)(ax2 + bx + c)
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1 : Thực hiện phép chia đa thức P (x) cho (x − α)(ax2 + bx + c) ta
được

P (x)
a1 x2 + b1 x + c1
=
Q(x)
+
.
(x − α)(ax2 + bx + c)
(x − α)(ax2 + bx + c)
Bước 2 : Khi đó I =

Q(x)dx +
1

Ví dụ 2.5. Tính tích phân I =
3

Lời giải. Biến đổi
1

I=

a1 x2 + b1 x + c1

dx.
(x − α)(ax2 + bx + c)

2

x3 + 2x2 + 10x + 1
dx.
x2 + 2x + 9

0

x + 2x + 10x + 1
1 2x + 2
=
x
+
. Khi đó
x2 + 2x + 9
2 x2 + 2x + 9

x3 + 2x2 + 10x + 1
dx =
x2 + 2x + 9

x+

0

19

1 2x + 2
dx
2 x2 + 2x + 9


1
1 2 1
1 1 4
2
= x + ln |x + 2x + 9|
= + ln .
0
2
2
2 2 3
dx
Dạng 5 : Tính tích phân bất định I =
, với a = b.
(x + a)2 (x + b)2
Phương pháp chung. Sử dụng đồng nhất thức
(x − a) − (x − b) 2
= 1, ta có
b−a
1
(x − a) − (x − b) 2
1
1
1
=
=

−
(x + a)2 (x + b)2
(b − a)(x + a)(x + b)
(a − b)2 x + b x + a
1
1
2
1
1
1
=
−
.(
−
)
+
. Ta được
(a − b)2 (x + b)2 a − b x + b x + a
(x + a)2
1
dx
2
dx
dx
dx
I=
−
−
+
2

2
(a − b)
(x + b)
a−b
x+b
x+a
(x + a)2
1
2
x+a
2x + a + b
=
.
ln
+ C.
−
(a − b)2 a − b
x+b
(x + b)(x + a)

2

1

dx
.
(x + 3)2 (x + 1)2

Ví dụ 2.6. Tính tích phân I =
0

(x + 3) − (x + 1) 2
Lời giải. Sử dụng đồng nhất thức
= 1,
2
1
1
1
1
1
1
=
−
+
+
.
(x + 3)2 (x + 1)2
4 (x + 1)2 x + 1 x + 3 (x + 3)2
1

1
Ta được I =
4

1

dx
−
(x + 1)2
0

1

dx
+
x+1
0

1

dx
+
x+3
0

dx
.
(x + 3)2
0

1
1
x+3
2x + 4
1
1+3
2+4
=
ln
ln

−
−
=
−
4
x+1
(x + 1)(x + 3) 0
4
1+1
(1 + 1)(1 + 3)
1
3
4
7
1 2
ln
−
=
+ ln .
4
1
3
48 4 3
P (x)
Dạng 6 : Tính tích phân I =
dx.
Q(x)
P (x)
Phương pháp chung. Giả sử cần xác định I =
dx bằng phương

Q(x)
pháp hệ số bất định. Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1 : Phân tích Q(x) thành các đa thức bất khả quy, giả sử là:
Q(x) = An (x).B m (x).C k (x), với n, m, k ∈ N. Trong đó A(x), B(x), C(x)
là đa thức bậc hai hoặc bậc nhất.
P (x)
E(x)
Bước 2 : Khi đó ta phân tích.
= D(x) + n
.
Q(x)
A (x).B m (x).C k (x)

20


Bước 3 : Tính I =

D(x) +

E(x)
dx
An (x).B m (x).C k (x)
4

Ví dụ 2.7. Tính tích phân I =

x3 − 3x2 + x + 6
dx.
x3 − 5x2 + 6x

3

x3 − 3x2 + x + 6
2x2 − 5x + 6
Lời giải. Ta có
=
1
+
x3 − 5x2 + 6x
x3 − 5x2 + 6x
2
2x − 5x + 6
a
b
c
= 1+
= 1+ +
+
. Ta được hằng đẳng thức
x(x − 2)(x − 3)
x x−2 x−3
2x2 − 5x + 6 = a(x − 3)(x − 2) + bx(x − 3) + cx(x − 2).

(1)

Để xác định a, b, c trong (1) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau.
Cách 1 : Phương pháp đồng nhất hệ số.
Khai triển vế phải của (1) và sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần,
ta có 2x2 − 5x + 6 = (a + b + c)x2 − (5a + 3b + 2c)x + 6a.

Đồng nhất đẳng thức, ta được: a = 1, b = −2, c = 3.
Cách 2 : Phương pháp trị số riêng.
Lần lượt thay x = 0, x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ và
giải hệ tìm được a = 1, b = −2, c = 3. Khi đó
x3 − 3x2 + x + 6
2x2 − 5x + 6
1
2
3
=
1
+
=
1
+
−
+
. Do
x2 − 5x2 + 6
x3 − 5x2 + 6x
x x−2 x−3
đó
4

1
2
3
1+ −
+
dx = x+ln |x|−2 ln |x−2|+3 ln |x+3|

x x−2 x−3

I=

4
3

3

= (4+ln 4− 2 ln 2+ 3 ln 7) − (3+ln 3+3 ln 6) = 1+ 3 ln 7 − ln 3− 3 ln 6.
Bài toán 2.3. Phương pháp đổi biến đối với hàm hữu tỉ.

ϕ (x).P [ϕ(x)]
dx
Q[ϕ(x)]

Phương pháp chung. Nếu tích phân cần tính có dạng I =
trong đó ϕ(x) là một đa thức bậc k của x.
Khi đó đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ (x)dx.
1

Ví dụ 2.8. Tính tích phân I =

x3 dx
.
(x8 − 4)2

0
4

Lời giải. Đặt x = t ⇒ dt = 4x3 dx.
1

1
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t = 1. Khi đó I =
4

(t2
0

21

dt
.
− 4)2


1

1
[(t + 2) − (t − 2)]2 , ta được
16
1
2
1
1
1
1
t−2
−

+
dt
=
−
−
ln
−
(t − 2)2 t2 − 4 (t + 2)2
64
t−2 2
t+2

=

1 2 1
+ ln 3 .
64 3 2

Sử dụng đồng nhất thức 1 =

1
I=
64
1
t+2

0
1
0

Bài tốn 2.4. Phương pháp tích phân từng phần đối với hàm hữu tỉ.
P (x).Q (x)dx
Phương pháp chung. Nếu tích phân cần xác định có dạng I =
.
Qn (x)
Ta thực hiệntheo các bước sau:
u = P (x)
Q (x)
ta tính du và v.
Bước 1 : Đặt
dv = n dx
Q (x)
Bước 2 : Khi đó I = uv −

vdu.
3

Ví dụ 2.9. Tính tích phân I =

x4 dx
.
(x2 − 1)3

2

Lời giải.
3

Biến đổi I về dạng I =

Đặt


u = x3
dv =

xdx
(x2 − 1)3

x3 .xdx
.
(x2 − 1)3
2

du = 3x2 dx
1
⇒
v = −
4(x2 − 1)2 .

Khi đó

x3
I=−
4(x2 − 1)2

3

3
+

2
4
3

x2 dx
(x2 − 1)2

2
3
3
x3
3
x−1
2x
+
ln
−
4(x2 − 1)2 2 16
x+1
x2 − 1 2
3367
3
3
3
4
9415
3
3
=
+

− ln 2 −
−
− ln 3 −
=
+ . ln .
55296 16
4
16
3
55296 16
2

=−

2.2.2

Tích phân của hàm vơ tỉ

Để xác định tích phân cuả các hàm số vơ tỉ ta cần lựa chọn linh hoạt
một trong các phương pháp cơ bản sau:
22


1. Dùng tam thức bậc hai.
2. Phương pháp đổi biến.
3. Phương pháp tích phân từng phần.
4. Sử dụng các phép biến đổi.
Sau đây chúng ta cùng đi xem xét từng phương pháp.
Bài tốn 2.5. Tính tích phân của các hàm vô tỉ dựa trên tam thức bậc
hai.

Phương pháp chung. Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính
tắc và dùng các công thức.
xdx
√
= x2 ± a + C.
1.
2
x ±a
dx
√
2.
= ln |x + x2 ± a| + C.
2
x ±a
x
a
3.
x2 ± adx =
x2 ± a ± . ln |x + x2 ± a| + C.
2
2
1

xdx

Ví dụ 2.10. Tính tích phân I =

x2

.

x2 )3

1 + + (1 +
√
xdx
Lời giải. Ta sử dụng công thức √
= d( 1 + x2 ) = d(1 +
1 + x2
1
1
√
√
1 + x2 )
xdx
d(1
+
1 + x2 ). Khi đó I = √
=
2
√
√
2. 1 +
2
1
+
x
1
+
x
2.

1
+
1 + x2
0
0
1
√
√
√
= 2. 1 + 1 + x2 = 2( 1 + 2 − 2).
0

0

Bài tốn 2.6. Tính tích phân của các hàm vô tỉ bằng phương pháp đổi
biến.
Phương pháp chung. Lựa chọn phép đổi biến thích hợp để đưa tích
phân ban đầu về tích phân đơn giản hơn mà ta có thể giải được.
Dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ .

23


Dấu hiệu
ax + b
R(x, n
) với ad − bc = 0
cx
+
d

√
R(x, a2 − x2 )

√
R(x, x2 − a2 )
√
R(x, a2 + x2 )
a+x
a−x
hoặc
a−x
a+x
R(x, (x − a)(b − x))
1
f (x) =
(x + a)(x + b)

√
R(x, ax2 + bx + c)

f (x) =

1
√
(λx + µ) ax2 + bx + c

Cách chọn
ax + b
t= n
cx + d

π
π
x = |a| sin t với − ≤ t ≤
2
2
( hoặc x = |a| cos t với 0 ≤ t ≤ π )
π π
|a|
với t ∈ − ,
và t = 0
x=
sin t
2 2
|a|
π
( hoặc x =
với t ∈ [0, π] và t =
cos t π
2
π
x = |a| tan t với − < t <
2
2
( hoặc x = |a| cot t với 0 < t < π )

x = a cos 2t
x = a + (b − a) sin2 t
* Với x + a > 0 và x + b > 0,đặt:
√
√

t= x+a+ x+b
* Với
và x + b < 0, đặt:
√x + a < 0 √
t = −x − a + −x − b
2ax + b
t= √
nếu ∆ = b2 − 4ac < 0
−∆
2ax + b
t= √
nếu ∆ = b2 − 4ac > 0
∆
1
t=
λx + µ
√2
3

dx
.
x x2 − 1
1
1
cos t
Lời giải. Đặt x =
, khi đó dx = − 2 dt.
sin t
sin t
π

2
π
Với x = 1 ⇒ t = , x = √ ⇒ t = .
2
3
3
π
π
1
2
2
2 cos tdt
π
sin t
Khi đó I =
= dt = .
6
1
1
π
π
−
1
3
3
sin t sin2 t
√

Ví dụ 2.11. Tính tích phân I =

24