Bộ đề cương ôn tập giữa Học kì 2 môn Toán lớp 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ I LỚP 7

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Điểm kiểm tra Toán của các bạn trong 1 tổ được ghi lại như sau:

Hà Hiền Bình Hưng Phú Kiên Hoa Tiến Liên Minh

8 7 7 10 3 7 5 8 6 7

Tần số điểm 7 là:

A. 7 B. 4 C. Hiền, Bình, Kiên, Minh D. Đáp án
khác.

Số trung bình cộng điểm kiểm tra của tổ là:
A. 7 B. 7

10 C. 6, 9 D. 6, 8
Đáp án: B, D.

Câu 2. Số học sinh nữ ở mỗi lớp của trường THCS được ghi lại trong bảng
sau:

13 11 15 12 13 15 12 15 14 12

15 17 13 13 14 13 11 15 16 16

16 15 16 14 15 15 14 14 15 17

Số lớp của trường THCS này là:

A. 10 B. 28 C. 29 D. 30
Số trung bình cộng là: (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A. 14, 2 B. 14, 5 C. 14, 6 D. Đáp án
khác.

Mốt là:

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

Đáp án: D, A, C

Câu 3. Thời gian làm một bài tốn (tính bằng phút) của các học sinh được
ghi lại như sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Thời gian (x) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Tần số (n) 2 4 5 6 8 9 6 3 1 2

Mốt của dấu hiệu là:

A. 10 B. 9 C. 15 D. 17

Đáp án: A

Câu 4. Đơn thức nào sau đây đồng dạng với đơn thức 3x y2 2
A. _3xy2_B._{2x y}2 3 _C.

 

2

xy D. _{3x y}2 

Đáp án: C

Câu 5. Thu gọn đơn thức 4 2 2 7
t zx.5tz . z

7 2

 (t, x, z là biến), ta được đơn thức:
A. 4 3

10t z x B. 3 4
10t z x

 C. 3 4

10t z z D. 3 4 2
10t z x



Đáp án: B

Câu 6. Bậc của đơn thức 10x y là: 2 3

A. 10 B. 5 C. 6 D. 8

Đáp án: B

Câu 7. Hiệu của hai đơn thức 5x y và 2 4x y2 là:

A. 9x y2 B. 9x y C. 2 x y D. 2 x y2

Đáp án: B

Câu 8. Cộng trừ các đơn thức 2x y6 124x y6 123x y6 12 



x y6 12



thu được
kết quả là:

A. 0 B. x y 6 12 C. 2x y 6 12 D. 2x y6 12

Đáp án: A

Câu 9. Giá trị của biểu thức 5 4 3 2

A 3x 3x 5x x 5x 2 tại x 1 là:
A. 0 B. – 10 C. – 16 D. Đáp án
khác

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Câu 10. Giá trị của biểu thức _{Q 2xy}3 _0,25xy3 3_{y x}3
4

   tại x 2, y 1 là:

A. 5 B. 5, 5 C. – 5 D. – 5, 5

Đáp án: C

Câu 11. Một thửa ruộng có chiều rộng bằng 4

7 chiều dài. Gọi chiều dài là x.

Biểu thức nào sau đây cho biết chu vi của thửa ruộng?
A. x 4x

7

 B. 2x 4x
7

 C. 2 x 4x
7

 



 

  D.

4

4 x x

7

 



 

 
Đáp án: C

Câu 12.Cho tam giác ABC có _{A 50} _ o_và_{B 70 .}_ o

Câu nào sau đây đúng:
A. AC < BC B. AB > BC C. BC > AB D. AC < AB

Đáp án: B

Câu 13. Cho ABC cân tại A, vẽ BH AC



H AC ,



biết A 50 .  o Tính


HBC?

A. 15o B. 20o C. 25o D. 30o

Đáp án: C

Câu 14. Cho tam giác vng có một cạnh góc vng bằng 2cm. Cạnh huyền
bằng 1, 5 lần cạnh góc vng đó. Độ dài cạnh góc vng cịn lại là:

A. 2 5 B. 5 C. 3 5 D. Kết quả
khác

Đáp án: B

Câu 15. Cho ABC cân. Biết AB = AC = 10cm, BC = 12cm. M là trung điểm

BC. Độ dài AM là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Đáp án: C

Câu 16. Cho ΔABC có _{A 90}  o_{. Cạnh lớn nhất là cạnh:}

A. BC B. AC C. AB D. Đáp án khác

Đáp án: A

Câu 17. Qua điểm A khơng thuộc đường thẳng d, kẻ đường vng góc AH và
các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d (H, B, C đều thuộc d). Biết rằng
HB < HC. Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:

A. AB > AC B. AB < AC C. AB = AC D. AH > AB

Đáp án: B

Câu 18. Câu nào sau đây khơng đúng:

A. Góc ngồi của tam giác bằng tổng hai góc trong khơng kề với nó.
B. Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều.
D. Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60o.

Đáp án: C

Câu 19. Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D thỏa mãn
AD = AB. Câu nào sai?

A. BCD ABC ADC    B. BCD 90 o
C. DAC 2ACB   D. BCD 60  o

Đáp án: D

Câu 20. Cho ABC có _{A 90} _ o_và

AB AC 5cm.  Vẽ AH BC tại H.
Phát biểu nào sau đây sai?

A. AHB AHC_{B. H là trung điểm của BC}

C. BC = 5cm D. BAH 45 o

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

B. TỰ LUẬN
PHẦN 1. ĐẠI SỐ.

Dạng 1: Bài toán thống kê.

Bài 1. Điểm thi học kì I mơn vật lý lớp 7A được ghi lại trong bảng sau:

7 8 10 4 5 9 7 2 10 8 6 7 8 9 7

7 9 9 10 6 8 9 5 7 6 8 9 7 6 10

9 6 7 8 8 8 7 6 9 5 7 10 10 8 9

a) Dấu hiệu điều tra là gì? Tìm số các giá trị của dấu hiệu?
b) Lập bảng tần số.

c) Tính số trung bình cộng. Tìm mốt của dấu hiệu?

d) Biết điểm trung bình bài thi học kỳ I môn vật lý của khối 7 là 8,2. Hãy nêu
nhận xét về kết quả lớp 7A.

Hướng dẫn:

a) Dấu hiệu là: Điểm thi học kì I môn vật lý lớp 7A
b) Bảng “ Tần số”:

Điểm thi học kì
(x)

2 4 5 6 7 8 9 10

Tần số (n) 1 1 3 6 10 9 9 6 N=45

c) X 2.1 4.1 5.3 6.6 7.10 8.9 9.9 10.6 7,56
45

      

 

Mốt M₀ 7

d) Điểm vật lý trung bình của lớp 7A thấp hơn so với điểm của cả khối 7.
Bài 2. Chiều cao (tính bằng m) của các bạn nữ trong lớp 7A5 và 7A6 qua đợt
kiểm tra sức khỏe được ghi lại như sau:

1,53 1,58 1,54 1.57 1,56 1,62 1,54 1,49

1,47 1,56 1,56 1,58 1,57 1,55 1,56 1,54

1,60 1,55 1.58 1,56 1,58 1,56 1,55 1,56

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

b) Lập bảng “Tần số”.

c) Tính số trung bình cộng. Tìm mốt?

Hướng dẫn:

a) Dấu hiệu là chiều cao (m) của các bạn nữ hai lớp 7A5 và 7A6.
b) Bảng “ Tần số”

Chiều
cao(x)

1,47 1,49 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,60 1,62

Tần số
(n)

1 1 1 3 3 7 2 4 1 1 N =

24
c) Số trung bình cộng:

1,47.1 1,49.1 1.53.1 1,54.3 1,55.3 1,56.7 1.57.2 1,58.4 1,6.1 1,62.1

X

24

        



X 1,56
Mốt M_o 1,56

Bài 3. Điểm rèn luyện trong tuần (tối đa 20 điểm) của mỗi học sinh trong 2
tổ Họa My và Phong Lan được ghi lại trong bảng sau:

Họa My 16 18 17 18 18 19 20 16 14 11 17 17

Phong Lan 17 16 18 18 17 18 18 19 20 12 16 16

Tính số trung bình cộng và cho biết tổ nào rèn luyện tốt hơn trong tuần qua.

Hướng dẫn:

Số trung bình cộng của tổ Họa My:

1

11.1 14.1 16.2 17.3 18.3 19.1 20.1

X 16,75

12

     

 

Số trung bình cộng của tổ Phong Lan:

2

12.1 16.3 17.2 18.4 19.1 20.1

X 17,1

12

    

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Bài 4. Sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long một số năm, từ năm
2014 đến năm 2018 (tính theo triệu tấn) được cho trong bảng sau:

Năm 2014 2015 2016 2017 2018

Sản lượng lúa 23,27 24,32 25 25,25 25,6

a) Dấu hiệu ở đây là gì?

b) Năm 2017 sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long là bao nhiêu?

c) Biểu diễn bằng biểu đồ hình chữ nhật.

d) Nhận xét về sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long trong thời gian
từ năm 2014 đến 2018.

e) Tính sản lượng lúa trung bình trong thời gian từ năm 2015 đến 2018.

Hướng dẫn:

a) Dấu hiệu ở đây là: Sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long từ năm
2014 đến năm 2018.

b) Năm 2017 sản lượng lúa của Đồng bằng sông Cửu Long là 25,25.
c) HS tự vẽ hình.

d) Sản lượng lúa của Đồng Bằng sông Cửu Long từ năm 2014 đến 2018 liên
tục tăng. Từ năm 2014 đến 2015 tăng mạnh (1,05 triệu tấn), các năm về sau
tăng chậm hơn, năm sau cao hơn năm trước khoảng 0,25 – 0,68 triệu tấn).
e) X 24,688 (triệu tấn)

Bài 5. Cho bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu M₀2
Giá trị (x)

1

x x ₂ x ₃ … x _n

Tần số (n)

1

n n₂ n ₃ …

k

n
a) Tính số trung bình cộng

b) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu đều tăng lên 2 lần thì số trung bình cộng
thay đổi thế nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Hướng dẫn:

a) Ta có: 1 1 2 2 3 3 k k

1 2 3 k

x n x n x n ....x n

X

n n n ... n

  



   

b) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu đều tăng lên 2 lần thì số trung bình cộng

cũng tăng lên 2 lần.

c) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu giảm đi 5 lần thì số trung bình cộng cũng
giảm đi 5 lần.

Bài 6. Tính trung bình cộng của năm quả dưa hấu trong đó có hai quả khối
lượng 2,8kg, một quả có khối lượng 3kg và hai quả có khối lượng 3,5kg.

Hướng dẫn: Khối lượng trung bình X 2,8.2 3.1 3,5.2 3,12(kg)
5

 

 

Bài 7. Trung bình cộng của năm số là 12. Do bớt đi một số thứ năm nên
trung bình cộng của bốn số cịn lại là 9. Tìm số thứ năm.

Hướng dẫn:

Gọi các số là x ;x ;x ;x ;x . Trung bình cộng năm số là: ₁ ₂ ₃ ₄ ₅

1 2 3 4 5

x x x x x

12
5

   

 nên ta có: x₁x₂ x₃ x₄x₅60.

Trung bình cộng bốn số cịn lại là 9, nên ta có: x₁x₂ x₃ x₄4.9 36
Từ đó tìm được: x₅24.

Dạng 2: Các phép toán về đơn thức, đa thức.

Bài 8. Thu gọn các đơn thức sau rồi cho biết hệ số, phần biến, bậc của đơn
thức đó:

a) 1 2 .3 3
3x y 2xy

 b)

2
2 3

1
1 x y

2
 

 
 
c)
0 2
2

1 5 1

1 x y xy 2 xy

4 6 2

   

 

   

    d)

2 2 3

1 2 1

x y . x y . 1 xy

3 3 2

     

 

     

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

e)

2 2

3 5 3 3

1 2 5

ax y .1 ax y . xy

2 5 3

   

 

   

    (a: hằng số) f)





2 2 2 2 3

1 1

x 6x y z . x y

2 3





Hướng dẫn:

a) 1x y3 4
2

 có hệ số là 1

2

 , phần biến là _{x y , bậc của đơn thức là 7.}3 4

b) 9x y4 6

4 có hệ số là
9

4, phần biến là

4 6

x y , bậc của đơn thức là 10.
c) 125x y4 3

64 có hệ số là
125

64 , phần biến là

4 3

x y , bậc của đơn thức là 7.

d) 1x y5 5

3 có hệ số là
1

3, phần biến là

5 5

x y , bậc của đơn thức là 10.

e) 35a x y3 13 11

36 có hệ số là

3

35
a

36 , phần biến là

13 11

x y , bậc của đơn thức là 24.

f) 1x y z6 5

3 có hệ số là 1, phần biến là

6 5

x y z , bậc của đơn thức là 12.

Bài 9. Cho đơn thức

 

3

3

3 2

2

A xy . 3xy

3

 

 _ _

 

a) Thu gọn đơn thức A.

b) Hãy chỉ ra hệ số, phần biến, bậc của đơn thức thu được.

c) Tính giá trị của đơn thức A tại x 1; y 1 .

Hướng dẫn:

a) _{8x y}6 15

b) A có hệ số là – 8, phần biến là x y , bậc của đơn thức là 21. 6 15
c) Thay x = - 1; y = 1 vào A ta được: A  8.( 1) .16 15  8
Bài 10. Thu gọn đa thức sau rồi tìm bậc của chúng.

a) _{A 5x}_ 3 __{4x 7x}_ 2__8x3__{4x 1 5x}_{ } 2

b) B 5xy 1x y2 2xy 2x y2

2 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

c) C 1x y3 3 x y3 3 5xy z2 3 z8 12xy z2 3
3

    

d) D 3x yz+7xy z 5x yz xy z xyz 2 2  2  2 

Hướng dẫn:

a) A 3x32x21
b) B 13xy 5x y2

3 2

 

c) C z8 7xy z2 3 2x y3 3
3

   

d) D 2x yz 8xy z xyz2  2 
Bài 11. Cho hai đa thức:

f(x) = x42x3  x2 5 3x22x 2x 3 g(x) =



_2x2__x3

 

_{ }_{2 x}4__x3



__3x

a) Thu gọn hai đa thức f(x), g(x) và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức
theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính h(x) = f(x) - g(x)

Hướng dẫn:

a) HS tự làm

b)_{h(x) 2x} 2 _{x 3}

Bài 12. Cho các đa thức: f (x) 3x 2  7 5x 6x 2 4x3 8 5x5 x3
g(x)  x4 2x 1 2x  4 3x3  2 x

a) Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức.

c) Tính f(x) + g(x); 2f(x) – g(x).

Hướng dẫn:

a) _f(x)_{ }_5x5__5x3__3x2__{5x 1}_ _;_{g(x) x}_ 4__3x3_{ }_{x 1}

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

c) f(x) g(x)  5x5x42x33x26x 2
_{2f(x) g(x)}  _10x5_x4_13x3_6x2_{9x 1} 

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đại số

Bài 13.Tính giá trị của các biểu thức:
a) A 5x 22| x| 3x 1  tại x = - 2
b) B 9x 327x26x 2 tại x 1

3

 .
c) _{C 2x y xy}_ 2 _ 2__3y2_tại _x __{1;y 2}_ _.

d) D x 12 19x1119x1019x9 ... 19x219x 1 tại x 18

Hướng dẫn:

a) A 9
b) B 4

3

 với x 1
3

 ; B 10
3

  với x 1

3

 

c) C = 12 với x = 1; y = 2 và C = 20 với x = -1; y =2.

d) Ta có x = 18  x+1 = 19. Thay 19 = x +1 vào D ta được:

12 11 10 9 2

D x  (x 1)x  (x 1)x  (x 1)x   ... (x 1)x  (x 1)x 1
x12 x12x11x11x10x10         x9 .... x3 x2 x2 x 1 x 1
 18 1  17

Bài 14. Cho biểu thức:

3

3 2 2 2 2

3 7xy 3

M x y . x y x y

7 12 4

   

 _ _  _ _

   

a) Thu gọn biểu thức M.

b) Hãy chỉ ra hệ số, phần biến, bậc của M.

c) Tính giá trị của đơn thức A tại x 1; y 2

Hướng dẫn:

a) M 1x y4 4
2



</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

c) Thay x  1; y 2 vào M, ta được M = 8.
Bài 15. Cho các đa thức sau :

2 2

A x 3xy y 2x 3y 1  _B_{ }_2x2__{xy 2y}_ 2__{5x 2y 3}_ _

2 2

C 3x 4xy 7y 6x 4y 5  _D  _x2 _{5xy 3y} 2_{4x 7y 8} 

a) Tính giá trị đa thức: A + B; C - D; tại x = - 1; y=0.

b) Tìm H(x) = A - B + C - D, rồi tính giá trị đa thức H(x) tại x = 1

2; y = -1

Hướng dẫn:

a) A B   x2 2xy y 23x y 2  .

Thay x = - 1; y=0 vào ta được A + B = 0
C D 4x  29xy 10y 210x 11y 13  .
Thay x = - 1; y=0 vào ta được C – D = 27.
b) _{H(x) 7x}_ 2__{13xy 7y}_ 2__{3x 6y 17}_ _ _.

Thay x = 1

2; y = - 1 vào ta được:

99
H

4


Bài 16. Cho biểu thức A 5x 1 

a) Tính giá trị của A tại x 3
4

  b) Tìm x biết A 5
Hướng dẫn:

a) A 11
4

  b) x 6 4;

5 5

 

 _ _

 

Bài 17. Cho biểu thức _{A 2x}_ 2 _₁

a) Tính giá trị của A tại x 2 b) Tìm x biết A 17
Hướng dẫn:

a) A = 3
b) x 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

( b< a – 8). Tính diện tích cịn lại của khu vườn biết a = 50m; b = 10m.

Hướng dẫn:

Diện tích cịn lại của khu vườn là: a(a 8) b  2.

Thay a = 50m; b = 10m ta có: 50(50 8) 10  22000(m )2

Dạng 4: Tìm x

Bài 19. Tìm x, biết:

a) | x 5| 2 6   b) 2x23x

c) (x 5) 2 x 5_d*) x 1  x 1
e*) | x 5| x 1   f*) | x2  3| 2 5

Hướng dẫn:

a) x {1;9} b) x 0;3
2

 

  

  c) x {5;6} d) x 1 1 x  

Xét x 1 0   x 1ta có x – 1 = 1 – x hay x = 1(thỏa mãn)
Xét x – 1 < 0 x < 1 ta có:    x 1 1 x hay 0x = 0

Vậy x 1 là giá trị cần tìm.

e) Phương trình vơ nghiệm
f) x = {-2; 2}.

Bài 20. Tìm x, biết:

a) 4.x 2 2

9   3 3 b)

16 5 1

. x

25  4 5

c) 16.x 1 1

25   4 5 d)

x 3

2   1 17

Hướng dẫn:

a) x 2 b) x 3 7;

4 4

 

  
 

c) x 1
16

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

PHẦN 3. HÌNH HỌC.

Bài 21: Cho tam giác ABC vng tại A, có AB = 9cm, BC = 15cm.
a) Tính độ dài cạnh AC và so sánh các góc của tam giác ABC.

b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn
thẳng BD. Chứng minh tam giác BCD cân.

Hướng dẫn:

a) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
AB2AC2BC2 AC2BC2AB2152 92 144

Vậy AC = 12 (cm)

Xét tam giác ABC ta có AB< AC< BC (9cm < 12cm < 15cm)

Do đó   ACB ABC BAC  (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện của tam giác).
b) Vì A là trung điểm của BD  BA = DA.

Chứng minh được ΔCAB = ΔCAD(c.g.c),
suy ra CB = CD (hai cạnh tương ứng)
Vậy ΔCBD cân tại C.

Bài 22: Cho ABC vuông tại A. BE là tia phân giác của góc ABC 



E AC .



Hạ EI BC



I BC .



a) Chứng minh ABE IBE

b) Tia IE và tia BA cắt nhau tại M. Chứng minh EMCcân
c) Chứng minh AI // MC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

a) ΔABE = ΔIBE(cạnh huyền – góc nhọn).

b) Chứng minh được ΔEAM=ΔEIC(g.c.g)  EM
= EC EMCcân tại E.

c) Ta chứng minh được tam giác EAI cân tại E.
Vì AEM là góc ngồi của tam giác EMC nên ta 
có: AEM EMC ECM 2.ECM     

AEM là góc ngồi của tam giác AEI nên ta có:  AEM EAI EIA 2.EAI     
Từ đó ta suy ra ECM EAI  , mà hai góc ở vị trí so le trong  AI //
MC(đpcm).

Bài 23: Cho ΔABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G
thuộc cạnh AC sao cho AG 1AC

3

 . Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng
song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng

này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD. Chứng minh:

a) G là trọng tâm ΔBCD;

b) ΔBED=ΔFDE, từ đó suy ra EC = DF;
c) ΔDMF=ΔCME;

d) B, G, M thẳng hàng.

Hướng dẫn:

a) Vì AD = AB nên A là trung điểm của BD

 CA là đường trung tuyến của ΔBCD.
Mà AG 1AC

3

 G là trọng tâm của ΔBCD.

b) Ta có BD//EFBDE DEF  và DF//BC

 

BED EDF

 

ΔBED=ΔFDE(g.c.g)BE = DF (hai cạnh tương ứng) (1)

Mặt khác do G là trọng tâm ΔBCD nên E là trung điểm BC  BE = EC (2)

M

I
E

C
B

A

F

M

E
G

C
D

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Từ (1) và (2) suy ra EC = DF.
c) ΔDMF = ΔCME (g.c.g)

d) Do ΔDMF = ΔCME  MD = MC  M là trung điểm của DC.

BM là trung tuyến của ΔBCD.

 G BM  B, G, M thẳng hàng.

Bài 24. Cho ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AB = AD.

a) Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BC

b) Chứng minh:ABC ADC_{. Từ đó suy ra}CBD_cân.

c) Kẻ AH⏊DC tại H, AK⏊BC tại K. Chứng minh DH = BK.
d) Chứng minh AC2DH2AD2HC2

Hướng dẫn:

a) Áp dụng định lý Py – ta – go ta tính được BC =
10cm.

b) ΔABC = ΔADC (cạnh góc vng - cạnh góc vng),
từ đó suy ra BC = DC

Vậy ΔCBD cân tại C.

c) Từ câu b, ΔCBD cân tại C ta suy ra CBD CDB  ,
chứng minh được:

ΔABK = Δ ADH (cạnh huyền – góc nhọn)  BK = DH (đpcm).

d) Sử dụng định lý Py – ta – go vào hai tam giác vng ADH và ACH ta có:

2 2 2

AC HC AH _và_AD2_DH2_AH2

 _AC2_DH2_AD2_HC2

(đpcm).
Bài 25. Cho ΔABC, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao
cho MD= MA.

a) Chứng minh rắng AB//CD và AB = CD; AC// BD và AC = BD.

b) Gọi E và F là trung điểm của AC và BD; AF cắt BC tại I, DE cắt BC tại K,
chứng minh: BI = IK = KC.

H
K

D

C
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Hướng dẫn:

a) Chứng minh ΔAMC = ΔDMB (c.g.c)

Suy ra AC = BD và A 1D1( góc tương ứng)

 AC//BD (hai góc so le trong)

Chứng minh tương tự ta có AB = CD và AB

//CD.

b) Xét ΔABD có BM là trung tuyến ứng với
cạnh AD (AM =MD, gt) và AF là trung tuyến
ứng với cạnh BD.

Vậy I là trọng tâm của ΔABD.
Suy ra IM 1BM

3

 ₍₁₎

Chứng minh tương tự, K là trọng tâm của ΔACD. Suy ra: KM 1MC
3

 ₍₂₎

Mà BM = MC (3)

Từ (1), (2) và (3) có: BI = IK = KC (đpcm).

Bài 26. Cho tam giác cân ABC cân tại A (AB = AC).
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh ABE ACD

b) Chứng minh BE = CD.

c) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh

KBC

 _{cân tại K.}

d) Chứng minh AK là tia phân giác của góc BAC.

Hướng dẫn:

a) ΔABE = ΔACD (c.g.c)

b) Từ câu a suy ra BE = CD (hai cạnh tương ứng).
c) Hs tự chứng minh.

1

1

I _K

E

F

D
M

C
B

A

K E

D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

d) Cm ΔBKD=ΔCKE(c.g.c)DK = EK.

Chứng minh ΔADK = ΔAEK (c.c.c) DAK EAK  và tia AK nằm giữa hai tia
AD và AE do đó AK là tia phân giác của góc BAC.

Bài 27. Cho góc nhọn xOy và N là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.
Kẻ NA vng góc với Ox (AOx), NB vng góc với Oy (BOy)

a) Chứng minh: NA = NB.

b) Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao?

c) Đường thẳng BN cắt Ox tại D, đường thẳng AN cắt Oy tại E.
Chứng minh: ND = NE.

Hướng dẫn:

a) Chứng minh ΔOAN=ΔOBN(cạnh huyền –
góc nhọn) AN = BN (hai cạnh tương ứng).
b) ΔOAN=ΔOBN (cm a)  OA = OB ΔOAB
cân tại O.

c) Chứng minh ΔNAD= ΔNBE (g.c.g) ND =
NE (đpcm)

Bài 28. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH⏊BC
(HBC)

a) Chứng minh: BAH CAH 

b) Cho AH = 3cm, BC = 8cm. Tính độ dài AC.
c) Kẻ HE⏊AB, HD⏊AC. Chứng minh AE = AD.
d) Chứng minh ED//BC.

Hướng dẫn:

a) Chứng minh ΔABH=ΔACH(cạnh huyền – góc nhọn) BAH CAH 

y
x

E
D

B
A

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

b) ΔABH = ΔACH (cm a)  BH = CH =
4cm.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam
giác vng AHC ta có AC = 5cm.

c) Chứng minh được ΔAHE = ΔAHD
(cạnh huyền – góc nhọn)AE = AD.
d) Gọi K = AHED.

Ta có 


o

180 A

AED

2



 _{( vì ΔAED cân tại A);}




o

180 A

ABC

2



 _{( vì ΔABC cân tại A)}

Suy ra AED ABC  , mà hai góc ở vị trí đồng vị nên ED//BC (đpcm).

Bài 29. Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia
đối của tia FB lấy P sao cho PF = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao
cho QE = CE.

a) Chứng minh A là trung điểm PQ.
b) Chứng minh BQ//AC và CP//AB.

c) Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB. Chứng minh chu vi
ΔPQR bằng hai lần chu vi ΔABC.

Hướng dẫn:

a) ΔAEQ = ΔBEC (c.g.c), suy ra AQ = BC và AQ//BC.

R

P
Q

F
E

C
B

A

K

_D

E

H

C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Tương tự, ta có: AP = BC và AP //BC.

Từ đó suy ra AP = AQ và A, P, Q thẳng hàng.
Vậy A là trung điểm của PQ.

b) ΔBEQ=ΔAEC (c.g.c) BQE ACE  BQ//AC.
Tương tự ta có: CP // AB.

c) Chứng minh ΔAPC=ΔCBA(g.c.g)
Chứng minh ΔAPC = ΔBCR (g.c.g)

Từ đó, suy ra AB = CP = CR nên PR = 2AB.
Tương tự, ta có QR = 2AC.

Từ câu a), suy ra PQ = 2BC.

Vậy chu vi ΔPQR bằng hai lần chu vi ΔABC.

Bài 30. Cho tam giác ABC có hai góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C.

Gọi d là tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM.

a) Chứng minh rằng:d BC .

b) Xác định vị trí của điểm M sao cho d có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:

Kẻ BH⏊AM và CK⏊AM (H, KAM).
Theo đề ra, ta có: d = BH + CK.

Ta có: BH  BM (quan hệ đường vng góc – đường xiên) và CK  CM
(quan hệ đường vng góc – đường xiên).

Suy ra: BH + CK  BM + CM = BC hay d  BC (đpcm).
H

K

M C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

b) Ta ln có dBC, d = BC khi và chỉ khi BM = BH, CM = CK hay đồng thời
H M và K M , tức là AM ⏊BC. Vì hai góc B và C nhọn nên khi đó M nằm
giữa B và C, thỏa mãn điều kiện. Vậy d có giá trị lớn nhất khi M là hình chiếu
của A trên BC.

PHẦN 3. MỘT SỐ BÀI TỐN NÂNG CAO.
Bài 31. Tính giá trị biểu thức:

z x y

A 1 1 1

x y z

   

_  _  _  _

    biết x, y, z  0 và x – y – z = 0.
Hướng dẫn:

     

_  _  _  _ _ _  

     

z x y y z x

A 1 1 1 . . 1

x y z x y z

Bài 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 14 x
4 x





 ; (xZ; x  4).

Khi đó x nhận giá trị nguyên nào?

Hướng dẫn:

Ta có:       

  

14 x 10 4 x 10

P 1

4 x 4 x _{4 x}

Vì x nên 4 x 

Để P đạt giá trị lớn nhất thì

x


10

4 phải đạt giá trị lớn nhất.

Xét x >4 thì

x 


10
0

4 (1).

Xét x < 4 thì

x 


10
0

4 . Phân số x

10

4 có tử số và mẫu số đều dương, tử

không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Mẫu là số nguyên
dương, nhỏ nhất khi 4 – x = 1 x= 3. Khi đó

x 


10

10

4 (2)

Từ (1) và (2) ta thấy

x


10

4 lớn nhất = 10. Vậy GTLN của D bằng 11 khi và

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Vậy P lớn nhất = 11 khi x = 3.

Bài 33. Cho đa thức G(x) ax 2bx c (a, b, c là các hệ số)
a) Hãy tính G(-1), biết a + c = b – 8

b) Tính a, b, c biết G(0) = 4, G(1) = 9, G(2) = 14.

Hướng dẫn:

a) Ta có G( 1) a b c     8

b) Theo đề bài: G(0) = 4, G(1) = 9, G(2) = 14 nên ta có:

c a

a b c b

a b c c

 

 

 _{  } _ _

 

 _ _{ }  _

 

4 0

9 5

4 2 14 4

Bài 34. Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho:

m

2 2017 n 2018  n 2018

Hướng dẫn:

Nhận xét:

- Với x 0 thì x  x 2x
- Với x < 0 thì x  x 0.

Do đó x x ln là số chẵn với  x 

Áp dụng nhận xét trên thì n 2018  n 2018 là số chẵn với n 2016 .
Suy ra 2m2017 là số chẵn 2 lẻ m m 0 .

Khi đó n 2018  n 2018 2018

+ Nếu n < 2018, ta có – (n – 2018) + n – 2018 =2018 0 = 2018 (loại)
+ Nếu n 2018 , ta có 2( n – 2018) =2018  n = 3027 (thỏa mãn)
Vậy (m; n) =(0; 3027)

Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: E (2 x)(x 1)  

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Ta có

2

2 2 3 1

E 2x 2 x x x 3x 2 x

2 4
 
         _  _ 

 
Vì
2
3

x 0 x

2
 
  
 
  
2

3 1 1

x

2 4 4

 
_  _  
  
1
E
4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 3 0 x 3

2 2

   
Vậy GTLN của E là 1

4 khi
3
x

2

 .

Bài 36. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

2 2 2

x 1 (x 1) y

F     2019

Hướng dẫn:

GTNN của F là – 2019 khi x= 1; y = 0.

Bài 37. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2016 2017

x 2016 2018

 



 

Hướng dẫn:

x 2016 2017 x 2016 2018 1 1

A 1

x 2016 2018 x 2016 2018 x 2016 2018

    

   

     

Đặt B 1

x 2016 2018



  , do x 2016 2018 2018 x 

 B 1 A 2017

2018 2018

  

Vậy GTNN của A là 2017

2018 khi x = 2016.

Bài 38. Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thỏa mãn:

a b c b c a c a b

c a b

  _   _  

và a b c 0   . Tính giá trị của biểu thức:

b a c

B 1 1 1

a c b

   

_  _  _  _

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Hướng dẫn:

Vì a b c 0   nên theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

1

c a b a b c

  _   _   _         _
 

Mà a b c 1 b c a 1 c a b 1 2

c a b

  _{ }   _{ }   _{ } a b b c c a

2

c a b

  

   

Vậy B 1 b 1 a 1 c b a c a b c 8

a c b a c b

          

_  _  _  _{ } _ _ _

       

Bài 39. Tính:

2 2 4 4 6 6 8 8 2016 2016 2018 2018

A xy x y  x y x y x y  ... x y x y tại x 2,y 1
2

  

Hướng dẫn:

Thay x 2,y 1

2

   vào A ta có: A   1 1 ....   1 1 1009 1008
Bài 40. Tìm x, y thuộc Z biết: _{25 y}_ 2__{8(x 2019)}_ 2

Hướng dẫn:

Ta có: 25 y 2258(x 2019) 225 (x 2019)23

Do x ngun nên _{(x 2019)} 2_{là số chính phương. Có 2 trường hợp xảy ra:}

TH1: (x 2019) 2  0 x 2019. Khi đó y 5

TH2: (x 2019)2 1 x 2020

x 2018




 _{  }




</div>

<!--links-->