CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (269.67 KB, 31 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường

Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc
Đối tượng: Học sinh lớp 9

Số tiết: 15 tiết

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

Tốn học là một mơn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thơng. Nó giúp
học sinh phát triển tư duy logic, phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất
đạo đức, hơn nữa mơn tốn là một mơn học cơng cụ nên việc học tốt mơn tốn sẽ giúp
học sinh học tốt các mơn học khác. Tuy nhiên mơn tốn cũng là mơn học mang tính
trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn khi học tốn, song khơng vì vậy mà
tốn học thiếu đi sự hấp dẫn đối với người học.

Một trong những bộ phận rất quan trọng và hấp dẫn với học sinh giỏi là phân
môn Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Nhưng đây cũng là phần rất
khó của bộ mơn Tốn.

Bất đẳng thức là một vấn đề cổ điển của toán học sơ cấp nhưng ngày càng
được quan tâm và phát triển, đây cũng là một phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất,
vì thế ln cuốn hút rất nhiều sự quan tâm của học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi, học
sinh có năng khiếu học tốn. Điểm đặc biệt, ấn tượng nhất của bất đẳng thức trong
tốn sơ cấp đó là có rất nhiều bài tốn hay và khó, thậm chí là rất khó. Tuy nhiên cái
khó ở đây khơng nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linh

cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào của người học, vì thế người học ln có thể giải
được bằng những kiến thức rất cơ bản và việc hoàn thành được những chứng minh như
vậy là một niềm vui thực sự.

Trong cơng tác bời dưỡng học sinh giỏi mơn tốn thì bài tốn bất đẳng thức, giá
trị nhỏ nhất, lớn nhất là một bài tốn có khả năng rèn luyện cho học sinh óc phán đốn
và tư duy logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn khi giải quyết dạng toán này.

Đối với học sinh trung học cơ sở, việc chứng minh một bất đẳng thức thường có
rất ít công cụ, học sinh chủ yếu sử dụng định nghĩa hoặc bất đẳng thức Cauchy để
chứng minh. Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bài
toán khác trong đa số các trường hợp yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi một
cách hợp lý, thậm chí là phải rất tinh tế.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Bất đẳng thức Cauchy

a. Cho hai số thực khơng âm a,b. Khi đó ta có: a+2b≥

√

ab . Dấu “=” xảy ra khi
a=b

b. (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1, a2,. . ., an .Khi đó ta có: 
a1+a2+. ..+an

n ≥

n

√

a1.a2.. . .an Dấu “=” xảy ra khi a1=a2=. ..=an .

Bất đẳng thức này còn được gọi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng
và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean)

Chứng minh:

-Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1=a2.

- Giả sử bất đẳng thức đúng đến n=k, tức là ∀a1, a2,. .., ak≥0 ta có: 
a1+a2+. ..+ak

k ≥

k

√

a1.a2.. . .ak , dấu bằng xảy ra khi a1=a2=. ..=ak .

-Xét khi n=k+1.Với ∀a1, a2,. .., ak+1≥0 ta có:

Sk+1=a1+a2+. ..+ak+ak+1

k+1 =

k.a1+a2+. ..+ak
k +ak+1
k+1

(1)

Theo giả thiết quy nạp, suy ra Sk+1≥k.
k

√

a1 .a2.. .ak+ak+1

k+1 (2)
Dấu “=” trong (2) xảy ra (theo giả thiết quy nạp) khi a1=a2=. ..=ak

Đặt a1.a2. ..ak=αk(k+1) và ak+1=β
k+1

khi đó (2) dạng Sk+1≥k.α
k+1

+βk+1

k+1 (3)
Từ (3) ta có Sk+1−k+

√

1a1.a2.. .ak+1≥k.α

k+1

+βk+1
k+1 −α

kβ (4)
Dễ dàng thấy rằng: VP(4)=k.α

k+1

+βk+1− kαkβ −αkβ

k+1 =

k+1.

[

k.α

k.(α − β)− β

(

αk− βk

)

]

¿(α − β)

2
k+1 .

[

α

k −1

+αk −2(α+β)+αk −3(α2+αβ+β2)+.. .+

(

αk −1+αk −2β+.. .+βk −1

)

]

Do α , β ≥0 nên suy ra VP(4)≥0⇒Sk+1≥

k+1

√

a1.a2. ..ak+1 Do đó bất đẳng thức
Cauchy cũng đúng với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra bất đẳng thức Cauchy
đúng ∀n∈N .

Dấu bằng xảy ra khi

{

a1=a2=. ..ak

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 1.

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

xyz



1

. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 3 3

x

y

z

x

xy

yz

zx





Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

3 3

3 3 1 3

1 x y 3xy x y

xy xy

 

    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y
Chứng minh tương tự, ta được:

3 3

1 y z 3

yz yz

 



(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1  

y z

)

3 3

1 z x 3

zx zx

 



(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1  

z x

)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:

 

3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1

3 1

x y y z z x

xy yz zx xy yz zx

 

     

      

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x y z

  

1

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

 

1 1 1 3

3 2

xy  yz  zx  xyz 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x y z

  

1

.
Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x y z

  

1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Nhận xét 1 .Số chiều của BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng của bậc cao nhất.
Ví dụ 2. Với các số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:

3 3 3 2 2 2

a b c ab bc ca
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao nhất là 3, nên ta sẽ sử dụng bất
đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm. Chẳng hạn, số hạng

ab

2 sẽ ứng với bộ ba số

3, ,3 3

a b b . Cứ như vậy, ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

3 3 3 2

3 3 3 3

3 3 3 2

3
3

a b b ab

b c c bc

c a a ca

  

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:



3 3 3





2 2 2



3 3 3 2 2 2

3 a b c 3 ab bc ca

a b c ab bc ca

    

     

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a b

b c a b c

c a





   


 


Ví dụ 3. Với các số thực khơng âm a, b, c, chứng minh rằng:





2 2 2 2 2 2

a b b c c a abc a b c 
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2 2 2 2

2
2

a b b c ab c
b c c a abc
c a a b a bc

 

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:













2 2 2 2 2 2

2 a b b a c a 2abc a b c

a b b c c a abc a b c

    

     

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

ab bc

bc ca a b c
ca ab





   



 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Nhận xét 2. Bậc của số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng
bậc của số hạng cần mơ tả.

Ví dụ 4. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

3 3 3

a b c

ab bc ca
b  c  a   

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải khơng
chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng
thức. Bậc của số hạng cần mô tả là hai, nên bậc của số hạng thêm vào cũng là hai.

Chẳng hạn, số hạng

a

b có chứa mẫu là b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử
b. Bậc của số hạng là 2, nên ta cộng thêm vào ab.

2
2

a

ab a

b  

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3

a

ab a
b  

2
2

b

bc b
c

c

ca c
a

 

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:





3 3 3

2 2 2

a b c

ab bc ca a b c

b  c  a       (1)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

2 2

a

ab

b a b a b

b bc b c b c a b c

c

c a

c a

c ca

a






 



 

  

  










 

       






Lại có, a2 b2 c2 ab bc ca  (2)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Từ (1) và (2) suy ra:





3 3 3

a b c

ab bc ca ab bc ca

b c a

a b c

ab bc ca

b c a

       

     

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b c

 

.
Ví dụ 5. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

3 3 3

a b c

bc ca ab   

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Ta thấy các số hạng vế bên trái có chứa mẫu, các số hạng bên phải khơng
chứa mẫu, do đó ta cần khử mẫu bằng cách thêm các số hạng vào bên trái của bất đẳng
thức. Bậc của số hạng cần mô tả là một, nên bậc của các số hạng thêm vào cũng là
một.

Chẳng hạn, số hạng
3

a

bc có chứa mẫu là b, c và bậc của số hạng thêm vào là 1 nên

các số hạng thêm vào là b, c:
3

a b c a

bc  

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3

a

b c a
bc  

3
3

b

c a b
ca

c

a b c
ab

  

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:









3 3 3 3 3 3

2 3

a b c a b c

a b c a b c a b c

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a

b c
bc

b

c a a b c
ca

c

a b

ab



 





    





 




Nhận xét 3. Khi bậc không bằng nhau thì số hạng cộng thêm có thể là hằng số.
Ví dụ 6. Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca  1, chứng minh

rằng:

3 3 3 1

a b c 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c  thay vào điều kiện ta tính được

1
3

a b c  

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3 cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa
biến thích hợp để mơ tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.

Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số hạng

3 3 1

, ,
3 3

a b

3 3 3 3

1 1

3 3

3 3 3 3

a b   a b ab

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

3 3

3
3 3

a b ab

b c bc

c a ca

  

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:













3 3 3

3 3 3 3 3 3

2 3 3

2 1

3 3

a b c ab bc ca

a b c a b c

      

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1
3
1

1
3

3
1

a b
b c

a b c
c a

ab bc ca


 




  



   




 




   



Ví dụ 7. Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4



a b c 



3abc, chứng
minh rằng:

3 3 3

1 1 1 3

a b c 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được:

1 1 1 3
4

abbc ca 

Cho a b c  thay vào điều kiện ta tính được a b c  2

Chẳng hạn, với số hạng

ab trong điều kiện, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho

các số dương 3 3

1 1 1

, ,

a b , ta có:

3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 3 1

3 . . .

8 8 2

a b   a b  ab

Giải. Ta có:





1 1 1 3

4 3

a b c abc

ab bc ca

      

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

3 3

1 1 1 3 1

8 2

a  b   ab

3 3

1 1 1 3 1

8 2

1 1 1 3 1

8 2

b c bc

c a ca

  

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

3 3 3 3 3 3

1 1 1 3 3 1 1 1 9 1 1 1 3

8 2 8 8

a b c ab bc ca a b c

   

          

   

   

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 1 1 1

2 2

1 1 1 3

a b c a b c

ab bc ca


  




   



   




Nhận xét 4. Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy ra với a = b = c của bất đẳng
thức để thêm hệ số cho thích hợp.

Ví dụ 8. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

















3 3 3 1

a b c

a b c
b bc  c ca  a ab   
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho a b c  thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng minh,

chẳng hạn số hạng





a

b b c ta thu được 2

a

. Mặt khác, số hạng này lại có mẫu chứa

nhân tử b b c,  . Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng 2, 4

b bc

và sử dụng bất đẳng thức
Cauchy với n = 3:









3 3

3 . .

2 4 2 4 2

a b b c a b b c

a

b b c b b c

 

   

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:









3 2

3 2

2 4

a b b c

a b b c

a b c

b b c b c

  

 

      

  

Ta làm tương tự với các số hạng khác sẽ thu được bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:









3 3

3 . .

2 4 2 4 2

a b b c a b b c

a

b b c b b c

 

   

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>









3 2

3 2

2 4

a b b c

a b b c

a b c

b b c b c

  

 

      

  

Tương tự, ta có:









3
2 4 2
3
2 4 2

b c c a

b

c c a

c a a b

c

a a b



  



  



Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

































3 3 3

3
2
1

a b c

a b c a b c

b b c c c a a a b

a b c

b b c c c a a a b

       

  

     

  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Ví dụ 9. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

















3 3 3

2 2 2

2
9

2 2 2

a b c

a b c
b c  c a  a b   
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phân tích: Cho

a b c

 

thay vào một số hạng bên vế trái của BĐT cần chứng

minh, chẳng hạn số hạng





3
2
2

a

b c ta thu được 9
a

. Mặt khác, số hạng này lại có mẫu

chứa nhân tử b2c. Do đó, ta sẽ thêm vào các số hạng

2 2

,
27 27

b c b c

và sử dụng
bất đẳng thức Cauchy với n = 3:









3 3

2 2

2 2 2 2

3 . .

27 27 27 27 3

a b c b c a b c b c a

b c b c

   

   

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:









3
3

27 2 3 2

27
2

a b c

a b c a b c

b c



      



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>









3 3

2 2

2 2 2 2

3 . .

27 27 27 27 3

a b c b c a b c b c a

b c b c

   

   

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:









3
3

27 2 3 2

27
2

a b c

a b c a b c

b c



      



Tương tự, ta có:





3
2

2 2

27 27 3

b c a c a b

c a

 

  



(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3b c 2a)





3
2

2 2

27 27 3

c a b a b c

a b

 

  



(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 c a

 

2 b

)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:





























3 3 3

2 2 2

3 3 3

2 2 2

9 3

2 2 2

2
9

2 2 2

a b c a b c a b c

b c c a a b

a b c

a b c

b c c a a b

   

   

  

 

   

  

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 2

a b c

b c a a b c

c a b

 





    



  



Nhận xét 5. Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với một số bất đẳng thức
phụ.

Ví dụ 10.Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

5 5 5

2 2 2

a b c

bc ca ab   

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

5 5

2 3 2 2

2 3 2. . 3

a a

c ab c ab a

bc    bc 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

5
2
2

a

c ab a b c

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Tương tự, ta có:

2 2

2 3

b

a bc b

ca    (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a b c

 

)

2 2

2 3

c

b ca c

ab    (Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a b c

 

)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:









5 5 5

2 2 2 2 2 2

2 2 2

5 5 5

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b c

a b c ab bc ca a b c
bc ca ab

a b c

a b c a b c ab bc ca
bc ca ab

          

           

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Áp dụng bất đẳng thức phụ:

2 2 2

a b c ab bc ca 

(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c  )

Ta có:

5 5 5

2 2 2

a b c

a b c
bc ca ab   

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c 

Ví dụ 11.

Cho x, y, z là các số dương và xy z 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

x y z

     

Giải.

Bất đẳng thức phụ 1: với các số dương a, b, c, d, ta có:









2 2 2 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>











 





 







2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2
0

a b c d a c b d

a b c d a b c d a b c d ac bd

a b c d ac bd

a c b c a d b d a c b d abcd
ad bc

      

            

    

      

  

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:









 

2
2

2 2 2 2

2
2

1 1 1 1 1 1

1 1 1

x y z x y z

x y z

 

           

 

 

      

 

Bất đẳng thức phụ 2 : với các số dương a ,b, c, ta có:



a b c



1 1 1 9 1 1 1 9

a b c a b c a b c

 

         

 

 

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:













 

2 2

2
1 1 1 9

1 1 1 81

x y z x y z

  

 

 

          

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:









2
1

x y z

   

 

Theo giả thiết:





1 80

1 1 80

x y z

x y z x y z

      

   

Do đó:





















 

2 2

2 2 2

81 1 80

2 80 82 3

x y z x y z

x y z x y z x y z

       

     

  

Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 12.

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

1 1 1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1 1 1

1
2xy z x2y z xy2z 

Giải. Áp dụng bất đẳng phụ với các số dương x, y:





1 1 4 1 1 1 1
4

x y

x y x y x y

   

        



   

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1

2x y z 4 2x y z 4 2x 4y 4z

   

       

      

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

2x y z

x y z
y z

 

  









Tương tự, ta có:

1 1 1 1 1

2 4 4 2 4

x y z  x  y  z













(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

x y z

 

)

1 1 1 1 1

2 4 4 4 2

x y z  x  y  z













(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

x y z

 

)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:

1 1 1 1 1 1 1

1
2xy z x2y z xy2z 4 x  y z 













Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 1 1

4 4

x y z

x y z
x y z

 

   

  











Nhận xét 6. Đặt ẩn phụ trước khi biến đổi giúp ta đưa một số bất đẳng thức về các
bất đẳng thức đơn giản.

Ví dụ 13.Với các số dương a, b, c thỏa mãn

abc



1

, chứng minh rằng:













2 2 2

1 1 1 3

a b c b c a c a b 
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải. Đặt

1 1 1

, ,

x y z

a b c

  

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ta có:





2 2

1 1

x x yz x

a b c y z y z

y z

  

  



Biến đổi tương tự, ta được: 2









1 1

y z

b c a zx c a b xy
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:





3
2

1 1 1

1 1 1 9

x y z

y z z x x y

x y z

y z z x x y

x y z

y z z x x y

  

  

      

  

     

  

     

 

   

 

   

 

 

 

Áp dụng bất đẳng thức trong Ví dụ 1, ta có:









1 1 1

1 1 1 9

2 2

x y z

x y y z z x
x y y z z x

x y y z z x

 

     

  

 

      

    

  

 

Do đó, ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xy y z z x x  y z a b c 

Ví dụ 14.Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
2

3 2

2 2 1

c b

a b c ac ab

b ac

    

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải. Chia cả hai vế cho

bc



0

, ta được:

3 3

1 1

c a a

a b

b ac b bc c

    

Đặt

1 1

, ,

a x b c

y z

  

bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

3 3 3

x y z

xy yz zx
y  z  x   

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 1

x y z a

b c

    

Nhận xét 7. Sử dụng hằng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy.
Ví dụ 15.Với a, b, c dương, chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

 

  

     

Giải. Đặt

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c

P

a ab b b bc c c ca a

  

     

3 3 3

2 2 2 2 2 2

b c a

Q

a ab b b bc c c ca a

  

     

Ta có:

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

0
2

a b b c c a

P Q

a ab b b bc c c ca a
a b b c c a

a b b c c a

P P Q

a ab b b bc c c ca a

  

   

     

      

  

     

     

Mặt khác, ta có:





2 2 2 2 2 2

2 2 3 3

2 2 2 2

3
1

3 3

a b ab a b ab a b ab

a b ab a b a b

a b ab a ab b

       

   

   

   

Chứng minh tương tự, ta được:

3 3

2 2

3 3

2 2

3
3

b c b c

b c bc

c a c a

c a ca

 



 



 

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2.

3
3

a b b c c a a b c

P

a ab b b bc c c ca a
a b c

P

    

   

     

 

 

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ 16.Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

















3 3 3

2 2 2

2 2 2 2 2 2 9

4 4 4 2

a b c b c a c a b

a b c

a b c b c a c a b

     

    

     

Giải. Đặt x2a2b c y , 2b2c a z , 2c2a b

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên x y z, , dương.
Ta có:





2 2 2 2 2 2

9
4
4

x y z a b c

y z a b c
z x b c a
x y c a b

    

   
   

   

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

3 3 3 2 2 2

x y x x y z

y z z x x y

 

  

  

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:













4
4
4

x x y z
x
y z

y y z x
y
y z

z z x y
z

x y



 



 



 



Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên , ta được:

3 3

2 2 2

3 3 3

2 2 2

y x xy yz zx

x y z
z x x y

x y x xy yz zx

x y z
y z z x x y

x

y z

 

    

 

      

  



Áp dụng bất đẳng thức x2 y2z2 xy yzzx, ta được:

3 3 3 2 2 2

x y x x y z

y z z x x y

 

  

  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ 17.Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

2 2 2

a b c

a b
b  c  a  

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2

4 4

a

b a
b

b

c b
c

c

a c
a

 

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:

2 2 2

4 2 4 4

a b c

b c a a b c

b c a

a b c

a b

b c a

       

    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2

4 2

2
4

a
b
b

a b
b

c b c

c

a c
c

a
a



  






















Ví dụ 18.Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:









3 3 2

a b c b

a
b c a c a b b c  
Đẳng thức xảy ra khi nào?

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>









2 4 2

a b c a

a
b c a

b c a b

b
c a b

c b c
c
b c



  



  




 



Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta có:

















3 3 2

3 3

2 2 2

a b c a

b c a b c
b c a c a b b c

a b c b

a
b c a c a b b c

       

  

    

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi









2 4

a b c a

b c a

b c a b

a b c
c a b

c b c
b c



 



    
















3. MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
3.1. KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU

3.1.1.Ví dụ mở đầu:

Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: a
3
a2

+ab+b2+
b3
b2

+bc+c2+
c3
c2

+ac+a2≥

a+b+c
3

(Nguyễn Đức Tấn-“Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số”- NXB giáo
dục-Tr 77).

Lời giải:

Chứng minh bất đẳng thức riêng: a
3
a2+ab+b2≥

2a −b
3

Ta có: a
3
a2

+ab+b2≥
2a −b

3 ⇔ 3a3≥(2a − b)

(

a2+ab+b2

)

⇔ 3a3≥2a3+2 ab2− a2b − b3−ab2
⇔ a3

+b3+a2b −ab2≥0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Do đó, ta có: a
3
a2+ab+b2≥

2a −b

3 (1)

Tương tự, ta có: b

3
b2+bc+c2≥

2b − c

3 , dấu “=” xảy ra khi b=c (2)
c3

c2

+ac+a2≥
2c − a

3 , dấu “=” xảy ra khi a=c (3)

Cộng (1),(2),(3) vế với vế ta được :

a3
a2

+ab+b2+
b3
b2

+bc+c2+
c3
c2

+ac+a2≥
2a − b

3 +

2b − c

3 +

2c −a

3 =

a+b+c

3 (ĐPCM)

Dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c

Nhận xét: Bất đẳng thức trên được chứng minh rất gọn và hay nhưng có vẻ
khơng “tự nhiên” khi tác giả đưa ra bất đẳng thức riêng a

3
a2+ab+b2≥

2a −b

3 . Ta thấy
rằng khi đã tìm ra bất đẳng thức riêng này thì bài toán trở nên thật đơn giản, tuy nhiên
làm thế nào để tìm ra bất đẳng thức riêng đó, đó là điều ta cần phải giải đáp cho học

sinh và giúp học sinh tìm ra bất đẳng thức riêng trong các bài tương tự.

3.1.2. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ 27: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3.
Chứng minh rằng: a

1+b2+
b
1+c2+

c
1+a2≥

3
2 .

Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số thì ta có:
a

1+b2+
b
1+c2+

c
1+a2≤

a
2b+

b
2c+

c
2a=

1
2.

(

a
b+

b
c+

c
a

)

≥

3
2 ?

Như vậy ta sẽ được một bất đẳng thức đổi chiều, và do đó ta khơng có được điều phải
chứng minh.

Tuy nhiên, thử biến đổi một chút biểu thức đã cho ta thấy:

2 2

1 1 2 2

Cauchy

a ab ab ab

a a a

b   b   b  

  , thật may mắn vì đến đây ta được một bất đẳng
thức cùng chiều. Làm tương tự cho các biểu thức cịn lại rời cộng chúng lại ta được
điều phải chứng minh

Lời giải:

Ta có:

2 2

1 1 2 2

Cauchy

a ab ab ab

a a a

b   b   b  

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Tương tự ta có

2 2

1 1 2 2

Cauchy

b bc bc bc

b b b

c   c   c  

 

2 2

1 1 2 2

Cauchy

c ca ca ac

c c c

a   a   a  

 

Cộng các bất đẳng thức trên với nhau vế với vế ta được:
a

1+b2+
b
1+c2+

c

1+a2≥(a+b+c)−

(

ab+bc+ac

)

Mặt khác ta có: ab+bc+ac≤1

3.(a+b+c)
2

=1
3. 9=3
Từ đó suy ra a

1+b2+
b
1+c2+

c

1+a2≥3−
3
2=

3
2

Nhận xét: Như vậy ta thấy rằng qua một phép biến đổi ta đã đưa biểu thức mà ta
muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu
thức mang dấu âm, từ đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà vẫn
được các bất đẳng thức cùng chiều. Đó chính là kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ 19: Chứng minh với mọi số thực dương a,b,c ta ln có:
a3

a2+b2+
b3
b2+c2+

c3
c2+a2≥

a+b+c
2

Lời giải:

Ta có: a
3
a2

+b2=a −
ab2
a2+b2

Cosi a −
ab2
2 ab=a −

b

2 .Dấu “=” xảy ra khi a=b.

Tương tự ta có: b
3

b2+c2=b −
bc2
b2

+c2
Cosi b −

bc2
2 bc=b −

c

2 .Dấu “=” xảy ra khi b=c.
c3

c2+a2=c −
ca2
c2+a2

Cosi c −
ca2
2 ac=c −

a

2 . Dấu “=” xảy ra khi a=c.
Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được :

a3
a2+b2+

b3
b2+c2+

c3

c2+a2≥(a+b+c)−

a+b+c

2 =

a+b+c
2
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.

Từ bài tốn Ví dụ 6 và Ví dụ 7 ta có các bài tốn tương tự sau:

Ví dụ 20: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:
a

1+b2+
b
1+c2+

c
1+d2+

d

1+a2≥2 .

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

a+1
b2+1+

b+1
c2+1+

c+1

a2+1≥3 .

Ví dụ 22: Cho a,b,c,d là các số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:
a+1

b2
+1+

b+1
c2

+1+
c+1
d2

+1+
d+1
a2

+1≥4

Ví dụ 23: Cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng:
1

a2
+1+

1
b2

+1+
1
c2

+1+
1
d2

+1≥2 .

Ví dụ 24:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta ln có:
a3

a2+b2+
b3
b2+c2+

c3
c2+d2+

d3
d2+a2≥

a+b+c+d
2

Ví dụ 25: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c,d ta ln có:
a4

a3

+2b3+
b4
b3

+2c3+
c4
c3

+2d3+
d4
d3

+2a3≥

a+b+c+d
3

Ví dụ 26: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c có tổng bằng 3,ta có:
a2

a+2b2+
b2
b+2c2+

c2
c+2a2≥1

Ví dụ 27: Cho a,b,c là các số dương có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
a2

a+2b3+
b2
b+2c3+

c2

c+2a3≥1 .
Hướng dẫn

Ta có: a
2

a+2b3=a −
2 ab3
a+2b3≥ a−

2 ab3
3 .

√

3ab6=a −

2
3⋅b.

√

a2 .
Từ đó ta cần chứng minh: b.

√

3a2+c.

√

3b2+a.

√

3c2≤3 (*)
Vì 3

√

a2=

√

3a.a.1≤2a+1⇒b.

√

3a2≤ b(2a+1) .

Bây giờ chúng ta cùng trở lại với Ví dụ mở đầu: 
a3

a2+ab+b2+
b3
b2+bc+c2+

c3
c2+ac+a2≥

a+b+c

3 .

Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có:
a3

a2+ab+b2=a −

ab(a+b)

a2+ab+b2≥ a −

ab(a+b)
3 ab =a −

a+b
3 =

2a − b

3 .

Như vậy, ta có bất đẳng thức riêng a3
a2+ab+b2≥

2a −b

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

3.2. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY.
3.2.1. Điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cợng sang trung bình nhân.
Ví dụ 28 : Cho a ≥3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+1

a
Phân tích:

 Sai lầm thường gặp khi giải bài toán trên là: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho

các số không âm a ,1

a ta có: a+1a≥2

√

a⋅1a=2 .Vậy min S=2

 Nguyên nhân sai lầm: Min S=2 ⇔a=1

a⇔a=1 mâu thuẫn với giả thiết
a ≥3 .

Tìm lời giải đúng:

Vì bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu “=” tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau,
nên thay cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a ,1

a ta sẽ áp dụng bất
đẳng thức Cauchy cho cặp số aα ,1

a .Khi đó để bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu “=”
thì aα=1

a .Mặt khác ta nhận thấy min S đạt được khi a=3(trong điều kiện a ≥3
).Do đó ta có sơ đờ điểm rơi ứng với a=3

⇒

{

a
α=

3
α
1
α=

1
3

⇒1
3=

α⇒α=9 .Từ đó ta có lời giải đúng sau:
Lời giải đúng:

Ta có S=a+1
a=

(

a
9+

1
a

)

8a
9 ≥2.

√

a
9⋅

1
a+

8 . 3
9 =

3 .Dấu “=” xảy ra khi a=3
Vậy MinS= 103 ⇔a=3

Ví dụ 29: Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng a+b+ 1
a+b≥

2
Phân tích:

Ta dự đoán dấu bằng trong bất đẳng thức đã cho xảy ra khi

{

aa=.bb=>10⇔a=b=1

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Với a=b=1 ta có sơ đờ điểm rơi:

{

a+b

α =
2
α
1
a+b=

1
2

⇒2
α=

2⇔α=4 .Từ đó ta có lời giải:
Lời giải:

Ta có: a+b+ 1
a+b=

a+b
4 +

1
a+b+

3 .(a+b)
4 ≥2.

√

(a+b)
4 ⋅

1
a+b+

3 .2

√

ab
4 =1+

3
2=

5
2
Dấu “=” xảy ra khi

{

aa=.bb>0

=1⇔a=b=1 .
Ví dụ 30: Cho a , b , c ≥0 thỏa mãn: a2

+b2+c2=1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= a+b+c+ 1

abc

Phân tích:

 Sai lầm thường gặp : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm a,b,c

và abc1

ta được: a+b+c+ 1
abc≥4 .

√

a.b.c. 1

abc=4 suy ra minT=4.

 Nguyên nhân sai lầm: minT=4 ⇔a=b=c= 1

abc=1⇒a
2

+b2+c2=3 mâu thuẫn
với giả thiết a2+b2+c2=1

Tìm lời giải đúng:

Vì dấu “=” xảy ra khi a=b=c= 1

√

3 nên khi đó
1

abc=3

√

Sơ đờ điểm rơi: a=b=c= 1

√

3⇒

{

a=b=c= 1

√

3
1

α.abc=
3

√

α
⇒ 1

√

3=
3

√

α ⇒α=9

Lời giải đúng:
Ta có:

a+b+c+ 1

abc=a+b+c+
1
9 abc+

9 abc≥4 .

√

a.b.c. 1
9abc+

8
9

√

3 a

+b2+c2
3

= 4

√

3=4

√

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c= 1

√

3 .
Vậy minT= 4

√

3⇔a=b=c= 1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

3.2.2. Điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cợng

Ví dụ 31: Cho a , b , c ≥0 và a+b+c=1 .Tìm giá trị lớn nhất của

S=

√

3a+b+

√

3b+c+

√

3c+a
Phân tích:

 Sai lầm thường gặp:

√

3a+b=

√

3 (a+b). 1. 1≤a+b+2
3
Tương tự:

√

3b+c ≤b+c+2

3 và
3

√

c+a ≤c+a+2
3
Từ đó suy ra: S ≤2(a+b+c)+6

3 =

3⇒maxS=
8
3

 Nguyên nhân sai lầm: max S= 38⇔

{

a+b=1
b+c=1
c+a=1

⇒a+b+c=3

2 mâu thuẫn với giả
thiết a+b+c=1 .

Tìm lời giải đúng:

Vì S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên MaxS đạt tại:

{

a=b=c

a+b+c=1⇔a=b=c=
1
3

Khi đó ta có a+b=b+c=c+a=2
3
Lời giải đúng:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3

√

a+b=

√

3 9
4.

√

(a+b).2
3.

2
3≤

√

94.

a+b+4
3
3

Tương tự ta có: 3

√

b+c=

√

3 9
4.

√

(b+c).2
3.

2
3≤

√

94.

b+c+4
3
3

√

a+c=

√

3 9
4.

√

(a+c).2
3.

2
3≤

√

94.

a+c+4
3
3
Từ đó suy ra S ≤

√

3 9

2 .(a+b+c)+4

3 =

√

18 . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

3
Vậy MaxS=

√

318⇔a=b=c=1

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Phân tích: Do vế trái của biểu thức cần chứng minh là một biểu thức đối xứng với
a,b,c nên dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

3 .Khi đó ta có: a+b=b+c=c+a=
2
3 .
Lời giải:

Từ đó ta có :

√

a+b=

√

32.

√

(a+b).
2
3≤

√

3
2.

a+b+2
3
2

Tương tự:

√

b+c=

√

32.

√

(b+c).
2

3≤

√

3
2.

b+c+2
3
2

√

c+a=

√

32.

√

(c+a).
2
3≤

√

3
2.

c+a+2
3
2
suy ra

√

a+b+

√

b+c+

√

c+a ≤

√

2 .(a+b+c)+2

2 =

√

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

3.3. KỸ THUẬT ĐỒNG BẬC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Ví dụ 33: Chứng minh rằng: a2

b+
b2

c +
c2

a ≥ a+b+c∀a , b , c ≥0
Phân tích:

Do cả hai vế là các biểu thức bậc 1 nên biểu thức cộng thêm cũng phải có bậc 1
Lại có a2

b + b
Cosi

√

a
2

b .b=2a cũng là biểu thức bậc 1, từ đó ta có lời giải sau:
Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2
b+ b

Cosi

√

a2

b .b=2a
Tương tự ta có: b2

c + c
Cosi

√

b
2

c .c=2b
và c2

a + a
Cosi

2 .

√

c
2

a .a=2c
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được: a2

b +b+
b2

c +c+
c2

a +a≥2a+2b+2c hay

a2

b +
b2

c +
c2

a ≥ a+b+c .Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Ví dụ 34: Cho a , b , c>0 và a2

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

a3
b+2c+

b3
c+2a+

c3
a+2b≥

1
3

Phân tích: Vì vế trái là một biểu thức có bậc 2 nên ta sử dụng giả thiết a2+b2+c2=1

để đưa bất đẳng thức đã cho thành bất đẳng thức đờng bậc 2:
a3

b+2c+
b3

c+2a+

c3
a+2b≥

a2+b2+c2

3 . Khi đó biểu thức cộng thêm cũng phải là một biểu
thức bậc 2.

Lời giải:

Áp dụng bất dẳng thức Cauchy ta có: 9a3

b+2c+a(b+2c)≥2

√

9a3

b+2c.a.(b+2c)=6a
2
Tương tự ta có: 9b3

c+2a+b(c+2a)≥2

√

9b3

c+2a.b.(c+2a)=6b
2

9c3

a+2b+c(a+2b)≥2

√

9c3

a+2b.c.(a+2b)=6c
2
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được:

(

a
3
b+2c+

b3
c+2a+

c3

a+2b

)

+3 .(ab+bc+ac)≥6

(

a
2

+b2+c2

)

≥3

(

a2+b2+c2

)

+3 .(ab+bc+ac)
Do

(

a2+b2+c2

)

≥.(ab+bc+ac) .Suy ra: 9

(

a

3
b+2c+

b3
c+2a+

c3

a+2b

)

≥3

(

a

+b2+c2

)

Hay

(

a3
b+2c+

b3
c+2a+

c3
a+2b

)

≥

a2+b2+c2

3 =

1
3

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c= 1

√

Mợt số ví dụ có cách giải tương tự
Ví dụ 35: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng:

a) a2
b+c+

b2

c+a+

c2
a+b≥

a+b+c
2
b) a

3
b2+

b3
c2+

c3
a2≥

a2
b +

b2
c +

c2
a
Ví dụ 36: Cho 0≤ a ≤3

2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a+
9

a
Ví dụ 37: Cho a ≥2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=a+ 1

a2

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Ví dụ 39:Cho a , b , c>0 và a+b+c ≤3

2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S=a+b+c+1

a+
1
b+

1
c

Ví dụ 40: Cho Cho a , b , c>0 và a+b+c ≤3

2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S=

√

a2+ 1

b2+

√

b
2

+ 1

c2+

√

c
2

+ 1

a2
III. KẾT LUẬN

Như vậy, ngoài việc áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy thì một số lượng
lớn các bài toán cần phải áp dụng bất đẳng thức dưới những biến dạng và những kỹ
thuật khác nhau. Các kỹ thuật này đã làm cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy trở
lên phong phú và đa dạng hơn nhiều. Nó cũng giúp giải quyết các bài tốn một cách
nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy
mặc dù lượng kiến thức phải sử dụng là khơng nhiều song lại u cầu óc quan sát, linh
cảm tinh tế và sức sáng tạo rồi rào để có những nhận dạng một cách chính xác và có
những biến đổi hợp lý trước khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Với cùng một bài học nhưng mỗi giáo viên có một phương pháp tiếp cận,một
phương pháp giảng dạy khác nhau điều đó tùy thuộc vào mức độ nhận thức của học
sinh. Với cùng một chuyên đề nhưng khi trình độ của học sinh khơng giống nhau thì
phương pháp giảng dạy cũng khơng thể như nhau.Vì vậy người giáo viên càn phải tìm
được một phương pháp dạy, một cách tiếp cận vấn đề sao cho phù hợp với đối tượng
học sinh của mình nhất.

Trên đây là một chuyên đề nhỏ mà bản thân tơi thấy rất càn thiết trong
q trình bồi dưỡng học sinh giỏi,hy vọng chuyên đề này sẽ góp phần nang cao chất
lượng học sinh giỏi của bản thân tôi và các bạn đồng nghiệp trong thời gian tới. Rất
mong sự đóng góp ý kiến của cá đờng nghiệp.

Xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh tường, ngày 01 tháng 3 năm 2014
Người viết

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO.
[1]. Trần Phương

“Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học.”NXB Tri Thức-Năm 2009
[2].Nguyễn Đức Tấn

“Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số”-NXB Giáo Dục-Năm 2003
[3].Nguyễn Đễ-Nguyễn Hồng Lâm

“Các bài tốn bất đẳng thức hay và khó”-NXB Giáo Dục-Năm 2001
[4].Nguyễn Vũ Thanh

“263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc”-NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM-Năm 2000
[5].Nguyễn Kim Hùng

“Sáng tạo bất đẳng thức”-NXB Hà Nội –Năm 2010
[6].Trần Tuấn Anh

“Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức”-NXB Tổng hợp TPHCM-Năm 2006
[7].Phan Huy Khải

“10.000 bài toán sơ cấp- bất dẳng thức”-NXB Hà Nội-Năm 2001
[8].Phan Huy Khải

“Chuyên đề bất đẳng thức chọn lọc cho học sinh phổ thông cơ sở”- NXB Giáo 
dục-1998

[9].Ngũn Văn Q-Ngũn Tiến Dũng-Ngũn Việt Hà

“Các dạng Tốn về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ...”-NXB Đà
Nẵng-1998

[10].Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu

“Old and New Inequality”- Gil publishing House

</div>

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

√

√

√

√

√

[

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>]</sub>

[

(

)

<sub>]</sub>

√

{

<i>xyz</i>



1

1

1

1

3 3

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>y</i>

<i>z</i>

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>xy</i>

<i>yz</i>

<i>zx</i>



















1

 

<i>y z</i>

1

 

<i>z x</i>

 

<i>x y z</i>

  

1

 

<i>x y z</i>

  

1

<i>x y z</i>

  

1

<i>ab</i>

































<i>a b c</i>

 





