Bài tập Hình học trường Đông của thầy Sỹ Đức Quang và thầy Lê Bá Khánh Trình

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Bài tập hình học trường Đơng của thầy Sỹ Đức

Quang và thầy Lê Bá Khánh Trình

Thầy Sỹ Đức Quang

Bài 1. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Lấy P là một điểm nằm
trong(O)và khác O. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tạiD, xác định tương tự
với E, F. Lấy X là điểm Lemoine của 4BP C. Xác định tương tự với Y, Z. Chứng minh
rằng DX, EY, F Z đồng quy.

Bài 2. Cho tam giácABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn(O). LấyD, E, F lần lượt là chân
các đường cao của tam giácABC. Đường tròn(AOD),(BOE),(COF)cắt lại(DEF)tại
X, Y, Z.

a) Chứng minh AX, BY, CZ đồng quy.

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, L1, L2 lần lượt là điểm Lemoine của 4ABC và

4XY Z. Chứng minh rằng HL1 kOL2.

Bài 3. Cho tam giácABC nhọn khơng cân có tâm nội tiếp (I). Gọi X, Y, Z lần lượt là chân các
đường đối trung tại đỉnh I của 4BIC,4CIA,4AIB. Chứng minh rằng AX, BY, CZ
đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác ABC khơng cân có trọng tâm G. Lấy D, E, F lần lượt là trung điểm
BC, CA, AB. Dựng đường tròn qua E, F và tiếp xúc với cung nhỏ BC của (O) tại X.
Tia XG cắt (DEF)tại A1. Xác định tương tự với Y, Z và B1, C1. Chứng minh rằng
a)AA1, BB1, CC1 đồng quy.

b)AG, BZ, CY đồng quy.

Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có trực tâm H nội tiếp (O) và trọng tâm G. Chân
đường cao ứng với đỉnh A, B, C lần lượt là D, E, F. Đoạn GA, GB, GC cắt (DEF)

lần lượt tại Ga, Gb, Gc. Các tia HGa, HGb, HGc cắt (O) tại X, Y, Z. Các đường tròn

(AOD),(BOE),(COF) cắt lại (O)tại X0, Y0, Z0. Chứng minh rằngXX0, Y Y0, ZZ0 đồng
quy trên OH.

Bài 6. Cho tam giác ABC không cân, điểm P bất kì trong tam giác. Lấy D, E, F lần lượt là
trung điểm các cạnhBC, CA, AB. TiaAP, BP, CP lần lượt cắt(O)tại X, Y, Z. Lấy điểm
A1, B1, C1 thỏa mãn

−−→

AA1 = 2

−−→

DX,−−→BB1 = 2

−−→

EY ,−−→CC1 = 2

−→

F Z. Chứng minh đường tròn

(A1B1C1) đi qua điểm cố định khi P thay đổi.

Bài 7. Cho tam giácABC có chân đường cao hạ từ A, B, C lần lượt là D, E, F. Lấy A1, B1, C1
thuộc đường tròn (ABC) sao cho AA1, BB1, CC1 đồng quy tại X. Lấy A2, B2, C2 đối
xứng của A1, B1, C1 qua D, E, F. Chứng minh rằng (A2B2C2) đi qua trực tâm của tam
giác ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 8. Cho tam giácABC ngoại tiếp(I). Đường thẳng quaAvng góc vớiAI cắt đường trung
bình của 4ABC ứng với đỉnhA tại X. Định nghĩa tương tự vớiY, Z.

a) Chứng minh rằng đường tròn (AXI),(BY I),(CZI) có một điểm chung khác I nằm
trên IG (G là điểm Gergone của tam giác ABC)

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Lấy X0, Y0, Z0 đối xứng với X, Y, Z
qua trung điểmN P, P M, M N. Chứng minh X0, Y0, Z0 thẳng hàng và vng góc vớiOI.
Bài 9. Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB là D, E, F. Lấy
K là giao điểm củaEF vàBC. Đường trịn đường kínhDK cắt(I)tại P khácD. Đường
tròn(AEF) cắt (ABC)tại T khácA. Tiếp tuyến tại P của (I)cắt AT tại S.D0 là chân
đường phân giác ứng với đỉnh A của 4ABC. Chứng minh rằng SD0 tiếp xúc với (I).
Bài 10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), AC cắt BD tại K. Lấy G, H là trung điểm AB, CD.

(I) là đường tròn (GHK). (I) giao (O) tại M, N sao cho tứ giác M GHN lồi. M G cắt
HN tại P,M N cắt GH tại Q. Chứng minh P K ⊥IQ.

Bài 11. Cho tam giácABC ngoại tiếp (I)tiếp điểm trênBC, CA, AB là D0, E0, F0. Lấy Qthuộc
tam giác ABC, AQ, BQ, CQ cắt BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Tiếp tuyến của (I)

tại M, N, P cắt nhau tại thành tam giác DEF. Chứng minh rằng DD0, EE0, F F0 đồng
quy.

Bài 12. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I) có đường trịn bàng
tiếp (Ia),(Ib),(Ic). Đường thẳng qua Ia song song với IcC cắt IbB tại O1. Đường thẳng

quaIa song song vớiIbB cắtIctại O2. Xác định tương tựO3, O4 ứng vớiIb và O5, O6 ứng
với Ic.

a) Chứng minh đường thẳng qua Ia vng góc vớiO1O2, đường thẳng qua Ib vng góc

với O3O4 và đường thẳng qua Ic vng góc với O5O6 đồng quy.

b) Giả sử (Ia) tiếp xúc với BC, CA, AB tại K, M, N. Chứng minh rằng nếu trung điểm

của M N nằm trên (O) thì K nằm trên OI.

Bài 13. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). Đường tròn (I) tiếp xúc
với BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Đường trịn bàng tiếp đối diện góc A là (Ia) tiếp xúc

BC, CA, AB tại A2, B2, C2.

a) Lấy IIa cắt A1C1, A2B2 lần lượt tại M, N. Chứng minh M, N, A1, A2 đồng viên.

b) Giả sử bán kính đường trịn(O)và(Ia)bằng nhau. Chứng minh BB2 vàCC2 cắt nhau

trên (O).

Bài 14. Cho tam giácABC ngoại tiếp (I), tiếp điểm trên AC, AB làE, F. LấyM là trung điểm
AB. AM cắt EF tại N. Đường trịn đường kính BC cắt BI, CI lần lượt tại X và Y.
Chứng minh rằng N X

N Y =
AC
AB.

Bài 15. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm ngoại tiếp (O). Đường tròn nội tiếp (I) tiếp
xúc với BC tại K. Chứng minh rằng IOkBC khi và chỉ khi AOkHK.

Bài 16. Cho tam giác ABC nhọn không cân. Lấy Dthuộc BC. GọiI1, I2 lần lượt là tâm nội tiếp
của 4ADB và 4ADC. Lấy O1, O2 là tâm ngoại tiếp của 4AI1D và 4AI2D. Lấy P là
giao điểm của I1O2 và I2O1. Chứng minh rằng DP ⊥BC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Thầy Lê Bá Khánh Trình

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định và A thay đổi trên (O). Dựng ra phía
ngồi tam giác các hình vng ABEG vàACF K. AK cắt BE tại M và AG cắt CF tại
N. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (EM K) và (F N G) đi qua
điểm cố định khi A thay đổi.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Trên BC lấy Lb, Lc sao cho ALb ⊥OB và ALc⊥

OC. Các trung tuyến qua Lb, Lc của các tam giác LbAB và LcAC cắt nhau tại Ka. Xác

định tương tự vớiKb, Kc. Chứng minh rằng AKa, BKb, CKc đồng quy.

Bài 3. Cho tam giácABC không cân cóDlà trung điểmBC. Dựng ra phía ngồi tam giácABC
hai tam giác vuông tại B và C đồng dạng với nhau là 4ABE và 4ACF. Lấy M, N lần
lượt là hình chiếu củaB trênAF vàC trên AE. LấyT là giao điểm thứ hai của(M DN)

giao với BC. Chứng minh rằng AT, BF, CE đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác ABC có trung tuyến AI nội tiếp (O) và A cố định, B, C thay đổi trên

(O). Lấy P, Q trên AI sao cho P A = P B và QA = QC. Lấy hai điểm M, N sao cho

∠BAN =_∠ACN =_∠ABM =_∠CAM = 90◦. Chứng minh rằng M N, BP, CQ đồng quy
tại một điểm thuộc một đường tròn cố định khi B, C thay đổi.

Bài 5. Cho tam giácABC nội tiếp(O) và ngoại tiếp(I). Đường tròn (I)tiếp xúc vớiBC tại D,
kẻ đường kínhDE của (I). Lấy điểm F trênOI sao cho tiaAF đối xứng với tiaAE qua
AI. Chứng minh rằng DF đi qua giao điểm khác A của đường trịn (O) và đường trịn
đường kính AI.

Bài 6. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD và đường phân giác AL. Lấy K sao cho
∠LDK =_∠LAK = 90◦. Lấy H đối xứng với A quaD. Đường tròn (AKH)cắt AB, AC
lần lượt tạiE, F. Tia AL cắt EF tại G. Chứng minh BC, EF cắt nhau trên (AGH).
Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Lấy D trêm cung nhỏ BC và E, F trên AB, AC

sao cho AEDF là hình bình hành. K là giao của EF của BC và M, N lần lượt là trung
điểm BC, EF. Chứng minh D, K, M, N đồng viên.

Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) cóB, C cố định và A thay đổi trên (O). Kẻ đường kính
AD, từ Dkẻ tiếp tuyến với (O)cắt BC tại K.KO cắt AB, AC lần lượt tại E, F. GọiT
là tâm đường tròn (AEF). Chứng minh AT đi qua điểm cố định khi A thay đổi.

Bài 9. Cho tam giácABC nhọn có đường caoAH. LấyDlà trung điểmBC. Đường tròn(ABH)

cắtAC, ADtạiE, M. Đường tròn(ACH)cắtAC, ADtạiF, N. Đường tròn(DM H)giao

(ACH) và (DN H) giao (ABH) tại điểm thứ hai lần lượt là P, Q. Chứng minh P Q đi
qua trung điểmEF.

Bài 10. Cho tam giácABC nội tiếp(O)cóBC cố định vàAdi chuyển trên (O)sao cho tam giác
ln nhọn. Gọi E, F là hình chiếu củaB và C trên phân giác trong góc A. LấyM, N lần
lượt là các điểm đối xứng của E, F qua AB, AC. Gọi K là giao của BN và CM. Chứng

minh rằng AK đi qua một điểm cố định khi A di chuyển.

</div>

<!--links-->