Đáp án Môn Toán Lớp 7 - Tuần 26 - 27

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài 1. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM</b>

<b>GIÁC</b>

<b>I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>1- Đường trung tuyến của tam giác </b>

<b>• </b>Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M
của cạnh BC gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.

<b>•</b> Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

<b>2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác</b>

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác đó, điểm đó cách mỗi đỉnh

một khoảng bằng

2

3

_{độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.}

+ Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì

2

3

<i>AG</i>

<i>BG</i>

<i>CG</i>

<i>AD</i>



<i>BE</i>



<i>CF</i>



<b>Bài 1.</b>

Cho tam giác ABC có AB=AC=5 cm và BC=6 cm. D là trung điểm

của BC.

a) Tam giác ABD là tam giác gì? Tính AD.

b) Trung tuyến BE cắt AD tại G. Tính AG.

<b>Giải.</b>

a)

Dễ dàng chứng minh



_{ABD =}



_{ACD (c.c.c). Suy ra}



<i>ADB ADC</i>





_.
Mà



<i>ADB ADC</i>







180

<i>o</i>





<i>ADB ADC</i>







90

<i>o</i>_,

hay ABD là tam giác vng tại D.

+ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào trong tam giác ADB vuông tại D.
Với AB=5 cm, BD=3 cm

Có AD2_{+ BD}2_{= AB}2_{=> AD}2_{= AB}2_{- BD}2_{=> AD}2₌₅2_{– 3}2 _{=> AD = 4 cm.}

b)Trong tam giác ABC có các đường trung tuyến AD và BE cắt nhau

tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Áp dụng tính chất của trọng tâm ta có

2

2

8

.4

3

3

3

<i>AG</i>



<i>AD</i>





cm.

<b>Bài 2.</b>

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=8 cm, BC= 10 cm. Trung

tuyến AD cắt trung tuyến BE ở G.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

d) Kéo dài CG cắt AB tại K. Tính CK.

<b>Giải.</b>

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABC vng tại A.

Có AB2_{+ AC}2_=BC2_{=> AC}2_=BC2_{- AB}2_{=> AC}2₌₁₀2_{– 8}2₌₃₆_{=> AC = 6 cm.}

+ Do E là trung điểm của AC nên

6

3

2

2

<i>AC</i>

<i>AE EC</i>





 

cm.

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABE vng tại A, AB=8 cm, AE=3
cm.

Có AB2_{+ AE}2_=BE2_{=> BE}2₌₈2_{+ 3}2₌₇₃_{=>BE =}

73

_cm.

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

2

2 73

3

3

<i>BG</i>



<i>BE</i>



cm.
c) Trên tia đối của tia DA lấy điểm L sao cho D là trung điểm của AL.
Xét



_{ADB và}



_{LDC có}

AD=LD (D là trung điểm của AL)





<i>ADB CDL</i>



_{(đối đỉnh)}

DB=DC (D là trung điểm của BC)

Suy ra



_{ADB =}



_{LDC (c.g.c) =>}



<i>ABD LCD</i>





_{(góc tương ứng) và AB=CL(cạnh}
tương ứng).

Mà



<i>ABD LCD</i>

,



là hai góc so le trong nên CL // AB



<i>CL</i>



<i>AC</i>

(từ song song đến
vng góc).

Xét hai tam giác vng



_{ABC và}



_{CLA có : AB=CL (cmt); AC chung.}
Suy ra



_{ABC =}



_{CLA (cgv-cgv) => AL=BC (cạnh tương ứng)}

Mà

2

2

5

<i>AL</i>

<i>BC</i>

<i>AD</i>







cm.

<i><b>Chú ý: </b>Trung tuyến ứng với cạnh huyền (của tam giác vng) thì có độ dài bằng </i>
<i>nửa độ dài cạnh huyền.</i>

d) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên K là trung điểm của AB =>

8

4

2

2

<i>AB</i>

<i>AK</i>



<i>KB</i>



 

cm.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng AKC vng tại A, có AK=4 cm, AC=6
cm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Bài 3.</b> Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G. Trên tia
đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng MG. Trên tia
đối của tia EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN. Chứng minh:

a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB và AN // MB.
<b>Giải.</b>

a) Do G là trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm thì

2

1

2

3

3

<i>AG</i>



<i>AD</i>



<i>DG</i>



<i>AD</i>



<i>AG</i>



<i>GD</i>

.

Do D là trung điểm của GM nên GM=2GD. Suy ra AG=GM (=2GD).
Tương tự ta chứng minh được GN=GB.

b) Xét



_{AGN và}



_{MGB có: AG=GM (cmt);}



<i>AGN</i>



<i>MGB</i>



_{(đối đỉnh); GN=GB}
(cmt)

Suy ra



_{AGN =}



_{MGB (c.g.c) =>}

<i>GAN GMB</i>







_{(góc tương ứng) và AN=MB (cạnh}
tương ứng). Mà

<i>GAN GMB</i>



,



là hai góc so le trong nên AN // BM.

<b>Bài 4. </b>Cho



_{ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G}

thuộc cạnh AC sao cho AG =

1

3

_{AC. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng}
song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này
cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD. Chứng minh:

a) G là trọng tâm



_BCD; _b)



_{BED =}



_{FDE, từ đó suy ra EC}
= DF;

c)



_{DMF =}



_CME; _{d) B, G, M thẳng hàng.}
<b>Giải.</b>

a) Vì AD = AB nên A là trung điểm BD=> CA là đường trung tuyến của



_BCD

Mà AG =

1

3

_{AC => G là trọng tâm}



_BCD

b) Ta có : BD || EF => <i>BDE DEF</i> 

và DE || BC => <i>BED EDF</i> _{và ED là cạnh chung.}

=>



_{BED =}



_{FDE (g.c. g) => BE = DF (hai cạnh tương ứng) (1).}
Mặt khác do G là trọng tâm



_{BCD nên E là trung điểm BC}

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

d) Do



_{DMF =}



_{CME => MD = MC => M là trung điểm DC => BM là trung}
tuyến của



_BCD.

=> G



_{BM => B, G, M thẳng hàng.}

<b>Bài 5.</b> Cho



_{ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm.}
a) Tính BC.

b) Đường thẳng đi qua trung điểm I của BC và vng góc với BC cắt AC tại D.

Chứng minh

<i>CBD DCB</i>







_.

c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Chứng minh



_{BCE vuông.}
<b>Giải. </b>

a) BC = 10 cm.

b)



_{BDI =}



_{CDI (hai cạnh góc vng)=>}

<i>CBD DCB</i>







c) Ta có



_{BCD cân tại D =>}

<i>CBD DCB</i>







_.



_{CDE cân tại D =>}

<i>CED DCE</i>







_.
Trong tam giác BCE có







₁₈₀

<i>o</i>







₁₈₀

<i>o</i>





₁₈₀

<i>o</i>



₉₀

<i>o</i>

<i>ECB CBE CEB</i>









<i>ECB BCB DCE</i>









<i>ECB ECB</i>







<i>ECB</i>



.

Vậy tam giác BCE vuông tại C.

<b></b>

<b>---Bài 2. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC</b>

<b>I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT</b>

<b>1. Định lí thuận</b>

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai
cạnh của góc đó.

<b>2. Định lí đảo</b>

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân
giác của góc đó.

<b>II. BÀI TẬP</b>

<b>Bài 1.</b> Tam giác ABC đều cạnh 10 cm có phân giác AD.
a) Tính độ dài BD và AD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

c) Kéo dài BI cắt AC ở F. Tính AF, EC.
<b>Giải.</b>

a) Ta dễ chứng minh



_{BAD =}



_{CAD (c.g.c).}
Suy ra BD=DC=> D là trung điểm của BC.

BD =

1

2

_{BC = 5 cm.}

+ Vì



_{BAD =}



_{CAD nên}

<i>BAD CAD</i>







_{(góc tương ứng bằng nhau).}

Và



<i>BAD CAD</i>







180

<i>o</i>





<i>BAD CAD</i>







90

<i>o</i>_{suy ra}



_{BAD vuông tại D.}

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào



_{BAD vng tại D, ta tính được AD=}

75

_cm.

b) Ta có AD và CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC, khi đó I là
trọng tâm của



_ABC.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ta có DI =

1

3

_{AD =}

75

3

_cm.

c) Ta có F là trung điểm của AC. Do tam giác ABC đều nên AF=FC=5 cm và
EC=AD=

75

cm.

<b>Bài 2.</b> Cho



_{ABC vng tại A có AB = 3cm, AC = 6cm. Gọi E là trung điểm AC,}
tia phân giác của



<i>A</i>

cắt BC tại D.

a) Tính BC. b) Chứng minh:



_{BAD =}



_EAD.

c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh điểm D cách đều
AB và AC.

<b>Giải</b>

a) Áp dụng Định lí Pytago trong tam giác vng ABC

tính được BC=

45

cm.
Vì E là trung điểm AC nên

AE =

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

=>



_{BAD =}



_{EAD (c.g.c).}

c) Do DH



_{AB nên DH là khoảng cách từ D đến AB.}
Tương tự DK là khoảng cách từ D đến AC.

Suy ra DH = DK. (Tính chất đường phân giác).

<b>Bài 3.</b> Cho tam giác ABC vng tại A. Từ một điểm K bất kì trên cạnh BC, vẽ KH



_{AC (H}



_{AC). Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh:}

a) Chứng minh AB //HK; b) Chứng minh <i>KAH</i> <i>IAH</i> _; _{c) Chứng minh}



AKI cân.

<b>Giải.</b>

a) Ta có: AB



_{AC, KH}



_AC
=> AB // KH.

b)



_{AHK =}



_{AHI (cgv-cgv) (Cạnh AH chung, HI=HK (gt)).}

=> <i>KAH</i> <i>IAH</i> _{(góc tương ứng bằng nhau).}

c)



_{AKI có AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân}
giác nên



_{AKI cân tại A.}

<b>Bài 4.</b> Cho tam giác ABC cân tại A có AD là đường phân giác.
a) Chứng minhABDACD

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng
hàng.

c) Tính DG biết AB = 13cm ; BC = 10cm
<b>Giải</b>

G

D

C

B

A

a) Chứng minhABDACD

Xét ABD và ACD _{có :}
AD cạnh chung





BAD CAD



AB = AC vì ABC_{cân tại A}
Vậy ABDACD_(c.g.c).

b)Chứng minh ba điểm A; D; G thẳng
hàng. ABDACD DB DC _.



_{AD là đường trung tuyến}
Mà G là trọng tâm  G AD
Vậy A; D; G thẳng hàng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>





BC

ABD

ACD

ADB ADC;DB DC

5cm

2















mà

ADB ADC 180









0



ADB ADC 90









0



AD



BC

ABD



_{vng tại D có}

AD

2



AB

2



BD

2



13

2



5

2



144



AD 12



Vậy

AD 12

DG

4cm

3

3

</div>

<!--links-->