Bộ đề cương ôn tập giữa Học kì 2 môn Toán lớp 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐÁP ÁN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ II LỚP 8

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình x2 x3 0là:

A. S {1; 1}  B. S { 1; 1}   C. S {0; 1}  D. S {0;1}
Đáp án: C

Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình: x x 2x

2(x 3) 2x 3 (x 1)(x 3)      là:
A. x 1 ; x 3 B. x 1; x 3

C. x 1 ; x 3 D. x 1_;x 3;x 3
2

  
Đáp án: D

Câu 3. Phương trình bậc nhất một ẩn có thể:

A. Vô số nghiệm B. Vô nghiệm
C. Một nghiệm duy nhất D. Cả ba đáp án trên đều đúng.
Đáp án: D

Câu 4. Phương trình (x3)(x24)0có các nghiệm là:

A. 3 và 4 B. 3 và 2 C. – 3 và 2 D. Đáp án khác
Đáp án: D

Câu 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình (m24)x2(m 2)x 3 0  

là phương trình bậc nhất một ẩn?

A. m2 B. m1 C. m 1 D. m 2
Đáp án: A

Câu 6. Nghiệm của phương trình x x 4
x 1 x 1




  là:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Câu 7. Quãng đường thủy từ thành phố Hồ Chí Minh đến đảo Trường Sa Lớn
dài 360 hải lí, một hải lí bằng 1,852km. Một tàu thủy đi với vận tốc trung bình
40km/h đi quãng đường đó hết khoảng:

A. 12 giờ B. 15 giờ C. 17 giờ D. 25 giờ
Đáp án: C

Câu 8. Cho số n abc 2. Đặt abc x thì n bằng:

A. x + 2 B. 1000x + 2 C. 10x + 2 D. 100x + 2.
Đáp án: C

Câu 9. Một vịi nước chảy trong x giờ thì đầy bể. Trong một giờ, vòi chảy được:
A. x bể B.

x

1

bể C. (1 – x) bể D. Đáp án khác
Đáp án: B

Câu 10. Nghiệm của phương trình x x
x

 _{ }


2 ₉

3
3 là:

A. 3 B. 3 và – 3 C. Mọi x D. Đáp án khác
Đáp án: D

Câu 11. Chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là 45m. Biết chiều dài hơn chiều rộng
5m. Nếu gọi chiều rộng mảnh vườn là x (x > 0; m) thì phương trình của bài
tốn là:

A. ( x2 5 2 45).  B. x3 C. 3 – x D. 3x
Đáp án: A

Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai
tam giác đó bằng nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

O

C
A

B
D

y
x

20
15

D C

B

A

C. Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc của
tam giác này bằng một góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.

D. Hai tam giác vng thì đồng dạng với nhau.
Đáp án: B

Câu 13. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF có AB 1

DE 3 và diện tích tam

giác DEF bằng _90cm2_{. Khi đó diện tích tam giác}_ABC _bằng:

A. 10cm2 B. 30cm2 C. 270cm2 D. 810cm2
Đáp án: A

Câu 14.

Cho AB⏊AC, AB⏊BD.

Biết OA = 4, AB = 5, BD = 3.

OC nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 4 5, B. 5 C. 4 10 D. 6
Đáp án: C

Câu 15.

Tính độ dài của các đoạn thẳng trong hình vẽ biết rằng
Các số trên hình có cùng đơn vị đo cm và BC = 35.
A. x = 12cm; y = 13cm.

B. x = 14cm; y = 11cm.
C. x = 14,3cm; y = 10,7cm.
D. x = 15cm; y = 20cm.
Đáp án: D

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

A. 4cm, 5cm, 6cm và 12cm, 15cm, 18cm.
B. 3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 12cm, 18cm.
C. 1,5cm, 2cm, 2cm và 1cm, 1cm, 1cm.

D. 14cm, 15cm, 16cm và 7cm, 7,5cm, 8cm.
Đáp án: C

Câu 17. Cho ΔABC, lấy 2 điểm D và E lần lượt nằm bên cạnh AB và AC sao cho

AD AE

AB AC. Kết luận nào sai?

A. AE AD

AB  AC

B. DE//BC

C. ΔADE ∽ ΔABC
D. ADE ABC 
Đáp án: A

Câu 18. Nếu 2 tam giác ABC và DEF có A 70o,C 60o,E 50o,F 70 thì o
chứng minh được:

A. ΔABC ∽ ΔFED
B. ΔACB ∽ ΔFED
C. ΔABC ∽ ΔDEF
D. ΔABC ∽ ΔDFE
Đáp án: A

Câu 19. Cho ΔABC ∽ ΔDHE với tỉ số đồng dạng 2

3. Có bao nhiêu khẳng định
đúng trong các khẳng định sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

(II) Tỉ số hai đường cao tương ứng của ΔABC và ΔDHE là 2
3.
(III) Tỉ số diện tích của ΔABC và ΔDHE là 2

3.
(IV) Tỉ số diện tích của ΔDHE và ΔABC là 4

9.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Đáp án: B

Câu 20. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CE. Tính AB, biết BC = 24cm và
BE = 9cm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

B. TỰ LUẬN
PHẦN 1. ĐẠI SỐ.

Dạng 1: Phương trình bậc nhất một ẩn.
Bài 1. Giải các phương trình sau.

a) 2x 3 12  d) 11 2x x 1  
b) 2x 4 x 1   e) 5(3x 2) 4x 1  

c) 7 2x 22 3x   f) x2  4 (x 2)(x 5) 0 
Hướng dẫn:

a) x = 15

2 d) x = 4
b) x = - 5 e) x  9

11
c) x = 3 f) x = 2
Dạng 2: Phương trình tích.

Bài 2. Giải phương trình.

a) (x 2)(x 3) 0   d) (x 3)(x 5) (x 3)(3x 4) 0     
b) (x 1)(x 5)( 3x 8) 0     e) (x 6)(3x 1) x 6 0    

c) (x 2)(x 1) x   2 4 f) (2x 7) 26(2x 7)(x 3) 0  
Hướng dẫn:

a) x = -2; x = 3 d) x = - 3; x 9

4
b) x = 1; x = - 5; x8

3 e) x = 0; x = - 6
c) x = 2 f) x 7; x  11

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a) x2 (x 3)(3x 1) 9  d) x3 (x 3)3(2x 3) 3
b) x34x 5 0  e) x(x 1)(x 2)(x 3) 360   
c) (x 14) 3 (x 12)31352 f) x3 (x 2)(2x 1) 8 
Hướng dẫn:

a) x = - 3; x = - 2 d) x = 0; x = 3

2; x = 3
b) x = -1 e) x = - 6; x =3

c) x = - 28; x = 2 f) x = 2
Dạng 3: Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 7x 3 2

x 1 3

 _

 b)

2(3 7x) 1
1 x 2

 _

 c)

1 3 x

3

x 2 x 2


 

  d)

8 x 1

8

x 7 x 7

 _{ }

 

Hướng dẫn:
a) x 7

19 b) x
11

29 c) x  d) x 
Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) 2x 1 2x 9 ₂12

x 2 x 2 x 4

 _  _

   d) 2

1 3x 10 7

2x 6 x 4x 3 2



 

  

b) x x 2x

2(x 3) 2(x 1) (x 1)(x 3)      e)

 _  _  _ 

x 2 x 3 x 4 x 5
2012 2011 2010 2009
c) 12₂ ₂12 1

x x 2 f)

2
2
1 1
x x
x
x

  
Hướng dẫn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Dạng 4: Giải bài tốn bằng cách lập phương trình.
Dạng toán chuyển động

Bài 6. Xe máy thứ nhất đi trên quãng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ
20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi
nhanh hơn xe máy thứ hai 3km. Tính vận tốc của mỗi xe máy và quãng đường
từ Hà Nội đến Thái Bình?

Hướng dẫn: Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h), đk: x > 3;
Vận tốc xe thứ hai là: x – 3 (km/h)

Trong 3 giờ 20 phút 10h
3

 


 

  xe máy thứ nhất đi được

10

x(km)

3

Trong 3 giờ 40 phút 11h
3

 


 

  xe máy thứ nhất đi được

11

(x 3) (km)

3 

Theo bài ra ta có phương trình: 10x 11(x 3) x 33

3  3    (tmđk)

Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33km/h. Vận tốc của xe máy thứ hai là
30km/h. Quãng đường từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km.

Bài 7. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 20km/h ; Lúc quay về đi với
vận tốc 15km/h nên thời gian về hơn thời gian đi 10 phút . Tính quãng đường
AB ?

Hướng dẫn: Đổi 10 phút = 1
6 (h)

Gọi quãng đường AB là x (km); đk: x > 0
Thời gian lúc đi từ A đến B là: x

20 (h)
Thời gian lúc về từ B về A là: x

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Theo bài ra ta có phương trình: x  x   1 x 10

15 20 6 (tmđk)
Vậy quãng đường AB dài 10 km.

Bài 8. Lúc 7 giờ sáng một ô tô xuất phát từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60
km/h. Cũng cùng thời gian ấy một xe máy xuất phát từ tỉnh B về tỉnh A với vận
tốc 50 km/h. Biết hai tỉnh A và B cách nhau 220 km. Hỏi sau bao lâu 2 xe gặp
nhau và gặp nhau lúc mấy giờ?

Hướng dẫn:

Gọi thời gian hai ô tô bắt đầu đi đến chỗ gặp nhau là t (giờ); đk: t > 0.
Quãng đường ô tô đi từ A đến chỗ gặp nhau là: 60t (km)

Quãng đường xe máy đi từ B đến chỗ gặp nhau là: 50t (km)
Theo bài ra ta có phương trình: 60t50t220 t 2(tmđk)
Vậy sau 2 giờ hai xe gặp nhau và gặp nhau lúc 9 giờ sáng.

Bài 9. Một người lái ô tô dự định với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi 1h với
vận tốc ấy , ô tô bị tàu hỏa chặn dừng 10 phút . Do đó để đến B đúng thời gian
quy định người đó đã tăng tốc thêm 6km/h. Tính qng đường AB?

Hướng dẫn:

Gọi quãng đường AB là x (km); đk: x > 0.

Thời gian người đó dự định đi hết quãng đường AB là: x
48 (h)
Thời gian thực tế người đó đi là:   x



1 48

1

6 48 6 (h)

Theo bài ra ta có phương trình: x    x  x



1 48

1 120

48 6 48 6 (tmđk)

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Bài 10. Một canơ chạy xi dịng từ A đến B xong chạy ngược dòng từ B về A.
Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút . Biết vận tốc dòng nước
là 3 km/h ; vận tốc của canơ là 27 km/h . Tính khoảng cách AB ?

Đ/S : 80 km.

Hướng dẫn: Gọi khoảng cách AB là x (km); đk: x >0.
Thời gian canơ đi xi dịng là: x



3 27(h)
Thời gian canơ đi ngược dịng là: x



27 3(h)

Theo bài ra ta có phương trình: x  2 x  x 80

30 3 24 (tmđk)
Vậy khoảng cách AB là 80 km

Dạng toán năng suất:

Bài 11. Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Nhưng
nhờ tổ chức hợp lý nên thực tế đã sản xuất mỗi ngày vượt 15 sản phẩm. Do đó
xí nghiệp sản xuất không những vượt mức dự định 255 sản phẩm mà cịn hồn
thành trước thời hạn. Hỏi thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn:

Gọi số ngày mà xí nghiệp đã hồn thành công việc là x (ngày); đk: x*
Theo dự định mỗi ngày xí nghiệp sản xuất được 1500:30 = 50 (sản phẩm)
Thực tế mỗi ngày sản xuất được 65 sản phẩm.

Theo bài ra ta có phương trình: 65x1500 255  x 27(ngày)
Vậy thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được 3 ngày.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Hướng dẫn:

Gọi số sản phẩm sản xuất được theo kế hoạch là x (sản phẩm); đk: x*
Thời gian dự định hoàn thành kế hoạch là: x

40(ngày)
Thời gian thực tế hoàn thành là: x5

45 (ngày)

Theo bài ra ta có phương trình: x5 2 x  x 760

45 40 (tmđk).

Bài 13. Hai công nhân được giao làm một số sản phẩm, người thứ nhất phải
làm ít hơn người thứ hai 10 sản phẩm. Người thứ nhất làm trong 3h20phút,
người thứ hai làm trong 2h, biết rằng mỗi giờ người thứ nhất làm ít hơn người
thứ hai là 17 sản phẩm. Tính số sản phẩm người thứ nhất làm được trong một
giờ?

Hướng dẫn:

Gọi số sản phẩm người thứ nhất làm được trong 1h là x (sản phẩm); x > 0
Số sản phẩm người thứ hai làm được trong 1h là x+17 (sản phẩm)

Theo bài ra ta có phương trình: 2(x17)10x10 x 18

3 (tmđk).

Dạng tốn có nội dung hình học:

Bài 14. Một hình chữ nhật có chu vi 372m nếu tăng chiều dài 21m và tăng
chiều rộng 10m thì diện tích tăng 2862m .2 _{Tính kích thước của hình chữ nhật}
lúc đầu?

Hướng dẫn:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m); x > 0.
Khi đó chiều rộng của hình chữ nhật là: 186 – x (m)
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là: x(186 – x)

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Theo bài ra ta có phương trình:

x(186x)2862(x21 196)( x) x 114(tmđk)
Vậy chiều dài hcn lúc đầu là 114, chiều rộng lúc đầu là 72.

Bài 15. Tính cạnh của một hình vng biết rằng nếu chu vi tăng 12m thì diện
tích tăng thêm 135m2_?

Hướng dẫn:

Gọi cạnh của hình vng là x (m); x > 0.

Theo bài ra ta có phương trình: x2₁₃₅(x₃)2  x _21(tmđk)

Vậy cạnh của hình vng là 21m.
Dạng toán quan hệ giữa các số:

Bài 16. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số. Biết rằng tổng của 2 chữ số là 10 và nếu
đổi chỗ 2 chữ số được số mới lớn hơn số cũ 36.

Hướng dẫn:

Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (0 x 9)
Khi đó chữ số hàng đơn vị là 10 – x

Theo bài ra có phương trình:10x10 x 36 10 10 ( x) x  x 3(tmđk)
Vậy số cần tìm là 37.

Bài 17. Cho một phân số có mẫu số lớn hơn tử số 11 đơn vị. Nếu tăng tử số
thêm 3 đơn vị và giảm mẫu số 4 đơn vị thì giá trị phân số mới là 3

4. Tìm phân
số đã cho?

Hướng dẫn:

Gọi mẫu số của phân số cần tìm là x (x0).
Khi đó tử số của phân số là: x – 11

Theo bài ra ta có phương trình: x x
x

  _{  }


11 3 3

20

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Vậy phân số cần tìm là: 9
20
Dạng tốn làm chung công việc

Bài 18. Hai máy bơm làm việc thì sau 12 giờ bơm nước đầy bể. Nếu máy I bơm
3 giờ và máy II bơm 18 giờ thì hai máy cũng bơm nước đầy bể. Hỏi mỗi máy
bơm một mình thì trong bao lâu nước đầy bể?

Hướng dẫn:

Gọi thời gian máy I bơm một mình đầy bể là x (giờ), x>0.
Theo bài ra ta có phương trình: 3 18 1 1 1; x 30

x 12 x

 

 _  _ 

  (thỏa mãn)
Máy I bơm một mình 30 giờ đầy bể.

Máy II bơm một mình 20 giờ đầy bể.

Bài 19. Hai người công nhân cùng làm chung cơng việc trong 12 giờ thì xong.
Nhưng chỉ làm được trong 4 giờ, người kia đi làm công việc khác, người thứ
hai làm tiếp trong 10 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao

lâu xong công việc?

Hướng dẫn:

Người 1: 60 giờ. Người 2: 15 giờ.
Dạng toán thực tế.

Bài 20. Số học sinh khá của khối 8 bằng 5

2 số học học sinh giỏi . Nếu thêm số
học sinh giỏi 10 bạn và số học sinh khá giảm đi 6 bạn, vì vậy số học sinh khá
gấp 2 lần số học sinh giỏi . Tính số học sinh giỏi khối 8?

Đ/S : 52 học sinh.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Đ/S: năm nay em 6 tuổi và anh 18 tuổi.

PHẦN 2. HÌNH HỌC.

Bài 22. Cho tam giác ABC có AB = 9cm, điểm D thuộc cạnh AB sao cho AD =
6cm. Kẻ DE song song với BC (EAC), kẻ EF song song với CD (FAB). Tính độ
dài AF.

Hướng dẫn:

Áp dụng định lý Ta – let vào ΔABC (DE//BC) và ΔADC(FE//DC) ta có:

AD AE

AB  AC 

2
3;

AF AE

AD  AC

2

3  AF = .AD . 

2 2

6 4

3 3 (cm).

Bài 23. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm và
A’B’ = 8mm, B’C’ = 10mm, C’A’ = 12mm

a) ΔA’B’C’ có đồng dạng với ΔABC khơng? Vì sao?
b) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đó?

Hướng dẫn:

a) Ta có AB AC BC

A'B' A'C' C'A'  

1

2 ΔABC đồng dạng với ΔA’B’C’ (c.c.c)
b) Tỉ số chu vi của hai tam giác đó là 1

2 .

Bài 24. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích 36cm2_{, AB = 4cm, CD =}
8cm. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác COD.

F

E
D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Hướng dẫn:

Gọi HK là đường cao của hình thang ABCD.

Chứng minh được ΔOAB đồng dạng với ΔOCD(g.g)

AB HO

DC KO 

1
2

Mặt khác ta tính được HK=HO+KO = 6cm.
Vậy OK=4cm và S_COD 16(cm )2 .

Bài 25. Cho ΔABC vng tại A có B 2C, đường cao AD.
a) Chứng minh ΔADB ∽ ΔCAB

b) Kẻ tia phân giác của góc ABCcắt AD tại F và AC tại E.
Chứng tỏAB2 AE.AC

c) Chứng tỏ DF AE

FA  EC.

d) Biết AB = 2BD. Chứng tỏ diện tích ΔABC bằng ba lần diện tích ΔBFC.
Hướng dẫn:

a) ΔADB ∽ ΔCAB(g.g)

K
H

O

D _C

B
A

F

E

D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

b) Vì B 2C nên ABE EBC C   

Do đó ΔABE ∽ ΔACB (g.g) AB AC AB AE.AC
AE AB

   2 

c) Từ kết quả câu a suy ra BA BD

BC  AB. Theo tính chất đường phân giác ta có:

BA EA

BC  EC và

BD FD
BA  FA

FD EA

FA  EC.

d) Có BD
AB 

1
2 mà

BD FD
AB  FA 

FD BD
FA  BA 

1

2 FA=2FD hay AD = 3FD
mà S_ABC 1BC.AD; S_BFC 1BC.FD

2 2 SABC3SBFC.

Bài 26. Cho tam giác ABC (AB<AC), đường phân giác AD. Trên tia đối của tia
DA lấy điểm I sao cho ACI BDA  . Chứng minh rằng:

a) ΔADB ∽ ΔACI và ΔADB ∽ ΔCDI
b) AD2AB.AC DB.DC 

Hướng dẫn:

a) ΔADB ∽ ΔACI (g.g) và ΔADB ∽ ΔCDI (g.g)

b) Từ ΔADB ∽ ΔACI AB AD AB.AC AD.AI

AI  AC  (1)
I

D

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

và ΔADB ∽ ΔCDI AD DB AD.DI CD.DB

CD DI

    (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD.AI AD.DI AB.AC DC.DB  
hay AD2 AB.AC DB.DC _(đpcm)

Bài 27. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết AB = 2,5cm; AD = 3,5cm, BD =
5cm, DAB DBC 

a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng
b) Tính độ dài các cạnh BC và CD

c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ADB và BCD
Hướng dẫn:

a) ΔADB ∽ ΔBCD(g.g)

b) Từ câu a suy ra AD AB BC .AD (cm)

BC  BD    

1

2 7

2
Tương tự CD= 10cm

c) ADB
BCD

S AD
S BC

   
_ _ _{ } 

   

2 2

1 1

2 4

Bài 28. Cho tam giác ABC, cóA 120o, phân giác AD. Trên nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng BC không chứa A. Dựng tia Bx tạo với BC một góc CBx 60ovà
cắt AD ở E. Chứng minh rằng:

a) ΔADC ∽ ΔBDE và AE.BD = AB.BE
b) ΔABD ∽ ΔCED và ΔEBC đều.
c) BC.AE = AB.EC+AC.BE

D C

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

d)

AD AB AC

1 1 1

Hướng dẫn:

a) ΔADC ∽ ΔBDE(g.g)

Ta chứng minh được ΔEBD ∽ ΔEAB (g.g)AE AB AE.BD AB.BE
BE  BD  

b) Ta có: ΔADC ∽ ΔBDE(cmt) AD DC
BD DE
 
Lại có ADB EDC  (đối đỉnh)

Do đó ΔABD ∽ ΔCED(c.g.c)BCE BAD  60o
Vậy ΔEBC đều.

c) Vì AD là tia phân giác của BACnên ta có: BD AB BD DC

DC AC  AB  AC

Lại có BE BD

AE  AB (1) (cmt)

BE DC

BE.AC AE.DC

AE AC

    (2)

Từ (1) ta có AE.BD=BE.AB=CE.AB hay EC.AB=AE.BD (3)

Cộng (2) và (3) ta được: BE.AC+EC.AB=AE.(DC+BD)=AE.BC (đpcm)
d) Từ câu c AE.BC=BE.AC+AB.EC=AB.BC+AC.BC=BC.(AB+AC)

Suy ra AE = AB +AC.

E

D C

B

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Ta chứng minh được ΔADC ∽ ΔABE(g.g)

AB AE AB AE AB AC

AD AC AB.AD AB.AC AD AB.AC AC AB



     1   1  1 (đpcm).

Bài 29. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường
vng góc kẻ từ A đến BD.

a) Chứng minh ΔAHB ∽ ΔBCD.
b) Tính độ dài AH

c) Tính diện tích AHB
Hướng dẫn:

a) ΔAHB ∽ ΔBCD(g.g)

b) Từ câu a suy ra AH AB AH ,

BC BD  7 2cm.

c) AHB

AHB
BCD

S AB

S , (cm )
S BD

 

_ _   
 

2

2

16

34 56

25

Bài 30. Cho ΔABC có AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 4cm.
a) Chứng minh ΔABC vng tại A.

b) Tính độ dài đường cao AH của ΔABC.

c) Từ H lần lượt kẻ các đường thẳng song song với AB, AC. Các đường thẳng
này cắt AB tại E và AC tại F. Chứng minh ΔBEH ∽ ΔHFC. Từ đó suy ra

BE.HC=HB.HF.

d) Chứng minh AB HB
AC  HC

2

2

H

D _C

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Hướng dẫn:

a) Sử dụng định lý Py – ta – go đảo.

b) Ta chứng minh được ΔABC ∽ ΔHBA(g.g) HA AB AH , (cm)

AC BC

   2 4

c) ΔBEH ∽ ΔHFC(g.g) BE HB BE.HC HF.HB

HF HC

   

d) Ta chứng minh được ΔAHB ∽ ΔABC(g.g) AB2 BC.HB₍₁₎

Chứng minh tương tự với hai tam giác CHA và CAB, ta có: AC2 BC.HC₍₂₎
Chia (1) cho (2) ta có: AB BC.HB HB

AC  BC.HC  HC
2

2 (đpcm)

Bài 31. Cho tam giác ABC, AB

AC

8

9. Trên cạnh AC, AB lấy các điểm D và E sao
cho AE=AD=2DC, các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại I. Tính giá trị biểu
thức IB + IC

ID IE.
Hướng dẫn:

F
E

H

C
B

A

I

F
D
E

C
B

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt CE tại F DF DC

AE AC

  1

3
(Vì DC

AD 

1
2) 

AE AC

DF 2

3 9 (vì AE = AD = AC
2
3 )
Ta có BE = AB – AE =8AC AD 8AC2AC2AC

9 9 3 9 .

Suy ra DF = BE Tứ giác EDFB là hình bình hành.
Mặt khác CF

CE 

1

3 nên IF=IE=FC và IB=ID
Vậy IB + IC

ID IE  1 2 3

PHẦN 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO.

Bài 32. Cho các số a, b, c thỏa mãn 1 a b c 0 , ,  . Chứng minh rằng:

2 3

a b  c ab bc ca 1  
Hướng dẫn:

Vì a, b, c

 

,  b b ;c c2  3
0 1

Và (1a)(1b)(1 c) 0 hay a b c ab bc ca abc      1

Suy ra a b c ab bc ca     1 a b     2 c3 ab bc ca 1_(đpcm).
Bài 33. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: _x2_{  }_x ₃ _y2

.
Hướng dẫn:

Ta có: x2  x 3 y2  4x24x12 4 y2 (2x1)24y2  11
( x y )( x y )

 2 2 1 2 2 1  11

Do x, y nguyên nên 2x + 2y +1 và 2x – 2y +1 là các số nguyên
Do đó xảy ra các trường hợp sau:

2x2y1=1 và 2x2y1 = - 11. Tìm được x = - 3 và y = 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

2x2y1=11 và 2x2y1 = -1. Tìm được x = 2 và y = 3

2x2y1= -11 và 2x2y1 = 1. Tìm được x = -3 và y = - 3
Bài 34. Cho ba số a, b, c khác 0, thỏa mãn (a b c) 1 1 1 1

a b c

 

  _   _

  . Tính giá trị
của biểu thức M



a2015b2015



b2017 c2017



c2019a2019



Hướng dẫn:

Từ   _   _

 

1 1 1

(a b c) 1

a b c a b c   a b c 

1 1 1 1



a b a b c c    

1 1 1 1

(a b)(b c)(c a)   0  a b; b c; a c
Vậy M



a2015b2015



b2017c2017



c2019a2019



0
Bài 35. Chứng minh rằng:

Nếu 1 1 1 2

x  y z và x + y + z =xyz thì 2 2 2

1 1 1

2
x  y  z 
Hướng dẫn:

Ta có:

2

1 1 1 1 1 1

2 4

x y z x y z

 

   _   _ 

 

2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 4

xy yz zx

x y z

 

    _   _

 

1₂ 1₂ 1₂ 2(x y z) 4
xyz

x y z

 

    

2 2 2

1 1 1 2xyz
4
xyz

x y z

     ( Vì x + y + z = xyz )

2 2 2

1 1 1 2xyz

4

xyz

x y z

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

2 2 2

1 1 1

4 2 2

x y z

     

Bài 36. Tìm số tự nhiên n để (5xn 2 7 y 8xn 2 8 y )chia hết cho _{5x y}3 n 1
Hướng dẫn:

Để (5xn 2 7 y 8xn 2 8 y )_{chia hết cho}5x y3 n 1 thì:

n 2 3 n 5

n 2 3 n 1 n 5

n 1 7 n 6 n 6

n 1 8 n 7

  

 

 _{ }  _ _ _

 _ _

 _{ }  _  _


 

 _{ }  _

 

Vậy n = 5, n = 6.

Bài 37. Cho phương trình:



m2 4 x m 2 0



   (ẩn x)
a) Tìm m để phương trình nhận x = 1 làm nghiệm
b) Giải và biện luận PT theo m

Hướng dẫn:

a) Thay x = 1 vào phương trình (1) ta được:
m2    m m2  m

4 2 0 2 0

m
m




 _ _{ }1₂

b) Xét m =2, pt (1): 0.x + 4 = 0 phương trình vô nghiệm
Xét m = -2, pt (1): 0.x =0  phương trình có vơ số nghiệm
Xét m 2, phương trình có nghiệm duy nhất x m

m m
 

 

 

2

2 1

4 2
Bài 38. Giải phương trình: (x26x 9) 215(x26x 10) 1 
Hướng dẫn:

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

t2 t 

15 16 0  t (tm)

t (l)



  

16
1

Với t = 16 ta có x x x
x


   _{ }
 

2 7

6 9 16

1
Vậy x = - 1 và x = 7.

Bài 39. Giải phương trình: ₂ 4x ₂ 3x 2
x 4x 7  x 5x 7 
Hướng dẫn:

Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x0 ta được:

x x
x x
 

   
4 3
2
7 7
4 5
.

Đặt x y
x

 7 ta có y y (y )( y )

y  y         
2

4 3

2 2 25 72 0 8 2 9 0

4 5
y
y




 

8
9

2

Giải ra ta được x= 1 và x =7.

Bài 40. Chứng minh rằng: _n3__6n2__8n_{chia hết cho 48 với mọi số chẵn n.}

Hướng dẫn:

Ta có: n36n28n n n ( 26n 8 )n n( 24n 2n 8  )n n 2 n 4(  )(  )
Đặt n=2k ( vì n chẵn)

Do đó: n(n 2)(n 4) 2k(2k 2)(2k 4) 2.2.2.k.(k 1)(k 2)       
= 8(k 2)(k 1)k 48  

</div>

<!--links-->