CHUYEN DE TOAN 6 - THCS XUAN GIAO

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUYÊN ĐỀ: DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT</b>

<b>I. </b>

<b> MỤC TIÊU: </b>
<b>1, Kiến thức</b>

- Biết được cách giải, công thức tổng quát của một số bài toán về dãy số
nguyên viết theo quy luật; Phân tích dạng tốn, tìm tịi phương pháp giải mới và
lựa chọn phương pháp phù hợp với trình độ học sinh.

<b>2, Kĩ năng:</b>

- Vận dụng vào giải các bài toán liên quan nhanh chóng thuận tiện hơn;
- Giúp cho học sinh có được kiến thức vững vàng, có ý thức tự học và tìm tịi
sáng tạo trong q trình học tập. Tìm tịi phát hiện nhiều cách giải cho một bài tốn
tạo hứng thú học tốn cho các em có năng lực học tập bộ mơn tốn thêm u thích
bộ mơn hơn.

<b>II. NỘI DUNG</b>

<b>DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.</b>
<b>1.Bài tốn 1.1:</b>

<b>a) Tính A = 5 + 6+ 7+ ... + 2013 + 2014</b>

<b>b) Viết công thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều.</b>
<b>* Cách giải 1</b>

-Nhận xét:

+ Số hạng đầu là: 5 và số hạng cuối là: 2014.

+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 1

+Tổng A có số số hạng là: ( 2014 – 5 ): 1 + 1 = 2010
+Xét cặp (5+2014) = ( 6+2013) = ... = 2019

- Ta tính tổng A như sau:
A = 5 + 6+ 7+ ... + 2013 + 2014

A = (5+2014) + ( 6+2013) + .... + ( 1009+1010)

A = 2019 + 2019 + ... + 2019 do tổng A có 2010 số hạng nên có 1005 số 2019
Vậy A = 2019.1005 = (5+2014).2010:2 = 2029095

* Mội số lưu ý khi làm bài toán dạng tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách
<i><b>đều này: </b></i>

<i>- Bài toán 1.1 này là một tổng các số hạng là dãy số tự nhiên liên tiếp khá dài,</i>
<i>khơng thể tính tốn theo các quy tắc thông thường được, nên phải vận dụng</i>
<i>phương pháp giải không mẫu mực do đó: </i>

<i>- HS cần biết được cách tính tổng các số hạng trong tổng đã cho bằng cách: </i>
<i><b> Số số hạng = ( số hạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + 1</b></i>

<i>Nhưng trong rất nhiều trường hợp hs thường mắc sai lầm xác định không đúng</i>
<i>cho khoảng cách giữa 2 số hạng, hoặc thiếu cộng với 1 (số hạng đầu tiên)</i>

<i>- Ở trong cách giải 1, nếu ta thực hiện phép toán giao hoán để viết tổng </i>

<i>A = (5+2014) + ( 6+2013) + .... ta sẽ có bao nhiêu cặp như vậy, mỗi cặp có giá</i>
<i>trị là bao nhiêu? Hs trả lời được nhưng cặp cuối cùng là tổng của 2 số nào? Thì</i>

<i>lại vướng mắc nên GV cần định hướng và phân tích cho hs rõ chỗ này.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>mỗi cặp có 2 số hạng thì được 1005 cặp thì vừa đủ. Giả sử đối với tổng sau: </i>
<i> B =1 + 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 </i>

<i>- Ở bài tốn này tính tổng B theo cách 1 hs thường bị lúng túng: tổng B gồm 2015</i>
<i>số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp mỗi cặp có 2 số hạng thì được 1007</i>
<i>cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 1007 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao</i>
<i>nhiêu? đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc. Cần phải hướng dẫn hs đưa về bài toán</i>
<i>1.1 để tính. Có thể làm như sau:</i>

<i><b>B = 1 + 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 bằng cách đưa về tính theo cách giải 1 như</b></i>
<i>sau: </i>

<i> B = (1 + 2 + 3 + ... + 2014) + 2015 </i>

<i>(tính tổng trong ngoặc đơn trước, rồi cộng với hạng tử cịn lại)</i>

<i>- Trong chương trình học lớp 6 các em đã được biết đến bài toán Gauss nên ngồi</i>
<i>cách tính tổng A, tổng B nói trên ta có thể tính tổng A như sau:</i>

* Cách giải 2:

A = 5 + 6 + 7 + ... + 2013 + 2014
+ A = 2014 + 2013 + 2012 + ... + 6 + 5

2A = 2019 + 2019 + 2019 +... + 2019 + 2019 (có 2010 số hạng)
Ta có: 2A = 2019.2010  _{A = 2019.1005 = (5+2014).2010:2 = 2029095}

<i><b> b) Đặt vấn đề: </b></i>Ở bài toán này cả 2 cách giải trên bước cuối ta thấy kêt quả của

bài toán đều viết được thành: A = 2019.1005 = 2029095 hay A = ( 5 + 2014). 2010
: 2

Khi đó ta có A<i><b> </b><b>= (số hạng đầu + số hạng cuối). số số hạng : 2 </b></i>

<i> (Đối với GV ta có thể chứng minh bài toán tổng quát theo phương pháp quy nạp;</i>
<i>đối với HS lớp 6 chỉ cần biết và vận dụng cơng thức tổng qt cho bài tốn loại</i>
<i>này)</i>

<b>Chứng minh: </b><i><b>Tổng quát:</b></i> An= 1 + 2 + 3 +…+ (n – 1) + n = n.(n+1) : 2 (n  n)

- Khi n = 1 ta có: : a = 1 ( 1 + 1) : 2 = 1 đúng.
- Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là:
Ak = 1 + 2 + 3 + …+ (k – 1) + k + (k + 1)

- Ta xét: Ak + 1 = 1 + 2 + 3 + …+ (k – 1) + k + (k + 1)

= Ak + (k + 1) = k ( k+ 1) : 2 + (k + 1)

= (k + 1)

(

<i>k</i>

2+1

)

=(<i>k</i>+1)

(<i>k+</i>1)+1

2

Nên Ak+ 1 = (k + 1)

(<i>k</i>+1)+1

2 _{. Tức là bài toán đúng với n = k + 1.}

Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:

An= 1 + 2 + 3 + …+ (n – 1) + n = n.(n + 1) : 2

<i>(Ghi chú: Ở bài toán này và các bài toán tổng quát sau ta đều lấy k </i><i> N)</i>

<i><b>Cách giải 3:</b></i>

Xét A = 5 + 6 + 7 + ... + 2013 + 2014

Ta có số số hạng của tổng là: (2014 – 5):1 + 1 = 2010

<i><b> Áp dụng công thức tổng quát: A</b><b> </b><b>= (số hạng đầu + số hạng cuối). số số hạng : 2</b></i>

Khi đó: A = ( 5 + 2014). 2010 : 2 = 2029095

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>nhiên liên tiếp bất kỳ khơng cịn mấy khó khăn đối với học sinh, ta có thể đặt vấn</i>
<i>đề khai thác, phát triển sang các bài tập tương tự đối với cách tính tổng các số</i>
<i>nguyên cách đều một cách rất tiện lợi. Tôi xin đề cập đến một bài tốn có thể</i>
<i>khai thác từ bài toán 1 như sau: </i>

<b>2. Bài toán 1.2. </b><i><b>Tìm số hạng thứ n trong một dãy số tự nhiên cách đều</b></i>

* Kiến thức cần chú ý:

<i><b>+/ Số số hạng được tính bằng cách: </b></i>

<i><b> </b>Số số hạng = ( sốhạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + 1</i>

<i><b>+/ Tìm số hạng thứ n trong một dãy số </b></i>

<i> Số hạng thứ n = (số số hạng-1) . khoảng cách + số hạng đầu</i>

<i> Lưu ý: Số hạng thứ n cần tìm ta hiểu là số hạng cuối trong cơng thức tìm số</i>
<i>số hạng .</i>

<b>* VD: Tính tổng: S = 7 + 9 + 11 + ... +97+ 99 </b>
a) Tính tổng S trên .

b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên
<b>Bài giải</b>

a) - Nhận xét:

+ Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99.
+ Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2

+S có số số hạng được tính bằng cách: ( 99 – 7 ): 2 + 1 = 47
-Ta tính tổng S như sau:

<i><b> Cách 1 : </b></i>

S = 7 + 9 + 11 + .. . + 97 + 99 ( có 47 số hạng)
S = 7 + ( 9 + 11 + .... + 97 + 99)

Ta có: S = 7 + (9+99) + (11+97) + …. + (53+55)

S = 7 + 108 + 108 + …+ 108 ( có 23 số hạng 108)
S = 7 + 108.23 = 2491

<i><b>Cách 2 : theo cách tích tổng của Gauss</b></i>
S = 7 + 9 + 11 +.. . + 97 + 99

S = 99 + 97 + 95 .. . + 9 + 7
...

2S = 106. 47

S = 106.47 : 2 = 2491

<i><b>Cách 3 : Áp dụng Tổng S được tính bằng cách:</b></i>

Tổng S = ( số hạng cuối+ số hạng đầu ).Số số hạng : 2
<i><b>Nên : Tổng S có giá trị là : S = (99 + 7) . 47 : 2 = 2491</b></i>

<b>b) Xét tổng S = 7 + 9 + 11 + ... +97+ 99</b>

<i> - Áp dụng cơng thức tìm số hạng trong một dãy số </i>

<i><b> Số cuối = (số số hạng - 1) . khoảng cách + số đầu </b></i>

<i><b> (số cuối là số hạng cần tìm trong tổng các dãy số tự nhiên cách đều)</b></i>
- Số hạng thứ 33 của tổng trên là : ( 33 – 1 ).2 + 7 = 71

<i><b>* Một số lưu ý khi giải bài toán loại này:</b></i>

<i>- Hs phải biết phân biệt rõ ràng số hạng đầu, số hạng cuối của tổng.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>- Hs hiểu được số số hạng trong trường hợp này chính là số hạng thứ n cần tìm.</i>
<i>( trong bài trên số số hạng là 33)</i>

<i>- Hs dễ bị nhầm số hạng thứ 33 của dãy thành số hạng có giá trị là 33 trong tổng.</i>
<b>3. Bài toán vận dụng</b>

<i> Từ bài toán trên hs biết vận dụng làm nhanh và biết được công thức tổng qt</i>
<i>của các bài tốn sau:</i>

<b>Bài 1:</b>

<b> a. Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp</b>

Tính tổng A1 = 1 + 3 + 5 + 7 + ….+ 2015

<i>( Các cách giải tương tự bài toán 1.1)</i>

<i><b>* Tổng quát: A</b></i>n= 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n2 (n  N*)

<i>( được hình thành tương tự bài tốn 1.1)</i>

<i><b>Chứng minh: Tổng quát:</b></i> An= 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) = n2 (n  N*)

- Khi n = 1 ta có: An = 1 = 12 (đúng).

- Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là:
Ak = 1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) = k2

- Ta xét: Ak+ 1 = 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = (2k + 1)

= Ak + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2.

Hay Ak+ 1 = (k + 1)2. Tức là bài toán đúng với n = k + 1.

Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:
An = 1 + 3 + 5 + 7 +…+ (2n – 1) = n2

<b> b. Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp</b>

Tính tổng A2 = 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2014 + 2016

<i>( Các cách giải tương tự bài toán 1.1)</i>

* Tổng quát: An = 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2n = n (n + 1) (n N*)

<i>( được hình thành tương tự bài toán 1.1)</i>

<i><b>Chứng minh Tổng quát: </b></i>An = 2 + 4 + 6 + 8 + …+ 2n = n (n + 1) (n N*)

- Khi n = 1 ta có: an = 1.(1 + 1) = 2 (đúng)

- Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là:
Ak = 2 + 4 + 6 + … + 2k = k.(k + 1)

Ta xét: Ak + 1 = 2 + 4 + 6 +…+ 2k + 2 (k + 1) = Ak + 2(k + 1)

= k.(k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1) + 1

Hay Ak + 1 = (k + 1) (k + 1) + 1. Tức là bài toán đúng với n = k + 1.

Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:
An = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n (n + 1)

<b> c: Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp có đan dấu “+” và “ - ”</b>
Tính tổng A3 = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 +…+ 2015

<i>( Các cách giải tương tự bài toán 1.1)</i>

<i><b>*Tổng quát:A</b></i>n = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n. n (n N*)

<i>( được hình thành tương tự bài toán 1.1)</i>

<i><b>Chứng minh Tổng quát:</b></i>An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n. n (n
N*)

- Khi n = 1 ta có; An = -1 = (-1)1. đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ak = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)k (2k – 1) = (-1k)k.k

Ta xét: Ak+ 1 = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 +….+ (-1)k(2k – 1) + (-1)k + 1. (2k + 1)

= Ak + (-1)k +1 . (2k + 1)

= (-1)k_{. k + (-1)}k_{. (-1).(2k + 1)}

= (-1)k_{.(k - 2k – 1) = 9-10}k_{(-k – 1) = (-1)}k_{(-1) (k + 1)}

Hay Ak + 1 = (-1)k + 1(k + 1). Tức là bài toán đúng với n = k + 1

Kết luận: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có:

An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n . n

<i>(Đối với GV ta có thể chứng minh bài tốn tổng qt theo phương pháp quy nạp;</i>
<i>đối với HS lớp 6 chỉ cần biết và vận dụng công thức tổng quát cho bài toán loại</i>
<i>này để làm bài toán thuận tiện hơn)</i>

<b> d. Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp có đan dấu “+” và “ - ”</b>
A4 = 2 – 4 + 6 – 8 +…+ 2010 – 2012 + 2014 - 2016

<b> A</b>5 = 2 – 4 - 6 + 8 + 10 - 12 – 14 + 16 +….+ 98 – 100 – 102 + 104

<b>Bài 2:</b>

<b>1. Bạn Bình đánh số trang chẵn một quyển sách bằng dãy số chẵn bắt đầu từ số 2,</b>
biết rằng quyển sách của bạn Bình có 284 trang chẵn và khi đánh số thì mỗi chữ số
mất một giây. Hỏi:

a) Bạn Bình cần bao nhiêu phút để đánh hết số trang sách đó.
b) Trang chẵn thứ 25 được đánh bằng số nào ?

<b>2. Bạn An đánh số trang lẻ một quyển sách bằng dãy số lẻ bắt đầu từ số 1, biết rằng</b>
quyển sách của bạn An có 283 trang lẻ và khi đánh số thì mỗi chữ số mất một giây.
Hỏi

<b>a)</b> Bạn An cần bao nhiêu phút để đánh hết số trang sách đó.
<b>b)</b> Trang lẻ thứ 52 được đánh bằng số nào ?

<i>( Ở bài 2 này yêu cầu hs tư duy vận dụng bài toán 1.1 và 1.2 để giải)</i>

<i><b> Khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta khơng thấy có vướng mắc gì lớn,</b></i>
<i><b>bởi vì đó là tồn bộ những bài tốn cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không</b></i>
<i><b>gặp mấy khó khăn khi tiếp thu. Tuy nhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó</b></i>
<i><b>chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn</b></i>
<i><b>một chút.</b></i>

<b>DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHƠNG CÁCH ĐỀU.</b>

<b>I. Tính tổng một dãy số của các số có cùng cơ số theo số mũ tăng dần.</b>
1. Bài tốn: Tính tổng

a) B = 20_{+ 2}1_{+ 2}2_{+ 2}3_{+ … + 2}10

<b> b) B</b>1 = 1 + 20141 + 20142 + 20143 + ….+ 20142014 + 20142015
_{c) Viết cơng thức tổng qt cách tính tổng trên.}

<b>Bài làm</b>

<b>a) B = 20_{+ 2}1_{+ 2}2_{+ 2}3_{+ … + 2}10</b>
<i><b>Cách giải 1: </b></i>

<b> B = 2</b>0_{+ 2}1_{+ 2}2_{+ 2}3_{+ … + 2}10

<i><b> = 1 + 2 + 4 + 8 + ….. + 1024 = 2047</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>1) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác.</i>

<i><b>Cách giải 2: (Cách giải bài tốn khơng mẫu mực, khơng tn thủ theo quy tắc</b></i>

<i>thông thường)</i>

<i><b>HD: </b></i>

<i> - Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng có cùng cơ</i>
<i>số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức</i>
<i>đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt</i>
<i>tiêu?</i>

<i> - Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số</i>
<i>của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức</i>
<i>ban đầu ta sẽ tìm được tổng.</i>

<i>- Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số để được một biểu</i>
<i>thức mới rồi thực hiện phép trừ đi biểu thức ban đầu.</i>

Ta có 2B = 21_{+ 2}2_{+ 2}3_{+ ……. + 2}10 _{+ 2}11

Mà B = 20_{+ 2}1_{+ 2}2_{+ 2}3_{+ …+2}10

Vậy 2B – B = 211_{- 2}0 ₌

11
2 1

2 1




B = 211_{– 1 = 2047}

<b> b) B1 = 1 + 20141 + 20142 + 20143 + ….+ 20142014 + 20142015</b>

Tương tự bài toán 1a) theo cách giải 1 ta khơng tính trực tiếp được, mà phải
vận dụng cách giải 2. Ta xét:

2014.B1 = 20141 + 20142 + 20143 + 20144+ … +20142015 + 20142016

Mà B1 = 1 + 20141 + 20142 + 20143 + …+ 20142014 + 20142015

Nên 2014.B1 – B1 = 20142016 - 1

Tính được: B1 =

2016 2016
2014 1 2014 1

2014 1 2013

 




<b>c) Ta có cơng thức tổng qt cho bài tốn này như sau:</b>
<b> S</b>n = a0 + a1 + a2 + a3 +…..+ an =

<i>an</i>+1
−1

<i>a−</i>1 _(n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0).

<i><b>CM tổng quát:</b></i> Sn = a0 + a1 + a2 + a3 +…..+ an =
<i>an</i>+1

−1

<i>a−</i>1 _(n ¿ N; a ¿ 1; a ¿
0).

Thật vậy: Khi a = 1 ta có ngay Sn = n + 1.

Khi a ¿ thì: a.S_n = a1 + a2 + a3 + …+ an + an + 1 _ a.S_n – S_n = a n + 1 – 1
 Sn (a – 1) = an + 1 – 1

Vậy tổng Sn có giá trị là: Sn =
<i>an</i>+1

−1
<i>a−</i>1

Kết luận: Sn = a0 + a1 + a2 + a3+ …+
<i>an</i>+1

−1

<i>a−</i>1 _(n ¿ N; a ¿ 1; a ¿ 0).
Từ bài tốn tổng qt này ta có thể vận dụng để giải các bài tốn tương tự nhưng
tổng có nhều số hạng hơn nhanh chóng thuận tiện và các bài toán liên quan khác.

<i><b>* Một số lưu ý khi dạy bài toán dạng này: </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i>số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức</i>
<i>đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt</i>
<i>tiêu?</i>

<i> - Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta</i>
<i>nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu</i>
<i>thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được tổng (có thể chỉ để dưới dạng 1</i>
<i>biểu thức) như câu a; câu b;</i>

<i>- Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với</i>
<i>chính cơ số. </i>

<b>2. Bài tập vận dụng</b>

<b> a) Cho B</b>2 = 3 + 32 + 33 + 34 + …+3100

Tìm số tự nhiên n biết rằng 2B2 + 3 = 3n

HD: Tương tự như trên ra có thể tính được B3 =

3101−3

2

Khi đó: 3101_{– 3 + 3 = 3}n _₃101_{= 3}n __{n = 101}

b) Cho B4 = 3 + 32 + 33 + 34 + …+3n. Tìm số n sao cho B4 = 3280

<b>Giải:</b> Ta có B4 =

2

1 3 3 3<i>n</i>

    ₍₁₎

3 B4 =

2 1

3 3 3<i>n</i> 3<i>n</i>

    ₍₂₎

Trừ từng vế của biểu thức (2) cho biểu thức (1) ta được:

1
4

2 <i>_B</i> 3<i>n</i> 1

   _=> 4



3 1 1 : 2



<i>n</i>

<i>B</i> 

 

Mà B4 = 3280 nên





1

3<i>n</i> 1 : 2 3280

 

=>3<i>n</i>1 6561 3 8

Lập luận để tính n =7

c)Tính tổng B5= 3 – 32 + 33 – 34 + …+32013 – 32014+ 32015 - 32016
Ta có: 3.B5 = 32 – 33 + 34 – 35 +… + 32014 – 32015 + 32016 – 32017

Nên 3B5+ B5 = 3 - 32017
Vậy B5 =

2017
3 3

4



<i> Hs có thể vận dụng cách làm của bài toán 1 để giải các bài tốn này khơng</i>
<i>gặp mấy khó khăn.</i>

<b>II. Tính tổng các tích của các cặp số nguyên cách đều</b>

<b>1. Bài tốn 2.1:</b>

<b> a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 </b>
<b> b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101</b>

c) Hãy viết công thức tổng quát cho tổng trên?

<i>( Đây là bài số 5 trong đề kiểm tra trong học kỳ I – toán 6 năm học 2013– 2014</i>
<i>của PGD)</i>

<b>Bài làm</b>

<b> a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10</b>
<b>Lời giải 1:</b>

Hs dễ dàng thực hiện phép giải thông thường

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

= 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 +90 = 330

Nhưng cách giải này không thể áp dụng cho câu b) nên ta cần tìm hiểu cách giải
khác.

<b>Lời giải 2:</b>

3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + … + 8.9.(10 - 7) + 9.10.
(11 - 8)

= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11
= 9.10.11 = 9.10.(10+1)

Vậy A = 9.10.(10+1) : 3 = 990 : 3 = 330

Nhận xét: - <i> Trong tổng trên mỗi hạng tử đều là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp,</i>
<i>các hạng tử được viết theo quy luật, khoảng cách giữa hai thừa số của tích là 1,</i>
<i>ta đã nhân cả hai vế của A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số. Nhân phá</i>
<i>ngoặc để tính được kết quả cần tìm. </i>

<i>- Một cách khác Trong bài toán 2.1a) ta nhân 2 vế của A với 3(để được tích của</i>
<i>3số liên tiếp của số hạng đầu tiên) ta có thể tách thành các hạng tử mà có thể</i>
<i>triệt tiêu hàng loạt, để có kết quả bài tốn cần tìm.</i>

<i>- Kết quả của bài tốn chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của</i>
<i>thừa số lớn.</i>

<i>ĐVĐ: Ta có thể giải bài tốn này bằng cách khác như sau:</i>
<b>Lời giải 3 :</b>

Ta có 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)
= [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3
= 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2)

= (12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2_{+ 9}2_).2.3

= (12_{+ 3}2_{+ 5}2_{+ 7}2_{+ 9}2_{).6 = 990 = 9.10.11}

Vậy A = 9.10.(10+1) : 3 = 990 : 3 = 330

Nhận xét: <i>Trong cách giải trên hình như số 3 ta nhân vào cả 2 vế là thừa? Đúng là</i>
<i>vậy, nhưng ở đây ta nhân hai vế với 3 để kết quả cuối cùng có thể đưa về cơng</i>
<i>thức tính tổng qt mà ta đang cần tìm.</i>

<b>b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101</b>
Tương tự cách giải 2 ta làm câu b thật dễ dàng.

Ta xét: 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +… + 99.100.3 + 100.101.3
3B = 1.2. (3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4. (5 – 2) + ..

+ 99.100.(101 - 98) + 100.101.(102 - 99)
= 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + …

+ 99.100.101 – 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101 = 100.101.102
Vậy B = 100.101.102 : 3 = 100.101.34 = 343400

Nhận xét:<i> Trong câu b này, nếu giải theo cách giải 3 vẫn được, nhưng gặp khó</i>
<i>khăn ở chỗ việc tính tổng các bình phương của dãy số cách đều sẽ gặp khó khăn,</i>
<i>bài tốn này sẽ được giải quyết ở phần tiếp theo.</i>

<i>- Kết quả của bài tốn chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa</i>
<i>số lớn.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

A<b>n = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) = </b>

( 1)( 2)
3
<i>n n</i> <i>n</i>

<b>(n</b><b>N*)</b>
<i><b>Chứng minh tổng quát:</b></i> Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) =

<i>n</i>(<i>n</i>+1(<i>n</i>+2)

3 _(n__N*₎

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh.

<i>Bước 1.</i> Với n = 1. Vế trái = 1.2 = 2. Vế phải = 1.(1 + 1)(1+2) : 3 = 2
Suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy bài toán đúng với n = 1.

<i>Bước 2.</i> Giả thiết bài toán đúng với n = k ( k > 1) tức là ta đã có:
Bk = 1.2 + 2.3 +….+ (k + 1) (k + 2) =

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

3

<i>Bước 3:</i> Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 tức là chứng minh
Bk+1 = 1.2 + 2.3+…+ (k + 1)(k+2) =

(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)(<i>k</i>+3)

3

Thật vậy: Bk+1 = Bk + (k + 1)(k + 2) =

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(<i>k</i>+2)

3 _{+ (k + 1)(k + 2)}

Bk + 1 = (k + 1)(k + 2)

(

<i>k</i>

3+1

)

=

(<i>k</i>+10(<i>k</i>+2)(<i>l</i>+3)

3

Kết luận: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4+…+ n(n + 1) =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

3 _(n__N*₎

2. Bài toán 2.2:

a) Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
b) Hãy viết công thức tổng qt của bài tốn này.

<b>Lời giải :</b>

<b>a)Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10</b>
<i><b>Lời giải 1:</b></i>

Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
= 6 + 24 + 60 + 120 + 210 + 336 + 504 + 720 = 1980

<i><b>Lời giải 2 :</b></i>

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10
4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4
4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]

4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11)
4A = 8.9.10.11

A = 8.9.10.11 : 4 = 1980.

Nhận xét: - <i>Tương tự trong bài toán 2.1a. trong mỗi hạng tử đều là tích của 3 số</i>
<i>tự nhiên liên tiếp, các hạng tử được viết theo quy luật, khoảng cách giữa hai thừa</i>
<i>số của tích là 1, ta đã nhân cả hai vế của A với 4 lần khoảng cách giữa hai thừa</i>
<i>số.Nhân phá ngoặc để tính được kết quả cần tìm. )</i>

<i>- Một cách khác: bài tốn này ta nhân 2 vế của A với 4 ( để được tích của 4 số</i>
<i>liên tiếp của số hạng đầu tiên) để ta có thể tách thành các hạng tử mà có thể triệt</i>
<i>tiêu hàng loạt, để có kết quả bài tốn cần tìm.</i>

<i>- Vậy trong cách giải bài tốn 2.1a; 2.2a ta đã đi nhân 2 vế của biểu thức với 1 số</i>
<i>xác định là: (số các thừa số của tích+ 1). Khoảng cách giữa hai thừa số.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<i>thừa số lớn.</i>

<i>ĐVĐ: Ta có thể giải bài tốn này bằng cách khác như sau:</i>
b) Quan sát kết quả bài tốn trên ta có cơng thức tổng qt

<i><b>A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2) : 4 </b></i>
<i>- Bài toán tổng quát 2.1b); 2.2b) sẽ giúp hs có cách tìm được kết quả đúng nhanh</i>

<i>chóng nhất đối với các bài toán dạng này mà số hạng tử của tổng nhiều hơn nữa..</i>
<b>3. Bài tốn 2.3. Tính tổng các bình phương của dãy số cách đều.</b>

a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102

b) Tính tổng C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002

<i><b> c) Viết công thức tổng qt của bài tốn trên.</b></i>

<b>Bài làm</b>

a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102

<i><b>Cách 1.Giải theo quy tắc thực hiện thứ tự phép tính</b></i>
C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102

C1 = 1 + 4 + 9 + … + 81 + 100 = 385

<i><b>Cách 2. (</b>giải bài tốn khơng mẫu mực).</i>
C1 = 12 + 22 + 32+…+ 92 + 102

C1 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + …. + 9.9 + 10.10

C1 = 1 (2 - 1) + 2(3 – 1) + 3 (4 – 1) +…+ 9(10 – 1) + 10 (11 – 1)

= 1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 +…+ 9.10 – 9 + 10.11 – 10

= (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 9.10 + 10.11) – (1 + 2 + 3 + 4 +…+ 9 + 10)
Ta thấy:

1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 9.10 + 10.11 = 10.11.12: 3 = 440 <i>( vận dụng bài toán 3.1</i>
<i>dạng 2)</i>

1 + 2 + 3 +….+ 10 = (10+1).10 : 2 = 55 <i>( vận dụng bài tốn 1 dạng 1)</i>
Do đó C1 = 440 – 55 = 385 =

10.11.(10.2 1)
6



Nhận xét:<i> - Bài toán 2.3 này thực ra là bài toán vận dụng( trường hợp đặc biệt của</i>
<i>bài tốn 2.1 vì mỗi hạng tử là tích của 2 thừa số giống nhau;</i>

- <i>Dùng biện pháp tách 1 số hạng để có thể sử dụng kết quả các bài toán </i>

<i> - Kết quả của bài toán cũng liên quan chặt chẽ với cơ số của hạng tử cuối cùng.</i>
<b>Cách 3. Dùng kiến thức lớp 8 để giải bài toán này. </b>

Khai thác theo hướng sử dụng hằng đẳng thức:
(x + 1)3 _{= x}3_{+ 3x}2_{+ 3x + 1}

Với x = 1 ta có 23_{= 1}3_{+ 3.1}2_{+ 3.1 + 1.}

Với x = 2 ta có 33_{= 2}3_{+ 3.2}2_{+ 3.2 + 1.}

Với x = 3 ta có 43_{= 3}3_{+ 3.3}2_{+ 3.3 + 1.}

……..

Với x = 9 ta có 103_{= 9}3_{+ 3.9}2_{+ 3.9 + 1.}

Với x = 10 ta có 113_{= 10}3_{+ 3.10}2_{+ 3.10 + 1}

Cộng vế với vế của 10 đẳng thức trên ta được:
23_{+ 3}3_{+ …. + 9}3_{+ 10}3_{+ 11}3

= 13 _{+ 2}3_{+ 3}3 _{+…+ 9}3₊₁₀3_{+ 3(1}2_{+ 2}2_{+ 3}2_{+…+ 9}2_{+ 10}2_{) + 3 (1 + 2 + 3 + 4 +….}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

 113 = 13 + 3.C1 + 3.55 + 10

 1331 = 3.C1 + 176

 3.C1 = 1331 – 176 = 1155

 C1 = 385 =

10.11.(10.2 1)
6



<i><b> b) Tính tổng C</b></i>2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002

Dùng biện pháp tách 1 số hạng để có thể sử dụng kết quả bài tốn 2 và bài toán
trên ta tiến hành như sau:

C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002

C2 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + …. + 99.99 + 100.100

C2 = 1 (2 - 1) + 2(3 – 1) + 3 (4 – 1) +…+ 99(100 – 1) + 100 (101 – 1)

= 1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 +…+ 99.100 – 99 + 100.101 – 100

= (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 99.100 + 100.101) – (1 + 2 + 3 + 4 +…+ 99 + 100)
Ta thấy:

1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 99.100 + 100.101 = 100.101.102: 3 = 343400
<i>(bài toán 3.1dạng 2)</i>

1 + 2 + 3 +….+ 100 = 101.50 = 5050 <i>( bài tốn 1 dạng 1)</i>
Do đó C2 = 343400 – 5050 = 338350 =

100.101.(100.2 1)
6



<b>c) Ta có cơng thức tổng qt: E</b>n = 12 + 22 + 32 + …+n2 =

( 1)(2 1)
6
<i>n n</i> <i>n</i>
( ∀ n _ N*)

Ch ng minh t ng quát: ứ ổ En = 12 + 22 + 32 + …+n2 =

<i>n</i>(<i>n</i>+10(2<i>n</i>+1)

6

( ∀ n _ N*)

Chứng minh tương tự cách 3.

Với x = n ta có (n + 1)3_{= n}3_{+ 3n}2_{+ 3n + 1 = (n}3_{+ 1) + (3n}2_{+ 3n)}

Cộng n đẳng thức và rút gọn các hạng tử bằng nhau ở hai vế, ta có:
(n + 1)3_{= n + 1 + 3E}

n + 3 1 + 2 + 3 +…+ (n – 1) + n

Ta có 1 + 2 + 3 + …+ (n – 1) + n = n (n + 1) : 2
Suy ra 3En = (n + 1)3 – (n + 1) -

3<i>n</i>(<i>n+</i>1)

2 =(<i>n+</i>1)

[

(n+1)
2

−1−3<i>n</i>

2

]

= (n + 1)

(

2<i>n</i>2+4<i>n</i>+2−2−3<i>n</i>

2

)

=

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

2

Vậy En =

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

Nghĩa là: 12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+…+ n}2₌

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6 ₍ ∀ n _ N*)

<i><b>Ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bài toán tổng</b></i>
<i><b>quát trên.</b></i>

<i>Bước 1.</i> Với n = 1 bài toán đúng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+….+ k}2₌

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(2<i>k</i>+1)

6

<i>Bước 3:</i> Ta phải chứng minh bài toán đúng nới n = k + 1 nghĩa là:
12_{+ 2}2_{+ 3}2_{+ …..+ k}2_{+ (k + 1)}2₌

(<i>k</i>+1((<i>k</i>+2)(2<i>k</i>+3)

6

Thật vậy: VT =

<i>k</i>(<i>k</i>+1)(2<i>k</i>+1)

6 _{+ (k + 1).}

(

<i>k</i>(2<i>k</i>+1

6 +<i>k</i>+1

)

= (<i>k</i>+1).

2<i>k</i>2+<i>k</i>+6<i>k</i>+6

6 =(<i>k</i>+1).

2<i>k</i>(<i>k</i>+2)+3(<i>k</i>+2)

6

=

(<i>k</i>+1)(<i>l</i>+2)(2<i>k</i>+3)

6 =<i>VP</i>

Kết luận: 12_{+ 2}2_{+ 3}2 _{+…+ n}2₌

<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6 ₍ ∀ n _ N*).

<i><b>* Một số lưu ý khi giải bài toán 4 trong dạng này theo cách giải không mẫu</b></i>
<i><b>mực: </b></i>

- <i>Trong bài tốn 2.3a; 2.3b là bài tốn tổng các bình phương của dãy số tự nhiên</i>
<i>cách đêù và ta có thể viết thành tích để ta có thể tách một thừa số của một hạng</i>
<i>tử thành một hiệu để khi ta nhân các hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt giống</i>
<i>như ở bài toán 2.2</i>

<i>- Bài toán tổng qt 2.3c) sẽ giúp hs có cách tìm được kết quả đúng nhanh chóng</i>
<i>nhất.</i>

<b>4. Bài tập vận dụng</b>
<b>Bài 1:</b>

<b>a. Tính tổng A = 1.100 + 2.99 + 3.98 +…+99.2 + 100.1</b>

<i>Ta biến đổi các số từ 99 đến 1 thành hiệu của 100 với các số từ 1 đến 99</i>
<i>C = 1.100 + 2.(100-1) + 3(100-2) + …+ 99.(100-98)+ 100.(100 – 99)</i>
<i>= 1.100 + 2.100 – 2.1 + 3.100 – 3.2 +…+99.100 – 98.99 + 100.100 – 99.100</i>
<i>= 100 . (1 + 2 + 3 +…+99 + 100) – (1.2 + 2.3 +…+ 98.99 + 99.100)</i>
<i>= (100.5050) – (99.100.101) : 3</i>

<i>= 50.100 . 101 – 100 . 101 . 33</i>

<i>= 100 .101 (50-33) = 10100.17 = 171700</i>

<b>b. Tính tổng B = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 +…+99.101 + 100.102</b>

<i>Ta cần tách mỗi số hạng thành tổng của hai số tự nhiên để có thể áp dụng</i>
<i>bài tốn 3 và bài tốn Gaux (tính tổng 100 số tự nhiên khác 0 đầu tiên)</i>

<i>S = 1 (2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) +…+ 99(100 + 1) + 100 (101 + 1)</i>
<i>= 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3+…+ 99.100 + 99 + 100.101 + 100</i>

<i>= (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 99.100 + 100.101) + (1 + 2 + 3 +..+ 99 + 100)</i>
<i>= 343400 + 5050</i>

<i>= 348450</i>

<b>c. Tính tổng : C = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99</b>

<b>Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của</b>
C với 3 lần khoảng cách này ta được :

6C = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99
= 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99
= 3 + 97.99.101



1 97.33.101

C

2 _{= 161 651}

d. Tính tổng : D = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99
<b> D = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99</b>

<i><b>Giải :</b></i>

<i>8D = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8</i>

<i> = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93)</i>
<i> = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101</i>
<i>- 93.95.97.99</i>

<i> = 15 + 95.97.99.101 </i>

<i>D= (15 + 95.97.99.101) : 8 = 11 517 600</i>

<i>Trong bài này ta nhân D với 8 (4 lần khoảng cách) vì mỗi hạng tử của D cũng có</i>
<i>3 thừa số. </i>

<b>Bài 2:</b>

<b>a. Biết rằng 1</b>2 _{+ 2}2 _{+ 3}2 _{+…+ 10}2_{= 385, đố em tính nhanh được tổng}

S = 22 _{+ 4}2 _{+ 6}2 _{+ … + 20}2

<i><b>Lời giải</b></i>

Ta có: S = 22 _{+ 4}2 _{+ 6}2 _{+ … + 20}2_{= (2.1)}2_{+ (2.2)}2_{+ … + (2.10)}2

= 12_.22_{+ 2}2_.22 _{+ 2}2_.32_{+ …+ 2}2_.102

= 22_.(12_{+ 2}2 _{+ 3}2 _{+ … + 10}2₎

= 4. (12_{+ 2}2 _{+ 3}2 _{+ … + 10}2_{) = 4.385 = 1540.}

<b>b. Cho A = 1 + 2 + 2</b>2_{+ 2}3_{+ … + 2}9_{; B = 5.2}8_{. Hãy so sánh A và B}

<i><b>Cách 1</b></i>: Ta thấy: B = 5.28_{= (2}3_{+ 2}2_{+ 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).2}6

= 29_{+ 2}8_{+ 2}7_{+ 2}6_{+ 2}6₊₂6₊₂6₊₂6₊₂6_{+ 2}6

= 29_{+ 2}8_{+ 2}7_{+ 2}6_{+ 2}6₊₂6₊₂6₊₂6₊₂6_{+ 2}5_{+ 2}5

(Vì 26_{= 2.2}5_{). Vậy rõ ràng ta thấy B > A}

<i><b>Cách 2:</b></i> Áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn,
thật vậy: A = 1 + 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}9₍₁₎

2A = 2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}9_{+ 2}10₍₂₎

Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có:

2A - A = (2 + 22_{+ 2}3_{+ … + 2}9_{+ 2}10_{) - (1 + 2 + 2}2_{+ 2}3_{+ … + 2}9₎

= 210_{- 1 hay A = 2}10_{- 1}

Còn: B = 5.28_{= (2}2_{+ 1).2}8_{= 2}10_{+ 2}8

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

* Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A
với B mà khơng gặp mấy khó khăn.

<b>c. Cho các tổng sau:</b>

<b>1) A = 1 + 32_{+ 3}4_{+ 3}6_{+ 3}8_{+ ... + 3}100_{. Chứng minh rằng A}</b>_<b>₈</b>
Hướng dẫn: 32_{A = 3}2_{+ 3}4_{+ 3}6_{+ 3}8_{+ ... + 3}100_{+ 3}102

A = 1 + 32_{+ 3}4_{+ 3}6_{+ 3}8_{+ ... + 3}100

Ta có: 32_{A – A = 3}102_{– 1 . Hay A( 3}2_{– 1) = 3}102_{– 1 . Vậy A = ( 3}102_{– 1)}_₈

<b>2) B = 7 + 73_{+ 7}5_{+ 7}7_{+ 7}9_{+ ... + 7}99 _{. Chứng minh rằng B}</b>_<b>₄₈</b>
Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72_{rồi trừ cho B , ta được :}

72_{B = 7}3_{+ 7}5_{+ 7}7_{+ 7}9_{+ ... + 7}99_{+ 7}101

B = 7 + 73_{+ 7}5_{+ 7}7_{+ 7}9_{+ ... + 7}99

72_{B – B = 7}101_{– 7 , hay B( 7}2_{– 1) = 7}101_{– 7 . Vậy B = ( 7}101_{– 7) : 48}

Tương tự như trên ta cũng suy ra 7101_{– 7 chia hết cho 48 ; 7}100_{- 1 chia hết cho 48}

</div>

<!--links-->