Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của tôi được thực hiện
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn.
Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thơng tin, tài liệu
từ các nguồn sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tơi
xin hồn toàn chịu mọi trách nhiệm về luận văn của mình.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018
Học viên thực hiện

KETTAVONG Chinnalone


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn
Anh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và
hồn thành luận văn. Mặc dù bận nhiều cơng việc nhưng thầy vẫn dành rất
nhiều thời gian để hướng dẫn tơi hồn thành bài luận này.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy trong khoa Toán – Tin
và cán bộ nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời
gian học tập và làm luận văn tại trường.
Và cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các anh chị em, bạn bè
gần xa và người thân trong gia đình đã ln khuyến khích, động viên giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

KETTAVONG Chinnalone

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Các ký hiệu

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................... 3
1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính .......................... 3
1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, cơng thức Cauchy ............................... 12
1.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi
phân tuyến tính .......................................................................................... 13
1.4. Một liên hệ giữa ởn định và xấp xỉ .......................................................... 18
Chương 2. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT

CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................... 26
2.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát .............. 26
2.2. Định lý xấp xỉ nghiệm của bài tốn biên tởng qt .................................. 40
Chương 3.

BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM

CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................. 46
3.1. Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài tốn
(3.1), (3.2) ................................................................................................. 46

3.2. Các tính chất đại số của bài toán (3.1), (3.2) ............................................ 51
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 61


CÁC KÝ HIỆU


R  (, ); R   0,   ; R    ,0.



x  R,  x  



 ik – Kronecker tức là:

x x
x x
,  x  
.
2
2

1 i = k,
ik  
0 i  k.



x   x i i1 là vectơ cột n - chiều,
n





R n  x   x i i1 x i  R, i  1,n ,
n

x   xi



n
i 1

.

Trên R n ta trang bị các chuẩn
n

x   xi ,
i 1

x  max x i .
i 1,n



Ký hiệu X   x ik mn – ma trận cấp m  n .





Đặt R mn  X   x ik mn x ik  R, i  1,m,k  1,n .
Trên R mn ta có 2 chuẩn sau là tương đương. Nếu X   x ik   R mn thì
m

n

x   x ik hoặc x  max x ik .
i 1,m

i 1 k 1



k 1,n

Cho X   x ik mn , Y   yik mn  R mn .

Ta nói:

X  Y  x ik  yik , i  1,m , k  1,n.


X   xik mn , X   xik



mn

.




Cho I  R . Ta gọi mỗi ánh xạ

X : I  R mn
X  t    x ik  t  mn

t


là một ma trận hàm cấp m  n.

Ma trận hàm X  t    xik  t  mn gọi là liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối,
khả tích, khả vi trên I nếu tất cả các hàm x ik  t  , i  1,m; k  1,n có các tính
chất đó trên I.



Cho ma trận hàm X  t    xik  t  mn .
Đặt X  t  

dx

  xik  t  mn
dt



X

d


x

d





  ik

I
I
 mn


C  I, R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n liên tục và bị chặn trên

I với chuẩn
X



C





 sup X  t  : t  I .

Nếu I  a,b, C a,b,R mn  là không gian các ma trận hàm

X  t    x ik  t   liên tục trên a,b với chuẩn
X





C

 max X  t  : t   a, b 

C

 max x ik  t  C , i  1, m, k  1, n .

hoặc
X







C a,b,R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n.

X:a,b  R mn liên tục tuyệt đối trên a,b với chuẩn
b

X

C

 X  a    X  t  dt.
a




Cloc  I,R mn  là tập các ma trận hàm cấp m  n liên tục tuyệt đối trên mọi

tập con compắc của I.


L  I,R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  trên I

với chuẩn

X


L




   X  t  dt 
I


1



với 1    .

Lloc  I, R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  trên

mỗi tập con compắc của I.


E – ma trận đơn vị.



 – ma trận không.

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bài toán biên xuất hiện từ thế kỷ XVIII nhưng đến nay vẫn phát
triển mạnh mẽ do có các ứng dụng sâu sắc trong vật lý, cơ học, cơ khí, sinh
học... Bài tốn trên cho hệ phương trình vi phân tuyến tính vào các điều kiện
biên khác nhau như tuần hoàn, đối xứng, phản đối xứng, nhiều điểm cũng đã
được xem xét. Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có
rất nhiều ứng dụng trong vật lý và cơ học. Chính vì thế tơi chọn đề tài “bài toán
biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính”.
2. Ý nghĩa của luận văn
Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi
nghiên cứu về bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai điểm cho hệ
phương trình vi phân tuyến tính, nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm, tính bị chặn cho
bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.
4. Nội dung của luận văn
Chương1: Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta xây dụng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất
nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính và nghiên
cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài tốn này.
Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tún
tính.
Trong chương này, chúng ta xây dựng các điền kiện đủ cho việc tồn tại duy
nhất nghiệm của bài tốn biên tởng qt cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Hơn nữa, ta cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này.
Chương 3: Bài toán biên hai đìểm cho hệ phương trình vi phân tún
tính.

2

Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 và
chương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bài
toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Ngồi ra, chúng ta
cũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểm
khi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường.


3

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính
Giả sử I  R là một khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vô hạn)
P  Lloc  I, R nn  ,q  Lloc  I, R n  .

Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính:

dx
 P  t  x  q  t .
dt

(1.1)

Véctơ hàm x : I  R n được gọi là nghiệm của hệ (1.1) , nếu hầu khắp nơi
trên I có:
dx

(t)  P  t  x  t   q  t  , x  Cloc  I,R n .
dt

Với t 0  I, C0  R n cố định. Bài toán tìm nghiệm x(t) của hệ (1.1) thỏa điều
kiện đầu:

x  t 0   C0

(1.2)

gọi là bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Bổ đề 1.1
Giả sử p,q  Lloc  I,R  , t 0  I,C0  R và hàm số x  Cloc  I, R  hầu khắp nơi
trên I thỏa bất đẳng thức:
 x  t   p  t  x  t   q  t   sign  t  t 0   0

(1.3)

và

x  t 0   C0 .

(1.4)

Khi đó
t
t

t


x  t   exp  p  s  ds  .C0   exp  p  s  ds  .q  τ  dτ , t  I.
t

t0
τ

0


Xem chứng minh trong [1].

(1.5)


4

Bổ đề 1.2
Giả sử p,q  Lloc  I, R   , t 0  I, C0  R  , x  Cloc  I, R  
t

x  t   C0    p  τ  .x  τ   q  τ  dτ , t  I.

(1.6)

t0

Khi đó

t  I

ta có:

 t
 t
t

x  t   C0 .exp  p  s  ds    exp  p  s  ds  q  τ  dτ .
t
 t
 τ

 0
 0

(1.7)

Xem chứng minh trong [1].
Định lý 1.1
Nếu P  Lloc  I, R nn  , q  Lloc  I, R n  , t 0  I, C0  R n thì bài toán Cauchy (1.1),
(1.2) có nghiệm và nghiệm đó là duy nhất.
Chứng minh
Trước hết ta nhận thấy x(t) là nghiệm của (1.1), (1.2)
dx
(t)  P  t  x  t   q  t  ,
dt

x  t 0   C0
khi và chỉ khi x(t) là nghiệm của phương trình:
t

x  t   C0    P  τ  .x  τ   q  τ   dτ , t  I.

(1.8)

t0

Phương trình (1.8) là phương trình tích phân dạng Volter.
 Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.8) bằng xấp xỉ Picard.
Xét dãy vectơ hàm x k  t k 1 xác định như sau:


x 0  t   C0 ,
t

x k  t   C0    P  τ  .x k 1  τ   q  τ   dτ ,  k  1,2,.
t0

(1.9)


5

Dễ thấy
x k  Cloc  I, R n  , k  N.

Ta chứng minh rằng dãy x k  t k 1 là hội tụ đều trên I bằng cách chứng


minh rằng chuỗi:


C0    x k  t   x k 1  t  

(1.10)

k 1

hội tụ đều trên I.
Ta có:
t

x1  t   x 0  t   C0    P  τ  .C0  q  τ   dτ  C0
t0

 x1  t   x 0  t  

t

 P  τ .C

0

 q  τ   dτ

t0
t



 P  τ C

0

 q  τ  dτ =ξ 0  t  , t  I,

(1.11)

t0

với ξ 0  t  

t

 P  τ .C

0

 q  τ  dτ .

t0

Với k > 1 thì:
t

x k  t   x k 1  t   P  τ   x k 1  τ   x k 2  τ   dτ.
t0

Do (1.11) ta có:
x 2  t   x1  t  

t

 P  τ  .ξ  τ  dτ
0

t0

 ξ 0  t  .ξ  t  , t  I,

với ξ  t  

t

 P  τ  dτ .

t0

(1.12)


6

Vậy nếu k  1,2 thì x k  t   x k 1  t   ξ 0  t 

ξ  t 

k 1

 k  1!

, t  I.

(1.13)

Giả sử (1.13) đúng với số tự nhiên k nào đó. Ta chứng minh nó đúng với
k+1.
Từ (1.12) ta có:

x k 1  t   x k  t  

t

 P  τ  . x  τ   x  τ  dτ
k 1

k

t0
k 1

ξ  τ  
 ξ   τ  
ξ  τ  dτ
 k  1! 0
t0
t

(Do ξ 0  t   0 và đơn điệu tăng theo t  t 0 )
k 1

ξ  τ  
 ξ 0  t  ξ  τ  
dτ
 k  1!
t0
t

ξ  t  
 ξ0  t  
k!

k

, t  I.

Vậy theo nguyên lý qui nạp (1.13) đúng với k  N.
Do chuỗi
k 1

ξ  t  
C0  ξ 0  t   
k 1  k  1!


(1.14)

hội tụ đều trên I về hàm C0  ξ 0  t .expξ  t .
Nên theo dấu hiệu Weirstrass chuỗi (1.10) hội tụ đều về hàm x(t) trên I.
Hay x  t   lim x k  t  đều trên I.
k 

Chuyển (1.9) qua giới hạn ta có:
t

x  t   C0  lim   P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ
k 
t0


7
t

 C0    lim P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ
 k 

t
0

t

 C0    P  τ  x  t   q  τ   dτ ,

t  I.

t0

Vậy x(t) – nghiệm của (1.8) và do đó nó là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).
 Ta chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.
Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2). Theo (1.8) ta có:
t

x  t   y  t   P  τ   x  τ   y  τ   dτ
t0

hay

x t  yt 

t

 P  τ  . x  τ   y  τ  dτ .
t0

Áp dụng bổ đề 1.2 với q  t   0, C 0  0 ta có:
x  t   y  t   0 , t  I

hay
x  t   y  t  , t  I.

Định lý đã được chứng minh.
Xét hệ phương trình tuyến tính :
dx
(t )  P  t  x  t   q  t 
dt







(1.1)



với P  Lloc I,R nn , q  Lloc I,R n .
Khi q  t   θ thì (1.1) thành:

dx
 P  t .x
dt
(1.15) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.1).
Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.15) làm thành một không gian vectơ.

(1.15)


8

Hệ quả 1.1
Giả sử X(t) là một ma trận cơ bản (là một hệ nghiệm cơ bản) của hệ (1.15).
Khi đó mọi nghiệm x của hệ (1.15) đều có thể viết dưới dạng:

x  t   X  t  .C,

(1.16)

với C  R n và ngược lại, với mọi C  R n , vectơ x(t) cho bởi công thức (1.16) là
nghiệm của hệ (1.15).
Trong đại số tuyến tính ta định nghĩa: nếu z  R nn thì



1 k
.z .
k 1 k!

exp  z   E  

Định lý 1.2
Giả sử t 0  I và hầu khắp nơi trên I ta có:

t
 t

P  t   P  s  ds    P  s  ds  .P  t  .
t
 t

0
 0


(1.17)

Khi đó ma trận
t

X  t   exp P  s  ds

(1.18)

t0

là ma trận cơ bản của hệ (1.15).
Chứng minh
Do (1.17) nên theo kết quả trong đại số tuyến tính ta có:
k

t

t

d
 P  s  ds   k.P  t   P  s  ds 

t

dt  t 0

0


k 1

và do đó tích phân 2 vế ta có:
k

t
t


τ

 P  s  ds   k P  τ  . P  s  ds 
t

t

t0
0

0


Theo (1.18) ta có:

k 1

dτ , t  I.

(1.19)


9
k


t
m



1

X  t   lim E    P  s  ds  
m  

 
k 1 k!  t 0
 


hội tụ trên là hội tụ đều trên I (nên ta có thể chuyển qua dấu tích phân).
Ta có:
k

m
τ
 
1
E  P  τ  X  τ  dτ  E  P  τ . lim E    P  s  ds   dτ
m 

 
k 1 k!  t 0
t0
t0
 

t

t

k

m
τ
 
1
 E  lim   P  τ    P  τ    P  s  ds   dτ
m  
t
 
k 1 k!
t0
0
 

t

k
t

t
τ
m


1

 E  lim P  τ  dτ    P  τ   P  s  ds  dτ 
m 

t
 
k 1 k! t 0
0
 
 t0
k+1

t
m
t
 
1
 lim  E  P  τ  dτ  
 P  τ  dτ  
m 

 
k 1  k+1!  t 0
t0
 

k

t
m 1
t
 
1
 lim  E  P  s  ds    P  s  ds  

m  

 
k  2 k!  t 0
t0
 


 X  t .
Vậy:
t

X  t   E  P  τ  X  τ  dτ hầu khắp nơi trên I
t0

hay

X  t   P  t .X  t  hầu khắp nơi trên I và X  t 0   E.
Vậy X(t) là ma trận cơ bản của hệ (1.15).

(1.20)


10

Định lý 1.3
Giả sử X : I  R nn là ma trận hàm mà các cột của nó là nghiệm của hệ
(1.15). Khi đó t, t 0  I ta có:
t


det  X  t    det  X  t 0   exp  tr  P  s   ds  .
t

0


(1.21)

Định nghĩa 1.1
Ma trận hàm C: I2  R nn gọi là ma trận Cauchy của hệ (1.15) nếu với mỗi
τ  I ma trận hàm C  , τ  : I  R nn là ma trận cơ bản của hệ (1.15) thỏa điều

kiện đầu:

C  τ, τ   E.

(1.22)

Định lý 1.4
Ma trận Cauchy của hệ (1.15) tồn tại và duy nhất. Hơn nữa nó có dạng:
C  t, τ   X  t  .X1  τ  .

(1.23)

Trong đó X(t) – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15).
Chứng minh
 Tồn tại là hiển nhiên.
 Ta chứng minh tính duy nhất:
Giả sử C  t, τ  – ma trận Cauchy của hệ (1.15).
Giả sử X0  t  – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15).

Do với mỗi τ  I, C  t, τ  – ma trận cơ bản nên C  t, τ   X 0  t  .C0  τ  .
Do E  C  τ, τ   X 0  τ  .C0  τ  nên C0  τ   X01  τ  .
Suy ra

C  t, τ   X0  t  .X01  τ  .

Và do đó:

C  t, τ   X0  t .X01  τ 

 X  t .X 1  τ .
Định lý được chứng minh.

(1.24)


11

Định lý 1.5
Với t 0  I , mọi nghiệm của hệ (1.15) có dạng:
x  t   C  t, t 0  .x  t 0 

(1.25)

với C  t, τ  – ma trận Cauchy của (1.15).
Chứng minh
Do với t 0  I cố định C  t,t 0  là ma trận cơ bản nên với mọi nghiệm của hệ
(1.15) đều có dạng:

x  t   C  t, t 0 . C0 , C0  R n

(1.26)

 x  t 0   E.C0

 C0  x  t 0  .

Vậy
x  t   C  t, t 0  .x  t 0 .

Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.6
Giả sử t 0  I và khắp nơi trên I thỏa:

t
 t

P  t  . P  s  ds    P  s  ds  .P  t .
t
 t

0
 0


(1.27)

Khi đó ma trận

t


C  t, τ   exp  P  s  ds 
τ


(1.28)

là ma trận Cauchy của hệ (1.15).
Chứng minh

t

Do (1.27) nên ma trận X  t   exp  P  s  ds  là ma trận cơ bản của hệ
t

0

(1.24).


12

t

 C  t, τ   X  t  .X  τ   exp  P  s  ds  .
τ

1

Định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.2
Nếu P  R nn thì ma trận Cauchy của hệ phương trình vi phân

dx
 P.x
dt

(1.29)

C  t, τ   exp  P  t  τ   .

(1.30)

có dạng:

1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, cơng thức Cauchy
Xét bài toán Cauchy:



dx
 P  t  .x  q  t 
dt

(1.1)

x  t 0   C0

(1.2)



với P  Lloc I,R nn , q  Lloc (I,R n ) .
Theo định lý 1.1 bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất. Ta tìm cơng thức
nghiệm của nó theo phương pháp biến thiên hằng số Lagrange.
Gọi X(t) – ma trận cơ bản của hệ thuần nhất

dx
 P  t .x  t .
dt

(1.15)

Ta tìm nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) dưới dạng:
x  t   X  t  .y  t 

(1.31)

y(t) cần xác định để (1.31) là nghiệm, ta có:
x  t   X  t .y  t   X  t .y  t 
 P  t .X  t .y  t   X  t .y  t .

Thay vào (1.1) ta có:

(1.32)


13
x  t   P  t .x  t   q  t 
 P  t .X  t .y  t   q  t 

 P  t .X  t .y  t   X  t .y  t 

hay
dy  t 
 X 1  t  .q  t  .
dt

(1.33)

Vậy y(t) – nghiệm của hệ (1.33) thỏa điều kiện đầu:

y0  t 0   X 1  t 0 .x  t 0 

(1.34)

 X1  t 0  .C0 .

Lấy tích phân ta có:
t

y  t   X 1  t 0  .C 0  X 1  τ  .q  τ  .dτ.
t0

Thay vào (1.31) ta có:
x  t   X  t  .X

1

t

 t 0  .C0  X  t  .X 1  τ  .q  τ  .dτ

,

t  I

t0

hay
t

x  t   C  t, t 0  .C 0  C  t, τ  .q  τ  .dτ

(1.35)

t0

là nghiệm của hệ (1.1), (1.2) và (1.35) gọi là công thức Cauchy.
Định lý 1.7
Nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy (1.1), (1.2) được cho bởi công thức
Cauchy với C  t, τ  – ma trận Cauchy của hệ (1.15).
1.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân
tuyến tính
Cùng với bài tốn (1.1), (1.2) ta xét bài toán:

dy
 P  t  .y  t   q  t 
dt

(1.36)

14

y  t 0   C0 .

(1.37)

Định nghĩa 1.2

Bài toán (1.1), (1.2) được gọi là xấp xỉ được nếu với mỗi ε  0 (đủ bé), ξ  0
(đủ lớn) đều tồn tại δ  0 sao cho:







Với mọi t0  I,C0  R n ,P  Lloc I,R nn ,q  Lloc I,R n



và thỏa các điều

kiện:

t 0  t0  
(1.38)

C0  C0  
t

  P  s   P  s   .ds



t0

t  I

(1.39)

t

  q  s   q  s   .ds



t0

và

 P  s   P  s  .ds  .

(1.40)

I

Khi đó:

x  t   y  t    , t  I.

(1.41)

P  L  I,R nn  , q  L  I,R n 

(1.42)

Định lý 1.8

Nếu

thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được.
Chứng minh





Do (1.42) nên nghiệm x của bài tốn (1.1), (1.2) thuộc khơng gian C I,R n .
Đặt:

ρ0  x

C

 x

C

15

t

ω  η   sup   x  τ  dτ : s, t  I,0  t  s  η 
s

và

ρ1   P  s  .ds.

(1.43)

I

Khi đó:
lim ω  η   0.

(1.44)

η0

Do (1.44) nên với ε  0,   0 tồn tại

0

sao cho:

 3  2ρ0  .δ  ω  δ   .exp  ξ  ρ1   .

(1.45)

Xét bài toán (1.36), (1.37) với t0  I, C0  R n , P  Lloc  I,R nn  , q  Lloc  I, R n 
thỏa các điều kiện (1.38), (1.39), (1.40).
Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán (1.36), (1.37) và

z  t   y  t   x  t .
Khi đó:

z  t   y  t   x  t 
 P  t  .y  t   q  t    P  t .x  t   q  t  
 P  t  . y  t   x  t     P  t   P  t  .x  t    q  t   q  t  .

(1.46)

Mặt khác theo (1.38) ta có:

z  t0   y  t0   x  t0 
 C0  C0  C0  x  t0 
 C0  C0  x  t0   x  t 0 

 δ  ω  δ .
Do

(1.47)


16

t0

t0

t0

t0

x  t 0   x  t 0   x  τ  .dτ 

 x  τ  .dτ  ω  δ .

Tích phân hai vế (1.46) ta có:
t

t

t0

t0





t

z  t   z  t 0   P  τ  .z  τ  .dτ   P  τ   P  τ  .x  τ .dτ   (q  τ   q  τ ).dτ
t0

Lấy chuẩn 2 vế ta có:
t

t

  P  τ   P  τ  .x  τ .dτ

z  t   z  t 0   P  τ  .z  τ  .dτ 
t0

t0

t



  q  τ   q  τ   dτ

t0

t

 3δ  ω  δ   P  τ  .z  τ  .dτ 
t0

t

  P  τ   P  τ .x  τ .dτ , t  I .

(1.48)

t0

Do
t

  q  τ   q  τ .dτ

t



t0

  q  τ   q  τ .dτ



t0

t0

  q  τ   q  τ  dτ

 2δ. (do 1.39)

t0

Áp dụng tích phân từng phần ta có:
t  s

t


P
s

P
s
.x
s
.ds

P
τ

P
τ
dτ
.x
t

P
τ

P
τ
dτ




 x  s .ds.























t  t
 t


t0
0 0

0


t

Mặt khác do (1.39) ta có:
t

  P s   P s  .ds

t0

t



  P s   P s .ds



t0

t0

  P s   P s  .ds

 2δ.

t0

Do đó thay vào trên ta có:
t

  P  s   P s  .x s .ds
t0

 2δ. x  t  

t

s

   P  τ   P  τ  .dτ . x  s  .ds
t0 t0

 2δ. x(t)  2δ.  x  s  ds
I


17


 2δ.  x  t  C   x  s  ds 
I



 2. x C  x
 2 .0

C



t  I.

Thay vào (1.48) ta có:
t

z  t    3  2ρ0  δ  ω  δ   P  τ  .z  τ  .dτ
t0

  3  20  δ  ω  δ  

t

 P  τ  . z  τ  .dτ .

t0

Áp dụng bổ đề 1.2 ta có:


z  t    3  20  δ  ω  δ   .exp 



t



t0


P  s  .ds  , t  I.



Mặt khác do (1.39), (1.40), (1.41) ta có:
t

 P  s  .ds   P  s   P  s  ds   P s  .ds    

1

t0

I

I

Do đó:

z  t    3  20  δ  ω  δ   exp    1   .
Vậy định lý được chứng minh.
Chú ý:
Nếu ta định nghĩa khái niệm hệ xấp xỉ được theo nghĩa sau:
Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ được nếu:









Với mọi dãy t 0k  I, C0k  R n , Pk  Lloc I,R nn , q k  Lloc I,R n ,  k  1,
thỏa các điều kiện:

lim t 0k  t 0

k 

lim C0k  C0

k 

(1.49)