Download Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2011

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (188.7 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ONTHIONLINE.NET

Equation Chapter 1 Section 1SỞ

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HỐ

Đề chính thức

Số báo danh

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

Năm học 2010- 2011

Mơn thi: Tốn

Lớp: 12 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2011

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu I. (4,0 điểm).

Cho hàm số y x 3 (m1)x2 (4 m x2)  1 2m (m là tham số thực), có đồ thị là (Cm).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m1.

2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm) có hai tiếp tuyến vng góc với nhau.

Câu II. (6,0 điểm).

1) Giải phương trình: cos 2xcos3x sinx cos 4xsin 6 .x

2) Giải bất phương trình: 6(x2  3x1) x4 x2 1 0 (x ).

3) Tìm số thực a để phương trình:9x 9 a3 cos(x x), chỉ có duy nhất một nghiệm

thực .Câu III. (2,0 điểm).Tính tích phân:





3
0

sin

sin 3 cos

x

I dx

x x








Câu IV. (6,0 điểm).

1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc
các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC). Đặt
AM x, AN y. Tìm x y, để diện tích tồn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.
2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng :x y  5 0 và hai elíp

2 2
1

( ) : 1

25 16

x y

E  

2 2

2 2 2

( ) :E x y 1 (a b 0)

a b    có cùng tiêu điểm. Biết rằng ( )E2
đi qua điểm M thuộc đường thẳng . Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp ( )E2 có độ

dài trục lớn nhỏ nhất.

3) Trong không gian Oxyz,cho điểm M(0;2;0) và hai đường thẳng

1 2

1 2 3 2

: 2 2 ( ); : 1 2 ( )

1 , ,

x t x s

y t t y s s

z t z s

   

 

 

         

    

 

 

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x, sao cho (P) cắt hai
đường thẳng 1,2 lần lượt tại A, B thoả mãn AB1.

Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực a b c, , thoả mãn:

2 2 2 6

a b c

ab bc ca

   



  



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

... HẾT ...

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu.

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HỐ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 4 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011

MƠN THI: TỐN

LỚP: 12 THPT

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý

Hướng dẫn chấm

Điê

m
Câu I

4,0 đ
1)

2,0đ Với m1,ta được hàm số

3 3 1.
y x  x

Tập xác định: .

Giới hạn tại vô cực: xlim y, limx  y .
Sự biến thiên: y' 3 x2  3 0  x1.

0,5

' 0 ( ; 1) (1; ).

y   x      Hàm số đồng biến trên các khoảng

(  1) và (1;).

' 0 ( 1;1).

y   x  Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).
Điểm cực đại của đồ thị ( 1;3), điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).

0,5

Bảng biến thiên:

0,5

Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3).

Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng

0,5

2,0đ Ta có

2 2

' 3 2( 1) 4 ,

y  x  m x m là tam thức bậc hai của x.
y' có biệt số  ' 2m22m13.

Nếu  ' 0 thì y' 0, x, suy ra u cầu bài tốn khơng thoả mãn.

0,5

Nếu

1 3 3 1 3 3

' 0 ;

2 2

m    

     

 , thì y' 0 có hai nghiện x x x1, 2 ( 1x2).
Dấu của y':

0,5

-2 -1

-1

1 1

3

2 x

y

O

x

y'

y

 



1 

1

3

0 

0 

x -

+

'

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chọn x0( ; )x x1 2  y x'( ) 0.0  Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao

cho y x y x'( ). '( )0  1 pt:

2 2

3 2( 1) 4 0

'( )

x m x m

y x

     

(1) có

nghiệm . Pt (1) có:

2
1

3 1 3 3 1 3 3

' 2 2 13 0, ; .

'( ) 2 2

m m m

y x

   

         

 

0,7
5

Vậy giá trị cần tìm của m là

1 3 3 1 3 3
;

2 2

m    

 . 0,25

Câu II

6,0 đ 2,0đ1)

PT ⇔(cos 2x −cos 4x)−sinx+(cos 3x −2sin 3x. cos 3x)=0

⇔(2 sinxsin 3x −sinx)−(2 sin 3xcos 3x −cos 3x)=0

0,5

⇔(2 sin3x −1)(sinx −cos 3x)=0 0,5

⇔

sin 3x=1

cos 3x=cos

(

π

2− x

)

x= π

18+k

2π

x=5π

18 +k

2π

x=π

8+k

π

x=−π

4+kπ

¿
¿
¿

⇔¿
¿
¿
¿

(k ).

0,5

2,0đ Tập xác định:

..

BPT





2 2 2 2

6 2(x x 1) (x x 1) 6(x x 1)(x x 1) 0

           

0,5

2 2

1 6( 1)

12. 6 0

1 1

x x x x

   

   

    (vì x2   x 1 0,x)

0,5

Đặt:

6( 1)

x x

t

x x

 



  (t > 0), ta được2t2 t 6 0

3
0

t

  

. 0,5

BPT đã cho tương đương với

2
2

6( 1) 9 11 21 11 21

5 11 5 0 ; .

1 4 10 10

x x

x x x

x x

 

   

        

    0,5

3)
2,0đ

9x 9 a3 cos(x x) 3x 3 x a.cos( x) (2).

  

    

Nhận xét: Nếu x0 là nghiệm của (2) thì 2 x0 cũng là nghiệm của (2),

0,5

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Với x0 1, thì từ (2) suy ra a6.

Với a6, thì phương trình (2) trở thành 3x32x 6cos(x) (3).

Ta có VT(3) 6, VP(3) 6. Vậy

3 3 6

(3) 1.

6cos( ) 6

x x

x
x





  

   

 


Vậy a6.

1,0

Câu 
III

2,0đ Ta có:

1 3

sin (sin 3 cos ) (cos 3 sin )

4 4

x x x  x x

1 3

(sin 3 cos ) (sin 3 cos )'.

4 x x 4 x x

   

0,5

Suy ra

2 2

2 3

0 0

1 1 3 (sin 3 cos )'

4 (sin 3 cos ) 4 (sin 3 cos )

x x

I dx dx

x x x x

 



 

 



2 2

0 0

1 1 3

16 8(sin 3 cos )

cos

dx

x x

x

 



 



 



 

 



0,2
5

0,7
5
2

1 3

tan

16 x 6 12



 

    

 

3 3 3

12 12 6

  

0,5

Câu 
IV
6,0đ

2,0đ Kẻ DH Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC.MN , do (DMN) (ABC) suy ra DH (ABC). 0,5
Ta có: SAMN = 12 .AM.AN.sin600 =

√

4 xy ; SAMN = SAMH + SANH

= 12 .AM.AH.sin300+ 1

2 .AN.AH.sin300 =
1
4.

√

3 (x+y).

Suy ra

√

43xy = 14.

√

3 (x+y) ⇒ x+y= 3xy (0 x,y 1 ).

0,5

Diện tích tồn phần của tứ diện DAMN:

S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN

= 12 AD.AM.sin600+ 1

2 AD.AN.sin600

+ 12 DH.MN + 12 AM.AN.sin600.

√

3 xy +

√

66

√

3 xy(3 xy−1) .

Từ

2 4

3 2 .

3 9

xy x y   xy  xy   xy

Suy ra

3(4 2)

min ,

S  

khi

2
.
3

x y

0,5

0,5
2) Hai elíp có các tiêu điểm F1( 3;0), F2(3;0). 0,5

B
C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2,0đ Điểm M( )E2  MF1MF2 2a. Vậy ( )E2 có độ dài trục lớn nhỏ
nhất khi và chỉ khi MF1MF2 nhỏ nhất.

0,5

Gọi N x y( ; ) là điểm đối xứng với F1 qua , suy ra N( 5;2).
Ta có: MF1MF2 NM MF 2 NF2 (khơng đổi).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M NF2 

0,5

Toạ độ điểm

4 3 0 5 17 8

: ; .

5 0 8 5 5

x

x y

M M

x y

y





  

   

  

   

    

  




0,5

2,0đ Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt.A  1 A(1 2 ;2 2 ; 1 t  t  t); B  2 B(3 2 ; 1 2 ; ). s   s s

Suy ra AB



2 2( s t ); 3 2(  s t ); 1 ( s t )





0,5

2 2

9( ) 22( ) 14 1 13

.
9

s t

AB s t s t

s t

 




       

  


0,5

Với s t  1 AB(0; 1;0) 



(P) có một vtpt n1 AB i;  (0;0;1)

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

,
suy ra ( ) :P z 0 (loại do (P) chứa trục O x).

0,5

Với

13 8 1 4

; ;

9 9 9 9

s t   AB   

 



,
suy ra ( )P có một vtpt 2

4 1

; (0; ; )

9 9

n AB i  

  

,
suy ra ( ) : 4P y z  8 0 (thỏa mãn bài toán).

0,5

Câu V

2,0đ Từ giả thiết suy ra : a b c 0

   0,2

5
Ta có: a b c, , là ba nghiệm thực của phương trình (x a x b x c )(  )(  ) 0

3 3 0 3 3 1 1

x x abc x x abc

         (3) 0,5

Từ đồ thị hàm số y x 3  3x1, suy ra pt (3) có ba nghiệm thực a b c, ,
khi và chỉ khi  1 abc   1 3 2abc2.

abc2, khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2.
abc2, khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2.

0,5

6 6 6 3( )2

P a b c  P abc

(a2 b2 c a2)( 4 b4c4  a b2 2 b c2 2 c a2 2)
.(a2b2 c2 3)  3(a2b2c a b2)( 2 2 b c2 2c a2 2) 216 18.9 54   .

0,5

3( ) 54 max 66,

P abc   P khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2,
hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2.

0,2
5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6></div>

Download Đề thi chọn HSG Toán 12 năm 2011

ONTHIONLINE.NET

Equation Chapter 1 Section 1SỞ

Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

<b> Năm học 2010- 2011</b>

<b> </b>

<b>Mơn thi: Tốn</b>

<b>Lớp: 12 THPT</b>

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/03/2011

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).







HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Gồm có 4 trang)

<b>KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH</b>

<b>NĂM HỌC 2010 - 2011</b>

<b>MƠN THI: TỐN </b>

<b>LỚP: 12 THPT</b>

Ngày thi: 24 - 3 - 2011

<b>Hướng dẫn chấm</b>

-2 -1

-1

1

<sub>1</sub>

3

2

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>O</i>

<i>x</i>

<i>y'</i>

<i>y</i>

 

 





1



1



1

3

0



0





<i>x -</i>

<i>+</i>

'

(

)











√

√

√

√

√

√

√





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về