Giá trị lớn nhất nhỏ nhất LTĐH

LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
V.Canh-B.Định (1) Nguyễn Công Mậu
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A) LÝ THUYẾT:
I)Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên tập D .
1) Số M gọi là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu :



=∈∃
≤∈∀
MxfDx
MxfDx
)(/
)(;
00
.Kí hiệu
)(xMaxf
D
=M
2) Số m gọi là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu :



=∈∃
≥∈∀
mxfDx
mxfDx
)(/
)(;
00

.Kí hiệu
)(min xf
D
= m
II)Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f(x) :
1) Dùng phương pháp đạo hàm :
a) Trường hợp hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng hoặc nửa khoảng :
Cách giải : +Tìm các điểm tới hạn trên khoảng hoặc nửa khoảng cho trước .
+ Lập bảng biến thiên rồi từ đố suy ra kết quả.
Đặc biệt : Khi trên bảng biến thiên có duy nhất một cực trò :
-Nếu cực trò của hàm số là y
cđ
thì y
cđ
= max y trên D.
-Nếu cực trò của hàm số là y
ct
thì y
ct
= min y trên D.
b) Trường hợp hàm số liên tục trên đoạn [a;b]:
Cách giải : +Tìm các điểm tơi hạn của hàm số trên đoạn [a;b].
+Tính f(a);f(b);f(x
i
) với x
i
là các điểm tới hạn thuộc [a;b].Khi đó :

{ }
)();();(max

)(max
];[
i
xfbfaf
xf
ba
=

&

{ }
)();();(min
)(min
];[
i
xfbfaf
xf
ba
=
.
2) Dựa vào điều kiện phương trình có nghiệm (hay còn gọi là Miền giá trò của hàm số)
Cách giải: +Ta xem y là hằng số ,ta cần tìm y để phương trình f(x) = y có nghiệm x thuộc D.
+Từ đó ta tìm ra miền giá trò của y và suy ra được GTLN-GTNN của hàm số.
*Chú ý: 1) Cách giải này không cần chỉ ra giá trò của biến ứng với các GTLN-GTNN.
2) Một số phương trình ta cần lưu ý đến điều kiện có nghiệm của nó như sau:
a) ax+ b = 0 có nghiệm x
00
==∨≠⇔∈
baaR
b) ax

2
+bx +c = 0 có nghiệm x R



≥∆∧≠
===∨≠∧=
⇔
00
000
a
cbaba
LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:
a)
1
12
2
++
+
=
xx
x
y
; b)
1
1
2
2
+

−
=
x
x
y
; c) y =
255
345
++−
xxx
với x
[ ]
2;1
−∈
d)
4sincos2
3sin2cos
+−
++
=
xx
xx
y
; e)
xx
xx
y
24
24
cos2sin3

sin4cos3
+
+
=
.
Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau :
a)
x
x
xy sin
9
4
2
++=
π
trên khoảng (0 ; +
∞
) ; b)
xxxxy sincoscossin
+=
c)
1212
−++−−=
xxxxy
; d)
13
−+−=
xxy

Ví dụ 3:Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các biểu thức sau :

a)
xyx
yxy
M
221
)(2
2
2
++
+
=
; với
1
22
=+
yx
; b)
52
+−=
xyM
; biết
11636
22
=+
yx
c)
22
2yxyxM
+−=
; với

1
22
=++
xyyx
; d)
2244
yxyxM
−+=
; biết
1
22
=−+
xyyx
.
VD 1a): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng.
Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm x
R
∈
.
VD 1b): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên R. Hoặc đặt ẩn
Phụ t = x
2
với điều kiện t ≥ 0 rồi dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm
số liên tục trên nửa khoảng.
Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm .
VD 1c): Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn .
VD 1d): Cách 1) +Xét x=
ππ
k2
+

;tính y .
+ Xét x
ππ
k2
+≠
.Khi đó
)(;
22
Zkk
x
∉+≠
π
π
R
x
tg
∉⇒
2
.Đặt t =
2
x
tg

→
Biểu diễn sinx ; cosx theo t với công thức :
Sinx =
2
1
2
t

t
+
; cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
.
+ Thu được hàm số f(t) với t
R
∈
; có thể giải bằng phương pháp đạo hàm .
Cách 2) Dựa vào điều kiện phương trình : asinx + bcosx =c có nghiệm x
R
∈
.
VD 1e): + Dùng ẩn phụ t =sin
2
x hoặc t = cos
2
x ;với 0
1
≤≤
t
; (hoặc có thể dùng ẩn phụ
t = cos2x ; với -1

1
≤≤
t
)
+ Sau đó dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số f(t) liên tục trên đoạn.
VD 2):a)+Dùng Côsi đối với 2 số hạng đầu không âm và đánh giá sinx
1
−≥
.Từ đó suy ra

V.Canh-B.Định (2) Nguyễn Công Mậu
C) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ
DỤ :
B) CÁC VÍ DỤ ( có hướng dẫn)
LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
được GTNN (không tồn tại GTLN).
b)+Lấy điều kiện sinx ;cosx
0
≥
.Sau đó dùng bất đẳng thức BNC (BuNhia-Côpxki).
c)+Lấy điều kiện
→+−+−−=→
1111 xxy
Dùng BĐT trò tuyệt đối.
d)Cách 1):Lấy điều kiện
→
Dùng đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn .
Cách 2):Lấy điều kiện
→
Dùng BĐT Côsi.

VD 3):a)Cách 1):Thay số 1 ở mẫu bỡi x
2
+y
2

→
Xét trường hợp y =0 .Tính M
→
y
→≠
0
chia
Cả tử và mẫu cho y
2
rồi đặt ẩn phụ t =
y
x
;với t
R
∈
.Khi đó thu được hàm
số f(t) là hàm phân thức có tử và mẫu đều là bậc 2
→
Dùng phương pháp
đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng.
Cách 2):Do gt : x
2
+y
2
=1

→
đặt x = cos
α
và y = sin
α
→
Dùng điều kiện phương
trình có nghiệm .
b)Cách 1):Xem M là hằng số ta cần tìm M để hệ phương trình sau có nghiệm:




=+
=+−
91636
52
22
yx
Mxy

→
phương trình bậc hai một ẩn x (hoặc y) với M là tham
số .Từ điều kiện phương trình một ẩn có nghiệm (để hệ có nghiệm)
⇒
miền giá trò của M
⇒
GTLN-GTNN.
Cách 2):Dùng BĐT BNC ;(Lưu ý :Biến đổi M =
5)6(

3
1
)4(
4
1
+−+
xy
để sử dụng
Gt : 36x
2
++16y
2
= 9 ).
Cách 3):Trước hết biến đổi gt về
1
3
4
)2(
2
2
=






+
y
x

→
đặt
→





=
=
α
α
sin
3
4
cos2
y
x

M =
5cossin
4
3
+−
αα
Dựa vào điều kiện PT có nghiệm hoặc BĐT
BNC hoặc dựa vào miền giá trò y = asinx +bcosx =
)sin(
22
β

++
xba
.
c) Từ gt
xyyx
yxyx
M
++
+−
=⇒
22
22
2

→
Xét y = 0 thì M =1
R
y
x
t
tt
tt
My
∈=
++
+−
=⇒≠→
;
1
2

0
2
2
.

→
Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng .
d) + gt





−≥⇒−≥−+=
≤⇒=−≥−+=
⇒
3
1
33)(1
121
2
22
xyxyxyyx
xyxyxyxyxyyx


1
3
1
≤=≤−⇒

txy
+gt






−
∈++−=→++−=→+=+⇒
1;
3
1
;122)(1)(2)(21
2222
ttttfxyxyMxyyx
V.Canh-B.Định (3) Nguyễn Công Mậu
LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
+Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn.
Bài 1: Tìm a và b để cho hàm số :
a)
2
1 x
bax
y
+
+
=
đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng (-1).
b)

1
2
2
+
++
=
x
baxx
y
đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng (-1).
Bài 2:Tìm GTLN-GTNN của:
a)
22
4
)1(
1
x
x
y
+
+
=
; b)
32
++−=
xxy
; c)
2
4 xxy
−+=

d)
1sinsin
1sin
2
++
+
=
xx
x
y
; e)
xxy
2
sin2sin
−+=
; f)
1
1
2
+
+
=
x
x
y
trên đoạn [-1;2]
g)
32
24

+−=
xxy
trên [-3;2] ; h)
x
x
y
cos2
sin
+
=
;với x
∈
[ ]
π
;0
i)
xxxy 1232
23
−+=
trên đoạn [-3;3] ; k)
)sin1(cos xxy
+=
với x
∈
[ ]
π
2;0

Bài 3:Tìm giá trò lớn nhất của :
a)

4
2
1 x
x
y
+
=
; b)
xyyxM
+++=
11
; với điều kiện :
1
22
=+
yx
Bài 4:Tìm GTNN của :
a)
22
2
43
yx
xyy
M
+
−
=
; b)
1
1

3
1
2
+
+
+








+
=
x
x
x
x
y
.
c) f(x)=
5cossin4sin2
2
++
xxx
. ; d)
1
cos

1
cos
cos
1
cos
2
2
++++=
x
x
x
xy
.
e)
x
xy
2
2
lg2
1
lg
+
+=
; g)
xx
xxy
22
3
sincos
1

)sin(cos
++=
e)
1083
2
2
2
2
+








+−








+=
x
y
y

x
x
y
y
x
M
; với xy
0
≠
f)
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
M
++









+−+=
2
2
2
2
4
4
4
4
; với ab
0
≠
Bài 5: Tìm GTLN-GTNN của các biểu thức sau :
a)
)1)(1(
)1)((
22
yx
xyyx
M
++
−+
=
; b)
22
−−=
yxA
; biết

3649
22
=+
yx
c)
2222
2222
)1()1(
)1)((
yx
yxyx
M
++
−−
=
; d)
yxA 32
−=
; biết
4
22
=+
yx
Bài 6: Giả sử x và y liên hệ với nhau bỡi hệ thức :
0102)(72
22
=+++++
yyxxyx
.
Hãy tìm GTLN-GTNN của biểu thức S = x + y +1 .

Bài 7: Tìm m để
x
xm
y
cos2
sin1
+
+
=
có GTNN nhỏ hơn (-1) .
Bài 8: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau :
V.Canh-B.Định (4) Nguyễn Công Mậu
D) BÀI TẬP ÁP DỤNG:
LUYỆN THI Đ.H.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
a)
)sin6)(sin2(
15
1
xxy
−+=
; b)
xxxxy cossincossin
66
++=
c)
xxy
64
cossin
=
; d)

xxy cossin
4
−=
.
e)
2cossin
cos2
−+
+
=
xx
x
y
; f)
xxy 5coscos5
−=
trên đoạn






−
4
;
4
ππ
h)
xx

y
2
cos
4
2
sin
4
+=
; i)
xxy 2cossin2
48
+=
k)
xxxy
22
sincos32sin
−+=
; l)
x
x
y
2
cos2
2sin2
+
+
=
Bài 9: Biết x,y thay đổi và




=+
≥≥
1
0;0
yx
yx
Tìm GTLN-GTNN của
a) P =
11
+
+
+
x
y
y
x
; b) Q =
y
x
−
+
1
93
Bài 10: Cho x,y thay đổi thoả mãn x >0 ;y> 0 và x + y = 1 .Hãy tìm GTNN của biểu thức :
P =
y
y
x
x

−
+
−
11
Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC ,tìm GTNN của biểu thức P = tgA.tgB.tgC
Bài 12: Cho
ABC
∆
có
0
90
≤≤≤
ABC
.Tìm GTNN của biểu thức : M =
2
sin.
2
sin.
2
cos
BABA
−
Bài 13: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác .Tìm GTLN của biểu thức :
M = 3cosA + 2(cosB + cosC) .
Bài 14: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ phương trình :



−+=+
−=+

32
12
222
aayx
ayx
.Xác đònh a để
tích xy là nhỏ nhất .
Bài 15:a) Cho x,y thay đổi thoả mãn điều kiện
40;30
≤≤≤≤
yx
.Tìm GTLN của biểu thức :
A= (3-x)(4-y)(2x+3y) .
b) Cho a
3
≥
; b
≥
4 ; c
2
≥
.Tìm GTLN của
)432(
1
−+−+−=
bcaabccab
abc
F
c) Cho x;y;z biến thiên và thoả mãn điều kiện : xy+yz+zx = 4 .Tìm GTNN của biểu
thức F =

444
zyx
++
.
Bài 16: Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Tìm GTLN của biểu thức :
P =
111
+
+
+
+
+
z
z
y
y
x
x
Bài 17: Cho cos2x + cos2y =1 (x,y
R
∈
) .Tìm GTNN của A = tg
2
x + tg
2
y .

Bài 18: a) Cho
ABC
∆

,tìm GTLN của P =
)cos(cos3cos3 CAB
++
b) Cho
ABC
∆
,tìm GTNN của P =
CBA 2cos2
1
2cos2
1
2cos2
1
−
+
+
+
+
.
c) Cho
ABC
∆
, tìm GTLN của P = 3(cosB +2sinC)+4(sinB+2cosC) .
V.Canh-B.Định (5) Nguyễn Công Mậu