Tổng hợp kiến thức ôn tập giữa kỳ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (889.55 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

A. HÀM SỐ

1) Dạng 1: Bài tập tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số. 
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm





2 1

4 3

ln 4

y x x

x

   

 .
Giải:

Ta có:







3 1 0

4 3 0

0 4 1 4 5

x x

  


    

 

     

 

4 5

x

x
x

x
 


    

  


hoặc x5.

Vậy TXĐ: D



4;

  

\ 5 .
Ví dụ 2: Tìm tập giá trị của hàm

2
2

1
1
x x
y

x x
 


  .
Giải:

TXĐ: Dℝ.

Note: Luôn xác định TXĐ trước khi tìm TGT.
Ta có:

2
2

1
1
x x
y

x x
 


  mà
2

1 0,

x     x x ℝ

Nên: yx2yx y x2  x 1



y1



x2



y1



x  y 1 0 (*).
Bài toán tương ứng là tìm y để phương trình (*) có nghiệm. Khi đó:

 Nếu y1, x0.

 Nếu y1, ta có:









1 4 1

y y

    



 





1 2 2 3 1 3 0

y y y y

        

3
3 y
  

Vậy TGT: 1;3
3

S   

 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Tóm tắt lý thuyết:

1. Hàm số f x

 

được gọi là chẵn nếu

 

x TXD x TXD

f x f x

  



  


 Đồ thị đối xứng qua trục tung.
2. Hàm số f x

 

được gọi là lẻ nếu

 

x TXD x TXD

f x f x

  



   



 Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ 0.

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của hàm





ln 1

y x x .

Giải:

TXĐ: Dℝ., x ℝ  x ℝ

 TXĐ đối xứng.

Ta có: f

 

 x ln



 x 1 

 

x 2







2
1

ln 1 ln

1
x x

x x

 

     

 

  (liên hợp)





 

ln x 1 x f x

      .

Vậy y là hàm lẻ.

Note: TXĐ không đối xứng  hàm không chẵn, không lẻ.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: bất kì hàm số f x

 

nào xác định trong một khoảng đối xứng



a a;



cũng
đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.

Giải:

Giả sử: f x

     

h x g x (1)

Với h x g x

   

, lần lượt là hàm số chẵn, lẻ xác định trên



a a;



. Khi đó:

         

f    x h x g  x h x g x (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

 

   

 

h x g x f x

h x g x f x

 




  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Hệ phương trình cho ta nghiệm duy nhất

 

1
2
1
2

h x f x f x
g x f x f x

     

 




     


(chứng minh tính duy nhất)

 

2 2

f x f x f x f x f x

         .

(chẵn) (lẻ)

3) Dạng 3: Hàm tuần hoàn.

Định nghĩa: Một hàm số f x

 

được gọi là tuần hoàn nếu  T

 

R 0 sao cho

 





f x  f x T x TXD   .

Ví dụ: Xét tính tuần hồn và tìm chu kì của hàm số sau (nếu có) f x

 

Acos x Bsinx.
Giải:

 Trường hợp 1: A B 0

 

f x

  , là hàm hằng nên tuần hồn nhưng khơng có chu kì cơ sở.

 Trường hợp 2: 2 2

A B 

+ Trường hợp 2.1: Nếu   0 f x

 

A là hàm hằng nhưng khơng có chu kì cơ sở.
+ Trường hợp 2.2: Nếu  0. Giả sử T là số dương nhỏ nhất thỏa mãn

 





f x  f x T  x ℝ.









sin cos sin cos

A x B x A x T B x T

         









sin sin cos cos 0

A x T x B x T x

            









2 cos sin 2 sin sin 0

2 2 2 2

x T T x T T

A    B   

  









cos sin sin 0

2 2 2

x T x T T

A   B  

  

   

 





sin 0

2 2

T T

n n

 

     Z





2 n

T  n

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

min
2

T 

 

 khi n1

 

f x

 tuần hồn với chu kì cơ sở T  2
 .
4) Dạng 4: Hàm hợp.

Cho hai hàm số f g, . Hàm hợp của f và g, kí hiệu fog là hàm số được định nghĩa:



fog

 

x  f g x

 

.

Ví dụ: Tìm f x

 

biết: 2
2

1 1

f x x

x x

   

 

  .

Giải:

TXĐ: DR\ 0

 

Đặt: 2 2

1 1

t x t x

x x

      (cauchy)

2 2 2

2 2

1 1

2 2 2

t x x

x x

     

4 2

t t

   

 

2
f t t

   với t 2
Vậy

 

f x x  với x 2.

5) Dạng 5: Hàm ngược.

Ví dụ cấp 3: ye yx, ln

 

x là 2 hàm ngược, đối xứng nhau qua đường thẳng yx.
Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm số sau: 1





x x

y e e .

Giải:

Ta có:

 





0,
2

x x

f x  e e   x ℝ

 

f x

 đơn điệu tăng trên

 

1
 f x

  trên ℝ

Mặt khác: 1





2 1

x x x x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

 

2 1 0

x x

e ye

   









1 0
1 0

x
x

e y y thoa man

e y y loai

    




    







ln 1

x y y

    .

Đổi vai trò x y, ta được hàm ngược:





ln 1

y x x  .

Chú ý: Chúng ta sẽ làm quen 4 hàm lượng giác ngược arcsin , arccos , arccot , arctanx x x x.
B. GIỚI HẠN

1. Dãy số
Ví dụ 1:





1
lim

n

I

n n n





 





2 2

2 2

1 1

lim lim 2

1
1

n n

n n n

n n n

 

 

   



  .

Ví dụ 2:

1 2 3

1 2 3 ...
lim

n
n

n

n
I

n


   

 .

Ta có:

2 3 1 2

1 2 3 ... ...

n n n

n n n n n

n n n

      

  





1
.

1 1 1

n n

n n n n n

  

  

  

Mà lim 1 1

n

I
n

     (Đ/l kẹp).
2. Hàm số

 Vô cùng bé (VCB): 

 

x 0 khi xx0.

 Vô cùng lớn (VCL): 

 

x   khi xx0.

 7 dạng vô định: 0 0 0

, , , 0. , 1 , , 0
0



     

 .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 1:

2
2

4 2 3

lim

x

x x x

I

x x



  



 

3 3

lim

2 2

x

x
x



  .

Ví dụ 2:

3
5

sin 1 sin1
lim

1 2 ln cos 1

x

I

x x



 


  .

Khi x0, ta có:

 1 2 ln cos





1 ~ 1.



2 ln cos



x x x x

  

 

 









2 3

2 2 2 1

ln 1 cos 1 ~ cos 1 ~

5 5 5 2 5

x x x

x x x   x

        

  .



3 3 3

3 1 1 1 1 1 1 2 1 3

sin 1 sin1 2 cos sin ~ 2 cos1 ~ 2 cos1 cos1

2 2 2 2 2

x

x x x

x       x

    .

0 3

1
cos1

5
2

lim cos1

1 2

x

x
I

x


   .

Ở đây vận dụng các VCB tương đương khi x0

 x~ sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~x x x x ex1 ~ ln 1



x







1x



1 ~x, đặc biệt m1 1 ~

x x

m


   .

 1 cos ~ 2
2
x
x

 .

3. Hàm số liên tục

Cho hàm số f x

 

xác định trong một lân cận nào đó của x0. Nó được gọi là:
(+) liên tục phải tại x0:

 

lim

xx f x  f x

() liên tục trái tại x0:

 

lim

xx f x  f x

(=) liên tục tại x0:

 

0
lim

xx f x  f x .

Ví dụ: Tìm a để hàm số liên tục tại x0:

 

1, 0

cos sin , 0

ax bx neu x

f x

a x b x neu x

   

 

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có:

 

0 .0 .0 1 1

f a b  

(+)

 

0 0

lim lim 1 1

x x

f x ax bx

 

     
()

 

0 0

lim lim cos sin

x x

f x a x b x a

 

    

Để hàm số liên tục tại x0

 

0 0

0 lim lim

x x

f  f x  f x

 

  

a
  .

C. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 
Dạng 1: Đạo hàm theo định nghĩa.

 

0
0

0
lim

x x

f x f x
f x

x x




 



Đặt:   x x x0  x x0 x

 





 

0
lim

x

f x x f x
f x

x
 

  


 

 .

Ví dụ 1: Cho hàm số f x

 

khả vi tại 1, biết rằng









1 7 1 2

lim 2

x

f x f x

x


  

 . Tính f

 

1 .
Giải:

Ta có:









1 7 1 2

2 lim

x

f x f x

x


  







 





 

1 7 1 1 2 1

lim 7 2

7 2

x

f x f f x f

x x



   

 

   

 

 

7f 1 2f 1 5f 1

  

 

2
1

f

  .

Ví dụ 2: Cho hàm số

 

, 0

0 , 0

x

e x

f x

x



 
 

 



. Tính f

 

0 .

Giải:

Ta có:

 

0 0

0 lim lim

x

x x

f x f e

f

x x

 



  



  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

 

1 1

lim lim 0

L

t t

t
t

x e e

    .

Dạng 2: Đạo hàm theo công thức.
Ví dụ: Cho

 

sin

, 0

x

f x x  x . Xác định f

 

x .
Ta có:

 

sinx sin .lnx  x

f x x e

 

sin .ln





. sin .ln

x x

f x e x x 

 

sin sin

cos .ln

x x

x x x

x

 

   

 .

Dạng 3: Đạo hàm cấp cao.
+



uv



 n 

 

u  n 

 

v  n

+ Công thức Leibniz:

 

uv  n C unk.   k .vn k



 .

Đạo hàm cấp cao cơ bản:

 

 n .





2 ...

 



n

x         n x





2  





2 ...

 

1 1





n n

x n x 

            

 

 





1 !

1 .

1 1

n

x x 

   

  

  

 





1 !

1 1

n

x x 

  

  

  



sin



  sin

n n

x  x 

 



cos



  cos

n n

x  x 

 

 

ax  n ax



lna



n





 

  







1 1 !

ln 1 1

n n

n

n
x

x

 

  



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có: 3 3 1

sin sin sin 3

4 4

x x x

 

 





  1





 

sin sin 3

4 4

n n

n

y x x x

  

3 1

sin 3 sin 3

4 2 4 2

n

n n

x  x 

   

      

   .

D. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG 
Dạng 1: Định lý Rolle

Nếu hàm số f x

 

i) Liên tục trong khoảng đóng

 

a b;
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở

 

a b;

iii) Thỏa mãn f a

 

 f b

 

  có ít nhất một điểm c

 

a b; sao cho f c

 

0.

Ví dụ: Cho 3 số thực a b c, , thỏa mãn a b c  0. CMR: 2

3ax 4bx5c0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc
khoảng



1;



Giải:

Xét hàm số

 

5 4 3

f x cx bx ax thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle trong

 

0;1 . Do đó:

 

 

5 4 3

0 0;1 \ 0 5 0 4 0 3 0 0

x f x cx bx ax

     

0 0

1 1

3x 4b 5c 0

x x

   

     
 
 

Vậy phương trình 2

3ax 4bx5c0 có nghiệm





1
1;

x   .

Dạng 2. Định lý Lagrange
Nếu hàm số f x

 

i) Liên tục trong khoảng đóng

 

a b;
ii) Có đạo hàm trong khoảng mở

 

a b;

thì tồn tại ít nhất một điểm c

 

a b; sao cho f

 

c f b

 

f a

 

b a



 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ: Cho 0 a b. CMR: 2 arccot arccot 2

1 1

a b a b

b a

a b

    

  .

Giải:

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số f x

 

arccotx trong

 

a b; ta có:

 

arccot arccot 1

b

f c

b a c

    

  với c

 

a b; , do đó:

2 2 2

1 arccot arccot 1 1

1 1 1

b a

a b a c b



     

     ĐPCM.

E. KHAI TRIỂN MACLAURINT

1. Một số khai triển Maclaurint quan trọng











1 ...

 



 

1 1 ... 0

2! !

n n

n

x x x x x

n

         

       

2) 1 2

 

1 ... 1 0

n n n

x x x x

x       



3) 1 2

 

1 ... 0

n n

x x x x

x      



 

1 ... 0

2! !

n

x x x n

e x x

n

     

  







3 5 2 1

2 1

sin ... 1 0

3! 5! 2 1 !

n

n n

x x x

n



     



   

 

2 4 2

cos 1 ... 1 0

2! 4! 2 !

n

n n

x x x

x x

n

      





 

2 3

ln 1 ... 1 0

2 3

n

n n

x x x

n


       

2. Ứng dụng

Ví dụ 1: Tìm khai triển Maclaurint của

 

2 2

x

f x e  .

Ta có:

 

2
2

2 2

. 0

2 . !

x x n

e k n

k
k

e

e e e x x

k




 



 .

Ví dụ 2:

4
0

cos 1
2
lim

x

x
x
I

x



 

 .

Giải: Khai triển Maclaurint của cosx tới bậc 4.

2 4

cos 1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2 4 2

4
0

1 1

2 4 2

lim

x

x x x

I

x


    

 

 

 

4
0

1 1

lim

4! 24

x



   .

Ví dụ 3: Xác định y 10

 

0 với

 

sin

y x .

Ta có:

 

3 5

sin 0

3! 5!
x x

x x   x

 

6 10

2 2 10

sin 0

3! 5!
x x

x x x

    





 

 
 10
10
10

10!

sin 0 6.7.8.9.10 30240

5! 5!

x

x  

     

  .

F. TIỆM CẬN 
Dạng 1: y f x

 

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đường cong 2 1

sin

y x

x

 .

Giải: TXĐ: D \ 0

 

Ta có: 2 1 2

0 x sin x 0

x

   khi x0 2

1
lim sin 0

x x x

 

 Đường cong khơng có TCĐ

Ta lại có: 2

1
sin
1

lim sin lim
1

x x

x

x x

x

    .

 Đường cong khơng có TCN
Gọi yax b a



0



là TCX khi đó

1
sin

lim lim 1

x x

y x

a

x

x
 

  





lim lim sin 1

x x

b y x x x

x

 

 

     

 

2
0

1 sin

lim 0

t

t t

t

x  t



</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 Đường cong có TCX là yx.
Dạng 2:

 

2 arctan

x t

y t t



  

 .

Ta có: lim lim 2 arctan 1 0

x t

y t t

a

x t

 



   

Khi đó:









1 lim lim 2arctan 1

t t

b y ax t t

 

         y x là TCX phải.









2 lim lim 2arctan

t t

b y ax t

 

       y x là TCX trái.
G. TÍCH PHÂN

Dạng 1: Khai triển 
Ví dụ:





1 2 2 2 2

1 1 1

arctan
1

1
dx

I dx x C

x x x

x x

 

        



  







3 5

2 2 2 2 3

2 3 2 3

I 



x x x dx



x dx



x dx x  x C.
Dạng 2: Biến đổi biểu thức vi phân









1 4

tan

1 tan tan tan

cos 3

dx x

I x d x x C

x









    .









2 2 2 2

1 1

1 3 1 3 1 3 1 3

6 9

I 



x  x dx



 x d  x   x C.

Dạng 3: Đổi biến

2
x

I dx

x






Đặt: 2

2sin , 0;
2

x t t  

 .

Ta có: dx4sin cost tdt





2
2

2sin

tan

2 2 1 sin

x t

t

x  t 

 

4 sin 2 sin 2

I tdt t t C

 



  

Mà 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2
2 arcsin 2

2
x

I x x C

     .

Dạng 4: Từng phần





2 2

sin cos

I 



x xdx



x d  x  x2cosx2



x.cosxdx





cos 2 sin

x x xd x

  



cos 2 sin sin
x x x x xdx

    





cos 2 sin 2 cos

x x x x x C

    

Dạng 5: Hệ số bất định







2 6

1 2 4

x x

I dx

x x x

 



  



Phân tích:







2 6

1 2 4 1 2 4

x x A B C

x x x x x x

    

     

Đồng nhất thức ta giải được

3
7
5
A
B
C



  

 


3 7 5

1 2 4

dx dx dx

I

x x x

   

  



3ln x 1 7 ln x 2 5ln x 4 C



 







3 5

1 4

x x

C
x

 

 

</div>