Tuyển 30 đề thi HSG lớp 7

Đề số 1:
đề thi học sinh giỏi huyện
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:
a)
1
.16 2
8
n n
=
; b) 27 < 3
n
< 243
Bài 2. Thực hiện phép tính:

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
Bài 3. a) Tìm x biết:
2x3x2
+=+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x
+
Khi x thay đổi
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đờng thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối

tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,
qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC
Đề số 2:
đề thi học sinh giỏi
1
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bi 1:(4 im)
a) Thc hin phộp tớnh:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3

=
+
+
b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ :
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
+
chia ht cho 10
Bi 2:(4 im)

Tỡm x bit:
a.
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x
+ = +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
=
Bi 3: (4 im)
a) S A c chia thnh 3 s t l theo
2 3 1
: :
5 4 6
. Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s
ú bng 24309. Tỡm s A.
b) Cho
a c
c b
=
. Chng minh rng:
2 2
2 2

a c a
b c b
+
=
+
Bi 4: (4 im)
Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E sao cho
ME = MA. Chng minh rng:
a) AC = EB v AC // BE
b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB sao cho AI = EK . Chng minh ba
im I , M , K thng hng
c) T E k
EH BC

( )
H BC
. Bit
ã
HBE
= 50
o
;
ã
MEB
=25
o
.
Tớnh
ã
HEM

v
ã
BME
Bi 5: (4 im)
Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú
à
0
A 20=
, v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC).
Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh:
a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC
b) AM = BC
Ht
Đáp án đề 1toán 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
2
a)
1
.16 2
8
n n
=
; => 2
4n-3
= 2
n
=> 4n 3 = n => n = 1
b) 27 < 3
n
< 243 => 3

3
< 3
n
< 3
5
=> n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

1 1 1 1 1 3 5 7 ... 49
( ... )
4.9 9.14 14.19 44.49 89

+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 ... 49)
( ... ).
5 4 9 9 14 14 19 44 49 12
+ + + + +
+ + + +
=
1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9
( ).
5 4 49 89 5.4.7.7.89 28
+
= =
Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết:
2x3x2
+=+

Ta có: x + 2

0 => x

- 2.
+ Nếu x

-
2
3
thì
2x3x2
+=+
=> 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2

x < -
2
3
Thì
2x3x2
+=+
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x
+

Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006

x

2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013
Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006

x

2007
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên
một đờng thẳng, ta có:
x y =
3
1
(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
3
và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó:
33
1
11:
3

1
11
yx
1
y
12
x
1
12
y
x
==

===>=
=> x =
11
4
x)vũng(
33
12
==>
(giờ)
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một
đờng thẳng là
11
4
giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,
qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC

(4 điểm mỗi)
Đờng thẳng AB cắt EI tại F


ABM =

DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),

ã
AMB
= DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID

AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) =>

CAI =

FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
và E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ),
BAH = ACB ( cùng phụ ABC)
=> EAF = ACB (5)
Từ (3), (4) và (5) =>

AFE =

CAB
=>AE = BC
Đề số 2:
đề thi học sinh giỏi huyện
Môn Toán Lớp 7
4
D
B
A
H
C
I
F
E
M
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
A
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −

= −
+
+
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a.
( )
1 4 2
3,2
3 5 5
x
− + = − +
b.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
− − − =
Bài 3: (4 điểm)
c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo
2 3 1
: :

5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phương của ba số
đó bằng 24309. Tìm số A.
d) Cho
a c
c b
=
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba
điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ
EH BC⊥

( )
H BC∈
. Biết
·
HBE
= 50

o
;
·
MEB
=25
o
.
Tính
·
HEM
và
·
BME
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có
µ
0
A 20=
, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC).
Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
c) Tia AD là phân giác của góc BAC
d) AM = BC
……………………………… Hết ………………………………
5
§¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7
Bài 1:(4 điểm):
a) (2 điểm)
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
10
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4
6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
− − − −

= − = −
+ +
+
+
− −
= −
+
+
−
= −
−
= − =
b) (2 điểm)

2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
=
2 2
3 3 2 2
n n n n+ +
+ − −
=
2 2
3 (3 1) 2 (2 1)
n n
+ − +
=
1

3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n−
× − × = × − ×
= 10( 3
n
-2
n
)
Vậy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
M 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)
( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2

3,2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2
3
x
x
x
x
x x
x
x
− =
− =−
= + =
−
=− + =
−
− + = − + ⇔ − + = +
⇔ − + =


⇔ − = ⇔









⇔
6
b) (2 điểm)

( ) ( )
( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )
( )
1 10
1
10

7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x x
x x
x x
+
 
 ÷
 
+
− =
− − =
− = ⇒ =
− = ⇒ =
 
⇔ − − − =
 


⇔





⇔



Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
: :
5 4 6
(1)
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2)
Từ (1)
⇒
2 3 1
5 4 6
a b c
= =
= k
⇒
2 3

; ;
5 4 6
k
a k b k c= = =
Do đó (2)
⇔
2
4 9 1
( ) 24309
25 16 36
k + + =
⇒
k = 180 và k =
180
−
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =
180
−
, ta được: a =
72
−
; b =
135
−
; c =
30
−
Khi đó ta có só A =

72
−
+(
135
−
) + (
30
−
) =
237
−
.
b) (1,5 điểm)
Từ
a c
c b
=
suy ra
2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
7
Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xét
AMC∆
và
EMB∆
có :
AM = EM (gt )
·
AMC
=
·
EMB
(đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên :
AMC∆
=
EMB∆
(c.g.c )
⇒

AC = EB
Vì
AMC∆
=
EMB∆

·
MAC⇒
=
·
MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE .
b/ (1 điểm )
Xét
AMI∆
và
EMK∆
có :
AM = EM (gt )
·
MAI
=
·
MEK
( vì
AMC EMB∆ = ∆
)
AI = EK (gt )
Nên

AMI EMK∆ = ∆
( c.g.c )
Suy ra
·
AMI
=
·
EMK

Mà
·
AMI
+
·
IME
= 180
o
( tính chất hai góc kề bù )
⇒

·
EMK
+
·
IME
= 180
o

⇒
Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE (
µ
H
= 90
o
) có
·
HBE
= 50
o
·
HBE⇒
= 90
o
-
·
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o

·
HEM⇒
=
·
HEB

-
·
MEB
= 40
o
- 25
o
= 15
o

·
BME
là góc ngoài tại đỉnh M của
HEM∆
Nên
·
BME
=
·
HEM
+
·
MHE
= 15
o
+ 90
o
= 105
o
( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh
∆
ADB =
∆
ADC (c.c.c)
suy ra
·
·
DAB DAC=
Do đó
·
0 0
20 : 2 10DAB = =
8
K
H
E
M
B
A
C
I
20
0
M
A
B
C
D

b)
∆
ABC cân tại A, mà
µ
0
20A =
(gt) nên
·
0 0 0
(180 20 ) : 2 80ABC = − =
∆
ABC đều nên
·
0
60DBC =
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·
0 0 0
80 60 20ABD = − =
.
Tia BM là phân giác của góc ABD
nên
·
0
10ABM =
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ;
·
·
·

·
0 0
20 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = =
Vậy:
∆
ABM =
∆
BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
9
Đề số 3:
đề thi học sinh giỏi
Môn Toán Lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
9
10

và nhỏ hơn
9
11

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2

+ 2mx + m
2
và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1)x + m
2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
= =
x y
a / ; xy=84
3 7
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A =
1
+
x
+5
B =
3
15
2

2
+
+
x
x

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD
vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC

BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM.
Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA
c. Chứng minh: MA

BC
10
Đáp án đề 3 toán 7
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4
0


a 4
=>
a
= 0; 1; 2; 3 ; 4
*

a
= 0 => a = 0
*
a
= 1 => a = 1 hoặc a = - 1
*
a
= 2 => a = 2 hoặc a = - 2
*
a
= 3 => a = 3 hoặc a = - 3
*
a
= 4 => a = 4 hoặc a = - 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
9
10

và nhỏ hơn
9
11

Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
9 7 9
10 11x

< <
=>
63 63 63

70 9 77x
< <

=> -77 < 9x < -70. Vì 9x
M
9 => 9x = -72
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là
7
8

Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2
+ 2mx + m
2
và
Q
( )
x
= x
2
+ (2m+1)x + m
2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 1
2

+ 2m.1 + m
2
= m
2
+ 2m + 1
Q(-1) = 1 2m 1 +m
2
= m
2
2m
Để P(1) = Q(-1) thì m
2
+ 2m + 1 = m
2
2m

4m = -1

m = -1/4
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
x y
a / ; xy=84
3 7
=>
2 2
84
4
9 49 3.7 21
x y xy

= = = =
=> x
2
= 4.49 = 196 => x =

14
=> y
2
= 4.4 = 16 => x =

4
Do x,y cùng dấu nên:
11
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14
= =
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+ +
= = = = = =

1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
2 2
5 12
y y
x x

=

=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đợc:
1 3 2
12 2
y y
y
+
= =

=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y =
1
15

Vậy x = 2, y =
1
15

thoả mãn đề bài
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A =
1
+
x
+5
Ta có :
1

+
x


0. Dấu = xảy ra

x= -1.


A

5.
Dấu = xảy ra

x= -1.
Vậy: Min A = 5

x= -1.
B =
3
15
2
2
+
+
x
x
=
( )
3

123
2
2
+
++
x
x
= 1 +
3
12
2
+
x
Ta có: x
2


0. Dấu = xảy ra

x = 0


x
2
+ 3

3 ( 2 vế dơng )

3
12

2
+
x



3
12



3
12
2
+
x


4

1+
3
12
2
+
x


1+ 4

B

5
Dấu = xảy ra

x = 0
12
VËy : Max B = 5
⇔
x = 0.
C©u 6:
a/
XÐt ADC vµ BAF ta cã:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cïng b»ng 90
0
+ BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
XÐt AIE vµ TIC
I
1
= I
2
( ®®)
E
1
= C
1

( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 90
0
=> DC
⊥
BE
b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c)
=> D
1
= MEN, AD = ME
mµ AD = AB ( gt)
=> AB = ME (®pcm) (1)
V× D
1
= MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180
0
( trong cïng phÝa )
mµ BAC + DAE = 180
0
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm)
c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP
⊥
MH
XÐt AHC vµ EPA cã:
CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b)
=> AHC = EPA

=> EPA = AHC
13
=> AHC = 90
0
=> MA

BC (đpcm)
Đề số 4:
đề thi học sinh giỏi
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :
a-
)
1
3
1
(:1
3
1
.3
3
1
.6
2

+














b-
( )
32
2003
23
12
5
.
5
2
1.

4
3
.
3
2

Câu 2 ( 2 điểm)
a- Tìm số nguyên a để
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên
b- Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0
Câu 3 ( 2 điểm)
a- Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì
d
c
b
a
=
với b,d
khác 0
b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để đ ợc một số có ba chữ số
giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45
0
, góc C bằng 120
0
. Trên tia đối của tia CB lấy

điểm D sao cho CD=2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x
2
-2y
2
=1
14
Đáp án đề 4
Câu Hớng dẫn chấm Điểm
1.a Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm
1.b Thực hiện theo từng bớc đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm
2.a
Ta có :
1
3
2
+
++
a
aa
=
1
3
1
3)1(
+
+=
+
++

a
a
a
aa
vì a là số nguyên nên
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên khi
1
3
+
a
là số
nguyên hay a+1 là ớc của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1 -3 -1 1 3
a -4 -2 0 2
Vậy với a
{ }
2,0,2,4

thì
1
3
2
+

++
a
aa
là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên
do đó ta có các trờng hợp sau :



=
=




=
=
0
0
112
121
y
x
x

y
Hoặc



=
=




=
=
1
1
112
121
y
x
x
y
Vậy có 2 cặp số x, y nh trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra
d
c

b
a
=
( ĐPCM)
0,5
0,5
3.b Giả sử số có 3 chữ số là
aaa
=111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
aa
nn
.37.3111
2
)1(
==
+
Hay n(n+1) =2.3.37.a
Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74
0,25
15
( Nếu n = 74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó
703
2
)1(
=
+
nn

không thoả mãn
Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó
666
2
)1(
=
+
nn
thoả mãn
Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25
0,5
4
B C
D
H
A
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60
0
do đó CDH = 30
0
Nên CH =
2
CD


CH = BC
Tam giác BCH cân tại C

CBH = 30

0


ABH = 15
0
Mà BAH = 15
0
nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 45
0
+30
0
=75
0
0,5
0,5
1,0
1,0
5 Từ : x
2
-2y
2
=1suy ra x
2
-1=2y
2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2
nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x
2

-1 chia hết cho 3 do đó 2y
2
chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x
2
=19
không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài
là (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
16
§Ò sè 5:
®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ):
1, Tính: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
+ − + −
−
+ − + −
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A =
3 2 2
2

3 0,25 4x x xy
x y
− + −
+
Tính giá trị của A biết
1
;
2
x y=
là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tìm x biết:
3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng
cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa
thời gian chạy qua đầm lầy.
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con
thỏ trên hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là
giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
17