Bài Tập Hình Bình Hành

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (338.27 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HÌNH BÌNH HÀNH

Hình Bình Hành. Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Tứ giác ABCD là hình bình hành

/ /
/ /

AB CD
AD BC


 


Tính chất. Trong hình bình hành: các cạnh đối bằng nhau, các góc đối bằng nhau,
hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

+ Tứ giác có các cạnh đối song song.

+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau.

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

A. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD, DA. Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Xét tam giác ABC ta có: M là trung điểm AB, N là trung điểm BC nên MN là
đường trung bình của tam giác ABC, suy ra

1
2

MN  AC

và MN / /AC. (1)

Xét tam giác DAC ta có: Q là trung điểm của DA, P là trung điểm của C nên QP là
đường trung bình của tam giác DAC, suy ra

1
2

PQ AC

và PQ/ /AC. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra MN / /PQ và MN PQ , do đó tứ giác MNPQ là hình bình
hành.

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABC, gọi E, F là trung điểm của AB và CD; M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm các đoạn AF, CE, BF và DE. Chứng minh rằng MNPQ là hình
bình hành.

Giải.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Q là trung điểm của DE; F là trung điểm của DC nên QF là đường trung bình của

tam giác DEC, suy ra QF / /EC và

1
2

QF  EC EN

(vì N là trung điểm EC) hay
/ /

QF EN và QF EN nên tứ giác QFNE là hình bình hành
EF

 cắt QN tại trung điểm của mỗi đường. Gọi trung điểm đó là O. (1)
Tương tự, xét tam giác ABF ta có:

E là trung điểm của AB; M là trung điểm của AF nên EM là đường trung bình của

tam giác ABF, suy ra EM / /BFvà

1
2

EM  BF PF

(vì P là trung điểm BF) hay
/ /

EM PF và EM PF nên tứ giác EMFP là hình bình hành

EF

 cắt PM tại trung điểm của mỗi đường và vì O là trung điểm EF nên O cũng
là trung điểm PM (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra PM cắt QN tại trung điểm O của mỗi đường nên tứ giác
MNPQ là hình bình hành.

Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD,
AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M, N. Chứng minh

a)AI / /CK b)DM MN NB

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Chứng minh AI // CK.

Vì K là trung điểm của AB nên

1
2

AK  AB

I là trung điểm của CD nên

1
2

CI  CD

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD
AK CI

  và AK // CI,

 tứ giác AICK là hình bình hành  AI / /CK

b)Xét tam giác DCN có MI // CN (do AI // CK) và I là trung điểm của DC
 MI là đường trung bình của tam giác DCN

M

 là trung điểm của DN

DM MN

  .

Tương tự, xét tam giác ABM có KN // AM (do AI // CK) và K là trung điểm của
AB

 KN là đường trung bình của tam giác ABM 
N

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

BN MN

  .

Vậy ta có BN NM MD.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE vng góc với
AB. Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vng góc với CE tại F; MF cắt
BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì ? b)Tam giác EMC là tam giác gì ?
c)Chứng minh BAD 2AEM

Giải.

a)Ta có MN CE AB CE;   NM / /AB MN / /CD
mà MD/ /NC(ABCD là hình bình hành)

MNCD

 là hình bình hành.

b)Vì MNCD là hình bình hành

1 1

2 2

CN DM AD CB

   

N

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Vậy trong tam giác CBE thì NF là đường trung bình (đường thẳng song song với
đáy và đi qua trung điểm một cạnh)

F

 là trung điểm CE

Mà MF vuông góc với CE tại F
MF

 là đường trung trực của CE  MC ME  MCE cân.
c)Ta có: 2AEM 2EMF (vì so le trong) EMC (vì MCE cân) (*)
Vì AD = 2AB  MN CD MD  và NC CD

Do đó ta có MNC MDC (c - c - c )  NMC CMD
Do đó ta suy ra EMC NMD NCD BAD   (**)

Từ (*) và (**) ta có 2AEM BAD

Ví dụ 5. Cho hình thang vng ABCD, có A = B = 90o và AD = 2BC. Kẻ AH

vng góc với BD (H thuộc BD). Gọi I là trung điểm của HD. Chứng minh rằng:
CI  AI.

Giải.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Gọi J là trung điểm của AH với I là trung điểm của HD  IJ là đường trung bình

của tam giác AHD  IJ / /AD và

1
2

IJ  AD BC
/ /

IJ BC

 và IJ BC

BCIJ

 là hình bình hành  BJ / /CI (1)
Vì IJ / /AD IJ AB

J

 là trực tâm tam giác BAI  BJ AI (2)
Từ (1) và (2)  CI AI.

B. Bài Tập.

Bài 1. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D,
E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung
điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và
DN đồng qui.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, O là
giao điểm 3 đường trung trực. Gọi M là điểm đối xứng với A qua O.

a) Tứ giác BHCM là hình gì ? Giải thích?

b) Gọi N là hình chiếu vng góc của O lên BC. Chứng minh H, N, M thẳng hàng.
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia
CA lấy điểm E sao cho DB CE , BC cắt DE ở F. Chứng minh F là trung điểm của

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh CD,
P là điểm thuộc cạnh BC



PB PC



, Q là điểm thuộc cạnh AD



QA QD



. Biết
MPNQ là hình bình hành, chứng minh BC song song AD.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, gọi d là đường thẳng qua A và không cắt đoạn
thẳng BD. Gọi BB’, CC’, DD’ lần lượt là khoảng cách thừ B, C, D đến đường
thẳng d



B C D', ', 'd



. Chứng minh BB DD' 'CC'.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, các đường phân giác của góc A và góc D cắt
nhau tại M, các đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại N. Chứng minh
MM // AB.

Bài 7. Cho tam giác ABC đều. D là điểm thuộc cạnh AC. Đường thẳng qua D và
vng góc với AB cắt đường thẳng vẽ từ C vng góc với BC tại E. Gọi M là
trung điểm của đoạn AD. Tính MBE .

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho
AE EF FC  . Gọi M là giao điểm của BF và CD, N là giao điểm của DE và AB.
Chứng minh

a) M, N lần lượt là trung điểm của CD và AB.
b) EMFN là hình bình hành.

Bài 9. Cho tam giác ABC. Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và

I, J, K lần lượt là trung điểm của các đoạn NP, BP, NC. Chứng minh tứ giác IJKQ
là hình bình hành.

</div>