Sử dụng lượng giác để tính tổng của một dãy số - Hoàng Minh Quân

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Hoàng Minh Quân - GV. THPT Ngọc Tảo - Hà Nội
Email:

SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ DÃY SỐ

Việc tính tổng của một dãy số chúng ta có khá nhiều phương pháp khác nhau. Bài viết sau chúng tơi
xin trình bày thêm một phương pháp khác mà ở đó chúng ta vận dụng kiến thức lượng giác và đạo
hàm cơ bản nhưng rất hiệu quả trong việc tính tổng một số dãy số nguyên.

I. KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

Trước hết xin nhắc lại một số kết quả về các tổng lượng giác như sau:
1.1)sinx+ sin 2x+...+ sin(n−1)x+ sinnx=cos

1

2x−cos n+
1
2

x

2 sin1
2x

.
1.2)cosx+ cos 2x+...+ cos(n−1)x+ cosnx=sin n+

1
2

x−sin1₂x

2 sin1₂x .

1.3)sinx−sin 2x+ sin 3x−...∓sin(n−1)x±sinnx= sin
1

2x±sin n+
1
2

x

2 cos1₂x .

(Trong tổng trên sử dụng dấu ở trên hay dấu ở dưới tùy thuộc vàonlẻ hoặcnchẵn. )
1.4)cosx−cos 2x+ cos 3x−...∓cos(n−1)x±cosnx= cos

1

2x±cos n+
1
2

x

2 cos1₂x .

Chứng minh
1.1) Chúng ta có

cos1
2x−cos

3
2x

+

cos3
2x−cos

5
2x

+...+ [cos (n−1)x−cos (n+ 1)x]
= 2 sin1

2x[sinx+ sin 2x+...+ sin(n−1)x+ sinnx].
Từ đó đẳng thức 1.1) được chứng minh.

1.2) Việc chứng minh đẳng thức 2) thực hiện tương tự chứng minh đẳng thức 1).
1.3) Chúng ta chứng minh vớinlẻ, trường hợpnchẵn chứng minh tương tự.
Xét vớinlẻ, chúng ta có

sin1
2x+ sin

3
2x

−

sin3
2x+ sin

5
2x

+...+ [sin (n−1)x+ sin (n+ 1)x]
= 2 cos1

2x[sinx−sin 2x+...−sin(n−1)x+ sinnx].
Vậy đẳng thức 3) được chứng minh.

1.4) Việc chứng minh đẳng thức 1.4) thực hiện tương tự chứng minh đẳng thức 1.3).
II.Áp dụng

Áp dụng các đẳng thức lượng giác trên chúng ta sẽ tính được một số tổng sau vớin≥1
Thí dụ 1

Tính tổngS1= 1 + 2 +...+n.
Lời giải

Đặtf(x) = sinx+ sin 2x+...+ sin(n−1)x+ sinnx. Khi đó chúng ta có:

f0(x) = cosx+ cos 2x+ +...+ (n−1) cos(n−1)x+ncosnx.

f00(x) =−

sinx+ 22sin 2x+...+ (n−1)2sin(n−1)x+n2sinnx.

f000(x) =−

cosx+ 23_{cos 2}_x₊_..._{+ (}_n₋₁₎3_cos(_n₋₁₎_x₊_n3_cos_nx

.
Chúng ta dễ nhận thấy rằng

f(0) = 0,

f0(0) = 1 + 2 +...+n,

f00(0) = 0,

f000(0) =−(13_{+ 2}3₊_...₊_n3_).
Từ1.1 chúng ta có2 sin1₂x

f(x) = cos1₂x−cos n+1₂
x.

Đạo hàm hai vế chúng ta được cos1₂xf(x) + 2 sin1₂xf0(x) =−1
2sin

1

2x+ n+
1
2

sin n+1₂x,
Đạo hàm tiếp đẳng thức trên ta được

−1
2 sin

x

2

f(x)+ cosx₂f0(x)+21₂ cosx₂f0(x) + sinx₂f00(x)=−1
4cos

x
2+ n+

1
2

2

cos n+1₂x.

Chox= 0chúng ta có
2f0(0) =−1

4+ n+
1
2

2

=−1
4+n

2₊_n₊1

4 =n

2₊_n.

Vậyf0(0) =n(n+ 1)

2 hay 1 + 2 +...+n=

n(n+ 1)

2 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nhận xét:

1. Bằng cách thực hiện đạo hàm liên tiếpf(x) 4lần chúng ta sẽ tính được tổng
13_{+ 2}3₊_...₊_n3₌n

2₍_n_{+ 1)}2

4 .

2. Với ý tưởng như vậy chúng ta hồn tồn mở rộng ra để tính được các tổng
15_{+ 2}5₊_...₊_n5_;₁7_{+ 2}7₊_...₊_n7_,...,1k_{+ 2}k₊_...₊_nk _với_k_{là số nguyên dương lẻ.}
Thí dụ 2

Tính tổngS2= 12+ 22+...+n2.
Lời giải

Đặtg(x) = cosx+ cos 2x+...+ cos(n−1)x+ cosnx.Chúng ta có:

g(0) =n.

g0(0) = 0.

g00(0) =−(12_{+ 2}2₊_...₊_n2_).

g000(0) = 0.

g(4)(0) = 14+ 24+...+n4.

Từ đẳng thức(1.2)chúng ta có2sinx
2

g(x) = sin

n+1

2

x−sinx
2.
Đạo hàm hai vế chúng ta được

cosx
2

g(x) + 2 sinx
2

g0₍_x_{) =}

n+1

2

cos n+1
2

x−1

2cos
x
2.
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên ta được

−1
2 sin

x
2

g(x) + cosx
2

g0₍_x_{) + cos}x
2

g0₍_x_{) + 2 sin}x
2

g00₍_x_{) =}₋

n+1
2

2

sin n+1
2

x+1

4sin
x
2.
Lấy đạo hàm hai vế chúng ta được

−1
4 cos

x
2

g(x)−3

2 sin
x
2

g0₍_x_{)+3 cos}x
2

g00₍_x_{)+2 sin}x

2

g000₍_x_{) =}₋ _n₊1
2

3

cos n+1
2

x+1

8cos
x
2.
Chox= 0ta có−1

4g(0) + 3g

00_{(0) =}₋ _n₊1
2

3

+1
8.
Vìg(0) =nnêng00(0) =−2n

3_{+ 3}_n2₊_n

6 =−

n(n+ 1)(2n+ 1)
6

mặt khácg00(0) =−(12_{+ 2}2₊_...₊_n2₎_nên ₁2_{+ 2}2₊_...₊_n2₌ n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

Nhận xét:

1. Bằng cách thực hiện đạo hàm liên tiếpg(x) 5lần chúng ta sẽ tính được tổng
14_{+ 2}4₊_...₊_n4₌ n(n+ 1) (2n+ 1) 3n

2_{+ 3}_n₋₁

30 .

2. Với ý tưởng như vậy chúng ta hoàn toàn mở rộng ra để tính được các tổng

16_{+ 2}6₊_...₊_n6_;₁8_{+ 2}8₊_...₊_n8_,...,1k_{+ 2}k₊_...₊_nk _với_k_{là số nguyên dương chẵn.}
Thí dụ 3

Tính tổngS= 1−2 + 3−...+n, vớinlà số nguyên dương lẻ.
Lời giải

Xét hàm sốh(x) = sinx−sin 2x+ sin 3x−...−sin(n−1)x+ sinnx, (vớinlà số nguyên dương lẻ).

Chúng ta dễ nhận thấyh(0) = 0, h0(0) = 1−2 + 3−...+n.

Từ đẳng thức3.1, chúng ta có2 cosx
2

h(x) = sinx

2+ sin n+
1
2

x.
Lấy đạo hàm hai vế chúng ta có

− sinx
2

h(x) + 2 cosx
2

h0₍_x_{) =} 1
2cos

x

2+ n+
1
2

cos n+1
2

x.

Chox= 0chúng ta được2h0(0) =n+ 1. Vậyh0(0) = n+ 1
2 .
Thí dụ 4

Tính tổngS= 1−2 + 3−...−n, vớinlà số nguyên dương chẵn.
Lời giải

Xét hàm sốh(x) = sinx−sin 2x+ sin 3x−...+ sin(n−1)x−sinnx, (vớinlà số nguyên dương chẵn).
Chúng ta dễ nhận thấyh(0) = 0, h0(0) = 1−2 + 3−...+ (n−1)−n.

Từ đẳng thức3.1, chúng ta có2 cosx₂

h(x) = sinx₂−sin n+1₂
x.
Lấy đạo hàm hai vế chúng ta có

− sinx₂

h(x) + 2 cosx₂

h0(x) = 1₂cosx₂− n+1₂

cos n+1₂
x.

Chox= 0chúng ta được2h0(0) =−n. Vậyh0(0) =−n
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Nhận xét:

1. Từ thí dụ 3 và thí dụ 4 chúng thu gọn như sau

Pn

k=1(−1)
k+1

k=





n+ 1

2 nếu n lẻ

−n

2 nếu n chẵn

2. Với cách làm tương tự chúng ta thu được một số tổng sau
2.1)Pn

k=1(−1)
k+1

k2=








n(n+ 1)

2 nếu n lẻ

−n(n+ 1)

2 nếu n chẵn

.

2.2)Pn

k=1(−1)
k+1

k3₌








(n+ 1)2₍₂_n₋₁₎

4 nếu n lẻ

−n2(2n+ 3)

4 nếu n chẵn

2.3)Pn

k=1(−1)
k+1

k4₌









n(n+ 1)(n2+n−1)

2 nếu n lẻ

−n(n+ 1)(n2₊_n₋₁₎

2 nếu n chẵn

.

và cách làm không chỉ hạn chế với các tổng trên mà chúng ta cịn tính được rất nhiều tổng khác , mời
bạn đọc tiếp tục khai thác và tìm hiểu thêm.

Tài liệu tham khảo
Tạp chí Tốn học tuổi trẻ.
Tạp chí Crux.

Tạp chí AMM.

</div>

<!--links-->